TUTORAT ELECTRONIQUE EN ANALYSE MATHEMATIQUE - TEAM

TUTORAT ELECTRONIQUE EN ANALYSE MATHEMATIQUE - TEAM 2010 Année scolaire 2010-2011 Cours / Exercices Auteurs de la Ressource Pédagogique Charnay Michel Dubois Gérard Jai Mohammed

Tutorat Electronique en Analyse Mathématique (TEAM) Avant-propos Ce tutorat électronique est constitué de cours de référence en analyse mathématique associés à des tests de connaissance. Même s il peut se révéler utile à un groupe plus large, ce tutorat est destiné à un public insalien bien déterminé : celui des admis directs 3 ème année, des DUT+3 et autres étudiants étrangers d échange. Il a été conçu pour combler des lacunes éventuelles en analyse, niveau 1 er cycle école d ingénieurs, ou pour se mettre à ce niveau, à partir de connaissances élémentaires en arithmétique car les mathématiques qui y sont proposées sont complètes et autosuffisantes. Les tests de connaissance permettent d assimiler les notions développées dans les cours de référence. Ils sont constitués, à partir d un chapeau introductif, d un questionnement sur le thème choisi avec réponses et explications le tout formant autant de problèmes, ou exercices, avec solutions commentées. Ces tests viennent aussi compléter les cours de référence qui comportent eux-mêmes maints exemples d illustration. Ce tutorat a pour ambition de contribuer à la formation, et l intégration en 3 ème année, d élèves ingénieurs en provenance de filières particulières conformément à une des missions historiques de l INSA voulues par le Recteur Capelle. Il a été créé par une équipe expérimentée connaissant bien les enseignements d un 2 ème cycle école d ingénieurs. Ce projet de cours électronique a démarré avec l aide de plusieurs ressources (type Bonus Qualité Formation), celle du Centre et du Laboratoire de Mathématiques. Il a ensuite été supporté pendant deux années par le Département Génie Electrique puis par la Direction de la Formation. Dorénavant le Centre de Mathématiques, devenu Pôle de Mathématiques, prend en charge le suivi et la gestion de ce tutorat avec l appui de la Direction des Systèmes d Information. Les auteurs (INSA-LYON, novembre 2008). Young men should prove theorems, old men should write books. G.H. Hardy (mathématicien britannique 1877-1947)

BIBLIOGRAPHIE Le cours de référence écrit dans le tutorat TEAM est le reflet des actions pédagogiques des auteurs à l INSA-Lyon, tant en premier cycle qu en Département d option. Ils ont été influencés par des ouvrages dont la caractéristique est d être auto-suffisants, bien ciblés, avec un modeste prérequis mais, néanmoins, amenant le lecteur pas à pas au niveau souhaité. Bien souvent, de tels ouvrages sont écrits par les anglo-saxons et rompent avec l esprit encyclopédique cher à Bourbaki. Ils s éloignent aussi de l esprit des classes préparatoires françaises dont le programme est imposé (à cause du concours) lequel s inscrit dans un cursus pédagogique bien déterminé. Nous donnons ciaprès des exemples de tels ouvrages. Parmi eux nous retiendrons plus particulièrement celui de Serge Lang (1927-2005) éminent pédagogue franco-américain qui a formé et influencé toute une génération de mathématiciens. P. BAXANDALL & H. LIEBECK Vector Calculus, Clarendon press. Oxford, 1986 R. BORRELLI and C. COLEMAN Differential equations. A modeling perspective, John Wiley & Sons Inc., 2004 J.D. DEPREE & C.W. SWARTZ Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons Inc., 1988 E. KREYSZIG Advanced engineering mathematics, John Wiley & Sons Inc., 1999 S. LANG Analysis I, Addison-Wesley Publishing Company, 1976 C. MOLER Numerical Computing with Matlab, Society for Industrial Applied Mathematics, 2008 M. REED Fundamental ideas of analysis, John Wiley & Sons Inc., 1998 Tout livre se nourrit non seulement des matériaux que lui fournit la vie, mais aussi et peut-être surtout de l épais terreau de la littérature qui l a précédé Julien Gracq in Préférences. Pourquoi la littérature respire mal, Corti, 1961

COURS D ANALYSE MATHEMATIQUE Chapitre 0 Préliminaires Version 2009 Année scolaire 2010-2011 Cours Auteurs de la Ressource Pédagogique Charnay Michel Dubois Gérard

Ì Ð Ñ Ø Ö ½ Ò Ñ Ð Ø ÓÒØ ÓÒ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÒÑ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ð Ñ ÒØ ¾ Ö Ò Ð ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÐÓ ÕÙ ½ ½½

½ ÆË Å Ä Ë Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÒÓÑ Ö ÒØÖÓ Ù Ø Ò Ð Ô ØÖ ½ ï½ ÕÙ ØÖ Ø ÔÖÓÔÖ Ø ÙÓÖÔ Ö Ð º ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÕÙ Ð Ð ÐÓ ÕÙ ÙÖÐ ÕÙ ÐÐ ÓÒ ³ ÔÔÙ ÔÓÙÖ Ö ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ºÈÓÙÖ ÐÐÙ ØÖ ÖÐ ÔÖÓÔÓ ÓÒ Ö ÓÙÚ ÒØ Ö Ö Ü ÑÔÐ ³ Ò Ñ Ð ÆÓÙ ÒØÖÓ Ù ÓÒ Ò ØØ Ô ÖØ Ð ÒÓØ ÓÒ ³ Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ò Ð Ð Ò³ ØÔ ÚÖ Ñ ÒØÙÒ Ò Ô ÖØÓÙØ ÙÐÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ÒÓÙ ÖÓÒ ½ ÔÔ Ð ØÖ ÓÙÚ ÒØ Ð³ ÒØÙ Ø ÓÒ Ø Ù ÓÒ Ò º Ò Ñ Ð Ø ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒÓØ ÐÓÖ x EºË x ØÙÒ Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð XÓÑÔÖ Ò ÒØÐ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÐØ Ð Ö ÙÒ ÓÒ Ò ÙÒ Ñ Ñ ÒØ Ø ÖØ Ò Ó Ø Ò Ø ÖÑ Ò ºÇÒ ÔÔ ÐÐ Ó Ø Ð Ð Ñ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð ºË E ØÙÒ Ò Ñ Ð ØxÙÒ Ð Ñ ÒØ E ÎÓ Ð Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ù ÓÖ ÆÌÇÊ ½ ¹½ ½ µ ÙÒ Ò Ñ Ð ÒÓÑÔÖ Ò ÓÒµºÈ Ö Ü ÑÔРг Ò Ñ Ð E Ù Ú ÒØ Ò Ò ÜØ Ò ÓÒ ÍÒ Ò Ñ Ð Ø Ò Ó ØÔ ÖÐ Ð Ø Ü Ù Ø Ú Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ø Ð ÓÐÐ Ø ÓÒ ³Ó Ø xôóùöð ÕÙ Ð Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒP(x) ØÚÖ ÓÒ ØÕÙ³ Ð Ø Ò P(x)}ÕÙ Ò Õ٠г Ò Ñ Ð E Ð Ô ÙØÕÙ xò³ ÔÔ ÖØ ÒÒ Ô E Ò ÓÒÒÓØ x / Ö ÔÖ ÒØ ØÓÙ Ð Ö ÙØ Ð Ò Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ö ºÈ Ö ÐÐ ÙÖ P(x)Ö ÔÖ ÒØ Ò Ò ÜØ Ò ÓÒµ Ó ØÔ ÖÐ ÒÓØ Ø ÓÒ Ò ÓÐ {x P(x)}ÓÙ{x ; Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÒÓÑ Ö ÒØ Öx ØÔ Ö ÐÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ô Ö Ø Ò ÒÓÑÔÖ Ò ÓÒÓÑÑ Ù Ø ÕÙ ÕÙ Ú ÙØ Ò ØÙÖ Ð ÓÑÑ ÙØÖ Ü ÑÔÐ ³ Ò Ñ Ð Ò Ò ÜØ Ò ÓÒ ÐÝ Ð³ Ò Ñ Ð N ÒØ Ö F F ÐÓÖ Õ٠г Ò Ñ Ð Q ÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒÒ Ð Ø Ò ÒÓÑÔÖ Ò ÓÒ N ÓÙ ÐÙ ÒØ Ö Ö Ð Ø Z T ØÐ ÙÖ ÒØ Ö¹ ÈÓÙÖ ÙÜ Ò Ñ Ð S ØT ÓÒÒ ÓÒ Ò ØÐ ÙÖÖ ÙÒ ÓÒ S Ø ÓÒ S T ÓÑÑ Ù Ø S ½ E {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {x E P(x)} {0, 2, 4, 6, 8}. {0, 1, 2, 3,...} {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} { m } Q n m Z, n Z, n 0. T {x x S ou x T } S T {x x S et x T }.

½ ÆË Å Ä Ë Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÆÓÙ ÖÓÒ Õ٠г Ò Ñ Ð S ØÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð T ÕÙ Ð Ñ ÒØ S Ø Ù T ÒÓÙ ÖÓÒ ÕÙ S Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ØÓÙ Ð Ò Ñ Ð ÚÓÕÙ ºÈ Ö Ü ÑÔÐ ÒÓÙ Ô ÖÐÓÒ ³ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ð ÓÙ ÒÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ Ò TºÇÒÒÓØ Ð³ Ò Ñ Ð Ò³ Ý ÒØÔ ³ Ð Ñ ÒØÔ Ö ØÓÒÓ ÖÚ ÕÙ ØÙÒ Ö Ø ÓÒÒ Ð Ð³ Ò Ñ Ð ÙÒ Ú Ö Ð ØR Ð ÓÖÔ Ö Ð º ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÖÐ Ò Ñ Ð ÒÓÙ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ ÐÝ ÙÒ Ò Ñ Ð ÙÒ Ú Ö ÐÕÙ ÓÒØ ÒØ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ØÓÙØ Ò Ñ Ð XºÊ Ñ ÖÕÙÓÒ ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ ÒÓÙ Ô ÖÐÓÒ ³ Ò Ñ Ð Ø Ò T ÙÕÙ Ð ÓÒ Ö ØS TºË S T ØS Ð Ñ ÒØ XÕÙ Ò ÓÒØÔ Ò S ³ Ø Ö C Øг Ò Ñ Ð Ë S ØÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð X Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ S Ò XÒÓØ S Ò Ô Ö S Ø S C {x X x / S}. Ä Ò Ø ÓÒ SC Ô Ò Ð³ Ò Ñ Ð XÕÙ ÓÒØ ÒØSºÈÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ T ØS ÓÒØ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ X Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ S Ò T ÒÓØ T\ ØÐ ÓÒ T T ÓÑÑ T Ë S ØT ÓÒØ Ò Ñ Ð ÓÒ Ò ØÐ ÙÖÔÖÓ Ù Ø ÖØ Ò ÒÓØ S Ð ÓÒØ Ö ÒØ ÒÓÒºÈ Ö Ü ÑÔÐ SÖ ÔÖ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð ØÓÙ Ð ÓÙÔÐ ÓÖ ÓÒÒ Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØ ÙÓÙÔÐ ÔÔ ÖØ ÒØS 4] Øг Ò Ñ Ð 4] ØÐ S Ò ÙÜÓÙÔÐ (x, y) Ø(x, y ) S T ÓÒØ ÒØ ÕÙ ³ ÐÝ ÒØ Ø ÒØÖ x Øx Ø ÒØÖ y Øy x = x Øy= y г ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÑ [2, 3] ØTг ÒØ ÖÚ ÐÐ ÖÑ [1, 4] ÐÓÖ [2, 3] [1, ÓÙÔÐ ÓÖ ÓÒÒ Ö Ð (x, y)ø Ð ÕÙ 2 x 3 Ø1 y 4º Ò [2, [1, Ö Ø Ò Ð ÙÔÐ ÒÖ Ð ÓÒØÐ ÓÑÑ Ø ÓÒØ(2, 1) (3, \ S {x X x T et x / S}. T {(s, t) s S et t T }. 3] 1) (2, 4) (3, 4)º 4 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000000000000 11111111111110000 1 0000 1111 Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒºËÓ ØS ØT ÙÜ Ò Ñ Ð ºÍÒ ÓÒØ ÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð 2º 0 2 3 TØ ÐÕÙ ÕÙ s S ÔÔ Ö Ø Ò Ë Ñ ÒØ Ò ÒØS ØTÖ ÔÖ ÒØ ÒØг Ò Ñ Ð R Ö Ð Ð ÔÖÓ Ù Ø ÖØ Ò S ØT ØÐ ÔÐ Ò ÙÐ ÒR R ÒÓØ ÒÓÖ R ¾ FÓÒ ÔÔ ÐÐ tð Ú Ð ÙÖ Ð SÚ Ö Ð³ Ò Ñ Ð T ØÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð F S ÙÔÐÙ ÙÒÓÙÔÐ ÓÖ ÓÒÒ FºÈÓÙÖ ÕÙ Ô Ö (s, t)

½ ÆË Å Ä Ë Ì ÇÆ ÌÁÇÆË Ä ÝÑ ÓÐ f ØÐ ÒÓÑ Ð Ö Ð ÕÙ Ò f(s)s ³ ØÐ ÒÓÑ Ð ÓÒØ ÓÒµ ÐÓÖ Ø ÒØ ÓÒ ÒØÖ F ØfºÄ³ Ò Ñ Ð F ØÐ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÓÙÔÐ ÓÖ ÓÒÒ Ø Ò f(s)ºçòö Ñ ÖÕÙ Ö Ð ÕÙ F Ø ÔÔ Ð Ð Ö Ô fºçòóòú ÒØ Ö ÔÖ ÒØ ÖÐ ÓÒØ ÓÒf Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ ÕÙ f(s) ØÐ ÒÓÑ Ù ÓÒ Ð Ñ ÒØ ÙÓÙÔÐ ÓÖ ÓÒÒ ÓÒØÐ ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØ Øsº ÓÒØ ÓÒ Òs Ø Ð ÒÓÑ Ð ÓÒØ ÓÒ ØfÒÓÙ Ö ÚÓÒ t = ³ ÔÔÐ Ø ÓÒf ÙÐ Ù ÓÒØ ÓÒº ÓÐ Dom(f) ØIm(f)ºÄÓÖ ÕÙ Ð ÓÑ Ò f Øг Ò Ñ Ð SØÓÙØ ÒØ ÖÓÒÔ ÖÐ } Ø ÔÔ Ð Ð³ Ñ fº Ò Ñ Ð ÖÓÒØ Ò Ô ÖÐ Ýѹ } Ø ÔÔ Ð Ð ÓÑ Ò f Øг Ò Ñ Ð S Ò Ø ÓÒ ºÄ³ Ò Ñ Ð {s (s, t) F {t (s, t) F ÕÙ Ö ÐsºÄ³ Ò Ñ Ð FÓÒ Ø ÒØÓÙ Ð ÓÙÔÐ ÓÖ ÓÒÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð Ð 2ÔÓÙÖ Ú ÆÓÙ ÖÓÒ ÕÙ f ØÙÒ ÓÒØ ÓÒ S Ò T ÔÓÙÖ Ò ÕÙ ÖÕÙ Ð ÓÑ Ò f ØÓÒØ ÒÙ Ò S Øг Ñ f ØÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð TºÆÓÙ ÖÓÒ Ù ÕÙ f ØÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖS Ú Ð ÙÖ Ò T ÔÓÙÖ Ò ÕÙ ÖÕÙ Dom(f) = S Ü ÑÔÐ ½ºËÓ ØÙÒ ÓÒØ ÓÒ R Ò R ÓÒÒ Ô ÖÐ ÓÖÑÙÐ f(s) = s 2 Ð Ñ ÒØ ³ ÙÔÐÙ ÙÒÓÙÔÐ ÓÖ ÓÒÒ ÙÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ÕÙ s Dom(f)Ð ÓÒØ ÓÒ Ä Ò Ø ÕÙ Ò Ð Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ s ÔÔ Ö ÓÑÑ ÔÖ Ñ Ö 2 ØÐ Ö Ô fº ÓÖÑ (s, s 2 2) ³ Ø Ö F Ð Ö Ô f Ò Ü Ø Ñ ÒØÙÒÔÓ ÒغÁ Ð ÓÑ Ò f ØR Øг Ñ f ØÐ 2ÓÙÔ Ø Ò Ñ Ð F ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÙÔÐ ÒR Ü Ø Ñ ÒØÙÒ Ú Ð ÙÖº Ò Ð Ð Ò Ú ÖØ Ð Ô ÒØÔ ÖÐ ÔÓ ÒØ(s, 0) R ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð [ 2, + ) Im(f) Tº f T s t = f(s). = { (s, s 2 2) s R }. {x R 2 x}º f(s) = s 2-2 1 1-2 2 2

½ ÆË Å Ä Ë Ì ÇÆ ÌÁÇÆË ÔÓÙÖs>0ºÇÒ ÙÔÔÓ ÓÒÒÙ Ð ÓÒØ ÓÒÐÓ Ö Ø Ñ Ò Ô Ö ÒÙØ Ð Ò Ð Ò Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ ¾ºËÓ ØfÐ ÓÒØ ÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð R Ò R Ò Ô ÖÐ ÓÖÑÙÐ f(s) = ØÐ Ö Ô Ð ÓÒØ ÓÒÐÓ Ö Ø Ñ Ò ØÙÖ ÐºÄ ÓÑ Ò Ð ÓÒØ ÓÒÐÓ Ö Ø Ñ Ø f(s)º ÐÐ Ö Ò ÔÐÙ ÐÓ Ò Ò Ð Ô ØÖ ½º Ò Ø Ü ÑÔÐ ÓÒ S= T ØÐ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð F S fö ÔÖ ÒØ ¹ ÔÖ º RºÌÓÙØ ØÖ ÙÑ Ò Ð Ö Ô Ð ÓÒØ ÓÒ + ) Øг Ñ f ØRØÓÙØ Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØÔÓ Ø Dom(f) = ]0, ÒØ Ö º Ô ØÖ ½ ï µ Im(f) = T = R 2Ø ÐÕÙ F = {(s, ln(s)) s R et s > 0} ln(s) = R f(s) = ln(s) 1 0 1 e=2,718... Ô ÙØ ØÖ ÐÐÙ ØÖ Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ ÙÒ Ð Ñ ÒØ S Ø c} Ø Ü ÑÔÐ ºÇÒÓÒ Ö Ð Ò Ñ Ð S ØT Ò Ò ÜØ Ò ÓÒÔ ÖS= {a, b, T = {α, β, γ, δ, ε, ζ}ºä ÓÒØ ÓÒf S Ò T Ò Ô Öf(a) = f(b) = α f(c) = ζ г Ð Ñ ÒØ TÕÙ ÐÙ Ø Ó Ô Öf Ø ÒØÑ Ø Ö Ð Ô ÖÙÒ S T x α a b x γ c x δ Á Dom(f) = S ØIm(f) = {α, ζ}º x β xζ x ε

½ ÆË Å Ä Ë Ì ÇÆ ÌÁÇÆË Ü ÑÔÐ ºÄ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÙÖг Ò Ñ Ð R Ò R Ö Ð ÓÒØ Ò Ô Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ R ÐÐÙ ØÖ ÓÑÑ Ù Ø RÙÒ Ú Ð ÙÖÖ ÐÐ Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ó ÒØÙÒÓÙÔÐ ÓÖ ÓÒÒ R + R R R (a, b) a + b R R R R (a, b) a b ou ab 1 (2, 1) (+) ( ) 0 1 2 3 R ÆÓÙ ÚÓÒ Ò Ú ÑÑ ÒØ Dom(+) = Dom( ) = R R ØIm(+) Im(f) ÐÒ³Ý ÕÙ³ÙÒ ÙÐ = Im( ) = Rº fñ Ø Ò Ø ÓÒÐ Ò Ñ Ð S ØTº t ÐÓÖ ÒÓÙ ÖÓÒ ÕÙ f Ø Ò Ø Ú ºË f ØÐ Ó Ò Ø Ú Ø Ò Ø ÓÒ ºËÓ ØfÙÒ ÓÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ò Ñ Ð SÚ Ö Ð³ Ò Ñ Ð TºË Im(f) = ÒÓÙ ÖÓÒ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÙÖ Ø Ú ºË ÔÓÙÖ ÕÙ t 2 г Ü ÑÔÐ ½Ò³ ØÔ ÙÖ Ø Ú ÔÙ ÕÙ ÓÒ Ñ Ø S ÓÒ Ö ÕÙ s SØ ÐÕÙ f(s) ÙÖ Ø Ú ÓÒ Ö ÕÙ³ ÐÐ Ø Ø Ú ÓÙÕÙ³ ÐÐ Ñ Ø Ò Ø ÓÒÐ Ò Ñ Ð Dom(f) ØTÓÙÕÙ f ØÙÒ Ø ÓÒ Dom(f) ÙÖTº ÔÐÙ Dom(f) = ÓÒØ ÓÒÐÓ Ö Ø Ñ Ø ÓÒÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð ln(x) г Ü ÑÔÐ ¾ Ø ÙÖ Ø Ú ÖÔÓÙÖ Ö Ð ¼µ ÙÖ ÓÒ Ñ Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ð µº )µ Ð Ò ÓÙÐ ÕÙ³ ÐÐ Ø Ò Ø Ú º ØØ tº ÔÐÙ ÓÑÑ ÐÐ Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ä ÓÒØ ÓÒf(x) = x 2 ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÔÖÓÔÖ Ø ³ Ò Ø Ú Ø ÔÓÙÖÙÒ ÓÒØ ÓÒ ØÕÙ³ ÐÐ Ô ÖÑ Ø Ò Ö Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [ 2, + ) RºÄ ÓÒØ ÓÒf(x) Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÒØ ÓÒÖ ÔÖÓÕÙ ºËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ f Ó ØÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ú ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÕÙ t R Ð Ü Ø ÙÒÖ Ðs>0Ø ÐÕÙ ln(s) ÖÓ ÒØ s 1 < s 2 ÑÔÐ ÕÙ ln(s ) < ln(s ÓÒØ ÓÒ TÚ Ö S ÓÒØÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒ ØIm(f) ØØ ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ÕÙ 1 ÔÔ Ð ÓÒØ ÓÒÖ ÔÖÓÕÙ f ÓÑÑ Ð 2 SÚ Ö ÙÒ Ò Ñ Ð TºÆÓÙ Ò ÓÒ f = = = 1 T

½ ÆË Å Ä Ë Ì ÇÆ ÌÁÇÆË Im(f)ÒÓÙ ÚÓÒ tºä ÓÒØ ÓÒ Dom(f)ÒÓÙ ÚÓÒ t Im(f) Ð Ú Ð ÙÖ f 1 Òt ØгÙÒ ÕÙ Ð Ñ ÒØs SØ ÐÕÙ f(s) = f Øf 1 ÓÒØ ÒÖ Ð Ø ÓÒÓÑÑ Ù ØºÈÓÙÖ ÕÙ t ÓÖ Ò ÐÐ fº 1 ØÐ ÓÒØ ÓÒ ØÔÓÙÖ ÕÙ s ÁÐ ØÐ ÖÕÙ f 1 Ø Ù Ò Ø Ú ØÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒÖ ÔÖÓÕÙ f f(f 1 (t)) = t f 1 (f(s)) = s. S f T s t = f(s) Ô Ö Rº Ò ÐÝ ÔÐÙ ÙÖ Ñ Ò Ö Ö ÕÙ Ö ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒØ ÓÒ Ô ÖØ Ö Ä ÔÐÙÔ ÖØ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ³ÓÒÓÒ Ö Ö Ô ÖÐ Ù Ø ÓÒØ ÓÒØ ÓÒ R Ò g f 1 ÙÖÐ ÓÑ Ò ÆÓÙ Ò ÓÒ Ð ÔÖÓ Ù Ø ÓÒØ ÓÒ f Øg fg Ô Ö ÙÜ ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ f ØgºÆÓÙ Ò ÓÒ Ð ÓÑÑ ÓÒØ ÓÒ f Øg f+ (f + g)(x) f(x) + g(x) ÙÖÐ Ñ Ñ ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒÕÙ ÔÖ ÑÑ Òغ Ò Ò ÒÓÙ Ò ÓÒ Ð ÓÑÔÓ¹ Dom(f + g) Dom(f) Dom(g). (fg)(x) f(x)g(x) ÙÖÐ ÓÑ Ò Ò Ø ÓÒ fò Ö ÔÖ ÒØ ÒØÔ Ð Ñ Ñ ÓÒØ ÓÒÓÑÑ Ð³ ÐÐÙ ØÖ Ð³ Ü ÑÔÐ ¹ ÔÖ º g Òx ÒÓÙ ÐÙÐÓÒ ³ ÓÖ Ð ÒÓÑ Ö g(x) Ø Ò Ù Ø g) ØÕÙ x Ó Ø Dom(f g) {x R x Dom(g) et g(x) Dom(f)}. Ò ÔÓÙÖ ÐÙÐ ÖÐ Ú Ð ÙÖ f ÒÓÙ ÐÙÐÓÒ f(g(x))ºä Ö ÓÒ Ð³ ÜÔÖ ÓÒÓÑÔÐ ÕÙ Dom(f ØÖ Ò Dom(g) Øg(x) Ò Dom(f)ÔÓÙÖÕÙ f g(x) ØÙÒ Ò ºÆÓØÓÒ ÕÙ f g Ø ÓÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Øg ÒÓØ f g Ô Ö f g(x) f(g(x)) Øg

¾ Ê ÁÆ Ä ³ÍÆ ÆË Å Ä sin(x) ÓÒ ÙÔÔÓ ÓÒÒÙ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Dom(f)ºÁÐ Ò ÓÙÐ ÕÙ 0} Ø ¹ g Ø Ü ÑÔÐ ºËÓ ØfÐ ÓÒØ ÓÒf(x) = x Ú Dom(f) 1 = {x R x Ò ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒgÔ Ög(x) Ø = ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ ÒÙ µºä ÓÑ Ò g ØRØÓÙØ ÒØ Ö ØÐ ÓÑ Ò f г Ò Ñ Ð Ö Ð xø Ð ÕÙ g(x) 0ÔÙ ÕÙ 0 ³ÙÒ ÙØÖ Ø ÔÙ ÕÙ sin(x) Ø Ò ÙÖØÓÙØR ÓÒ Ú f fò Ö ÔÖ ÒØ ÒØÔ Ð Ñ Ñ ÓÒØ ÓÒ º ÇÒÚÓ Ø ÒÕÙ f ¾ Ö Ò Ð ³ÙÒ Ò Ñ Ð g Øg Ê ÙÐØ Ø¾º½ºËÓ ØS T ØU Ò Ñ Ð ºË S ØTÓÒØÐ Ñ Ñ Ö Ò Ð Ø T Ø Ò Ð ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒfÕÙ Ñ Ø Ò Ø ÓÒÐ Ò Ñ Ð S ØTº ÙÜ Ò Ñ Ð S ØTÓÒØÐ Ñ Ñ ÒÓÑ Ö ³ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÒÓÖ Ð Ñ Ñ Ö ¹ UÓÒØ Ð Ñ ÒØÐ Ñ Ñ Ö Ò Ð Ð ØÐ ÖÕÙ S ØUÓÒØ Ù Ð Ñ Ñ Ö Ò Ðº uºè Ö Ò Ø ÓÒS ØTÓÒØ ÓÒÐ Ñ Ñ Ö Ò Ðº U Ð Ü Ø Ô Ö ÝÔÓØ ÙÒÙÒ ÕÙ t TØ ÐÕÙ f Ø ÙÖ Ø Ú S ÙÖUº SØ ÐÕÙ ÈÖ ÙÚ ºË f ØÐ Ø ÓÒ S ÙÖT Øg ÐÐ T ÙÖU Ð ÓÒØ ÓÒg Ú ÑÑ ÒØÙÒ Ø ÓÒ S ÙÖUº Ò ØÓÒ Dom(g f) T ØIm(g f) = U = Im(g)Ô Ö ÝÔÓØ º ÓÒg ÐÐ Ø Ù Ò Ø Ú u g(t) = u ØÙÒÙÒ ÕÙ s SØ ÐÕÙ f(s) t ³Ó г Ü Ø Ò ³ÙÒÙÒ ÕÙ s g f(s) = g(f(s)) = g(t) = S / Dom(f g) = R \ {0, ±π, ±2π,...} g(x) = 1 sin(x). Dom(g f) = {x R x 0} ( ) 1 g f(x) = sin. x = S = Dom(f) Im(f) = = f T g U g f

¾ Ê ÁÆ Ä ³ÍÆ ÆË Å Ä Ò Ò º ØØ Ò Ø ÓÒ ÓÖÑ Ð ÕÙ ÒÓÙ ÓÒ ØÙ ÐÐ Ñ ÒØÕÙ Ò ÒÓÙ ÚÓÙÐÓÒ ÍÒ Ò Ñ Ð Ø ÔÔ Ð Ò ³ Ð ØÒÓÒÚ Ø ³ Ð Ð Ñ Ñ Ö Ò ÐÕ٠г Ò Ñ Ð n}ôóùöùò ÖØ Ò ÒØ ÖÒ ØÙÖ ÐÒÓÒÒÙÐnº Ò Ð ÓÒØÖ Ö Ð Ø ÔÔ Ð n Ù ÕÙ³ ÔÙ Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð n Ø ÐÓÖ Ð Ø ÐРг Ò Ñ Ð Ò µº ÉÙ³ Ò Ø¹ Ð Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÕÙ Ò Ð Ø Ò Ò ³ ØÙÒ Ù Ø Ð ØÕÙ ÒÓÙ Ø ÖÑ Ò ÖÐ Ø ÐÐ ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÒÓÙ ÓÑÔØÓÒ º ³ Ø Ö ÕÙ ÒÓÙ Ö Ð ÓÒ. {1, 2, 3,..., г Ò Ñ Ð ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð ÔÓ Ø º ÝÓÒ ³ ÓÖ ÖÑ ÒØ Ò Òغ ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ú ÒØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð ØÐ ÒØ Ö ½ ¾.. ÑÓÒØÖ ÖÕÙ Z Ø ÒÓÑ Ö Ð º Ò Ø Ð Ø Ð Ú Ö ÖÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒf Ò ÇÒ Ö ³ ÓÖ ÕÙ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ò Ò Ø ÒÓÑ Ö Ð ³ Ð Ð Ñ Ñ Ö Ò ÐÕÙ N Ü ÑÔÐ ½ºËÓ Øг Ò Ñ Ð ÒØ Ö Ö Ð Ø Z = Ð ÒØ Ö Ò Ø ÓÙÒÙÐ Z ÙÖÐ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð ÑÔ Ö º ÙÖÐ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ô Ö Ø ÙÖZ Ø ³ Ñ N Ø ÐÐ ÕÙ f(n) = 1 2n n ØÙÒ Ø ÓÒ Z ÙÖN ÕÙ ÒÚÓ Ð ÒØ Ö N { 2n n 1 0 {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}ºÆÓÙ ÐÐÓÒ 4 3 2 1 0 2 4 6 8 ÓÒØ ÒÙ Ò Zº Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ 1 3 5 7 ÆÓØÓÒ ÕÙ ÐÓÒÐ Ò Ø ÓÒ Z ØN ÓÒØÑ Ñ Ö Ò Ð ÐÓÖ ÕÙ N Ø ÒÓÑ Ö Ð º ÙÖTºÄ Ê ÙÐØ Ø¾º¾ºË S ØÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Ò Ò ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ð T ÐÓÖ S ÈÖ ÙÚ ºÄ³ Ò Ñ Ð T Ø ÒØ ÒÓÑ Ö Ð Ð Ü Ø ÙÒ Ø ÓÒf N kð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ Ö 1Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ Ö 1Ø ÐÕÙ Ð Ñ ÒØ S ÓÒØÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð T = {f(n) n N }ºËÓ Øn Ò N Ø ÐÕÙ f(n 1 ) SºÈÙ ÔÓ ÓÒ n 2Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ ÖÔÐÙ Ö Ò ÕÙ n f(n 2 ) Sº ÒÓÒØ ÒÙ ÒØ Ò Ò Ñ ÒØ ØØ Ñ Ò Ö ÓÒ Ò Øn ÔÐÙ Ö Ò ÕÙ n k 1Ø ÐÕÙ f(n ÙÖSºÁÐ ³ Ò Ù ØÕÙ S Ø ÒÓÑ Ö Ð º SºÁÐ Ø Ð Ú Ö ÖÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒg Ò Ô Ö k ) k N g f(n k ) S ØÙÒ Ø ÓÒ N

¾ Ê ÁÆ Ä ³ÍÆ ÆË Å Ä Ø Ù ÒÓÑ Ö Ð º TÚ Ð ÙÖ Ò g(m))ôóùö ÙÖ Ê ÙÐØ Ø¾º ºË S ØT ÓÒØ Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ð ÐÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ù ØS T ÈÖ ÙÚ ºÈÙ ÕÙ S ØT ÓÒØ ÒÓÑ Ö Ð Ð Ü Ø Ø ÓÒ f Øg N È ÖÐ Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ º ¹ ÔÖ µ h ÓÒÒ ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ¹ Ø ÐÐ ÕÙ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØS ØTº ÕÙ Ð Ñ ÒØ S T Ø Ð ÓÖÑ (f(n), Ú Ð ÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö n Øm N ºËÓ ØhÐ ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖS Ø ÒÓÑ Ö Ð º ºË ÐÓÒÐ Ê ÙÐØ Ø¾º¾ Ø Ð³ Ò Ñ Ð N (f(n), Ò Ø Ú ÒØÖ S T ØÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Ò Ò N Ò Ñ Ð Ò Ò Ø ÒÓÑ Ö Ð º Ò Ö ÙÊ ÙÐØ Ø¾º½ ÒÓÙ ÓÒÐÙÓÒ ÕÙ S ÆÓÙ ÚÓÒ Ù Ó Ò Ò Ð Ö ÙÐØ ØÔÖ ÒØ ÙÌ ÓÖ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ö Ø Ñ ¹ ÔÖ Ñ ÖÓÑÑ ÙÒ ÒØ ÖÒ ØÙÖ ÐÔÐÙ Ö Ò ÕÙ ½ÕÙ Ò³ Ô Ú ÙÖ ÙØÖ ÕÙ ½ Ø ÕÙ ÕÙ ÒÓÙ ÓÒÒÓÒ ÔÖ ÒØ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº Ò ÓÒ ³ ÓÖ ÙÒÒÓÑ Ö Ì ÓÖ Ñ ¾º Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ µº ÕÙ ÒØ ÖÒ ØÙÖ Ð ØÐÙ ¹Ñ Ñ ºÍÒ ÙØ Ð Ð Ø ÓÖ ÓÒÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ø¾ ½½ ½ ½.º ØÖ Ø Ñ ÒØÔÓ Ø Ú ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö 2Ô ÙØ ØÖ Ö Ø ÓÒÙÒ ÕÙ ÓÑÑ ÙÒÔÖÓ Ù Ø Ò ÔÙ Ò ÒØ Ö ½ ¾.. ÔÓ Ø N Ö Ø ÓÒÒ Ð Ø ÒÓÑ Ö Ð º ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö º Ì ÓÖ Ñ ¾º ºÄ³ Ò Ñ Ð Q ÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒÒ Ð Ø ÒÓÑ Ö Ð º ÒÙØ Ð ÒØÐ Ö ÙÐØ Ø ÔÖ ÒØ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÑÓÒØÖ ÖÕ٠г Ò Ñ Ð Q ÒÓÑ Ö 2 س ØÐ ÙÐ ÓÒ Ð³ Ö Ö Ú È Ö Ü ÑÔРг ÒØ Ö½ Ø Ð ÙÔÖÓ Ù Ø21 3 f Ò Ô Ö n Ø ÒØ ÖÖ ÙØ Ð m ØnÒ³ÓÒØÔ Ø ÙÖÓÑÑÙÒµºÄ ÓÒØ ÓÒ ÈÖ ÙÚ º ÕÙ ÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒÒ ÐÔÓ Ø Ô Ùع ØÖ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ m n Ú m n N Øn 0 Ð Ö Ø ÓÒm Ó Ø Ò Ò ÒÓÑ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ñ µº Ò Ñ Ð Ò Ò ÒÓÑ Ö Ð ÓÑÑ Ö ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ò Ñ Ð ÓÒØ ÙÒ Ø Ó Ø Ò Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ø ÓÒÒ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØÒ Ø + г Ò Ñ Ð Ö Ø ÓÒÒ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØÔÓ ¹ + Ø ÒÓÑ Ö Ð º Ò ÔØ ÒØÙÒ Ø ÒÓÑ Ö Ð ºÊ ÙÐØ Ø + ³ ØÙÒ ÓÒÒ ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ú ÒØÖ Q Ø ØÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Ò Ò N N ºÈÙ ÕÙ N N ¾º µ Ð Ê ÙÐØ Ø ¾º½ ؾº¾ÒÓÙ ÙÖ ÒØÕÙ Q Ô Ù ÓÒÑÓÒØÖ Ð Ñ Ñ ÓÒÕÙ Q Ø ÒÓÑ Ö Ð ºÈÙ ÕÙ QÔ ÙØ ØÖ Ö ØÓÑÑ Ð Ö ÙÒ ÓÒQ {0} Q g(m)) N = p s 1 m n 1 p s 2 f h 2 n 3 m. 2... p sn n. (m, n) T

¾ Ê ÁÆ Ä ³ÍÆ ÆË Å Ä ÌÓÙ Ð Ò Ñ Ð Ò Ò ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÓÒ Ö Ù ÕÙ³ ÓÒØ ÒÓÑ Ö Ð ºÁÐÒ³ Ò ½ºÄ³ Ò Ñ Ð S ØÙÒ Ò Ñ Ð Ò Ò ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð º Ú Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ò ÓÑÑ Ð ÔÖÓÙÚ Ð Ø ÓÖ Ñ Ù Ú ÒØÕÙ Ô ÙØÔ Ö ØÖ ÙÖÔÖ Ò Òغ 1[г Ò ÑÐ ÒÓÑ Ö Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØÓÑÔÖ ÒØÖ ¼ Ø Ò ØØ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒ ÖÒ ÒØÐ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ ¹ Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð ÕÙ ÒÓÙ ÒØÖÓ Ù ÖÓÒ Ù Ô ØÖ ½ ｺ ÕÙ Ö Ðx г ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒØ Ö ÒØ Ø ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØSº Ì ÓÖ Ñ ¾º ºËÓ ØS=]0, ÕÙ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ ÐÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒÒÓÑ Ö Ö Ð Ö ÒØ Ü ÔØ ÔÓÙÖÐ ÈÖ ÙÚ ºÊ Ñ ÖÕÙÓÒ ³ ÓÖ ÕÙ SÒ³ ØÔ Ò ÖØÓÙ Ð Ö Ð Ð ÓÖÑ 1 Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò ÒØÔ Ö ¼ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÒÓÑ Ö ÕÙ Ô ÙÚ ÒØ Ù i ÒØ ÖÓÑÔÖ ÒØÖ ¼ Ø º [0, 1] ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ðx=0, 1 x 2 x 3 2Ô ÙØ... Ú x Ò Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ð f(n)º ³ Ø Ö 1[ Ø ÒÓÑ Ö Ð º jð ¹ Ñ ÒØ Ö Ö ÔÖ ÒØ ÖÔ ÖÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØÔ Ö ºÈ Ö Ü ÑÔÐ 1 ØÖ Ö Ø0, 5000 Ä ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÔ Öг ÙÖ ï µºçò ÙÔÔÓ ÕÙ ]0, ÐÓÖ Ò Ð Ü Ø ÙÒ Ø ÓÒf N ÙÖ]0, 1[ºÆÓØÓÒ x.º x...óù0, 4999.. f(1) = 0, x (1) 1 x (1) 2 x (1) 3... x (1) (n) j... f(2) = 0, x (2) 1 x (2) 2 x (2) 3... x (2) j... n n N º= f(n) = 0, x (n) 1 x (n) 2 x (n) 3... x (n) j... Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ð 2º ÒÓÒØ ÒÙ ÒØ ØØ º= ÆÓÙ Ø ÖÑ ÒÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØÙÒ Ù Ø ³ ÒØ Ö y 1 y nºä y ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒÙÒ ÕÙ ÒÓÑ Ö Ö ÐÓÑÔÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÒØÖ ¼ ؽÔÙ ÕÙ³ ÐÒ Ø ÖÑ Ò 1ÓÑÑ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÒØ Ö ÒØÖ ¾ Ø ÕÙ Ò³ ØÔ Ðx (1) Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÒØ Ö ÒØÖ ¾ Ø ÕÙ Ò³ ØÔ Ðx (2) ÓÒÓÒ Ó Øy n ÐÒ³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÒØ Ö ÒØÖ ¾ Ø ÕÙ Ò³ ØÔ Ðx (n) f(2)ôù ÕÙ ÓÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ð Ö ÐÙ f(2) Ò ÙÜ Ñ ÔÓ Ø ÓÒº Ò Ô Ö ¼Ò Ô Ö º Ô Ò ÒØyÒ³ ØÔ Ðf(1)ÔÙ ÕÙ Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ð y Ö ÐÙ f(1) ÒÔÖ Ñ Ö ÔÓ Ø ÓÒºÈ Ö ÐÐ ÙÖ yò Ô ÙØ ØÖ Ð y 0, y 1 y 2...y n... ÓÒyÒ Ô ÙØ ÔÔ ÖØ Ò Öг Ñ fºæóù ÓÙØ ÓÒ ÓÒÙÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÒÓÒØ ÒÙ ÒØ ØØ ÓÒÓÒÓÒ Ø Ø ÕÙ y Ö Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ðf(n) n N.ÓÑÑ Ù ØºÇÒ Ó Ø 2 Ð 2 y 3.. 1ºÇÒ Ó Øy 1[Ò³ ØÔ ÒÓÑ Ö Ð º 1[ºÁÐ Ò ÓÙÐ ÕÙ³ÙÒ Ø ÐÐ Ø ÓÒfÒ ÔÙ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Im(f) =]0, Ô ÙØ Ü Ø Ö ØÕÙ ]0, ½¼

ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆË ÆÅ ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ì Ä Å ÆÌË ÄÇ ÁÉÍ ÍÒ Ò Ñ Ð Ò Ò ÕÙ Ò³ ØÔ ÒÓÑ Ö Ð Ø ØÒÓÒ¹ ÒÓÑ Ö Ð ÓÙÕÙ³ Ð Ð ÔÙ Ò ÙÓÒØ ÒÙ ÓÑÑ ÓÒ ØÕÙ Z Q ØNÓÒØÐ ÔÙ Ò Ù ÒÓÑ Ö Ð µº 1[ R Ø Ù ÒÓÒ¹ ÒÓÑ Ö Ð º Ò ØRÔ ÙØ ØÖ Ñ tan(x) Ò 1[ ØRÓÒØÐ Ñ Ñ ÔÙ Ò ÐÐ ÙÓÒØ ÒÙº [ºÄ Ö Ô fñóòøö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒØ Ò ÒØ ØÙÒ Ø ÓÒ 1[ ØRº Ò ÈÙ ÕÙ RÓÒØ ÒØг ÒØ ÖÚ ÐÐ ]0, Ò Ø ÓÒ Ú Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ]0, 1[º Ò Ø ÓÒ ÖÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒf(x) = ÙÖг ÒØ ÖÚ ÐÐ ] π, π 2 2 ] π, π [ ÙÖRºÈÙ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒg(x) πx π 2 ØÙÒ Ø ÓÒ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ ]0, 2 2 ÙÖ] π, π[ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒf g ÓÒÒ ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ú ÒØÖ ]0, 2 2 ÓÒ ÕÙ Ò ]0, = 1[ f(x) = tan(x) π 2 0 π 2 x ÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒÒ Ð Q Ø ÒÓÑ Ö ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð ØÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒÒ Ð ÓÖÑ ÒØÙÒ ÇÒ ØÔÖ ÑÑ ÒØÕÙ³ÙÒ Ö ÙÒ ÓÒ Ò ³ Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ð Ø ÒÓÑ Ö Ð º Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ð Ø Ñ Ð Ø ÐÐÙ ØÖ Ô Öг Ü ÑÔÐ ½ºÈÙ ÕÙ R ØÐ Ö ÙÒ ÓÒ f (x) = 1 + tan 2 (x) Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ð Ð ÒÓÑ Ö ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð ÓÒØÒ Ö Ñ ÒØÒÓÒ¹ ÒÓÑ Ö Ð º Ò Ò ÐÝ ÙÓÙÔÔÐÙ ÒÓÑ Ö ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð ÕÙ ÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒÒ Ð º ÌÓÙØ Ð ÒÓØ ÓÒ Ú ÐÓÔÔ Ò ØØ Ô ÖØ ÓÒØ Ø ÒØÖÓ Ù Ø Ô Ö ÓÖ ÆÌÇÊ ½ ¹½ ½ µ Ù Á Ñ Ð º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÒÑ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ð Ñ ÒØ ÕÙ Ò ÓÒ ÙØ ÒÑ Ø Ñ Ø ÕÙ ºËÓÙÚ ÒØÙÒÖ ÙÐØ ØÓÙØ ÓÖ Ñ Ô ÙØ ØÖ ÑÓÒØÖ ÐÓ ÕÙ ÔÐÙ ÙÖ ÓÒ ØÓÒØ Ö Ö ÙÓÙÔ ÔÖÓ ØÓÑÔ Ö ÖÔÐÙ ÙÖ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÒØÖ ÐÐ ºÄ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÖÖ Ø Ø Ð ÒØ Ø ÔÔÖ Ò Ö Ø Ð Ö ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÓÙÔÖ ÙÚ ØÙÒ Ø Ô Ò Ô Ò Ð ÙÒØÖ Ú Ð Ð ÕÙ Ò Ø Ð Ö Ü ÓÒ ØÕÙ ÔÔÓÖØ ÙÓÙÔ Ø Ø ÓÒ ½½

ÄÇ ÁÉÍ ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆË ÆÅ ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ì Ä Å ÆÌË ÕÙ Ò Ð ØÖ Ù º ÍÒ ÒÓÒ ØÝÔ Ø ÓÖ Ñ ÓÒ Ø ÒÙÒ Ò Ñ Ð P Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÝÔÓ¹ Ø ÓÖ Ñ Ö Ú ÒØÔÖÓÙÚ Ö ØØ ÑÔÐ Ø ÓÒÐÓ ÕÙ ºË Ð ÔÖ ÙÚ Ø Ø Ð ÓÒ Ø Ò Ð Ð Ö Ø ÓÒ Q ÓÒØÚÖ Ð Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒQ ØÚÖ µº Ø ÑÓÒØÖ ÖÐ Ø ØÙÒ Ò Ñ Ð Q Ð Ö Ø ÓÒ ÔÔ Ð ÓÒÐÙ ÓÒ ºÄ³ ÒÓÒ ÙØ ÓÖ Ñ ØÕÙ Ð Ð Ö Ø ÓÒ P ÓÒØÚÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒP ØÚÖ µ ÐÓÖ Ð ³ Ò Ù ØÕÙ Ñ ÒØ ØØ ÓÖÑ ºÉÙ ÐÕÙ Ó ÙÒ ÒÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÒØ ÒØÕÙ Ð ÓÒÐÙ ÓÒ Qº QµºÄ Ê ÙÐØ Ø ¾º½ ¾º¾ ؾº ÓÒØ Ü Ø ¹ ÔÓÙÖÐ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ð ÝÔÓØ ÒÓÒ Ö Ø ÓÒØ ½µÐ ÒÓÑ Ö Ö Ð Ø ÓÒØÐ ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ò ÓÒØÙÒÓÖÔ ÓÑÑÙØ Ø Ô ØÖ ½ 1.µ ¾µQ Øг Ò Ñ Ð ³ ØÐ ÔÓÙÖÐ Ì ÓÖ Ñ ¾º ØÐ Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ º ³ Ø ÔÓÙÖ Ö ÓÙÖØÕÙ Ò ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð Ð Ø ÙÖÓÒÒ ØÐ ÝÔÓØ PºÈ Ö Ü ÑÔÐ Ö ÙÑ ÕÙ P ÑÔÐ ÕÙ Q ØÓÒÒÓØ P г ÒÓÒ Ù ØØ ÝÔÓØ Ø¹ ÐÐ ÑÔÐ Ø ºÄ ÓÒ ÝÔÓØ Ò³ Ø ÙØÖ ÕÙ Ð Ð Ð Ø ÝÔÓØ ÕÙ Ø ÓÖ Ñ ØØ Ô ÖØ ÙÓÙÖ Ñ Ð ÐÓÙÖ Ö Ø Õ٠гÙÒ ÓÙг ÙØÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ØÚÖ ºÁÐ ÖÑ ÙÐ Ñ ÒØÕÙ P ØÚÖ ÁÐ ØØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ ÖÕÙ³ÙÒØ ÓÖ Ñ ÕÙ ÖÑ ÕÙ P ÑÔÐ ÕÙ QÒ³ ÖÑ Ô Ò Ø ÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð Qº ºÄ ÔÖ Ñ Ö ÝÔÓØ ÔÓÙÖÖ Ø ÙÖ Ö Ò Ö Ð Ð ÓÖÑ m ÐÓÖ Qг Ø Ù ºÈ Ö ÐÐ ÙÖ Ð ØÕÙ P ÑÔÐ ÕÙ Q ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ö Ø µò Ò n Ú m Z Øn Z ÖÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð Ð Ú ³ÙÒ ÖØ Ò Ð ³ÙÒ ÖØ ÒÐÝ ºËÓ ØPÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ô ÕÙ Q ÑÔÐ ÕÙ PÕÙ Ø ÔÔ Ð Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒÖ ÔÖÓÕÙ ºÈ Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ ¹ Ð ÖÓÒ Ð Ð ÓÒØ ÐÓÒ µ Ð Ò Ò Ô ÕÙ Q ÑÔÐ ÕÙ P ÙÒÑ Ñ Ö x Ð Ð Ô ÙØ ØÖ ÙÒ ÐÐ ÐÓÒ µº ³x ØÙÒ ÖÓÒ³ ØQÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³x Ø ÐÓÒ ³ºÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ P ÑÔÐ ÕÙ Q ØÓÙ Ò Ð Ó P ÑÔÐ ÕÙ Q ØQ ÑÔÐ ÕÙ P ÒÓÙ ÓÒ ÕÙ P ØQ ÓÒØ ÔÖÓÔÓ ¹ Qµº Ð Ó ÓÒ Ø ÓÒÒ Ö Ø Ù ÒØ ÔÓÙÖQÖ Ú ÒØ Ö ÕÙ P ØQ ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö ÔÓÙÖQ ÖQÒ Ô ÙØÔ ØÖ ÚÖ Ò ÕÙ PÐ Ó Øº Ò Ö ÕÙ P Ø ÐÐ ÓÒØ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØÚÖ ÓÙ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ù µº ØÚÖ ÐÓÖ Qг Ø Ð Ñ ÒØºË Q ÑÔÐ ÕÙ PÒÓÙ ÓÒ ÕÙ P ØÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÙÕÙ P ØÚÖ Ø ÙÐ Ñ ÒØ Q ØÚÖ ØÓÒÒÓØ P Ä ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³ÒÓÒP³ ØÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒÕÙ ØÚÖ ÕÙ Ò Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒP Ø Ù ØÕÙ Ø Ù ÕÙ Ò P ØÚÖ º Ø PÓÒ Ø ÒÙÒ Ò Ñ Ð ³ ÝÔÓØ ÐÓÖ Ë P ÑÔÐ ÕÙ QÒÓÙ ÓÒ ÕÙ P ØÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÒØ ÔÓÙÖQ Ô Ö ÕÙ P P ÙÖ Ð Ú Ð ÙÖ Ù ÙÑÓ Ò ÙÒ ÝÔÓØ Ø Ù º ØÚÖ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ö ØÕÙ Q ØÚÖ ³Ó ÙÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÓÒÒÓÒP Ó Ø ØÖ ³ Ø Ö Õ٠гÙÒ ØÚÖ Ð³ ÙØÖ Ð³ Ø Ù Ø ÒÚ Ö Ñ Òغ ³ Ø ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÝÓÒ Ä ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ³P ÑÔÐ ÕÙ Q³ سÒÓÒQ ÑÔÐ ÕÙ ÒÓÒP³ ÓÒØÐÓ ÕÙ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ P ØÚÖ ÐÓÖ Q Ó Ø ØÖ ÚÖ ÒÓÒÒÓÒP Ö ØÚÖ ÔÙ ÕÙ ÒÓÒQ ÒØÖ Ò ÒÓÒ ÚÖ ØÓÒ ÒÒÓÒQ ÒÓÒPºËÙÔÔÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØÕÙ ÒÓÒQ ÒÓÒP ØÕÙ Q³ سÒÓÒQ ÒÓÒP³ÒÓÙ ÓÒÒ ÓÒ ÙÜÑÓÝ Ò Ñ ÒØ Ò ÒغËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ P Q ØÕÙ ÒÓÒQ ØÚÖ ÒÓÒP Ø Ù ÐÓÖ P Ø ÓÒÒÓÒQ ÒÓÒPÕÙ³ÓÒ ÔÔ ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒÓÒØÖ ÔÓ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÔÓÙÖÔÖÓÙÚ ÖÕÙ P ÑÔÐ ÕÙ QºÁÐÝ Ð ÔÖ ÙÚ Ö Ø ÕÙ ÓÒ Ø ÙÔÔÓ ÖPÚÖ ØÔÖÓÙÚ ÖÕÙ Qг Ø Ù º Ø ÐÝ Ð ÔÖ ÙÚ Ô ÖÓÒØÖ ÔÓ Ø ÓÒÕÙ ÓÒ Ø ÙÔÔÓ ÖÒÓÒQÚÖ ØÑÓÒØÖ ÖÕÙ ÒÓÒP ØÚÖ ³ Ø Ö ÑÓÒØÖ Öг ÑÔÐ ¹ Pµ ÕÙ Ò Ô ÙØ ØÖ Ò ÓÒ ÒP ØØ ÕÙ Ú Ð Ò ÐÓ ÕÙ ³P ½¾

ÄÇ ÁÉÍ ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆË ÆÅ ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ì Ä Å ÆÌË ÆÓÙ ÓÒÒÓÒ Ð Ó ÙÒ ÔÖ ÙÚ Ö Ø ØÔ ÖÓÒØÖ ÔÓ Ø ÓÒÔÓÙÖÐ Ö ÙÐØ Ø Ð³ Ü ÑÔÐ Ù Ú Òغ Ò xò x 1Ò Ô ÙØ ØÖ ÒÙÐ ÔÙ ÕÙ Ð ÙÖÔÖÓ Ù Ø ØÔÓ Ø Ð ÓÒØØÓÙ Ð ÙÜÔÓ Ø 0º ÐÓÖ Ö ÐÚ Ö Ð³ Ò Ð Ø x>1º 1º 0 Ü ÑÔÐ ½ºËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ x ØÙÒÒÓÑ Ö Ö ÐÚ Ö ÒØÐ Ò Ð Ø ØÖ Ø x2 1 ÒÓÙ Øx > ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ö Ø ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ x2 x > 0 Øx>0ºÈÙ ÕÙ x(x 1) x 2 x ÓÙØÓÙ Ð ÙÜÒ Ø º ÓÑÑ x ØÔÓ Ø x 1 Ó Øг ØÖ Ù ³ Ø Ö x 1 > ÓÙ ÒÓÖ x > 0Ò Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÚÖ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÓÒÒÓÒP ØÚÖ º 0 ÐÓÖ ÒÑÙÐØ ÔÐ ÒØx 1Ô ÖxÒÓÙ Ó Ø ÒÓÒ 1) ØÔÓ Ø º Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒÔ ÖÓÒØÖ ÔÓ Ø ÓÒ ÙÔÔÓ ÓÒ ÒÓÒQÚÖ ³ Ø Ö x ÖÓÒ ÑÓÒØÖ ÖÕÙ ÒÓÒP ØÚÖ ³ Ø Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔÖ Ø x2 ÓÒØÔ ÚÖ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØºË x > x 2 x ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ x x 0ºÅ ÒØ Ò ÒØ ÙÔÔÓ ÓÒ x ÔÙ ÕÙ x 1 0 ÒÓÙ ÚÓÒ ÚÓ Öx 0ÔÙ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ù Øx(x x 2 x > 0 Øx ÓÑÔÓ ÒÐ Ö ÙÒ ÓÒ ÒØ Ö Ô Ö Ø ÑÔ Ö Ù Ô Öº ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒÔ ÖÓÒØÖ ÔÓ Ø ÓÒ ÓÒÖ Ñ ÖÕÙ ØÓÙØ ³ ÓÖ Õ٠г Ò Ñ Ð Ò ØÙÖ Ð 2 ØÙÒÒÓÑ Ö Ô Ö ÐÓÖ m Ø Ü ÑÔÐ ¾ºËÓ ØmÙÒ ÒØ ÖÒ ØÙÖ ÐÕÙ ÐÓÒÕÙ ºË m ³ ØÒÓÒPµº 1 Ú k N ³Ó N = {2k k N} {2k + 1 k N}. ËÙÔÔÓ ÓÒ ÒÓÒQ ÚÓ Öm Ø ÑÔ Ö m ³ Ö Ø ÓÒm=2k + m ÍÒ Ñ Ø Ó ÔÖ ÙÚ ØÖ Ö Ô Ò Ù ØÐ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒÔ Öг ÙÖ ºÈÓÙÖÑÓÒ¹ 2 Ø ÑÔ Ö 2 = (2k +1) 2 = 4k 2 +4k +1 = 2(2k 2 +2k)+1 = 2l +1 ÕÙ ÑÓÒØÖ ÕÙ m ¾º ØÙÒ ÔÖ ÙÚ Ô Öг ÙÖ º Ù Ô ØÖ ½ ï½òóù ÓÒÒÓÒ ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒÔ Ö ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÒ Ù ØÙÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÓÙÙÒ ÙÖ Ø µºä ÔÖ ÙÚ ÙÌ ÓÖ Ñ ØÖ ÖÕÙ P ÑÔÐ ÕÙ QÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ P ØÚÖ ØÕÙ QÒ³ ØÔ ÚÖ ØÓÒÑÓÒØÖ Ø Ö Ò Ð³ ÒØ ÕÙ Ø Ô Ö ÙÐ ÐÝ ÔÐÙ ¾¼¼¼ Ò º 2Ò³ ØÔ ÙÒÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒÒ Ð³º ØØ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÜÔÐ ÕÙÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒغËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖØÓÙØ ÒØ ÖnÔÓ Ø Q(n) Ó ØÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÍÒ ÙØÖ Ñ Ø Ó ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÐ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒÔ ÖÖ ÙÖÖ Ò ÕÙ ÒÓ٠г ÙÖ ÙÖ ÙÐØ Ø ³Ð Ö Ð Ö ÙÖÖ Ò ºÄ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³Q(k) ÑÔÐ ÕÙ Q(k+1)³ Øг Ø Ô Ö ÙÖÖ Ò ºÈÙ ÕÙ ÕÙ Q(1) ØÚÖ ØÒÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÔÓÙÖÙÒ ÒØ ÖÔÓ Ø kõù ÐÓÒÕÙ ÕÙ Q(k) Ø 1)г Ø Ù ºÄ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒQ(k)ÚÖ Ø ÔÔ Ð Ð³ ÝÔÓØ ºÇÒ Ø Ð Ø Ô Ò ÒØ nºæóù ÚÓÙÐÓÒ ÑÓÒØÖ ÖÕÙ Q(n) ØÚÖ ÔÓÙÖØÓÙØn N ½ ÚÖ ÐÓÖ Q(k + Q(1) ØÚÖ ÒÓÙ ÓÒÐÙÓÒ Ð³ Ø Ô Ö ÙÖÖ Ò ÕÙ Q(2) ØÚÖ ºÈÙ ÕÙ Q(2) P Qº 2 > x > 0 = 0 x > 0 Øx>0Ò 0 ÐÓÖ 2 x = x(x 1) > <

ÄÇ ÁÉÍ ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆË ÆÅ ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ì Ä Å ÆÌË ØÚÖ ÒÓÙ ÓÒÐÙÓÒ ÒÚ ÖØ٠г Ø Ô Ö ÙÖÖ Ò ÕÙ Q(3)г Ø Ù º Ò ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒÔ ÖÖ ÙÖÖ Ò ÓÒ Ø ÓÒÚ Ö ÖQ(1) ØÔÖÓÙÚ Öг Ø Ô Ö ÙÖÖ Ò º Ò Ð Ö ÙÐØ Ø Ù Ú ÒØÒÓÙ Ò ÓÒÒÓÒ ÙÒ Ü ÑÔÐ ÑÔÐ Ø Ö Ð Ø ÓÖ ÒÓÑ Ö º Ê ÙÐØ Ø º¼º½ºË n ØÙÒ ÒØ ÖÔÓ Ø ÐÓÖ ÓÒ Ð³ Ð Ø º Ò Ø Ö ÒØ ØØ Ñ Ò Ö ÒÓÙ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ Q(n) ØÚÖ ÔÓÙÖØÓÙØn N ÐÓÖ Ú ØØ ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò ÓÒ 2ºËÙÔÔÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ 1 2(E) ÈÖ ÙÚ ºÁ Q(n) Øг Ð Ø (E)ºQ(1) ØÚÖ ÔÙ ÕÙ 1= ÕÙ Q(k) Ó ØÚÖ ÔÓÙÖk ÒØ ÖÒ ØÙÖ ÐÕÙ ÐÓÒÕÙ ³ Ø Ö 1 + 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1) 2 1 + 2 + + k + (k + 1) = k(k + 1) 2 + k + 1 2 + + k = k(k+1) = (k + 1)( k 2 + º 1)г Ø Ù ºÁÐ Ò ÓÙÐ Ô Ö (k + 1)(k + 2) = 2 (k + 1)((k + + =. 2 ÆÓÙ Ú ÒÓÒ ÑÓÒØÖ ÖÕÙ Q(k) ØÚÖ ÐÓÖ Q(k + Ö ÙÖÖ Ò ÕÙ Q(n) ØÚÖ ÔÓÙÖØÓÙØn N Ø Ø ÙÖ Ü Ø ÒØ Ð Ð Ü Ø ÙÑÓ Ò ÙÒµºÈ Ö Ü ÑÔÐ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÚÖ µ³øóùø ÉÙ ÒØ Ø ÙÖ ºÈÓÙÖ Ö Ö ÒÓÒ ÓÙÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÒÑ Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÒ ÓÙ¹ Ú ÒØÖ ÓÙÖ ÙÕÙ ÒØ Ø ÙÖÙÒ Ú Ö Ð ÔÓÙÖØÓÙØ ÓÙ ÕÙ ÐÕÙ Ó Øµ Ø ÙÕÙ Ò¹ ØÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³ Ð Ü Ø ÙÒÒÓÑ Ö Ö Ð ÓÒØÐ ÖÖ Ø¾³Ô ÙØ ³ Ö Ö Ù ÔÐÙ ÙÖ ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ ºÈ Ö Ü ÑÔÐ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³ØÓÙØÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü Ñ ØÙÒ Ö Ò ÖÖ ³ ØÖ Ù ØÔ Ö Ä ÔÐÙÔ ÖØ ÒÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ Ò ÒØÔÓÙÖ ØÖ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ÓÖÑÙРг٠( x R) (x 2 = 2). ÓÙ ( z C) ( u C) (u 2 = z) ( z C) ( u C ; u 2 = z). ÒØ ÖÑÙÐØ ÔÐ ØÑÙÐØ ÔÐ ¾³Ô ÙØ ³ Ö Ö ÓÙ Ð ÓÖÑ ( n N) (6 divise n 2 divise n). ½

ÄÇ ÁÉÍ ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆË ÆÅ ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ì Ä Å ÆÌË ÒØ ÖÚ ÖØ º Ò Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÙÜÕÙ ÒØ Ø ÙÖ Ñ Ñ Ò ØÙÖ ÕÙ Ù Ú ÒØ Ò ÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒÔ ÙÚ ÒØ ØÖ Ð Ñ Ñ Ò ÕÙ Ò Ò ÖÐ Ò º Ò Ô Ö Ü ÑÔÐ Å ØÓÑ Ò ÙØ ÕÙ³ Ð ³ Ø ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ Ò ØÙÖ Ö ÒØ Ò ÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÒÒ Ô ÙØÔ ÒØ ÖÚ ÖØ ÖÐ ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ Ø Ò ( x 0) ( y 0) (x + y 0) ( y Ò³ÓÒØÔ ÙØÓÙØÐ Ñ Ñ Ò Ø ÓÒºÄ ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ØÚÖ ÖÔÓÙÖØÓÙØ Ä ÓÒÒ Ø ÙÖ ÐÓ ÕÙ ØØ Ð Ú Ö Ø ºÁÐ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ö Ð Ö ÙÜÔÖÓÔÓ¹ 0ºÄ ÓÒ ØÑ Ò Ø Ñ ÒØ Ù 0ÔÓÙÖØÓÙØ Ð Ñ ÒØx Rº ØQ ÓÒØ ÙÜÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ³P ØQ³ ØÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒÕÙ Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ø Ö Ðx Ð Ü Ø ÙÒÖ Ðy(= ÚÖ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ P ØQ ÓÒØØÓÙØ Ð ÙÜÚÖ Ø Ù Ò ØÓÙ Ð x)ø ÐÕÙ x + y = Ö ÐÒ Ô ÙØ Ü Ø ÖÙÒ Ú Ð ÙÖÖ ÐÐ yø ÐÐ ÕÙ x ÙØÖ ºÎÓ Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð Ø Ð Ú Ö Ø Ù Ø + y = Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÔÓÙÖ Ò Ö ÙÒ ÙÐ ÔÐÙ ÓÑÔÐ Ü º ÓÑÑ ÒÓÒ Ô ÖÐ Ø ºË P ÎÎ Î Î Î º P Q P ØQ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³P ØQ³ÓÖÖ ÔÓÒ ³½¾ Ø Ú Ð Ô Ö¾ ØÔ Ö ³ ØØÓÙØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ È Ö Ü ÑÔÐ P ØÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³½¾ Ø Ú Ð Ô Ö¾³ ØQ³½¾ Ø Ú Ð Ô Ö ³ Ð Ì ÖÑ ÒÓÐÓ Ä ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³P ØQ³ Ø ÒÓÖ ÔÔ Ð ÓÒ ÓÒØ ÓÒ P ØQº ÓÒØÚÖ º ÈÓÙÖ Ù ÚÓÒ Ô ÖÐ ÓÒÒ Ø ÙÖ ÓÙ ºË P ØQ ÓÒØ ÙÜÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ³PÓÙQ³ ØÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÚÖ Õ٠гÙÒ ÙÑÓ Ò ÙÜÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ P ØQ ØÚÖ º ÎÓ Ð Ø Ð Ú Ö Ø Ù ÓÙ ÎÎ Î Î Î º P Q PÓÙQ ½ Ø ( y 0) ( x 0) (x + y 0). ( x R) ( y R) (x + y = 0) R) ( x R) (x + y = 0)

ÄÇ ÁÉÍ ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆË ÆÅ ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ì Ä Å ÆÌË Ü ÑÔÐ ºËÓ ØnÙÒ ÒØ ÖÒ ØÙÖ Ð ØÐ ÙÜÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ P(n) ³n ØÔ Ö³ Ø Ì ÖÑ ÒÓÐÓ Ä ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³PÓÙQ³ Ø ÒÓÖ ÔÔ Ð ÓÒØ ÓÒ P Ø Qº ÑÔ Öµº Ø ÐÐÙ ØÖ Ô ÖÐ Ø Ð Ú Ö Ø Ù Ú ÒØ ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³P(n) ØQ(n)³ ØØÓÙ ÓÙÖ Ù ØÓÙØ ÒØ ÖÒ ØÙÖ Ð Ø Ó ØÔ Ö Ó Ø Q(n) ³n Ø ÑÔ Ö³ºÄ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³P(n)ÓÙQ(n)³ ØÚÖ ÔÓÙÖØÓÙØ ÒØ Ön ÐÓÖ Î Î Î ÙÒÓÒÒ Ø ÙÖÕÙ Ò ØÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒÔ ÖØ Ö P Ø QºÄ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÒ ÒØÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ P ØQÒÓÙ ÚÓÒ ÜÔÐ ÕÙ ÔÖ ÑÑ ÒØ ÕÙ Ò Q³ Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³ÒÓÒPÓÙQ³ ÓÒØÚÓ Ð Ø Ð Ú Ö Ø Q³ºÄ ÝÑ ÓÐ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ø Ò Ø ³P ÑÔÐ ÕÙ Q³ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÒÓØ ³P Î ³P Î Î Î Î Î Î PÒÓÒP QÒÓÒPÓÙQ P QÒÓÒQÒÓÒQ ÒÓÒP Ô ÖÐ ÔÐÙ Ùغ Ñ Ô ÙÐ Ñ Òص Ø ÙÜÐÓÖ ÕÙ P Ø ÒØÚÖ Q Ø Ùܺ Ò ØØ Ø Ð ÓÒÚ Ö Q³ ØÚÖ ÐÓÖ ÕÙ P Ø ÒØÚÖ Qг Ø Ù ÒÓÒP ÓÒØÓÒ Ä ÖÒ ÖÓÒÒ Ø ÙÖÐÓ ÕÙ Øг ÕÙ Ú Ð Ò ÒÓØ ºË P ØQ ÓÒØ ÔÖÓÔÓ ¹ ØгÓÒÖ ØÖÓÙÚ ÒÐ ØÕÙ ³P Ð Ñ ÒØг ÕÙ Ú Ð Ò ÐÓ ÕÙ ÒØÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ P P³ºÎÓ Ð Ø Ð Ú Ö Ø Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ø ÖÑ Ò ÖÐ Ú Ð ÙÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Q ØÒÓÒQ P³ ÐÓÒÐ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ P ØQ Q³ Ø ÓÒ ÓÒ Ö ÕÙ P Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Q ØÓÒÒÓØ Ö ³P ÎÎ Q³ ÓÒ Ð Ó ³P سQ Î ³P Q ØQ Î Î Î Î Î º ÓÙØÓÙØ Ð ÙÜ Ù Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ò Ðº Q³ ØÚÖ ÐÓÖ ÕÙ P ØQ ÓÒØØÓÙØ Ð ÙÜÚÖ ½ ÇÒÒÓØ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³P P(n) Q(n) P(n)ÓÙQ(n) P(n) ØQ(n) P Q P Q Q P P Q ØQ P P Q

ÄÇ ÁÉÍ ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆË ÆÅ ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ì Ä Å ÆÌË Ù ÕÙ Ò P ØÚÖ º Ë P ØQ ÓÒØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÚÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð Ö Ø Ò ÖÓÒ ÖÒ ÒØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÒÓØ ³ÒÓÒP³ ØÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒÕÙ ÔÖ Ò Ð Ú Ð ÙÖÚÖ ÐÓÖ ÕÙ P Ø Ù ØÐ Ú Ð ÙÖ Æ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒºËÓ ØPÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒºÇÒ ÚÙÕÙ Ð Ò Ø ÓÒ P Ê Ð ½ Ä Ò Ø ÓÒ ³P ØQ³ سÒÓÒPÓÙÒÓÒQ³ÓÑÑ Ð ÓÒ ÖÑ Ð Ø Ð Ù Ú Ö Ø Ù Ú ÒØ ÐÓ ÕÙ Ö Ø Ú P ØQ Ø ÑÔÐ ÕÙ ÒØÐ Ò Ø ÓÒº Î ÎÎ Î Î Î Î Î Î ÒÓÒ P ØQµP Q P ØQÒÓÒPÒÓÒQÒÓÒPÓÙÒÓÒQ P ³nÒ³ ØÔ ÑÙÐØ ÔÐ ¾³ÓÙ³nÒ³ ØÔ ÑÙÐØ ÔÐ ³º ÓÙ Ð ÓÖÑ ³n ØÑÙÐØ ÔÐ ¾³ سn ØÑÙÐØ ÔÐ ³ ³Ó г Ö ØÙÖ Ð Ò Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ ºË P(n) ØÐ ÔÖÓÔÓ Ø Óҳг ÒØ Ön ØÑÙÐØ ÔÐ ½ ³ ÓÒÔ ÙØ Ö Ö P(n) Ê Ð ¾ Ä Ò Ø ÓÒ ³PÓÙQ³ سÒÓÒP ØÒÓÒQ³ ØÚÓ Ð Ø Ð Ú Ö Ø Î ÎÎ Î Î Î Î Î Î º ÒÓÒ PÓÙQµP Q PÓÙQÒÓÒPÒÓÒQÒÓÒP ØÒÓÒQ Ü ÑÔÐ ºË P(n) ØÐ ÔÖÓÔÓ Ø Óҳг ÒØ Ön ØÔ Ö³ ØQ(n)Ð ÔÖÓÔÓ Ø Óҳг ÒØ Ö n Ø ÑÔ Ö³ Ð Ò Ø ÓÒ ³P(n)ÓÙQ(n)³ سг ÒØ Ön Ø ÑÔ Ö Øn ØÔ Ö³ Ø ØØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ØØÓÙ ÓÙÖ Ù ºÄ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³P(n)ÓÙQ(n)³ Ø ÓÒ ÐÐ ØÓÙ ÓÙÖ ÚÖ º ØÒÓÒQ³ÓÑÑ Ð³ Ò ÕÙ Ð Ø Ð Ù Ú ÒØ Ê Ð P ØQ Ø ÒØ ÙÜÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ò Ø ÓÒ ³P Q³ ØÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³P ½

ÄÇ ÁÉÍ ÅÇÆËÌÊ ÌÁÇÆË ÆÅ ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ì Ä Å ÆÌË ÎÎ Î Î Î Î Î Î º P Q P QÒÓÒ P QµÒÓÒQ P ØÒÓÒQ ÚÖ º ÓÑÑ ÒÓÒQ(n) سn Ø ÑÔ Ö³ Ð Ò Ø ÓÒ Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒÔÖ ÒØ ³ Ö Ø 2 ØÔ Ö³ ØQ(n)Ð Q(n)³ Ø Ü ÑÔÐ ºÈÓÙÖn ÒØ ÖÒ ØÙÖ Ð Ó ØP(n)Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³n Ò ÕÙ ÓÒ ÖÒ Ð Ò Ø ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÒØ ÒØ ÖÚ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³n ØÔ Ö³ºÇÒ ÚÙ Ò Ð³ Ü ÑÔÐ ¾ÕÙ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³P(n) Q(x) ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÒ ÒØxº Ö Ð ØÐ Ù Ú ÒØ ÒØÕÙ ÔÓÙÖÙÒ Ð Ñ ÒØx ³ÙÒ Ò Ñ Ð E ÓÒÒÓØ P(x) Ø 2 ØÔ Ö Øn Ø ÑÔ Ö³ Ø ØØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø Ù n 2 ØÔ Önг Ø Ù µº Ê Ð Ä Ò Ø ÓÒ ³( x Ò Ø ÓÒ ³( x 3ÓÒÚ Òصº N) nò³ ØÔ Ú Ð Ô Ö¾µ³ Ø ØØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø N) n Ø Ú Ð Ô Ö E), Q(x))³ س( x Ü ÑÔÐ ºËÓ ØÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ñ ÒØ Ù ³( n ¾µ³ Ò Ø ÓÒ ³ Ö Ø³( n ÚÖ n Ñ Ð Ð Ú ³ÙÒ ÖØ Ò Ð ³ÙÒ ÖØ ÒÐÝ ºËÓ ØP(x)Ð ÔÖÓÔÓ Ø Óҳг Ð Ú Ü ÑÔÐ ºÊ Ú ÒÓÒ ÙÖÐ ØÙ Ø ÓÒ ÚÓÕÙ Ò ÙØ Ô Ö Ö Ô Ú Eг Ò¹ = ÖÓÒ Ð Ð ÓÒØ ÐÓÒ ³ ³ Ö Ø x ØÙÒ ÖÓÒ³ ØQ(x)Ð ÔÖÓÔÓ Ø Óҳг Ð Ú x Ø ÐÓÒ ³ºÄ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ³ØÓÙ Ð ÒÓÒ ÐÓÒ ³³ Ø Ö Ä Ò Ø ÓÒ ØØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø³ Ð Ü Ø ÙÒ Ð Ú Ð Ð ÕÙ Ó ØÙÒ ÖÓÒ Ø ( x E) (P(x). Ê Ð º Q(x))³ سP(x) ØÒÓÒQ(x)³ ÐÓÒÐ ( x ØгÓÒÖ ØÖÓÙÚ ÒÐ Ê Ð Ö³ÒÓÒ(P(x) ³n P(x))³º Ñ Ñ Ð E) (P(x))³ س( x E) (non E) (non Q(x))³º E) (P(x) et non Q(x)) ½