I. Propriétés globales sur les fonctions

Chapitre... : Fonctions usuelles I. Propriétés globales sur les fonctions I.1. Généralités Définition : Fonction numérique n dit que f est une... d une variable réelle s il eiste un sousensemble D R tel que chaque nombre D possède une unique image f () qui est un nombre réel. n note Remarques. D f. L ensemble D est appelé... de f. n le note parfois n dit que a est... de b par f si b est l... de a par f, autrement dit b = f (a). Les réels qui possèdent un antécédent par f constituent l... de f noté f (D). L ensemble des points du plan de coordonnées (;f ()) où est un élément de D s appelle la...... Bien souvent, on définira l ensemble de définition D à l aide d intervalles mais attention : cet ensemble D n est pas nécessairement égal à un intervalle. Eemple 1. Soit f la fonction définie par f () = 2 1. Que vaut D? Image/Antécédent Lecture d image C f Recherche d antécédent(s) : C f f ( 0 ) c + 0 + 1 + 2 Les antécédents de c par f sont 1 et 2. Eemple 2. Soit f la fonction définie par f () = + 1 + 2 1. Déterminer l ensemble de définition de f. Lcée Gambetta-Carnot Page 1/18 2017 2018

2. Déterminer l image de 5 par la fonction f. 3. Le réel 1 admet-il un antécédent par la fonction f? pérations sur les fonctions f et g désignent des fonctions numériques définies sur D. 1. La somme de f et g est la fonction notée f + g, elle est définie par D, (f + g)() = f () + g(). 2. Le produit de f et g est la fonction notée f g, elle est définie par D, (f g)() = f () g(). 3. Le produit du réel λ par f est la fonction notée λf définie par : D, (λf )() = λf (). 4. Si g ne s annule pas sur D, c est-à-dire si D, g() 0 alors le quotient de f par g est la fonction définie sur D par f f () D, () = g g() 5. Si g est définie sur f (D) alors la composée de g par f est la fonction g f définie sur D par D, (g f )() = g (f ()) Eemple 3. Écrire la composée g f lorsque f () = 2 3 et g() = 1. Quel est l ensemble de définition de g f? I.2. Éléments remarquables d une fonction Définition : Majorants, minorants Une fonction f définie sur un ensemble I est : majorée sur I s il eiste M R tel que minorée sur I s il eiste m R tel que...... bornée sur I si elle est à la fois minorée et majorée, c est-à-dire qu il eiste m R et M R tels que... Eemple 4. Soit f la fonction définie sur ]1;+ [ par f () = 2 1 2. Démontrer que f est bornée par 0 et 1. Indication. Écrire f () sous la forme f () = a + b avec a et b deu réels à déterminer. 2 Lcée Gambetta-Carnot Page 2/18 2017 2018

Proposition : Caractérisation des fonctions bornées avec la valeur absolue Dire que f est bornée sur I revient à dire qu il eiste un réel k > 0 tel que :... Voir le paragraphe III.9. pour plus de détails sur la valeur absolue. Remarques. 1. Un majorant n eiste pas toujours! Par eemple la fonction carré (voir paragraphe III.3.) f : 2 n admet pas de majorant sur R +. 2. Un majorant quand il eiste n est pas unique. Si M est un majorant alors M + 1 l est également. D une manière générale,... 3. n a une situation analogue pour les minorants : si m est un minorant alors tout réel inférieur ou égal à m est un minorant. La fonction carré ci-dessus admet 0 comme minorant mais aussi tout réel négatif. I.3. Etremum Définition : Etremum Soit 0 un élément de I. n dit que : 1. f admet un... en 0 sur I si f ( 0 ) est un majorant de f sur I. Autrement dit : I, f () f ( 0 ) 2. f admet un... en 0 sur I si f ( 0 ) est un minorant de f sur I. Autrement dit : I, f ( 0 ) f () 3. Un... désigne un minimum ou un maimum. Définition : Etremum local Il est possible que la propriété 1 ou 2 ne soit pas vérifiée sur I tout entier mais seulement sur un petit intervalle ouvert contenant 0. n dit alors que f admet un etremum local (maimum local ou minimum local) Eemple 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle I dont la courbe représentative est donnée ci-contre. La fonction f admet-elle des etrema sur I? Précisez s ils sont locau ou globau. C f Eemple 6. À l aide d un tableau de variations, montrer que la fonction f définie par f () = 2( 4) 2 + 8 possède un etremum. Lcée Gambetta-Carnot Page 3/18 2017 2018

I.4. Parité Définition : Fonction impaire C f Soit f une fonction définie sur D. n dit que f est... lorsque : Si D alors...... La courbe représentative d une telle fonction est alors smétrique par rapport à l origine (voir ci-contre). Eemple 7. Démontrer que la fonction f définie sur R par f () = 1 est paire. Définition : Fonction paire C f Soit f une fonction définie sur D. n dit que f est... lorsque : Si D alors...... La courbe représentative d une telle fonction est alors smétrique par rapport à l ae des ordonnées. Eemple 8. Démontrer que la fonction f définie par f () = 1 2 est impaire. + 1 Intérêt d avoir une fonction paire ou impaire Pour étudier une fonction paire ou impaire sur son ensemble de définition D, il suffit de l étudier sur D [0;+ [. Par smétrie on en déduit son comportement sur D ] ;0] puis sur D tout entier. II. Variations d une fonction Définition : Monotonie d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante sur I si :... f est strictement croissante sur I si :... Lcée Gambetta-Carnot Page 4/18 2017 2018

f est décroissante sur I si :... f est strictement décroissante sur I si :... f est monotone si.... f est strictement monotone si...... Remarque. n dit qu une fonction croissante conserve l ordre alors qu une fonction décroissante l inverse. III. Fonctions usuelles III.1. Fonctions affines Définition : Fonction affine n appelle... toute fonction f dont l epression est donnée par : où m et p sont deu réels. f () = m + p Proposition : Signe d une fonction affine Soient m,p R avec m 0. n a le tableau de signes suivant : m + p... + 0 Proposition : Monotonie d une fonction affine Si m > 0 Si m < 0 + + m + p m + p Remarques. m est appelé la... ou le... de f. p est l... de f. Lcée Gambetta-Carnot Page 5/18 2017 2018

Si p = 0, la fonction est... Si m = 0, la fonction est... Représentation graphique d une fonction affine Eemple 9. Soient f et g deu fonctions définies pour tout R par f () = 1 + 1 et g() = + 5. Tracer les 2 courbes représentatives de ces deu fonctions et déterminer leur point d intersection. labla 1+ 0 1 + III.2. Fonctions trinômes du second degré Définition : Fonction trinôme du second degré Une fonction f est appelée trinôme du second degré si son epression est donnée par : où a est un réel non nul et b, c deu réels. Proposition : Discriminant, forme canonique et représentation graphique Soit f la fonction trinôme du second degré définie ci-dessus. n appelle... de f () le nombre =... La... de f () est ( La représentation graphique d une telle fonction est une parabole de sommet S b 2a ; ). 4a Pour les eercices qui suivent, on pourra s aider du tableau récapitulatif page 16. Eemple 10. Déterminer ci-dessous la représentation graphique de la fonction f définie par f () = 2 2 + 3 2. 1+ 0 1 + dfdfd Lcée Gambetta-Carnot Page 6/18 2017 2018

Eemple 11. 1. Déterminer le signe de 2 + 3 2 en fonction de. 2. Résoudre 2 + 4 5 < 0 3. Résoudre 4 2 2 = 0 sur R. III.3. Fonctions puissances entières Définition : Fonction carré Représentation graphique de la fonction carré n appelle..., la fonction qui, à un nombre réel, associe le réel 2. Monotonie de la fonction carré 0 + 2 1+ + 1 Définition : Fonction cube n appelle..., la fonction qui, à un nombre réel, associe le réel 3. Monotonie de la fonction cube Représentation graphique de la fonction cube 0 + 1+ + 1 3 Proposition : Fonction n Plus généralement : Si n est un entier naturel pair supérieur (ou égal) à 2, alors la fonction n est strictement décroissante sur R et strictement croissante sur R +. De plus, la courbe de celle-ci a la même allure que celle de la fonction carré. Si n est un entier naturel impair, alors la fonction n est strictement croissante sur R. De plus, la courbe de celle-ci a la même allure que celle de la fonction cube. III.4. Fonction inverse Lcée Gambetta-Carnot Page 7/18 2017 2018

Définition : Fonction inverse n appelle..., la fonction qui, à tout nombre réel non nul, associe 1/. Remarque. L ensemble de définition de la fonction inverse est... Monotonie de la fonction inverse Représentation graphique de la fonction inverse 0 + 1 1+ + 1 ATTENTIN. Ne JAMAIS écrire que la fonction inverse est décroissante sur R. Eemple 12. Encadrer l epression 2 pour [0,1]. 3 + 1 III.5. Fonction racine carrée Ce paragraphe complète la section I.3. du chapitre 0 «Rappels». Définition : Racine carrée La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout R +, associe. Représentation graphique de la fonction racine carrée Monotonie de la fonction racine carrée 0 a + 1+ + 1 Dans Scilab, la fonction racine carrée s obtient grâce à la commande sqrt() III.6. Logarithme népérien Définition/Proposition: Logarithme népérien Lcée Gambetta-Carnot Page 8/18 2017 2018

La fonction..., notée ln, est l unique primitive sur ]0,+ [ de la fonction inverse qui s annule en 1. Autrement dit : ln est définie et dérivable sur... ln(1) =... Pour tout > 0, ln () =... Théorème : Propriétés algébriques Soit a et b deu réels strictement positifs et n un entier relatif. ln(ab) =... ( ) 1 ln =... a ln(a n ) =... ( ) a ln =... b ln(a) = ln(b)... ln(a) = 0... ln(a) < ln(b)... Monotonie de la fonction ln Représentation graphique de la fonction Logarithme népérien 0 a + 1+ + 1 ln() Eemple 13. Sachant que ln(2) 0.69, donner une valeur approchée de ln(4), ln(8) et de ln(1/2). Eemple 14. Résoudre l inéquation 0 ln( 2 + 5). Dans Scilab, la fonction logarithme néperien s obtient grâce à la commande log() III.7. Fonction eponentielle Définition/Proposition: Fonction eponentielle Pour tout réel, il eiste un unique réel strictement positif tel que ln =. n note e ou ep() ce Lcée Gambetta-Carnot Page 9/18 2017 2018

nombre réel. n appelle... la fonction, noté ep, qui à associe le réel e. Remarques. La fonction eponentielle est donc définie sur R. Pour tout R, on a e > 0. e 0 =... et e 1 = e 2,72. Par définition, on a ln(e 1 ) = ln(e) =... Monotonie de la fonction eponentielle Représentation graphique de la fonction eponentielle a + 1+ e + 1 Proposition : Lien eponentielle/logarithme a R, b R +, e a = b... a R +, e ln(a) =... a R, ln(e a ) =... Eemple 15. Résoudre l équation e 2 8 = 0. Théorème : Propriétés algébriques Soient a,b deu réels et n un entier relatif. e a+b =... e a =... (e a ) n =... e a b =... e a = e b... e a = 1... e a < e b... Dans Scilab, la fonction eponentielle s obtient grâce à la commande ep() III.8. Fonction puissance Cette section entre en complément avec le paragraphe I.2. du chapitre 0 : «Rappels» Lcée Gambetta-Carnot Page 10/18 2017 2018

Définition : Fonction puissance Représentation graphique de différentes fonctions puissances Pour tout R + et α R, on pose α = e α ln(). La fonction... est la fonction qui à tout nombre réel strictement positif associe α. α = 3,5 α = 1,5 α = 1 Remarque. La fonction puissance α est donc définie sur... Eemple 16. Pour tout R +, 3/2 =... Remarques. 1 α = 1 3 Pour tout R + et α R, ln( α ) =... Pour tout α R, 1 α =... 1 Proposition : Propriétés des fonctions puissances réelles Soient, deu réels strictement positifs et α,β deu réels. α β =... α α =... ( α ) β =... α =... α + α... 0 =... α β =... α + β... III.9. Valeur absolue Définition : Valeur absolue La fonction... est la fonction définie sur R par Représentation graphique de la fonction valeur absolue = {............ Eemple 17. 3 =..., 2 =... 1 1 La valeur absolue d un nombre réel est sa valeur numérique en «ne tenant pas compte du signe». Eemple 18. Eprimer sans valeur absolue et selon les valeurs de, l epression A() = 2 4 + 3. Valeur absolue et distance à 0 D un point de vue géométrique la valeur absolue d un réel est égal à la...... (sur un ae gradué représentant la droite réelle). Lcée Gambetta-Carnot Page 11/18 2017 2018

3 = 3 3 2 1 0 1 2 3 4 2 = 2 Valeur absolue et distance entre deu nombres Pour, R, l epression représente la... 3 ( 1) = 4 1 0 1 2 3 Proposition : Propriétés de la fonction valeur absolue Soient, deu réels et n un entier naturel. 2 =... =... n =... Si 0, =... +... Eemple 19. Calculer 7 6 ( 6) 2 Proposition : Valeur absolue et équations/inéquations Soient, deu réels et ε un réel strictement positif. 2 =... ε... =... = ε... ATTENTIN. Pour tout 0, ( ) 2 =... et pour tout R, 2 =... Eemple 20. Résoudre les équations/inéquations suivantes : 1. 3 + 2 = 7. 2. 7. 3. 2 + 1 3. Théorème : Inégalité triangulaire, R, +... Dans Scilab, la fonction valeur absolue s obtient grâce à la commande abs() Lcée Gambetta-Carnot Page 12/18 2017 2018

III.10. Partie entière Théorème R,!n Z, n < n + 1. Autrement dit : Définition : Partie entière D après le théorème précédent, on sait que tout réel est compris entre deu entiers consécutifs n et n + 1. Cet unique entier n est appelé... de et on le note. Par définition on a alors :... La partie entière d un réel est le plus grand entier inférieur ou égal à ce réel. Eemple 21. 7,15 =..., 1,2 =..., e =..., 2 =... Représentation graphique de la fonction partie entière 1 1 Eemple 22. Résoudre l équation 2 + 1 = 5. Dans Scilab, la fonction partie entière s obtient grâce à la commande floor() IV. Rappels sur les dérivées Nous rappelons dans cette section les méthodes de calcul des dérivées usuelles. n étudiera en détail au deuième semestre la notion de dérivée d une fonction d une manière plus théorique. D ici là, il est important de savoir calculer la dérivée d une fonction et d étudier les variations d une fonction à l aide du signe de cette dérivée. IV.1. Dérivées des fonctions usuelles Voici le tableau des dérivées usuelles. D f est l ensemble de définition de la fonction et D f fonction est dérivable. l ensemble où la Lcée Gambetta-Carnot Page 13/18 2017 2018

Fonction f D f f () D f k (k R).................. 2......... 3......... n (n N)......... 1......... e......... ln().................. IV.2. Règles de dérivation n rappelle aussi les règles de dérivation d une somme, d un produit et d un quotient de fonctions dérivables. Pour les deu dernières formules, on suppose que la fonction au dénominateur ne s annule pas. (u + v) =... (uv) =... ( ) 1 =... v ( ) u =... v Proposition Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de R alors la fonction e u est dérivable sur I et (e u ) =... Eemples. 1. La fonction f définie sur R par f () = e 3+1 est dérivable sur R. De plus pour tout R, f () =... 2. La fonction g définie sur R par g() = e est dérivable sur R. De plus pour tout R, g () =... 3. La fonction h définie sur R par h() = e 2 est dérivable sur R. De plus pour tout R, h () =... Proposition : Dérivées des fonctions puissances réelles Soit α un réel. La fonction f α : α est dérivable sur R + et pour tout réel strictement positif, on a f α() =... Eemple 23. La fonction f définie pour tout > 0 par f () = 3/2 est dérivable sur R + et pour tout > 0, f () = Lcée Gambetta-Carnot Page 14/18 2017 2018

Théorème : Monotonie et dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est nulle sur I alors f est constante sur I. Si f 0 sur I et ne s annule qu en un nombre fini de points alors f est strictement croissante sur I. Si f 0 sur I et ne s annule qu en un nombre fini de points alors f est strictement décroissante sur I. Méthode : Plan d étude d une fonction f Pour étudie une fonction dérivable : 1. Ensemble de définition : n recherche D f s il n est pas déjà donné dans l énoncé. 2. Parité (si demandé) : n recherche la parité en vérifiant : que D f est smétrique par rapport à 0. en comparant f ( ) avec f (). 3. Variations : n étudie l ensemble de dérivabilité puis la dérivée pour obtenir le tableau de variations de f et les etrema. Remarque. Lorsque f est compliquée, on peut parfois étudier les variations de f pour en déduire celles de f. 4. Courbe : n trace éventuellement certaines tangentes et on représente la courbe de manière cohérente avec l étude. Eemple 24. Étudier la fonction f définie pour tout R par f () = ( + 1)e. Lcée Gambetta-Carnot Page 15/18 2017 2018

V. Complément : Tableau récapitulatif sur le second degré n pose f () = a 2 + b + c avec a 0 et = b 2 4ac. < 0 = 0 > 0 Courbe Si a > 0 Si a < 0 Si a > 0 + 0 Si a < 0 0 + + Si a > 0 1 + 2 + Si a < 0 1 + 2 Racines Pas de racine Une racine : 0 = b 2a Deu racines : 1 = b 2a 2 = b + 2a Factorisation Pas de factorisation f () = a( 0 ) 2 f () = a( 1 )( 2 ) Signe f () + Sgn(a) f () 0 + Sgn(a) 0 Sgn(a) Sous réserves que 1 < 2 1 2 + f () Sgn(a) 0 Sgn( a) 0 Sgn(a) Lcée Gambetta-Carnot Page 16/18 2017 2018

Eercices Eercice 1 (Révisions). Soit f une fonction définie sur R. Traduire à l aide des quantificateurs les epressions suivantes : 1. La fonction f ne s annule pas. 2. La fonction f est positive. 3. La fonction f n est pas positive. 4. La fonction f n est pas la fonction nulle. Eercice 2. Donner l ensemble de définition des fonctions suivantes : 1. f () = 2 + 1. 2. g() = 1 2 + 2 3. h() = 2 4 + 3. 4. g() = 2 4 + 3 Eercice 3. Soient f la fonction inverse et g la fonction définie sur R par g() = 2 +5. Déterminer g f et f g (on précisera les ensembles de définition de ces fonctions). Eercice 4. Soit f la fonction définie sur R par f () = 22 + 1 2 Montrer que f est minorée par 1 et majorée par + 1 2. Eercice 5. Soit f la fonction définie par f () = 2 + 1 1 + 2 1. Donner l ensemble de définition de la fonction. 2. f est-elle minorée? majorée? bornée? Eercice 6. Résoudre les équations suivantes : 1. e = e 3 1. 2. e 3+6 = 4. 3. e 2 1 = 1. 4. e + 6e = 0. 5. ln() + 2 = 0. 6. ln() ln( 1) = 1. Eercice 7. Résoudre les inéquations suivantes : 1. 1 + 2ln() > 0. 2. ln() 2 < 4. 3. e 2e < 0. 4. 4/3 4. 5. e 2 e ( e + 3) > 0 Eercice 8. Soit f la fonction définie par f () = e2 1 e 2 + 1 1. Déterminer l ensemble de définition de f. 2. Étudier les variations de f. 3. Montrer que pour tout D f, f (2) = 2f () 1 + (f ()) 2 Eercice 9. Simplifier, pour > 0, ln() e ln()2 Eercice 10. Étudier la parité de la fonction f définie par f () = ln 1 + 1 Eercice 11. Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. + 2 = 3. 2. 2 1 = 1. 3. 3 + 4 > 2. 4. 2 + 1 4. 5. 2 = 3. 6. 6 + 5 > 6. Eercice 12. Montrer que pour tous réels,, + +. Eercice 13. Montrer que pour tout R, + 1 = + 1. Eercice 14. Montrer à l aide d une étude de fonctions que pour tout > 0, ln() 1. Lcée Gambetta-Carnot Page 17/18 2017 2018

Eercice 15. Étudier les variations, sur les ensembles de définition correspondants, des fonctions dont les epressions sont données par : 1. f () = + e 2+1. 2. g() = 2 ln(). 3. h() = ln() Eercice 16. n pose f () = 2. 4. i() = (ln())2 5. j() = e + e 2 6. k() = ln(). En déduire le signe de k. 1. Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2. n admet que f est dérivable sur D f. Donner l epression de f () pour tout D f. 3. En déduire les variations de f. Eercice 17. n considère la fonction f définie sur ]0,+ [ par f () = 2 + 10 16 2 1. (a) Montrer que pour tout réel strictement positif, on a (b) Etudier le signe de f () sur ]0,+ [. f () = 10 + 32 3 (c) En déduire les variations de la fonction f sur ]0,+ [. n ne cherchera pas à calculer certaines valeurs particulières de la fonction. 2. (a) Développer l epression ( 2)(3 2 + 6 + 32). (b) En déduire l ensemble des solutions de l équation f () = 3 2 Eercice 18. Pour tout entier naturel non nul n, on définit la fonction f n sur R par : 1. Étude de la fonction f 1. (a) Vérifier que pour tout réel, f 1 () = (b) Étudier les variations de f 1. f n () = 4 1 + 7e (c) Montrer que pour tout réel, 0 < f 1 () < 4. 4en e n + 7 (d) Donner une équation de la tangente à la courbe de f 1 au point d abscisse ln(7). (i) 2. Étude générale. (a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, le point de la fonction f n, notée C n. ( 0, 1 ) appartient à la courbe représentative 2 (b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, la courbe C n et la droite d équation = 2 ont un unique point d intersection dont on précisera l abscisse. (i). Rappelons que si f est une fonction dérivable en un point a alors l équation de la tangente à sa courbe au point d abscisse a est = f (a)( a) + f (a) Lcée Gambetta-Carnot Page 18/18 2017 2018