ENERGIE MECANIQUE. 1- Travail d'une force. Exemple du palan : le poids P est distribué sur les deux parties de la corde; il suffit donc de tirer avec une force P/2 sur la corde pour monter la masse à vitesse constante. Pour lever la masse d'une hauteur h il faut tirer la corde d'une distance 2h. Le produit force*déplacement est donc le même qu'avec une simple corde : P/2*2h = P*h. Ce produit est le travail. P/2 2h P h 1
Isolons la poulie inférieure, en coupant la corde en deux endroits et en remplaçant les parties de la corde enlevées par les tensions T g et T d. T g P T d Isolons à présent la poulie supérieure et une portion de corde.. La tension dans la corde est égale à T P/2 2
Pour une force constante et un déplacement rectiligne le travail de cette force est : Exemple f N a F P a 37 3
Chaque force exerce un travail pendant le déplacement d Le travail net est la somme des travaux, soit 1195 J, qui peut aussi se calculer comme le travail de la résultante des forces appliquées. 4
Dans ce cas : le travail moteur est celui que nous avons dû effectuer, le travail résistant est celui absorbé par le frottement et qui s est transformé en chaleur. Nous verrons plus loin que le travail net permet de donner une accélération au carton et se transformer en énergie cinétique. F Si varie sur un trajet donné, il faut couper le trajet en tronçons élémentaires : M F Mi M i M i+1 M 5
r i On définit le travail élémentaire en intégrant : La forme mathématique de cette intégrale le long d une courbe s appelle circulation du vecteur force sur la courbe. L unité du travail est le Joule : 1J = 1 N*m 6
2- Puissance Dans la vie quotidienne la vitesse avec laquelle un travail est accompli est un facteur important. La notion qui inclut la durée d'un travail est la puissance. La puissance moyenne nécessaire pour effectuer un travail W pendant une durée t est: La puissance instantanée est la limite de la puissance moyenne quand t tend vers zéro: L unité de la puissance est le Watt : 1w = 1 J/s 7
3- Théorème de l énergie cinétique. L énergie cinétique d une particule de masse m se déplaçant à une vitesse v est égale à Ce théorème est équivalent au principe fondamental de la dynamique : F m a 8
4- Energie potentielle, énergie mécanique. 4-1 Forces conservatives. Une force F est conservative si son travail, quand son point d'application se déplace de A à B, est indépendant du trajet et de la façon dont il est parcouru. Le travail ne dépend que de la force elle-même et des positions extrêmes. Exemple : force de gravitation Le travail du poids pour le chemin du point A vers le point B est : y M B (x 2, y 2 ) A (x 1, y 1 ) O m g x 9
- le travail dépend seulement de la hauteur (y 1 y 2 ) et non de la trajectoire suivie - le travail effectué par une force conservative est nul chaque fois qu'une particule se déplace suivant une trajectoire fermée qui la ramène à sa position de départ - le travail effectué par une force conservative est récupérable. Le travail effectué par une force non-conservative n'est pas récupérable (par exemple force de frottement). Le travail accompli par la force de gravitation est Quand on laisse tomber un corps d une hauteur h, il peut accomplir sur un autre corps ou système un travail égal à mgh. Cette capacité d'effectuer du travail est exprimée par la définition de l'énergie potentielle ( l'eau qui tombe d'une cascade ou qui descend dans une conduite forcée peut faire tourner une turbine et produire du courant électrique..). 10
En coordonnées polaires W m g f i m g.d OM W T f i T.d OM l T u dom dr u r r du m P u r 11
4-2 Energie potentielle L'énergie potentielle E p existe seulement pour une force conservative. Elle est définie par rapport à un point de référence, qui est choisi d'une façon arbitraire. La variation d'énergie potentielle d'un point matériel soumis à une force conservative est égale à l'opposé du travail effectué par la force. Pour une force parallèle à l axe des z se déplaçant sur cet axe ( problème à 1 dimension) Pour un problème à 3 dimensions : L équation vectorielle : 12
5- La conservation de l énergie mécanique Le théorème de l'énergie cinétique nous donne : La somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est appelée énergie mécanique L'énergie mécanique est conservée si la force nette appliquée à l'objet est conservative. Si l'on applique en plus une force non-conservative, on a 13
La variation de l'énergie mécanique est égale au travail de la force non conservative. 6- Equilibre Une particule est en équilibre en un point si la résultante forces auxquelles elle est soumise est nulle en ce point. des Soit au point considéré. E p A A et B sont des positions d équilibre. B z 14
. E p 1 er cas : La position d équilibre en A est stable. La fonction est croissante avec z. Par conséquent sa dérivée est positive. La condition d équilibre stable est donc de p dz f 0 0 A de p dz f 0 0 z 15
2 ème cas : La position d équilibre en A est instable. La fonction E p A est décroissante avec z. Par conséquent sa dérivée est négative. La condition d équilibre instable est donc : de p 0 dz f 0 de p 0 dz f 0 z 3 ème cas : Si la résultante des forces est nulle, en tout point. L équilibre est dit indifférent. 16