Chapitre III : lentilles minces Les lentilles minces sont les systèmes optiques les plus utilisés, du fait de leur utilité pour la confection d instruments d optique tels que microscopes, télescopes ou même verres de lunettes. I. Définitions Une lentille est un milieu transparent, homogène, limité par deux dioptres sphériques ou un dioptre sphérique et un dioptre plan.. Lentilles à bords minces (ou convergentes) C 2 S 1 S 2 C 1 C 1 S 1 C 1 C 2 S 1 S 2 iconvexe Plan convexe Ménisque convergent Symbole. Lentilles à bords épais (ou divergentes) C 1 S 1 S 2 C 2 S 2 S 1 C 1 C 2 C 1 S 1 S 2 iconcave Plan concave Ménisque divergent Symbole C. Conditions de Gauss Il est essentiel dans la pratique de se trouver dans les conditions de Gauss afin de conserver la propriété de stigmatisme approché des lentilles. Page 1 sur 21
D. Condition de minceur d une lentille Une lentille est mince si on peut considérer que S1 et S2 sont confondus, c est-à-dire si, en posant =, = et = les rayons de courbures algébriques, et. II. Etude théorique. oyers, plans focaux et distances focales 1. bjet n appelle foyer principal objet (ou plus simplement foyer objet) le point de l axe optique dont l image est à l infini. Lentille convergente : réel Lentille divergente : virtuel Φ Φ n appelle Φ foyer secondaire objet. n appelle plan focal objet le plan orthogonal à l axe optique passant par le foyer (ensemble des foyers secondaires objets). n appelle distance focale objet = Pour une lentille convergente, <0. Pour une lentille divergente, >0. Page 2 sur 21
2. Image n appelle foyer principal image le point de l axe principal où se forme l image d un point objet situé à l infini sur l axe. ' ' Lentille convergente : réel Lentille divergente : virtuel. De la même manière que précédemment, on définit le foyer secondaire image et le plan focal image. n appelle distance focale image = Pour une lentille convergente, >0. Pour une lentille divergente, <0. Remarques : = ; lorsqu on parle de distance focale sans précision, on parle de. La vergence d une lentille est définie par = Pour une lentille convergente, C est positive alors qu elle est négative pour une lentille divergente. L unité de vergence est la dioptrie (m -1 ).. Image d un objet 1. Construction n se place dans les conditions de l approximation de Gauss. Pour tracer l image d un objet ( sur l axe optique et dans le plan passant par perpendiculaire à l'axe optique), on peut tracer trois rayons passant par : le premier passant par va à l infini, parallèle à l axe, le deuxième parallèle à l axe venant de l infini passera par, le troisième, passant par le centre optique du système, n est pas dévié. Page 3 sur 21
n obtient ainsi la construction suivante : I ' ' J ' 2. Relations avec origine au foyer : grandissement et conjugaison a) Relations de grandissement Déterminons des relations de grandissement exprimant celui-ci en fonction des distances de l objet au foyer objet et de l image au foyer image. Les triangles et J sont semblables : =. r = et = =. Donc =. De même, les triangles et I sont semblables : r = et = =. donc =. Donc =. = = = b) Relation de conjugaison : relation de Newton n en déduit immédiatement que :. = Page 4 sur 21
3. Relations avec origine au centre a) Relations de grandissement Les triangles et sont semblables donc : = = b) Relation de conjugaison : relation de Descartes Nous recherchons une relation liant les positions de l objet et de l image par rapport au centre de la lentille. Reprenons les relations de grandissement précédentes : = = =. Nous n allons conserver qu une seule de ces égalités : celle faisant intervenir et et l une des deux autres expressions du grandissement, par exemple, dans laquelle nous allons utiliser la relation de Chasles pour remplacer par une expression fonction de : = + = +. Donc = puis =. Cette expression constitue bien une relation de conjugaison. Cependant, nous allons l exprimer différemment afin de la symétriser.. + =. +. =.. =. Divisons cette égalité par.. n obtient alors : Remarque : on note parfois p et p. 1 1 = 1 Page 5 sur 21
III. ssociation de deux lentilles n appelle l association de deux lentilles minces un doublet.. Lentilles accolées Lorsque les centres optiques des lentilles sont confondus, on dit que le doublet est accolé et on note le centre commun des deux lentilles. Déterminons les caractéristiques d un tel doublet. Soit un objet. n peut alors écrire les relations de conjugaison au centre : Pour : = Pour : = En additionnant ces deux relations, on obtient immédiatement : 1 1 = 1 + 1 Ce qui correspond à la relation de conjugaison de centre et de vergence = + (ou de distance focale = =. n peut aisément vérifier que la relation de grandissement avec origine au centre est aussi vérifiée. En effet, le grandissement total du système est défini par =. Nous pouvons décomposer alors cette relation : = = = = n peut alors en déduire que le doublet constitué de deux lentilles minces accolées (et exclusivement dans ce cas!) se comporte comme une seule lentille de vergence égale à la somme des vergences des deux lentilles.. Lentilles non accolées 1. Cas général Le système n est plus équivalent à une seule lentille et devra être étudié au cas par cas. Page 6 sur 21
Voir TD. 2. Système afocal Un cas particulier de positionnement de deux lentilles (mais qui peut être obtenu avec plus de deux lentilles aussi) est la constitution d un système afocal. Un système afocal est un système optique qui, d un objet à l infini, forme une image à l infini. Considérons un système constitué de deux lentilles minces (convergentes ou divergentes), notées et. Déterminons leurs positions relatives pour que ce système soit afocal. Pour cela considérons un objet à l infini. Son image par se trouve en. Le système étant afocal, l image définitive d un objet à l infini se trouve à l infini. Son objet conjugué par est. Comme l image de l objet à l infini par sert d objet pour, elle doit être confondue avec, donc et sont confondus. Ce raisonnement peut être écrit de manière plus concise et schématique : = ' 1 1 ' ' 2 ' 1 2 2 Exemple : lunette astronomique (objectif et oculaire convergents) Page 7 sur 21
Ce type de système est très utile pour l observation d objets très éloignés (étoiles, planètes) qui constituent des objets à l infini, l œil emmétrope («normal») voyant sans accommoder à l infini, ce qui signifie que l image par l instrument doit être à l infini. Pour un tel système, on définit le grossissement, = ù α et α sont respectivement les angles formés par le faisceau incident et le faisceau émergent avec l axe des lentilles (voir ci-dessous). Pour la lunette astronomique, on peut montrer que =. En effet, = =. (dans les conditions de Gauss) D autre part, = =. Donc = =. Page 8 sur 21
' 1 1 ' 42 ' 1' 2 2 2 18 Exemple : lunette de Galilée (objectif convergent et oculaire divergent) Dans l exemple de la lunette de Galilée ci-dessus, = 2,3>0 : l image est droite, alors qu elle est inversée dans une lunette astronomique. Page 9 sur 21
IV. Construction de l image d un objet Pour déterminer l image d un objet, il suffit de trouver l intersection de deux rayons particuliers issus de l objet. Trois rayons sont simples à tracer : Le rayon passant par le centre optique n est pas dévié ; Le rayon émergent passant par est parallèle à l axe optique (image à l infini) ; Le rayon incident parallèle à l axe optique se poursuit en un rayon émergent passant par.. Par une lentille convergente Du point de vue de l objet, une lentille présente deux points particuliers : le foyer objet et le centre de la lentille. Nous aurons donc 6 cas (3 intervalles et 3 points) : bjet à l infini vant le foyer objet, u foyer objet, Entre le foyer objet et le centre de la lentille, Sur la lentille, (cas très peu intéressant ; l image se trouve au même endroit) près la lentille. bjet à l infini (réel) : ' Page 10 sur 21
bjet avant le foyer objet (réel) : ' bjet au foyer objet (réel) : ' Page 11 sur 21
bjet entre le foyer objet et la lentille (réel) : ' bjet après la lentille (virtuel) : '. Par une lentille divergente Du point de vue de l objet, une lentille présente deux points particuliers : le foyer objet et le centre de la lentille. Nous aurons donc 6 cas : bjet à l infini Page 12 sur 21
vant centre de la lentille, Sur la lentille, (cas très peu intéressant : l image se trouve au même endroit) Entre le centre de la lentille et le foyer objet, u foyer objet, près le foyer objet. bjet à l infini (réel) : ' bjet avant la lentille (réel) : ' Page 13 sur 21
bjet entre la lentille et le foyer objet (virtuel) : ' bjet au foyer objet (virtuel) : ' Page 14 sur 21
bjet après le foyer objet (virtuel) : ' Page 15 sur 21
V. Corrigé des constructions. Lentille convergente bjet à l infini : image réelle dans le plan focal image ' ' ' bjet avant le foyer objet (réel) : image réelle, inversée (réduite ou agrandie) ' ' ' Page 16 sur 21
bjet au foyer objet (réel) : image à l infini ' ' ' bjet entre le foyer objet et la lentille (réel) : image virtuelle, droite, agrandie. ' ' ' Page 17 sur 21
bjet après la lentille (virtuel) : image réelle, réduite, droite. ' ' '. Lentille divergente bjet à l infini : ' ' ' Page 18 sur 21
bjet avant la lentille (réel) : image virtuelle, droite, réduite. ' ' ' bjet entre la lentille et le foyer objet (virtuel) : image réelle, droite, agrandie. ' ' ' Page 19 sur 21
bjet au foyer objet (virtuel) : image à l infini ' ' ' bjet après le foyer objet (virtuel) : image virtuelle, inversée (réduite ou agrandie) ' ' ' Page 20 sur 21
Table des matières I. Définitions... 1. Lentilles à bords minces (ou convergentes)... 1. Lentilles à bords épais (ou divergentes)... 1 C. Conditions de Gauss... 1 II. Etude théorique... 2. Condition de minceur d une lentille... 2. oyers, plans focaux et distances focales... 2 1. bjet... 2 2. Image... 3 C. Image d un objet... 3 1. Construction... 3 2. Relations avec origine au foyer : grandissement et conjugaison... 4 3. Relations avec origine au centre... 5 III. ssociation de deux lentilles... 6. Lentilles accolées... 6. Lentilles non accolées... 6 1. Cas général... 6 2. Système afocal... 7 IV. Construction de l image d un objet... 10. Par une lentille convergente... 10. Par une lentille divergente... 12 V. Corrigé des constructions... 16. Lentille convergente... 16. Lentille divergente... 18 Page 21 sur 21