Transferts thermiques en écoulements oscillants laminaires incompressibles

Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 www.esevier.com/ocate/ijrefri Transferts thermiques en écouements osciants aminaires incompressibes Phiippe Nika*, Yannick Baiy, François Lanzetta Département CREST, Institut FEMTO-ST/UMR CNRS 6174,, Avenue Jean Mouin, Befort 90000, France Reçu e 3 avri04; reçu en forme révisée e 3 juiet 004; accepté e 30 août 004 Avaiabe onine 15 December 004 Résumé Les phénomènes thermiques survenant entre deux paques paraèes infinies traversées par un écouement de fuide osciant à vitesse moyenne nue sont étudiés. Un modèe 1D est présenté, puis adimensionaisé et es paramètres d échee intéressants sont déaés. Le cas particuier d un écouement aminaire d un fuide incompressibe est choisi comme iustration et une discussion concernant es particuarités de échane thermique est menée seon a onueur des paques et en fonction du dépacement du fuide. Des concusions concernant e dimensionnement des échaneurs thermiques de machines Stirin ou de Tubes à Gaz Pusé sont proposées. q 004 Esevier Ltd and IIR. A rihts reserved. Mots cés :Modéisation ; Transfert de chaeur ; Écouement aminaire ; Phénomène périodique ; Cyce thermodynamique ; Stirin ; Tube à pusation ; Cacu Heat transfer durin incompressibe osciatin aminar fow Abstract Phenomena concernin the temperature variations and the heat transfer are studied in the specific case of osciatin fow with nu mean veocity circuatin between two infinite was. A 1D mode is estabished and the interestin scae parameters are deduced from theoretica equations. The particuar case of an osciatin aminar fow for incompressibe fuid is detaied in order to iustrate and to discuss the effects of therma interactions between the fuid and was. Infuence of wa enth comparativey to the fuid dispacement is studied. Concusions for desinin therma heat exchaners of Stirin enines or PTR are proposed. q 004 Esevier Ltd and IIR. A rihts reserved. Keywords: Modein; Heat transfer; Laminar fow; Periodic phenomenon; Thermodynamic; Stirin; Puse tube; Cacuation 1. Introduction * Correspondin author. Te.: C33 384 578 04; fax: C33 384 570 03. E-mai address: phiippe.nika@univ-fcomte.fr (P. Nika). L étude hydrodynamique des écouements osciants est oin d être nouvee, comme c est souvent e cas pour de nombreux types d écouements. Ee date du début du 0 ème 0140-7007/$35.00 q 004 Esevier Ltd and IIR. A rihts reserved. doi:10.1016/j.ijrefri.004.08.01

354 P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 Nomencature c Capacité caorifique massique isobare (J k K1 K K1 ) C f Facteur de frottement disp Ampitude crête à crête de dépacement du fuide (m) d h Diamètre hydrauique (m) e Epaisseur, distance (m) f Fréquence (Hz) ^f Fonction thermoacoustique Fo Nombre de Fourier F 1, F Fonctions éq. (45) et éq. (50) ^ Fonction thermoacoustique h Coefficient de convection (Wm K K K1 ) _h; _H Densité ocae et moyenne radiae de fux d enthapie (Wm K ) j Compexe imainaire j ZK1 K n Nombre de Knudsen Lonueur (m) Libre parcours moyen (m) M Masse moaire (k mo K1 ) M u Nombre de Mach Nu Nombre de Nusset p Pression (Pa) Pr Nombre de Prandt Q Enerie thermique (J) Re Nombre de Reynods R s Rapport des épaisseurs paroi/écouement R TH Rapport des conductivities thermiques matériau/az R Constante moaire du az parfait (J mo K1 K K1 ) S pass Sections interne transverse (m ) t Temps (s) T Température (K) u, v Vitesses seon x, y (ms K1 ) W om Nombre de Womersey/Stokes x Coordonnée axiae (m) y, z Coordonnées (m) Lettres recques b Paramètre éq. (36b) d Epaisseur de pénétration (m) D Gradient thermique (Km K1 ) D rad Radia T KT K1 (K) D on Lonitudina T 1 KT K1 F e Densité de fux reçu ou cédé par a surface externe (Wm K ) Rapport des capacités caorifique isobare et isochore k Constante queconque i Conductivité thermique de i (Wm K1 K K1 ) Paramètre éq. (36a) L L Dépacement reatif du fuide L e Facteur de forme éométrique m Viscosité dynamique (k m K1 s K1 ) r Masse voumique (k m K3 ) u Pusation (rad s K1 ) x Variabe Laranienne éq. (35a,b) Indices a, a Ampitude premier et second ordre e Extérieur Gaz in, in 0 Entrant en x*zk1 etenx*z1 I1 Partie imainaire de Nu Extrémité en xz R1 Partie réee de Nu rad, on Transversa et onitudina t Paroi du cana 0 Initia, en xz0, de référence out, out 0 Sortant en x*zk1 etenx*z1 p A a paroi 1,K1 Aux extrémités Opérateurs x*, U* Grandeurs normaisées, vitesse = Partie imainaire < Partie réee x Moyenne radiae de x jxj Modue de x hxi Moyenne temporee de x sur une 1/ période sièce et on peut y associer des rands noms tes Stokes, Richardson, Strouha, Womersey, etc. I convient en premier ieu de définir exactement ce que sous-entend cette terminooie: on peut rencontrer des écouements osciants ou pus énéraement «périodiques» à arrière d un obstace par exempe ou bien à échappement de certaines machines thermiques (moteurs); dans ce cas i s ait putôt d écouements qu i faudrait quaifier de «pusés» avec une vitesse moyenne non nue. Le cas qui nous intéresse dans e présent travai concerne es écouements «aternés» à vitesse moyenne nue, tes qu on es rencontre dans es machines Stirin, es tubes à az pusé ou es systèmes thermoacoustiques. Les références [1,] dressent un état de art entre es années 198 000 pour es deux catéories. Ces écouements sont présents dans de très nombreuses appications: des machines thermiques, pompes, vaves jusqu aux Micro Eectro Mechanica Systems (MEMS) et a microfuidique, en passant par e énie chimique et a biooie. L osciation d un fuide enendre pusieurs effets: effet annuaire dit «de Richardson» sur es profis de vitesse et de température, aumentation artificiee de a conductivité thermique équivaente,

P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 355 déphasae entre es fux thermiques échanés et es écarts de température fuide-paroi, entre es coefficients de frottement et a vitesse du fuide. L effet annuaire est sensibe surtout pour es nombres de Stokes/Womersey (défini par a suite) importants. I se caractérise par e fait que a vitesse est maximae putôt près des parois qu au centre de écouement comme c est e cas habitue en réime aminaire et qu ee s inverse en premier ieu près des parois car es forces d inertie y sont moins randes qu au centre de écouement. I en résute une structure particuière de couche imite dont épaisseur dépend de a fréquence d osciation et diminue avec cee-ci. En conséquence es transferts thermiques en réime d écouements périodiques diffèrent de ceux qui surviennent dans es écouements unidirectionnes. Le probème des transferts thermiques orsqu i y a un écouement moyen superposé à écouement pusé est abordé dans es références [3 8] par différentes techniques (numériques [3, 4], anaytiques [5,7,8], expérimentaes [7]) pour différentes confiurations en réime aminaire ou turbuent, en fuide compressibe [3] ou non [4,5]. Les résutats pubiés sont parfois diverents, sûrement en raison de conditions opératoires différentes: des aumentations, des diminutions ou pas d effet sur e transfert thermique sont sinaés. Le cas des fuides incompressibes en réime aminaire, en écouement entre deux pans paraèes, est traité par Gedeon [9], qui donne es reations anaytiques pour es coefficients de transfert thermique et de frottement. Dans es références [10 13] sont déveoppées des soutions anaytiques ou numériques ainsi que des expérimentations; e cas d un chauffae ocaisé est traité dans es références [14,15], ceui d un miieu poreux dans a référence [16] et on trouve un modèe turbuent dans a référence [17]. Les écouements compressibes sont étudiés dans es références [18 ], des renseinements importants (coefficients, corréations, tests, efficacité, etc.) concernant e «desin» des échaneurs ou des réénérateurs de machines Stirin ou de Tubes à az pusé (TGP) se trouvent dans es références [3 3]. I est cependant à noter, qu à notre connaissance, i n existe pas de travai de synthèse, ni une méthodooie bien précise pour dimensionner es échaneurs fonctionnant en «réime osciant»; certains concepteurs ne sembent pas hésiter à empoyer es méthodes et corréations cassiques mises au point pour des appareis industries fonctionnant en réime permanent. Le présent travai a pour objectif de démontrer qu en ce domaine, i y a ieu de prendre certaines précautions quant aux idées préconçues tant a physique des écouements osciants peut parfois paraître surprenante, en tout cas inhabituee. Ee conserve cependant un caractère tout à fait oique, mais ses fondements théoriques restent d un usae difficie, surtout dans e cas des écouements azeux compressibes et avec es conditions réees opératoires des machines Stirin ou des TGP. Dans un souci d expications «pédaoiques», nous serons amenés à introduire de nombreuses simpifications et à discuter des phénomènes à partir d un cas d écoe simpe.. Equations des écouements osciants entre deux pans paraèes infinis Nous envisaeons e cas de deux paques d épaisseur e t, infinies dans a direction z et distantes de e (onueur, Fi. 1), ce qui permet de traiter écouement de fuide en D seon es axes x et y. Les paques peuvent faire partie d un échaneur compact aussi bien qu être bainées par un fuide ambiant de part et d autre. Les parois soides ne sont pas nécessairement à température uniforme, cea enendre des phénomènes de coupae thermique entre e fuide en osciation et es parois. Les évoutions spatio-temporees de a température du fuide vont notamment dépendre de a vaeur des coefficients de transfert thermique fuide/parois ainsi que des phénomènes énérés aux extrémités, e tout en fonction de a vaeur du rapport L L du dépacement axia du fuide à a onueur des paques. Nous considérerons que es propriétés thermophysiques du fuide et des matériaux sont indépendantes de a température sauf a masse voumique qui est cacuée par a oi du az parfait... Paramètres caractéristiques du modèe: adimensionaisation La formuation adimensionnee des équations énéraes est décrite en rapportant chacune des randeurs physiques à une randeur caractéristique ui correspondant (indice de référence 0) et choisie en fonction de a probématique envisaée. Nous ne justifierons pas ici du choix de tee ou tee randeur caractéristique, a forme anaytique des paramètres obtenus en dépendant bien évidemment: x Z x = ; y Z y e= ; t Z ut; U Z u u disp ; p Z p p 0 ; T Z T T 0 ; T t Fi. 1. Géométrie de base étudiée. Z T t T 0 ; r Z r r 0 (1) L hypothèse simpificatrice d une vitesse radiae nue est empoyée par a suite: vz0 () Avec es hypothèses spécifiées, es équations D en variabes réduites, sont es suivantes: Conservation de

356 P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 a masse: vr CL vr U L vx Z 0 (3) Conservation de a quantité de mouvement: vr U vðr U Þ CL L vx ZK 4L L vr Mu vx C C 1 v U Wom C 3 L e W om x u disp r v U vx (4) Equation d 0 état du az parfait: p Z r T (5) Equation de énerie pour e az: vr T vr U T CL L vx Z K1 vr C K1 L LU vr vx C C 1 v T PrWom C 1 K1 4! M u vu Wom CL vu e vx Equation de énerie pour a paroi: L PrW om v T vx vtt Z v T Fo t CFo L v Tt e vx (7) Les conditions aux imites correspondantes sont: en y vu ðt ; x ; y Þ Z 0; Z 0; y Z0 vt ðt ; x ; y Þ (6) Z 0 (8) y Z0 en y ZG1; U ðt ; x ; y Þ Z 0; T j y Z1 Z Tt vt j y Z1; en y ZG 1 C R s ; vt t y Z1 Z t vt t Z 0 G 1C Rs ðcas de paques a int erieur de echaneurþ o u y ZGð1 CR s Þ; vt t y Z1 (9) Z Nu e ðta KTt j Gð1CRs ÞÞ CF e Gð1CRs Þ ðcas de deux paques en bordure de echaneurþ (10) Le facteur R s est défini dans e Tabeau 1. Pour échane thermique à a paroi externe, on introduit un coefficient d échane de chaeur externe h e (Nusset Nu e ), et un terme F e (Tabeau 1) qui représente a densité de puissance énerétique éventueement cédée par un composant éectronique disposé à a surface externe. Aux extrémités du système (paques), es conditions imposées sont: en x ZK1; p ðt;k1þ Z 1 Cp a0 cosðt Þ; T ðt;k1þ Z 1 CTa0 cosðt K4 T0 Þ si U j K1 O0 vtt vx Z 0ouTt j 0 Z Tt0 0 ðextr emit e adiabatique ou temp erature impos eeþ (11) en x ZK1; p ðt; 1Þ Z 1 Cp L0 cosðt K4 p Þ; T ðt; 1Þ Z 1 CT al0 cosðt K4 T0 Þ si U j K1!0 vt t vx j 10 Z 0 ou T t j 0 Z T t0 ðextr emit e adiabatique ou temp erature impos eeþ (1) Les nombres caractéristiques obtenus au cours de a procédure sont reroupés dans e Tabeau 1, avec eurs ordres de randeur probabes dans e cas d un az circuant dans un échaneur miniature de refroidisseur de composants éectroniques..3. Simpifications des équations D: modèe moyen ID Dans un modèe physique 1D, deux aspects méritent considération: es paramètres de écouement sont moyennés sur a section de passae (direction y) et es équations sont aors exprimées en fonction des variabes moyennes dans cette section; en conséquence, i faut introduire dans e modèe des corréations de pertes de chare et de transferts thermiques aux vaeurs imites: manipuations caractérisées au moyen de coefficients de frottement et de transfert thermique convectif à définir précisément.- D autres simpifications peuvent être introduites. Ainsi, es termes d ordre inférieur aux autres peuvent être éiminés en tenant compte par exempe des ordres de randeur des roupements de nombres expicités dans e Tabeau 1. En «moyennant» es éq. (3) à (7) avec es conditions des éq. (8) à (10), on obtient: Equation moyenne d état du fuide p Z r T (13) Equation moyenne de conservation de a masse: v r CL vr U L vx Z 0 (14) Equation moyenne de quantité de mouvement: Seon a théorie de a thermoacoustique inéaire [34], i

Tabeau 1 Nombres sans dimension caractéristiques des écouements osciants issus du modèe D Nombre adimensionne L L Z disp Nom Sinification Ordre de randeur Dépacement particuaire Rapport du dépacement fuide tota à a onueur axiae. Important 1 reatif pour es effect d extrémités si disp est rand devant L e Z e Facteur de forme éométrique Rapport du doube du rayon hydrauique à a onueur axiae. Important pour es canaux «ares» ReZ d h r j uj m Reynods Rapport des forces d inertie et visqueuses 10 K10 4 R s Ze t =e Rapport des épaisseurs Compare épaisseur des paques à cee d un cana de fuide 1 10 spécifiques qffiffiffiffiffiffiffiffiffi r W om Z 0 urh Womerey/Stokes m Rapport du rayon hydrauique à épaisseur de diffusion visqueuse 0, 1 1 M u Z p u ffiffiffiffiffiffiffi disp Mach Rapport de a vitesse acoustique à a vitesse du son. Effects 10 K3 p 0 =r 0 acoustiques, effet de a compressibiité à considérer si M u O0, 1 non inéarité des phénomènes qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FoZ t Fourier Rapport de a onueur de diffusion thermique au rayon hydraique r t c t urh du cana. S i aumente, es osciations de températures sont pus 10 perceptibes dans es parois PrZ c m Prandt Ratio des onueurs de diffusion visqueuse et thermique 1 Z c p c v Coefficient isentropique du az Rapport des capacités caorifiques isobares et isochores 1 x u disp P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 357 Nombre de pesanteur Rapport de a pesanteur à accéération 10 K Nu e Z eh e Nusset Caractérise e transfert thermique externe par convection par e rapport à a conduction F e ZF e e=t 0 t Fux thermique adimensionne Fux reçu ou cédé par a surface externe 10 K 1 est possibe d exprimer es vitesses ocae u et moyenne u au moyen de fonctions d espace compexes adéquates ^f y et ^ de a variabe y dont a forme dépend de a éométrie de écouement: u Z u 0 ^f y e jut ; u Z u 0 ^e jut (15) En notant que: vu Z u ^f 0 y jue jut ; et: =½uŠ ZK< 1 u vu vu Z u 0 ^f 0 ye jut ; et <½uŠ Z = 1 u v u Z u 0 ^jue jut vu (16) (17) On introduit ensuite dans éq. (4), un coefficient de frottement pariéta C f qui s exprime aussi sous forme compexe de manière à tenir compte de a phase qui existe entre a vitesse et a contrainte pariétae en écouement aterné [35,36]: vu C f ZKm r j p j uj u Z m 0 u 0 ^f p r u Z d h G 0 ^ Re 1 dh avec G 1 Z ^f 0 p ^ (18) Le nombre de Reynods peut être défini par convention, sur e diamètre hydrauique (d h Ze pour deux pans infinis) et avec e modue de a vitesse axiae: Re dh Z d h r j uj (19) m Après queques cacus, on montre que a partie réee «measurabe» de a contrainte de frottement pariétae s exprime par a reation: < vu Z u 0 ð<½e jut Š<½^f pš 0 K=½e jut Š=½^f pšþ 0 p Z Re dh <½C d f Š<½ uš C 1 h u =½C f Š< v u (0) L intération-moyennae du terme visqueux de éq. (4) [35,36] avec introduction de éq. (0) est effectuée de a manière suivante: 1 ð 1 v U K1 dy Z vu Z e vu y Z1 udisp ZK e Re dh C udisp d fr u C 1 h u C v u fi Z Re dh C 8 fr U vu CC fi yze= (1) En toute riueur e produit de Darcy compexe «C f Re dh» dépend de abscisse x et du temps. Les auteurs proposent

358 P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 de considérer une vaeur moyenne constante de C f Re dh en basant e cacu de C f sur a vitesse moyenne h ui cacuée sur une demi-période. Finaement équation moyennée de quantité de mouvement, en néieant e terme v U * /vx * est: vr U ZK 4L L M u CL L vðr U Þ vx vp vx K Re dh 8W om C fr U vu CC fi () Equations moyennes de énerqie pour e az et e tube. Notons que on empoie encore pour es moyennes transversaes des températures, es reations: ð 1 1 v T K1 dy Z vt et ð 1 1CRs v Tt R s 1 dy Z e R s y Z1 Z e vt (3) yze= vtt K vt t yze=cet yze= (4) De manière tout à fait simiaire à a contrainte de frottement pariétae, on doit exprimer es fux thermiques pariétaux par une reation compexe permettant de faire apparaître es déphasaes entre es fux thermiques et a différence des températures az/paroi. De nombreuses pubications [33] attestent de cette procédure. On écrira donc, avec h pris sous forme compexe: < vt Z <½hŠ<½ T t K T Š C=½hŠ=½ T t K T Š (5) e= Si es variations de températures sont parfaitement sinusoïdaes [34]: =½ T t K T Š Z 1 d u dt <½ T t K T Š (6) On peut donc exprimer a condition d échane thermique à a paroi interne sous a forme suivante: vt vt Z t t e= Z <½hŠð T t K T Þ C =½hŠ e= u dð T t K T Þ dt (7) Le probème réside dans a méconnaissance des expressions des coefficients compexes h (ou des nombres de Nusset Nu) puisque peu d études ont été consacrées à ce sujet. Les mêmes remarques pourraient d aieurs être faites en ce qui concerne e produit C f Re dh, empoyé précédemment dans équation simpifiée de a quantité de mouvement. La Fi. représente es évoutions des nombres Nu et C f Re dh obtenus à partir de a théorie thermoacoustique inéaire simpifiée pour des écouements entre deux pans paraèes isothermes [35,36]. On remarque que aumentation de a fréquence favorise e transfert de chaeur mais aumente aussi considérabement e frottement pariéta. Par aieurs, es déphasaes ne sont véritabement notabes qu aux basses fréquences et tendent rapidement vers a vaeur p/4 dès que a fréquence aumente (partie réee éae à a partie imainaire). Finaement, en néieant a conduction thermique axiae dans e fuide, équation de a température du az s écrit: vr T Z K1 CL L vr U T vx C 1 4PrW om! vp C K1 L LU vp vx " # Nu R1 ðtt KT dðtt KT Þ Þ CNu I1 dt K1 Mu ð 1 Wom K1 vu dy C 1 4 (8) Pour e cas d un profi des températures symétrique dans es paques (paques et écouements aternés): vtt Z Fo L vtt e vx " # K Fo Nu 4R s R R1 ðtt KT dðtt KT Þ Þ CNu I1 TH dt Pour e cas d échanes externes depuis es paques: vtt Z Fo L vtt e vx C Fo F e C Fo Nu R s 4R e ðtamb KTt Þ s " # K Fo Nu R s R R1 ðtt KT dðtt KT Þ Þ CNu I1 TH dt (9) (30) Les nombres adimensionnes suppémentaires introduits par a substitution des conditions aux imites dans e passae au modèe 1D sont résumés dans e Tabeau. 3. Ecouement «sinusoïda» incompressibe entre deux pans paraèes présentant un radient thermique imposé 3.1. Position du probème Dans e cas e pus énéra exposé précédemment, avec un fuide compressibe et des conditions aux imites variabes dans e temps, i n est pas envisaeabe d éaborer une soution anaytique des équations (13),

P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 359 Fi.. (a) Evoution en fonction du nombre de Stokes/Womersey pour un écouement aminaire entre deux paques isothermes. (a) Coefficients de convection compexes; (b) coefficients de frottement compexes. (14), (), (8), (9) ou (30). De même une résoution numérique du probème n est pas apte à donner une idée précise de infuence des paramètres qui sont très nombreux et pour esques i faudrait fixer des vaeurs arbitraires. I nous sembe préférabe de décrire es phénomènes à partir d un cas simpifié comme écouement du type «piston» (vitesse imposée sinusoïdae) d un fuide incompressibe (r*z1) en mouvement osciant entre deux pans paraèes infinis, ayant une température imposée par un système de chauffae adéquat. Nous introduisons une hypothèse suppémentaire concernant es moyennes: U zu U et U T zu T (31) Cee-ci sous-entend que es épaisseurs des couches imites visqueuse et thermique soient faibes au reard de a areur des canaux fuides, ce qui est vérifié pour es fréquences d osciations éevées avec des fuides ayant une masse voumique importante (nombre de Womersey assez rand, profis de vitesse et température quasi pats au centre). Les équations caractéristiques de écouement sont aors: Conservation de a quantité de mouvement: 4L L M u vp vx Z 1 C C fire 8Wom sin t K C frre 8Wom cos t (3) Equation de énerie du fuide: 1 C Nu I1 vt 4PrWom CL L cos t vt vx C Z 1 4PrW om Nu R1 T t CNu I1 dðt t Þ dt Température de paroi imposée inéaire: Tt Z T 1 KT K1 x C T 1 CT K1 Conditions aux extrémités imposées: Nu R1 4PrW om T (33) (34) x ZK1 U Z cos t ; T ðt;k1þ Z T K1 (35a) x Z 1 U Z cos t ; T ðt; 1Þ Z 1 (35b) On effectue dans éq. (33) un chanement de variabe (passae d une variabe euérienne x à une variabe de type aranienne): x Z x K sin t (36) En introduisant es deux paramètres suivants: Nu R1 Z 4PrW oml L Nu I1 C4PrWom ; b Z Nu I1 C4PrWom (37) Tabeau Nombres sans dimension suppémentaires en fuide osciant introduits dans e modèe 1D Nombre adimensionne Nom Sinification Ordre de randeur C f R e Produit de Darcy Caractérise e frottement oca aux parois 4 Nu R1 Z e<½hš Nusset rée Caractérise e transfert thermique interne aux parois 10 Nu I1 Z e=½hš Nusset imainaire Caractérise e transfert thermique interne aux parois 0 10 (phase) R TH Z t Rapport des conductivités thermiques matériau/az 100

360 on obtient équation: P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 t out de a présence de a particue fuide au sein du système: dt dt CbT Z btt ðx C sin t Þ (38) dont a soution énérae est: T ðt ; xþ Z T ðk; xþe Kbðt KkÞ Cb ð t k e Kbðt KuÞ T t ðx C sin uþdu (39) où k est une constante d intération. L étude du paramètere /L L montre qu i varie assez peu entre 0,835 et 1 orsque e nombre W om aumente. La Fi. 3 représente es évoutions de b en fonction du nombre W om. On note une diminution rapide de b quand W om aumente; dès que W om O1,375, b!. Pour es cacus, es nombres de Nusset Nu R1 et Nu I1,évaués par es reations issues de a thermoacoustique [35,36], sont représentés sur a Fi. (a) pour un nombre de Prandt PrZ0,7. 3.. Cas d une température de paroi constante et uniforme T t Z1 3..1. Profis des températures du fuide En prenant kzt in en x * ZK1 et en posant D rad ðt ; xþzt ðt ; xþkt t, a soution de éq. 39 est simpement: D red ðt ; xþ Z ðt ðt in; xþ K1Þe Kbðt Kt in Þ (40) En énéra, a température du fuide en entrée, à auche (en x * Z1), varie dans e temps et est déphasée par rapport au dépacement du fuide, c est e cas dans es machines de Stirin; nous considérerons que sa vaeur reste constante. L équation (40) représente a modification de écart de température d une particue fuide avec a paroi initiaement en x 0 (au temps t0 ) qui pénètre entre es paques au temps tin, sa position au temps t * étant: x Z x 0 CL L ð1 Csin t Þ (41) L équation (40) est uniquement vaabe entre es temps tin et Fi. 3. Evoution du paramètre b seon W om (PrZ0,7). tin Z Arc sin K1 K ð1 Cx 0 Þ ; tout Z t L 0 Cp Ktin L (4) On obtient donc, en raison des transferts thermiques, une décroissance exponentiee (de paramètre b) de écart de temperature d entrée en fonction de avancement du fuide entre es paques. Les particues fuides de positions initiaes tees que x 0 OK1, situées entre es paques, (si oriine des temps est choisie à t 0 ZKp=, cas pour eque U * Z0) ne passent jamais par x * ZK1, par contre une proportion de ces particues peuvent ressortir en x * ZC1, suivant ampitude du dépacement L L. Pour simpifier a démarche, nous supposerons qu ees pénètrent aors dans un réservoir parfaitement brassé, de dimensions infinies et de température constante T 1 (Fi. 4(a)). Lorsque écouement interpaques s inverse, au temps t Zt 0 Cp, et que es particues entrent de nouveau dans e système, ees présentent par conséquent un écart de température avec a paroi toujours nu (D rad(c1) Z0). Pour es particues qui ne ressortiraient jamais d entre es paques (uniquement dans e cas L L!1, Fi. 4(b)), en vertu de éq. (40), eur difference de température va en s amoindrissant exponentieement dans e temps à chaque aer-retour, si bien qu au bout d un temps suffisant, ces particues se «thermaithermaisent» à a température des parois (dans hypothèse d une conduction axiae néieabe et en absence de turbuence). Cet ensembe de particues forme donc une zone de «bouchon fuide», qui ne joue pus aucun rôe dans es échanes thermiques obaux. Les Fi. 5 représentent es modifications des profis onitudinaux de température du fuide e on des paques pour trois onueurs d échaneurs: courts L L Z1,5 (Fi. 4(c)), de onueur éae au dépacement fuide L L Z1(Fi. 4(a)), ons L L Z0,5 (Fi. 4(b)) et pour trois vaeurs différentes du paramètre thermique b. On remarque bien a propaation atternée d un front de discontinuité thermique qui va en s amoindrissant. Pus b est petit, soit pour es fortes vaeurs du nombre W om, pus e front de température observé depuis entrée du fuide est important, c est-à-dire que a différence de température az/paroi reste éevée et cea aisse penser que es transferts thermiques s effectuent ma. L intensité du front thermique diminue avec aumentation de b (diminution de W om ); i faut peut-être y voir infuence de amoindrissement de a partie imainaire du coefficient d échane h,c est-à-dire de effet du déphasae entre a différence des températures fuide-parois et e fux de chaeur. En effet, ce déphasae tend vers 0 orsque W om tend vers 0 (Nu I1 Z0), sinon i se rapproche de a vaeur p/4 (Nu I1 ZNu R1 ). La rapidité de décroissance du front thermique dépend aussi de L L ;àdépacement de fuide identique, un échaneur trop on (L L Z0,5) possède une zone isotherme inactive du côté x*zc1, un échaneur trop court (L L Z1,5) ne permet pas d extraire un maximum de chaeur,

P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 361 Fi. 4. Différentes confiurations d écouement suivant L L. es températures de «sortie» en x*zc1 et de «retour» en x*zk1sontenfaitpuséevées. 3... Quantités de chaeur échanées Seues es particues fuides susceptibes de passer aux deux extrémités des paques (en x*zk1et x*z1), peuvent échaner de a chaeur avec es parois au cours de eur mouvement de va et vient. D après éq. (41), orsqu une particue située en x* entre es paques proresse de a distance dx*zl L Cos t*dt* en un temps dt*, sa température chane de sorte que écart de température éémentaire varie suivant éq. (43) (en dérivant éq. (40)): dðd rad ðt ; x ; x 0 ÞÞ ZKD rad ðtin;k1; x 0 Þbe Kbðt Kt in Þ dt (43) La quantité de chaeur éémentaire échanée par une «ceue fuide» de masse dmzrs pass ð =Þdx 0 entre es instants tin et tout pendant son temps de séjour dans échaneur sera donc (à condition qu ee ne ressorte pas en x*z1, soit pour e cas typique L L %1): d Q ZKrc S pass T 0D rad ðt in;k1; x 0 Þbe Kbðt Kt in Þ dt dx 0 (44) Comme sinaé, nous utiiserons hypothèse d une température de fuide constante en entrée donc d un écart D rad(k) constant. Après intération pour toutes es particues durant eur temps de séjour (pour cacuer a puissance thermique échanée i faut mutipier par un facteur u/p), on obtient: Q rad Z 0 ZK1 x 0 ZKL LK1 ð t out t in d Q Z rc S pass T 0D radðk1þ L L F 1 ðbþ (45) où a fonction F 1 utiisée dans éq. (45) est définie par: F 1 ðbþ Z 1 C8b Ke Kbp 1 C4b (46) La Fi. 6 représente es évoutions de cette expression en fonction du paramètre b. On note a présence d une asymptote de vaeur maximae dès que bo (PrZ0,7). En d autres termes cea sinifie, si on observe aussi a Fi. 3, que pour es vaeurs de W om!1,75, a quantité de chaeur échanée entre e fuide et es parois peut être exprimée simpement par e produit de a masse fuide dépacée, de a capacité caorifique et de écart de température qu ee possède avec a paroi en x*zk1: Q rad;wom!1;75 zrc S pass dispt 0 D radðk1þ cas L L %1 (47) Pour W om tendant vers infini, b tend vers 0 et a quantité de chaeur échanée aussi: aux hautes fréquences, es transferts thermiques n ont pus e temps de se faire et i faut donc diminuer a distance inter-paques e si on veut maintenir une

36 P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 Fi. 5. Evoution temporee des profis des températures adimensionnes en fonction de a onueur de échaneur [K1,C1] et du dépacement reatif du fuide (D rad(k1) Z0,75, PrZ0,7: haut L L Z1, miieu L L Z1,5, bas L L Z0,5). (Nota: es fronts thermiques sont verticaux, apparence incinée provient d imperfections raphiques). vaeur de W om faibe et un échane thermique suffisant (a couche imite thermique diminuant avec a fréquence es échanes radiaux deviennent moins prépondérants que a diffusivité axiae). Si D rad(k1) varie dans e temps de manière sinusoïdae, comme dans e cas de machines de Stirin, intération de éq. (45) est pus compiquée, ainsi que expression de a fonction F 1 (b), qui dépend en pus de a phase entre température «d entrée» et vitesse. Ces aspects sont ons à détaier et mériteront une étude utérieure. Fi. 6. Représentation de a fonction F 1 en fonction de b. 3.3. Cas d un profi de température de paroi inéaire et constant dans e temps 3.3.1. Profi des températures du fuide L équation de a temperature de paroi est choisie ainsi: Tt ðx Þ Z T 1 KTK1 x C T 1 CTK1 (48) Les phénomènes de transferts thermiques sont pus compiqués orsqu i existe un radient de température e on des parois des paques. En substituant éq. (48) seon Tt ðc sin uþ, a soution de éq. (39) devient: T ðt ; xþ K T 1 CT K1 Kx T 1 KT K1 C b 1 Cb! T 1 KTK1 ðcos t Kb sin t Þ Z T ðk; xþ K T 1 CTK1 Kx T 1 KTK1 C b 1 Cb T1 KTK1 ðcos k Kb sin kþ e Kbðt KkÞ (49) On choisit toujours a constante k de manière à vérifier équation au temps tin en x * ZK1, es cacus font aors

P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 363 intervenir un déphasae 4 défini par: cos 4 Z b 1 Cb ; sin 4 Z 1 1 Cb (50) On exprime es écarts de températures par a notation: D rad Z T ðt ; xþ KTt ðx Þ; D on Z T1 KTK1 (51) Finaement on obtient expression de écart de température oca fuide/paroi en x* et au temps t*: D rad ðt ; x ; x 0 Þ C D on cosðt K4Þ Z D rad ðt ;K1Þ C D on cosðtin K4Þ e Kbðt Kt in Þ (5) Cette reation n est vaide que pour es particues qui ne ressortent jamais en x*z1 et pour es temps t e tin; tout : Deux écarts différents D rad(k1) et D on concourent à a variation du profi de température du fuide; i ya toujours une décroissance exponentiee de paramètre b. Par symétrie, pour e fuide qui retourne dans e système en passant par x*z1 (écart D rad (t*, 1)Z0, côté réservoir par hypothèse), i faut appiquer a reation: D rad ðt ; x ; x 0 Þ ZK D onðcosðtin 0 K4Þe Kbðt Kt 0 in Þ Kcosðt K4ÞÞ (53) Les Fi. 7 montrent es profies de température obtenus au cours du temps dans e fuide, e on des paques, pour deux vaeurs très différentes du paramètre b, et trois vaeurs de L L. Le cas présenté sur es Fi. 7 (T K1 KT 1 Z0,5, D rad Z 0,5) considère hypothèse d un radient néatif, ce qui doit normaement être e cas dans un échaneur si a température «d entrée» en x*zk1 est supérieure à cee de a paroi. On constate que es différences de température paroi-fuide sont inférieures au cas de a Fi. 5 (fronts thermiques moindres). De pus, après inversion du sens de écouement, i circue des particues de fuide, pus froides que a paroi, si bien que es échanes thermiques sont effectivement inversés et que e fuide se réchauffe. Sur une période, cet «effet réénérateur» amoindrit e transfert thermique oba de/vers extérieur: cette situation n est pas désirabe dans e cas d un échaneur de refroidissement par exempe. I faut veier aussi aux sines respectifs de D rad et D on dans es évoutions de température obtenues. Les remarques faites précédemment concernant des paques isothermes et infuence des paramètres L L et b étaient identiques mais dans e cas présent effet «réénérateur» est superposé à a décroissance exponentiee du radient de température «d entrée». 3.3.. Evauation des quantités de chaeur échanées entre e fuide et es paques Pour es particues «entrantes» comprises entre es positions d oriine x 0 ½KL L K1;K1Š, e cacu des quantités de chaeur échanées est mené comme dans e pararaphe 3.., mais i apparaît dans a dérivée de éq. (5) un terme compémentaire ié au radient de température des parois D on (éq. (51)): Q Z Q rad Crc S 0 pass D on 0 ZK1 ð pkt in! ðkbe Kbðt Kt in Þ cosðt x 0 ZKL in K4Þ LK1 t in Csinðt in K4ÞÞdt dx 0 Q Z rc S pass T 0D radðk1þ L L F 1 ðbþ Crc S pass T 0D on L L F ðbþ (54) avec 4 défini par éq. (50) et a fonction F par: F ðbþ Z 1 KeKpb Cpbð1 Cb Þ ð1 Cb Þ (55) Pour a quantité de fuide chassée des paques par a droite, e cacu est identique, mais à son retour, cette quantité «remonte e radient thermique» KD on depuis x*z1, ce qui annue obaement effet compémentaire précédent en F (éq. 55), de tee manière que pour e cas L L Z1 (toujours avec écart D rad (t*, 1)Z0, côté réservoir): Q LL Z1 Z Q rad Z rc S pass T 0D radðk1þ L L F 1 ðbþ (56) Si nous envisaeons e cas L L!1 des échaneurs ons (Fi. 4(b)), comme auparavant, a quantité de fuide qui reste constamment enfermée entre es paques représente obaement un échane thermique nu. La quantité de fuide pénétrant par a auche subit un radient axia ðt R KT K1 Þ pour eque: TR Z T 1 KTK1 ðl L K1Þ C T 1 CTK1 (57) Pour a quantité de az «sortant» à droite, e radient thermique s effectue pour ðtl KT 1 Þ avec: TL Z T 1 KTK1 ðl L K1Þ C T 1 CTK1 Au tota, échane thermique est: Q LL!1 Z rc S 0 pass T 0L L D radðk1þ F 1 ðbþ CF ðbþ ðt R KTK1 CTL KT1 Þ Z Q rad (58) (59) La quantité de chaeur échanée est identique à cee du cas précédent L L Z1 (en effet e second membre de a parenthèse dans éq. (59) s annue maré un échaneur pus on; ainsi (toujours dans hypothèse d un écouement

364 P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 Fi. 7. Représentation des profis de température seon a onueur et suivant b, (D rad(k1) Z0,5 et D on Z0,5 (trait épais: température de a paroi) haut L L Z1, miieu L L Z1,5, bas L L Z0,5). (Nota: es fronts thermiques sont verticaux, apparence incinée provient d imperfections raphiques). aminaire avec une conductivité axiae nue), a onueur suppémentaire d échane n a servi à rien. Si nous étudions enfin, e cas des échaneurs courts L L O1(Fi. 4(c)), es particues situées dans intervae x 0 ½KL L K1;K1Š, arrivent à ressortir par a droite (x*z1) au temps tout 0 et retournent dans e système au temps t 0 in : tout 0 Z Arc sin K1 C 1 Kx 0 ; tin 0 Z p Ktout 0 (60) L L Pour cette fraction de fuide, a quantité de chaeur échanée dans e sens auche vers droite est: Q 1 Z rc S pass D radðk1þt 0 Q 11 Crc S pass D ont 0 Q 1 (61) avec: Q 11 Z 0 ZK1 x 0 ZKL LC1 ð1 Ke Kbðt outkt in Þ Þdx 0 (6) 0 ZK1 Q 1 Z ðe Kbðt in Kt0 outþ cosð4 KtinÞ Kcosð4 KtoutÞÞdx 0 x 0 Z1KL 0 L (63) Dans autre sens e radient thermique est inversé et a quantité échanée s écrit: Q1 0 ZKrc S 0 pass D ont 0 Q p1 (64) avec: Q p1 Z 0 ZK1 x 0 Z1KL L ðe Kbðt in Kt outþ cosð4 Kt 0 in Þ Kcosð4 Kt outþþdx 0 Z Q 1 (65) Pour a fraction fuide qui ne ressort pas à droite

P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 365 (Fi. 4(b)), on a: Q Z rc S pass D radðk1þt 0 Q 1 Crc S 0 pass D ont 0 Q (66) avec: Q 1 Z 0 Z1KL L x 0 ZL LK1 ð1 Ke Kbðt outkt in Þ Þdx 0 (67) 0 Z1KL L Q Z ðe Kbðt outkt in Þ cosð4 KtinÞ Kcosð4 KtoutÞÞdx x 0 ZK1KL 0 L (68) Enfin pour a masse de fuide chassée des paques et comprise dans intervae x 0 ½KL L K1; 1KL L Š, on a: Q 3 ZKrc S 0 pass D ont 0 Q 31 (69) avec: 0 Z1KL L Q 31 Z ðe Kbðt outkt in Þ cosð4 KtinÞ Kcosð4 KtoutÞÞdx x 0 ZK1KL 0 L Z Q (70) Gobaement, i vient Q LL O1ZQ 1 CQ 0 1CQ CQ 3, soit compte tenu des éqs. (61) à (70): Q LL!1 Z rc S pass T 0D radðk1þ ðq 11 CQ 1 Þ Krc S 0 pass T 0 D onðq 1 KQ p1 Þ (71) Cette reation est à comparer à éq. (45): Q rad Z rc S 0 pass T 0 D radðk1þ L L F 1 ðbþ du cas L L %1. Les Fis. 8 et 9 représentent es évoutions des deux termes du second membre de éq. (71). Le terme (Q 11 C Q 1 ) tend évidemment vers a vaeur L L F 1 (b) pour L L Z1, sinon i reste toujours pus faibe et ceci d autant pus que L L aumente et que b diminue (soit W om rand): pour un échaneur trop court, échane thermique n est pas tota. En fonction du sine de a différence des températures az/paque D rad(k1) en x*zk1, e second terme de éq. (71) (D on ) rajoute de a chaeur au fuide si T 1 OT K1, sinon i intervient comme un retrait suppémentaire de chaeur. Ici encore es phénomènes sont ampifiés pour es pus faibes vaeurs de b. Dans hypothèse d un écart D rad(c1) symétrique de D rad(k1) par rapport à a température de paroi, e bian thermique oba devient nu et échaneur se comporte comme un véritabe réénérateur; au contraire si es deux écarts sont du même sine, es échanes thermiques sont doubés. Fi. 8. (Q 11 CQ 1 )/(L L F 1 (b)) en fonction de L L et seon b cas L L O1. 4. Concusions Les équations théoriques d un modèe D ont été adimensionaisées de manière à faire apparaître es paramètres caractéristiques des écouements osciants à vitesse moyenne axiae nue. Neuf roupes principaux ont été ainsi mis en évidence, is sont reportés dans e Tabeau 1 avec eur sinification. Parmi ceux-ci, e rapport du dépacement L L, e nombre W om et e nombre Pr prennent une pace prépondérante. La description des phénomènes de transfert thermique entre une paroi, présentant ou non un radient thermique, et un fuide en écouement osciant, a pu être enaée àpartir du cas simpifié d un écouement aminaire incompressibe avec température d entrée constante. La modéisation introduit a notion de nombre de Nusset compexe (Fi. ) afin de tenir compte de existence d une phase entre transfert thermique et écarts de température. Nous avons pu étabir expression anaytique (éqs. (39), (49)) des écarts de température fuide/paque en fonction du temps et en variabe aranienne (c est-à-dire en suivant es particues fuides) et montrer importance du paramètre L L et des paramètres b et iés au nombre de Nusset compexe (éq. (37)). Une décroissance exponentiee de paramètre b des écarts de température d extrémité fuide-paroi a pu être démontrée. L étude paramétrique (Fi. 5) tend à prouver que a phase entre transfert thermique et écarts de température joue un rôe prépondérant dans es échanes Fi. 9. (Q 1 KQ p1 ) en fonction de L L et seon b, cas L L O1.

366 P. Nika et a. / Internationa Journa of Refrieration 8 (005) 353 367 thermiques, via e paramètre b et a fonction mutipicative F 1 (b) (éq. (45) et Fi. 6). L étude montre (éq. (51), Fi. 6) qu i faut se imiter à des vaeurs bo, c est-à-dire W om! 1,33 pour obtenir un transfert de chaeur maxima, pour diminuer e déphasae entre a différence de température fuide/paroi et e fux thermique échané (Nu I1 /0). Pour des appareis fonctionnant à des fréquences éevées, i faudra veier à diminuer espace inter-paque ou e diamètre hydrauique afin de respecter ces conditions. En ce qui concerne efficacité des échanes thermiques, e cas idéa correspond à L L Z1: i est inutie d empoyer des onueurs de paques surdimensionnées (L L!1) car effet thermique oba des particues fuides enfermées est nu. Choisir L L O1 ne conduit pas à un échaneur pus performant non pus; des raphiques de correction ont été donnés dans ce dernier cas (Fis. 8 et 9). Notons cependant que es cacus ne prennent pas en compte es onueurs d étabissement des réimes hydrauiques ni es phénomènes de turbuence aux extrémités, i pourrait donc être intéressant d utiiser des vaeurs L L!1. L existence d un radient thermique (D on néatif) e on des parois est un facteur défavorabe pouvant énérer des échanes de chaeur contradictoires avec a paroi entre es périodes d aer et retour du fuide: i se produit aors un «effet de réénération». Une discontinuité de température D rad maximae aux deux extrémités ainsi qu un radient axia D on minimum sont donc nécessaires pour maximiser es échanes de chaeur. I reste dans e futur à se consacrer à étude des températures d entrée variabes, des profis de température non inéaires, (sinusoïdaux en particuier) et surtout aux fuides compressibes de manière à confirmer/infirmer es résutats exposés dans ce travai. References [1] M. Ozdinç, M. Carpiniou, Y. 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