Feuille d'exercices : optique géométrique P Colin 2015/2016 Formulaire : Rappel des relations de conjugaison pour une lentille mince L de centre O, de foyer objet F, de foyer image F et de distance focale image f donnant d un objet AB une image A B. 1 Lois de Snell-Descartes 1.1 Formation d'une image par une lame de verre Une lame transparente à faces parallèles est caractérisée par son épaisseur e et l indice n du milieu qui la compose. On cherche à caractériser ce dioptre dans le cadre de l optique géométrique. 1. Donner un ordre de grandeur de l indice du verre. 2. Rappeler les deux relations de Snell-Descartes pour la réfraction. 3. Reproduire et compléter la figure 1 par un tracé de rayon afin de trouver graphiquement la position de A image de A par la lame. Figure 1 Lame de verre et objet réel 1
Figure 2 Lame de verre et objet virtuel 4. Reproduire et compléter de même la figure 2 par un tracé de rayon avec un point objet A virtuel. 5. Montrer, par des considérations géométriques, que la relation de conjugaison qui relie les positions de A et A est donnée dans les conditions de Gauss par : ( AA = e 1 1 ) n 1.2 Prime à réfelxion totale Un prisme de verre (figure 3) a pour section droite un triangle ABC rectangle en A. Il est éclairé par un faisceau parallèle de lumière monochromatique à la longueur d onde λ 0 pour laquelle l indice optique du verre relativement à l air vaut n. Figure 3 Prime à réfelxion totale On étudie la marche de ce faisceau qui entre sur la face AB sous l angle d incidence i. Après réflexion totale sur la face BC, le faisceau sort du prisme par la face AC. On appelle α l angle dièdre du prisme en B. 1. Définir et calculer la déviation D par le prisme en fonction seulement de i et de l angle d émergence du faisceau i par la face AC. 2. Est-il possible d obtenir un faisceau émergent perpendiculaire au faisceau incident? Dans ce cas, montrer que n doit vérifier une inégalité que l on précisera. Cette situation est-elle compatible avec une incidence normale? une incidence rasante? 1.3 Théorie de l'arc-en-ciel Un faisceau parallèle de lumière monochromatique éclaire une sphère (cf. figure 4) de rayon R et d indice optique n 1, 33 relativement à l air dans lequel 2
elle est située. Un rayon quelconque, pénétrant dans la sphère sous l incidence i, entre dans la sphère sous l angle r par rapport à la même normale, et finit par en ressortir après avoir suivi p réflexions internes. Le rayon émergent fait l angle α avec le rayon incident. Figure 4 Théorie de l arc-en-ciel La sphère est uniformément éclairée. Si on appelle dφ le flux lumineux (ie la puissance lumineuse) envoyé entre les angles i et i + di, relier dφ à i, au flux total Φ éclairant la sphère, et à di. 1. Exprimer dφ dα en fonction de p, n, i et r. 2. À quelle condition Φ(α) admet-il un extremum? Expliquer pourquoi on peut alors parler d arc-en-ciel. 3. On s intéresse à la première valeur de p fournissant un arc-en-ciel (arc primaire). Quelle est la position du sommet de cet arc-en-ciel au-dessus de l horizon lorsque le soleil est lui-même à 25 au-dessus de celui-ci? 4. L indice optique de l eau varie en fait tout au long du spectre visible avec dn dλ = 35000 m 1. Évaluer la largeur angulaire de cet arc-en-ciel et l ordre de disposition des couleurs. 1.4 Théorème de Bouguer On étudie un milieu à symétrie sphérique : l indice n ne dépend que de la distance r au centre de symétrie O. 1. Un rayon lumineux aborde ce milieu dans un plan contenant O. Montrer qu il reste dans ce plan. Montrer alors que n(r)r sin i(r) = constante, où i est l angle formé par le rayon lumineux avec la radiale locale r = OM ; c est le théorème de Bouguer. 2. Il s agit en fait d un modèle pour l atmosphère terrestre, dans laquelle l indice optique varie depuis la valeur n 0 = 1, 0003 au niveau du sol (r = R = 6400 km) jusqu à la valeur exacte 1 au sommet de l atmosphère, à l altitude h = 64 km. Proposer l expression approchée la plus simple possible pour n(r). 3. Du fait de la variation progressive de l indice optique, un rayon lumineux provenant de l espace verra sa trajectoire incurvée vers le sol au cours de 3
Figure 5 Théorème de Bouguer la descente vers l observateur au sol (cf. figure 3). Lors d une descente de r à r + dr (dr < 0), évaluer le signe et la valeur de la déviation d subie par le rayon lumineux. On appellera i 0 l angle d incidence du rayon lumineux sur la couche supérieure de l atmosphère. 4. Calculer la déviation totale pour i 0 = 60, ainsi que l angle d incidence au sol i. 2 Optique dans les conditions de Gauss 2.1 Viseur à frontale xe On étudie un viseur à frontale fixe (figure 6) constitué par : un objectif L 2 de centre O 2, de distance focale f 2 = 50 mm ; un réticule gradué R oc ; un oculaire modélisé par une lentille convergente L 1 de centre O 1 et de distance focale f 1 = 50 mm. Figure 6 Schéma d un viseur à frontal fixe. On( règle la ) lunette afin d avoir, pour l objectif, un grandissement transversal γ ob = A B = 2. AB ob 1. Comment règle-t-on l oculaire par rapport au réticule? Qu en est-il pour une œil normal au repos? 2. Préciser la position F 2 A de l objet visé par rapport à l objectif en fonction de γ ob et f 2. Faire l application numérique. 4
3. Déterminer l encombrement O 2 O 1 de la lunette en fonction de f 1, γ ob et f 2. Effectuer l application numérique. 4. Valider vos résultats par un tracé de rayons justifiés en reproduisant et complétant la figure 7. Placer sur la figure le réticule R oc et la lentille L 1. Figure 7 Tracé de rayons 5. Citer une application de ce type de viseur. 2.2 Étude géométrique d'un microscope optique Un microscope optique porte les indications suivantes : Sur son objectif : x40 ; sur l oculaire : x10. La notice du constructeur précise : ouverture numérique de l objectif ω 0 = 0, 65, intervalle optique = 16 cm. La signification des ces indications sera précisée par la suite. Le microscope sera modélisé par deux lentilles minces convergentes. Il est réglé pour donné une image à l infini d un objet réel AB, perpendiculaire à l axe optique, A étant placé sur l axe optique légèrement avant le foyer objet de l objectif. Cette image est observé par un œil emmétrope 1 placé au voisinage du foyer image de l oculaire. L œil nu voit nettement des objets situés entre la distance δ = 25 cm et l infini. 1. Faire un schéma du dispositif (sans respecter les échelles) et tracer soigneusement la marche de deux rayons issus du point B de l objet AB, l un émis parallèlement à l axe optique, l autre passant par F 1, foyer objet de la lentille L 1 de centre O 1 modélisant l objectif. 2. (a) L indication portée sur l oculaire (x10) est le grossissement commercial de l oculaire, c est à dire le rapport de l angle sous lequel on voit l image à l infini d un objet à travers l oculaire seul et l angle sous 1. Un il emmétrope est un il sans défaut visuel, contrairement à un il amétrope. Pour un il emmétrope au repos, le point focal de l'ensemble cornée-cristallin est situé sur la rétine : le punctum remotum est à l'inni. En vision de près, le pouvoir d'accommodation du cristallin (qui se bombe), permet d'avancer le point focal devant la rétine pour conserver une concentration sur la rétine des rayons lumineux qui ne sont plus parallèles mais divergents. L' il emmétrope met donc au point entre le punctum proximum vers 25 cm (cette distance augmente avec l'âge à l'apparition de la presbytie) et le punctum remotum à l'inni. WikipédiA 5
lequel on voit ce même objet à l œil nu lorsqu il est situé à la distance minimal de vision distincte d un œil emmétrope. Déterminer f 2, distance focale image de l oculaire. (b) L intervalle optique correspond à la distance F 1 F 2. La valeur absolue du grandissement transversal de l objet AB par l objectif seul est x40. Calculer f 1, distance focale image de la lentille L 1 modélisant l objectif. Calculer la distance O 1 A. (c) Déterminer la latitude de mise au point 2, c est à dire la variation de la distance O 1 A compatible avec une vision nette de l image finale par l observateur, dont l œil est au foyer image de l oculaire. Commenter le résultat numérique obtenu. (d) Définir et calculer dans le cas d une image finale à l infini le grossissement commercial du microscope. 2.3 Tripleur de focale On réalise la photographie d objets situés à grande distance au moyen d un objectif, assimilé à une lentille mince unique de focale f > 0. Le plan de la pellicule est confondue avec le plan focal image de l objectif (voir la figure 8, à gauche). 1. Quelle est la dimension D d une image sur le plan de la pellicule si l objet s étend sur une largeur angulaire θ? Application numérique : calculer θ pour f = 300 mm et D = 36 mm. 2. Pour un objet donné, augmenter D consiste à augmenter f donc l encom- Figure 8 Tripleur de focale brement de l appareil. On veut ici réaliser l équivalent d un tripleur de focale, c est-à-dire un dispositif qui réalise une image de dimension triple de celle obtenue avec l objectif seul, tout en ayant un encombrement inférieur à 3f. On écarte pour cela (voir la figure 8, à droite) l objectif de la pellicule d une distance e avant d insérer une seconde lentille (divergente sur le schéma) entre les deux. Cette lentille est à la distance d du plan de la pellicule et sa distance focale est notée ϕ ; elle doit introduire un grandissement égal à +3, sans changer le sens de l image. Exprimer ϕ et d en fonction de e. Faire l application numérique pour e = 200 mm. 3. Le dispositif joue-t-il son rôle de tripleur lorsqu on l insère devant un autre objectif? 2. aussi appelée profondeur de champ. 6
2.4 Doublet oculaire de Huygens On considère le doublet de lentilles sphériques minces formé d un objectif convergent de focale f 1 = 3 cm et d un oculaire convergent de focale f 2 = 1 cm, séparées par un intervalle e = 2 cm. 1. Déterminer, graphiquement, les foyers F et F du système. On cherche un couple de points conjugués (H, H ) avec un grandissement linéaire transversal γ = 1. Déterminer, graphiquement, H et H. Vérifier, graphiquement, la valeur du grandissement angulaire G en H. 2. Tracer les rayons lumineux permettant de construire l image d un objet quelconque AB perpendiculaire à l axe optique. Établir une relation de conjugaison liant H, H, F, F, A et la position de son image A par le doublet. 2.5 Dispositif afocal formé de lentilles convergentes On réalise un système afocal au moyen de deux lentilles sphériques minces convergentes, dont les distances focales respectives sont égales à f 1 = 30 cm et f 2 = 10 cm. 1. Faire un schéma du dispositif et préciser dans quel sens il doit être utilisé pour observer des objets situés à grande distance de l observateur. Par quel coefficient ces objets sont-ils rapprochés? On utilise le même dispositif avec un objet situé à distance finie. Déterminer (graphiquement) le grandissement linéaire transversal et le grossissement (grandissement angulaire) du système. Commenter. 2. On souhaite insérer dans ce dispositif une troisième lentille sphérique mince de façon à ce que l ensemble reste afocal. Où faut-il placer cette lentille? On appellera Ω l intersection de cette lentille avec l axe optique du système. 3. À quelle condition l image du point Ω par l ensemble des trois lentilles est-il confondu avec Ω? On suppose cette condition vérifiée dans la suite. 4. Déterminer (par une construction géométrique) le parcours d un rayon qui atteint le système en se dirigeant vers le point Ω. En déduire la valeur du grandissement angulaire G du système pour ce rayon. Pourquoi ce grandissement est-il le même pour tout autre rayon? 5. Déterminer aussi (par une construction géométrique) le grandissement linéaire transversal par ce système. 6. Déduire des constructions géométriques ci-dessus une méthode permettant de trouver l image K d un objet K quelconque de l axe. En déduire la relation de conjugaison liant les positions de A, K, K. 7