GYMNASE DU BUGNON LAUSANNE Mai 2010. EXAMEN D ADMISSION DE L ÉCOLE DE MATURITÉ 2 ème ANNÉE MATHÉMATIQUES OPTION SPÉCIFIQUE

GYMNASE DU BUGNON LAUSANNE Mai 2010 EXAMEN D ADMISSION DE L ÉCOLE DE MATURITÉ 2 ème ANNÉE MATHÉMATIQUES OPTION SPÉCIFIQUE Date : 7 mai 2010 Durée : 3 h Matériel mis à disposition par le gymnase : - Matériel autorisé apporté par les élèves : Calculatrice non programmable et sans écran graphique, règle, équerre, rapporteur, compas Formulaires et tables, éd. Du Tricorne (non annoté) Consignes : 1. Huit problèmes sont proposés aux candidats. Le poids de chaque problème est indiqué dans la donnée. 2. Répondre à chaque problème sur la feuille prévue à cet effet (au besoin, une feuille supplémentaire peut être demandée au surveillant). Toutes les constructions doivent être dessinées complètement au crayon et rester dans les limites de cette feuille. Les résultats sont indiqués à l encre, au stylo ou au feutre en utilisant les lettres définies dans la donnée. 3. On appelle sol ou premier plan de projection le plan horizontal Oxy, mur ou deuxième plan de projection le plan vertical Oyz et ligne de terre l axe Oy. 4. En axonométrie, un élément est défini par sa projection axonométrique et sa projection sur le sol. 5. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris sur celles de brouillon. Toutes les feuilles de données ainsi que les feuilles de données graphiques et les feuilles annexes doivent être rendues. 6. La simplicité et la clarté de la construction font partie de l évaluation. De plus, une marche à suivre sommaire est exigée, par exemple : «construction du carré par le rabattement de sa diagonale dans le sol». Si la présentation est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et vaudra zéro point. Gymnases vaudois Page 1 sur 13 Applications des mathématiques

Problème 1 (géométrie de l'espace 10 points) Partie a: Trois plans distincts!, " et # n'ont aucun point commun. Dans quelle situation sont-ils? Envisager tous les cas essentiellement distincts en les illustrant chaque fois par un croquis. Partie b: On donne un plan! et un point P n'appartenant pas à!. Décrire le lieu géométrique des milieux des segments PA [ ] où A est un point quelconque de!. Partie c: On donne un plan!, un point A hors de! et une droite d coupant! et ne passant pas par A. Construire, en précisant la marche à suivre, un plan " passant par A, parallèle à d et perpendiculaire à!. Problème 2 (axonométrie 8 points) Construire les éléments suivants en laissant les traits de construction: Partie a: Partie b: Partie c: l'intersection K de la droite IJ avec le cube, les traces du plan IJK sur les faces du cube, les traces du plan MNP sur le tétraèdre lorsque M est un point de la face SAB, P est un point de la face ABC, N est un point du plan SAC. Problème 3 (axonométrie 10 points) Première partie: Un plan α est donné par deux droites a et b dont les premières projections sont a 1 et b 1. Trouver les traces de α, à savoir l'intersection de α avec les trois plans orthogonaux Oxy, Oyz et Oxz lorsque: (a) a 1 parallèle à Oy et b 1 parallèle à Ox. (b) a, a 1, b et b 1 sont quatre droites parallèles à Ox. Seconde partie: (c) De deux droites a et b contenues dans α on connaît a 1 et b. Trouver les projections manquantes. Problème 4 (projection de Monge et axonométrie 6 points) On donne une «maison» par ses deux premières projections de Monge. En construire l axonométrie cavalière avec visibilité (facteur de réduction sur l'axe Ox: 0.5) Gymnases vaudois Page 2 sur 13 Applications des mathématiques

Problème 5 (projection de Monge 6 points) On donne deux plans! et " par leurs traces: (a) Construire, en projection de Monge, les projections de la droite i, intersection de! et ". Nommer correctement les points et les droites utilisés. (b) Représenter dans le cadre du croquis proposé les constructions effectuées en (a). Problème 6 (projection de Monge 8 points) Construire avec visibilité l'intersection du triangle ABC et du parallélogramme PQRS supposés opaques. On indiquera clairement la marche à suivre en précisant notamment les plans auxiliaires utilisés. Problème 7 (projection de Monge 6 points) On donne une droite d = (d 1 ; d 2 ) et M = (M 1 ; M 2 ) (a) Construire les projections d'une horizontale h et d une frontale f d un plan α perpendiculaire à d passant par M. (b) Construire les projections du point I intersection de d et de!. (c) Que peut-on dire de la droite MI? Problème 8 (projection de Monge 6 points) En utilisant un rabattement, construire la bissectrice de l'angle aigu déterminé par les droites a et b. Gymnases vaudois Page 3 sur 13 Applications des mathématiques

Problème 1 Partie a réponse: croquis: Partie b réponse: croquis: Gymnases vaudois Page 4 sur 13 Applications des mathématiques

Problème 1 Partie c réponse: croquis: Gymnases vaudois Page 5 sur 13 Applications des mathématiques

Problème 2 Partie a Partie b Gymnases vaudois Page 6 sur 13 Applications des mathématiques

Partie c Problème 3 (a) Gymnases vaudois Page 7 sur 13 Applications des mathématiques

(b) (c) Gymnases vaudois Page 8 sur 13 Applications des mathématiques

Problème 4 Gymnases vaudois Page 9 sur 13 Applications des mathématiques

Problème 5 (a) (b) Gymnases vaudois Page 10 sur 13 Applications des mathématiques