14 Cours - Calcul matriciel.nb 1/13. Calcul matriciel

14 Cours - Calcul matriciel.nb 1/13 Calcul matriciel I) Ensemble M n,p HKL 1) Définition d une matrice à n lignes et p colonnes 2) Notation dévelopée ou condensée 3) Ensemble des matrices à n lignes et p colonnes 4) Egalité de deux matrices 5) Addition et produit par un scalaire 6) Transposition de matrice 7) Quelques types particuliers de matrices II) Produit de matrices 1) Définition du produit 2) Remarque pratique importante 3) Exemples de calcul 4) Ecriture matricielle d un système linéaire 5) Premières propriétés du produit 6) ATTENTION aux propriétés fausses 7) Produit et transposition 8) La matrice identité 9) Puissance d une matrice carrée 10) Trace d une matrice carrée III) Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 1) Définition et codage 2) Matrices élémentaires 3) Traduction matricielle de l algorithme de Gauss-Jordan de résolution d un système linéaire 4) Opérations élémentaires sur les colonnes d une matrice IV) Matrices carrées inversibles 1) Matrices inversibles 2) Une condition de non-inversibilité 3) Inversibilité des matrices élémentaires 4) Matrice échelonnée réduite inversible 5) Conditions équivalentes d inversibilité d une matrice 6) Calcul de l inverse d une matrice par l algorithme de Gauss-Jordan 7) Exercices

14 Cours - Calcul matriciel.nb 2/13 K désigne ou. Un scalaire est un élément de K. I) Ensemble M n,p HKL 1) Définition d une matrice à n lignes et p colonnes Soient n, p œ *. Une Hn, pl (ou näp) matrice à coefficients dans K (K = ou ) est un tableau rectangulaire de n lignes et p colonnes d éléments de K. 2) Notation dévelopée ou condensée a) Notation développée a 1,1 a 1,2... a 1,p M = a 2,1 a 2,2... a 2,p ª ª ª ª a n,1 a n,2... a n,p. Le terme a i,j est à l intersection de la i ième ligne et de la j ième colonne. La i ème ligne de M est a 1,j L i = Ia i,1 a i,2... a i,p M et la j ième colonne de M est C j = a 2,j ª a n,j. b) Notation condensée M = Ia i,j M 1bibn ou M = Ia i,j M lorsque les dimensions de la matrice sont connues. La matrice nulle est notée (0) ou 0. 1bjbp c) Exercices a) Développer les matrices 3ä3 M = Ii 3 - j 3 M et N = HminHi, jll b) Développer la matrice nän P = H Hi + jl @ndl g) Ecrire de façon condensée A = 1 2 3 n 2 1 2 ª 3 2 3 ª 2 n 3 2 1 3) Ensemble des matrices à n lignes et p colonnes L ensemble des Hn, pl matrices à coefficients dans K est noté M n,p HKL. 4) Egalité de deux matrices n = n' et p = p' Soient M = Ia i,j M œ M n,p HKL et M ' = Ia' ij M œ M n',p' HKL. Alors M = M ' ñ : " i œ 81,..., n<, " j œ 81,..., p<, a i,j = a' i,j Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont les mêmes dimensions et les mêmes termes aux mêmes endroits

14 Cours - Calcul matriciel.nb 3/13 5) Addition et produit par un scalaire a) Définition Soient Ia i,j M et Ib i,j M deux matrices de M n,p HKL. On pose Ia i,j M + Ib i,j M = Ia i,j + b i,j M et l.ia i,j M = Ila i,j M b) Exemple On pose M Ha, bl = a + b a - b 2 a + b a " a, b œ, M Ha, bl = a.a + b.b pour a, b œ. Déterminer deux matrices A et B constantes telles que 6) Transposition de matrice a) Définition Soit A = Ia i,j M œ M n,p HKL. La transposée de A, notée t A ou A T, est la matrice t A = Ib i,j M de M p,n HKL telle que " Hi, jl œ 81,..., p< µ 81,..., n<, b i,j = a j,i. b) Exemples a) Transposer la matrice M = 1 0 2 3-1 4. a b c b) On pose A = d e f. Calculer t A et t A - A. g h i c) Remarque Transposer une matrice A revient à faire une symétrie du tableau de nombres A par rapport à la droite d équation j = i. d) Propriétés 1) " A, B œ M n,p HKL et " l, m œ K, t Hl A + m BL = l t A + m t B 2) " M n,p HKL, t ta = A. 7) Quelques types particuliers de matrices a) Définitions Soit A = Ia ij M œ M n,p HKL une matrice. Alors: A est une matrice ligne ñ n = 1 A est une matrice colonne ñ p = 1 A est une matrice carrée ñ n = p A est une matrice diagonale ñ A est carrée et " i, j œ 81,..., n<, i j fl a i,j = 0 A est une matrice symétrique ñ A est carrée et t A = A A est une matrice antisymétrique ñ A est carrée et t A = -A A est une matrice triangulaire supérieure ñ A est carrée et " i, j œ 81,..., n<, i > j fl a i,j = 0 A est une matrice triangulaire inférieure ñ A est carrée et " i, j œ 81,..., n<, i < j fl a i,j = 0

14 Cours - Calcul matriciel.nb 4/13 b) Exemples Ecrire, avec des coefficients a, b, c,..., la forme générique d une matrice 3ä3 : D diagonale, S symétrique, AS antisymétrique, TS triangulaire supérieure, TI triangulaire inférieure. c) Ensemble des matrices carrées M n HKL On note M n HKL = M n,n HKL l ensemble des matrices carrées nän. II) Produit de matrices La définition du produit des matrices vient du fait que les matrices sont destinées à représenter les applications linéaires en dimension finie, le produit de deux matrices devant représenter la composée des deux applications linéaires correspondantes. (Voir cours sur les espaces vectoriels) 1) Définition du produit Soient A = Ia i,j M œ M n,p HKL et B = Ib i,j M œ M p,q HKL. p La matrice C = AäB est la matrice C = Ic i,j M œ M n,q HKL telle que c i,j = S ai,k b k,j pour i œ 81,..., n< et j œ 81,..., p<. k=1 Attention: on ne peut effectuer le produit AäB que lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. 2) Remarque pratique importante p c ij = S ai,k b k,j = Ia i,1 a i,2... a i,p Mä k=1 b 1,j b 2,j ª b p,j = L i HALäC j HBL est le produit de la i ème ligne de A par la j ième colonne de B. 3) Exemples de calcul a) Avec A = 1 2-1 0 3 1 B = 0 1 2 3-1 3-2 1 2 C = 1 0 1 4, calculer tous les produits possibles. b) Avec A = 0 0.. 1 0 0... 0 et B = 0 0... 0 0 0... 0 nän 1 0.. 0 0 0... 0, calculer A 0 0... 0 2, B 2 A B et B A. 0 0... 0 nän

14 Cours - Calcul matriciel.nb 5/13 c) Prouver que la somme et le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure. 4) Ecriture matricielle d un système linéaire Le système linéaire de n équations à p inconnues x 1,..., x p (S) : HA BL s écrit A X = B, avec X = x 1 ª x p. 5) Premières propriétés du produit On suppose que les produits existent Alors: (a) Le produit est associatif: AäHBäCL = HAäBLäC (b) Le produit est distributif par rapport à l addition: AäHB + CL = AäB + AäC (c) Pour l œ K, l HAäBL = AäHl BL = Hl ALäB et HB + CLäA = BäA + CäA 6) ATTENTION aux propriétés fausses a) Le produit N EST PAS commutatif: AäB BäA en général b) L implication AäB = H0L fl A = H0L ou B = H0L est FAUSSE. Pour a), avec A = 1 0 0 0 Pour b), avec et A = 0 1 0 0 7) Produit et transposition et B = 0 1 0 0 et B = 1 0 0 0, on a AäB = 0 1 0 0 et BäA = 0 0 0 0 on a AäB = H0L mais A H0L et B H0L Théorème: Lorsque le produit A äb existe, on a t HAäBL = t B ät A.

14 Cours - Calcul matriciel.nb 6/13 8) La matrice identité a) Exercice On pose I n = 1 0... 0 0 1... 0 ª ª ª 0 0... 1 nän. Soit A = Ia i,j M œ M n HKL. Calculer AäI et I äa avec I = I n. b) Définition La matrice I n = 1 0... 0 0 1... 0, appelée matrice identité d ordre n, est l élément neutre de M n HKL pour la multiplication. ª ª ª 0 0... 1 nän On note souvent en abrégé I = I n. On a " A œ M n HKL, AäI n = A = I n äa. c) Exercice Trouver toutes les matrices A de taille 2ä2 telle que A 2 = I 9) Puissance d une matrice carrée a) Définition Pour une matrice carrée A et n œ * on pose A n = AäAä...äA (n fois A). On pose A 0 = I. b) Egalités remarquables ATTENTION: par exemple HA - BL HA + BL = A 2 - A B + B A - B 2 A 2 - B 2, à moins que A B = B A... Les égalités remarquables usuelles sont vraies pour les matrices A et B qui commutent, c est à dire telles que A B = B A. Les égalités remarquables usuelles sont les développements de HA + BL n, de HA - BL n et la factorisation de A n - B n.

14 Cours - Calcul matriciel.nb 7/13 c) Exemple On pose A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0. En écrivant A = B - I et en utilisant la formule du binôme, calculer A p pour p œ *. Généraliser et calculer A p pour A = Ia i,j M nän avec a i,j = 0 si i = j et a i,j = 1 si i j. d) Exercice On pose A = 1-3 6 6-8 12 3-3 4 a) Trouver deux réels a et b tels que A 2 = a A + b I.. b) Montrer que pour tout entier n il existe deux réels x n et y n tels que A n = x n A + y n I g) Calculer x n + y n, puis x n et y n en fonction de n 10) Complément: Trace d une matrice carrée (normalement au programme de spé) a) Définition Soit A = Ia ij M œ M n HKL. On définit la trace de A, que l on note tr HAL, par trhal = a 1,1 + a 2,2 +... + a n,n. tr HAL est la somme des termes de la diagonale principale de A. Par exemple, tr HI n L = n et trh H0L L = 0.

14 Cours - Calcul matriciel.nb 8/13 b) Propriétés 1) " l, m œ K, " A, B œ M n HKL, trhl A + m BL = l tr HAL + m trhbl. 2) " A, B œ M n HKL, trha BL = trhb AL c) Exercices a) Trouver deux matrices A, B œ M 3 H L telles que A B - B A = I 3 b) Soit A = Ia ij M œ M n H L. Démontrer que: tria t AM = 0 fl A = H0L III) Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 1) Définition et codage On appelle opération élémentaire sur les lignes d une matrice l une des trois transformations suivantes: (1) Echange de deux lignes. Par exemple L 1 õl 2. (2) Multiplication d une ligne par l 0. Par exemple L 1 ô3 L 1. (3) Ajout à une ligne du produit d une autre ligne par l œ K. Par exemple L 2 ôl 2-3 L 3. 2) Matrices élémentaires a) Définitions Soient i, j deux entiers distincts de 81,... n<. Soit l œ K. On note I = I n la matrice identité d ordre n, et ses lignes L 1,... L n. Alors les matrices élémentaires sont: La matrice de permutation P i,j qui est la matrice obtenue en échangeant les lignes L i et L j dans I. La matrice de dilatation D i HlL qui est la matrice obtenue en faisant L i ôl L i dans la matrice I. (Avec l 0) La matrice de transvection T i,j HlL qui est la matrice obtenue en faisant L i ôl i + l L j dans la matrice I. (Avec i j) b) Exemples Avec n = 4, écrire les matrices P 1,3 puis D 2 HlL puis T 4,1 HlL.

14 Cours - Calcul matriciel.nb 9/13 c) Théorème Soit A œ M n,p HKL. Alors : Effectuer l opération élémentaire L i õl j sur une matrice A revient à calculer P i,j äa. Effectuer l opération élémentaire L i ôl L i sur une matrice A revient à calculer D i HlLäA. Effectuer l opération élémentaire L i ôl i + l L j sur une matrice A revient à calculer T i,j HlLäA. Preuve avec n = p = 3, i = 2 et j = 1 3) Traduction matricielle de l algorithme de Gauss-Jordan de résolution d un système linéaire Soit A œ M n,p HKL. Alors il existe une matrice E œ M n HKL produit de matrices élémentaires et une unique matrice R échelonnée réduite de M n,p HKL telles que E ä A = R. Preuve: d après le chapitre précédent, on peut ramener la matrice A à une unique matrice échelonnée réduite R par une suite de transformations élémentaires sur les lignes de A. Or ( théorème précédent) effectuer une opération élémentaire sur les lignes de A revient à multiplier A à gauche par une matrice élémentaire E i (matrice de permutation de dilatation ou de transvection). Si l on note E 1, E 2,..., E q les matrices élémentaires dans la suite de transformations élémentaires, alors on aura E q äe q-1 ä... E 1 ä A = R. En notant E = E q ä E q-1 ä... E 1, alors E ä A = R et le théorème est démontré. 4) Opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice Ce sont les mêmes que sur les lignes, mais sur les colonnes. On démontre facilement que: Soit A œ M n,p HKL. Alors : Effectuer l opération élémentaire C i õc j sur une matrice A revient à calculer AäP i,j. Effectuer l opération élémentaire C i ôl C i sur une matrice A revient à calculer AäD i HlL. Effectuer l opération élémentaire C i õc i + l C j sur une matrice A revient à calculer AäT i,j HlL. Les matrices élémentaires sont ici des matrices de M p HKL. Et on définit: Deux matrices sont équivalentes en lignes (respectivement en colonnes) lorsqu on peut passer de l une à l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes (respectivement les colonnes). On note M ~ L M ' (respectivement M ~ C M ').

14 Cours - Calcul matriciel.nb 10/13 IV) Matrices carrées inversibles 1) Matrices inversibles a) Définitions Une matrice A œ M n HKL est inversible (pour ä) ñ il existe une matrice B œ M n HKL telle que AäB = I n = BäA. On note alors A -1 = B. On note GL n HKL l ensemble des matrices carrées nän inversibles. (GL comme groupe linéaire) Par exemple, si l 0, A = l I est inversible et A -1 = 1 l I car: b) Propriétés (1) L inverse d une matrice, s il existe, est unique. (2) Soient A, B œ M n HKL telles que AäB = I n ou BäA = I n. Alors A est inversible et A -1 = B. (3) Soit A œ M n HKL. Alors A est inversible ñ t A est inversible. Dans ce cas I t AM -1 = t HAL -1 (4) Soient A, B œ M n HKL inversibles. Alors AäB est inversible et HAäBL -1 = B -1 äa -1. (Attention à l ordre) 2) Une condition de non-inversibilité a) Théorème Soit A œ M n HKL. S il existe B œ M n HKL non nulle telle que AäB = 0 ou BäA = 0, alors la matrice A n est pas inversible. b) Exemples a) Prouver que A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 et B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ne sont pas inversibles.

14 Cours - Calcul matriciel.nb 11/13 b) Prouver qu une matrice qui comporte une ligne ou une colonne de zéro n est pas inversible. g) Soit A œ M n H L telle qu il existe p œ * tel que A p = 0. Prouver que I - A est inversible, et que A ne l est pas. c) Exercice On pose MHa, bl = a + b a a b - a pour a, b œ et E = 9MHa, bl ê Ha, bl œ 2 =. 1) Prouver que M Ha, bl M Hc, dl œ E. 2) Chercher les matrices M Ha, bl de E qui sont inversibles dans E et calculer M Ha, bl -1. 3) Inversibilité des matrices élémentaires Les matrices élémentaires sont inversibles. Plus précisément: IP i,j M -1 = P i,j HD i HlLL -1 = D i J 1 N (l 0) l IT i,j HlLM -1 = T i,j H-lL (i j) Preuve avec n=3, i=2 et j=1

14 Cours - Calcul matriciel.nb 12/13 4) Matrice échelonnée réduite inversible La seule matrice échelonnée réduite de M n HKL inversible est la matrice identité I n. 5) Conditions équivalentes d inversibilité d une matrice Soit A œ M n HKL une matrice carrée d ordre n. Alors les 5 propriétés suivantes sont équivalentes: (1) A est inversible (2) A ~ I n ou A ~ I n. L C (3) Le système A X = 0 n admet que la seule solution X = 0 (4) Pour tout B, le système A X = B admet une unique solution (5) Pour tout B, le système A X = B admet au moins une solution Remarque importante: lorsque A est inversible, A X = B ñ X = A -1 B 6) Calcul de l inverse d une matrice par l algorithme de Gauss-Jordan a) Théorème Soit A œ M n HKL. On sait qu il existe une matrice E œ M n HKL produit de matrices élémentaires et une unique matrice R échelonnée réduite de M n HKL telles que EäA = R. Comme E est un produit E = E q E q-1... E 1 de matrices élémentaires donc inversibles, alors E est inversible. Alors A est inversible ñ R est inversible ñ R = I d après le théorème 4). On aura alors A -1 = E, donc A -1 = E q E q-1... E 1. Par exemple, pour n = 3, si E = P 1,2 D 2 H5L T 2,3 H7L, alors A -1 = P 1,2 D 2 H5L T 2,3 H7L. b) Calcul pratique de A -1 Remarque importante: Si la matrice A n est pas inversible, le système sera incompatible. a) Présentation systèmes On utilise la remarque AX = Y ñ X = A -1 Y. En prenant Y = y 1 ª y n, la résolution de A Y = B nous donne X puis A -1. En pratique, on résout le système HA YL par l algorithme de Gauss-Jordan. b) Présentation matrices On résout le système (qui n en n est pas un) HA IL par l algorithme de Gauss-Jordan. Alors HA IL ñ HE 1 A E 1 IL ñ HE 2 E 1 A E 2 E 1 L ñ... ñ IE q E q-1... E 1 A E q E q-1... E 1 M ñ HI XL avec X = E q E q-1... E 1 = A -1.

14 Cours - Calcul matriciel.nb 13/13 7) Exercices a) Inverser si possible les matrices A = 1 2 3 4, B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 et C = 1 3 2 2 1-2 1 2 1-2 2 b) Inverser la matrice A = Ia i,j M nän avec a i,j = 0 si i > j et a i,j = 1 si j r i. c) Calculer l'inverse, si elle existe, de la matrice A = Ia ij M nän avec " i, j œ 81,..., n<, i j fl a i,j = 1et a i,i = 1 + a, où a œ.