Corrigé, bac S, mathématiques jeudi juin 0 Eercice 4 points Le plan est muni d un repère orthonormé (O; ı ; j) On considère une fonction f dérivable sur l intervalle [ 3; ] On dispose des informations suivantes : f (0) = La dérivée f de la fonction f admet la courbe représentative C ci-dessous j O ı Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse Pour tout réel de l intervalle [ 3; ], f () 0 VRAI, la courbe de f se trouve en dessous de l ae des abscisses sur cet intervalle La fonction f est croissante sur l intervalle [ ; ] VRAI, la courbe de f se trouve au dessus de l ae des abscisses sur cet intervalle, f ) 0 sur [ ; ] la fonction f est ainsi croissante sur [ ; ] 3 Pour tout réel de l intervalle [ 3; ], f () FAUX Si l on fait un tableau de variations, on voit que le minimum est atteint pour = et, du fait que la fonction f est croissante sur [ ; ], on a < 0 = f ( ) < f (0) = 3 0 f () 0 + f () f ( ) 4 Soit C la courbe représentative de la fonction f La tangente à la courbe C au point d abscisse 0 passe par le point de coordonnées (; 0) VRAI Par lecture sur le graphique, on voit que f (0) = On calcule l équation de la tangente au point d abscisse 0 : y ( ) = ( 0) y = Elle passe par le point de coordonnées (; 0)
Eercice n o 5 points Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement La procédure retenue est la suivante Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier 40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l entreprise Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l issue duquel 70% d entre eu sont retenus Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 5% des candidats rencontrés On choisit au hasard le dossier d un candidat ; On considère les événements suivants : D : «Le candidat est retenu sur dossier», E : «Le candidat est retenu à l issue du premier entretien», E : «Le candidat est recruté» a) Reproduire et compléter l arbre pondéré ci-dessous : 0,5 E 0,7 E 0,4 D 0,75 E 0,3 E 0,6 D b) Probabilité de l événement E : p(e ) = p(e D) + p(e D) = p(e } {{ } D) = p D (E ) p(d) = 0,7 0,4 = 0,8 =0 c) On note F l événement «Le candidat n est pas recruté» Probabilité de l événement F : p(f) = p(d) + p(e D) + p(e E ) = p(d) + p D (E ) p(d) + p E (E ) p(e ) = 0,6 + 0,3 0,4 + 0,75 0,8 = 0,93 Donc, la probabilité que le candidat soit recruté est égal à 0,07 Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres on admet que la probabilité que chacun d eu soit recruté est égal à 0,07 On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats a) Chaque événement est indépendant des autres Il n y a que deu issues et on répète chaque événement cinq fois La probabilité du succès est p = 0,07, le nombre d événement est n = 5 Nous sommes bien en présence d une loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0,07
b) Probabilité que deu eactement des cinq amis soient recrutés : ( ) 5 p(x = ) = (0,07) (0,97) 3 = 0 (0,07) (0,97) 3 0,039 3 On considère ici une loi binomiale de paramètre n et p = 0,07 Nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 : ( ) n p(x ) = p(x = 0) 0,999 (0,07) 0 (0,97) n 0,999 0,93 n 0,999 0 (croissance de la fonction ln) 0,00 0,93 n ln(0,00) n ln(0,93) On prendra donc n = 96 (ln(0,93) < 0) 9587 ln(0,00) ln(0,93) n Eercice n o 3 6 points Partie A On désigne par f la fonction définie sur l intervalle [; + [ par : Limite de la fonction f en + : lim f () = 0, car lim + Pour tout réel de l intervalle [; + [ : f () = ( + + ln ) + + + = 0 et lim + + = lim = + + f () = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) > 0 + La dérivée est positive sur [; + [, la fonction f y est donc croissante : Tableau de variations de la fonction f : f () + + f () + ln 0 f () = + ln 0,93 3 La fonction f est négative sur l intervalle [; + [, car majorée par 0 3
Partie B Soit (u n ) la suite définie pour tout entier strictement positif par : u n = + + 3 + + n lnn La valeur eacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n = 3 est : u = + + 3 = 6 Recopier et compléter l algorithme précédent afin qu il affiche la valeur u n lorsque l utilisateur entre la valeur de n VARIABLES i EST_DU_TYPE NOMBRE 3 n EST_DU_TYPE NOMBRE 4 u EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 LIRE n 7 u PREND_LA_VALEUR 0 8 POUR i ALLANT_DE A n 9 DEBUT_POUR 0 u PREND_LA_VALEUR u+/i FIN_POUR u PREND_LA_VALEUR u-log(n) 3 AFFICHER "u: " 4 AFFICHER u 5 FIN_ALGORITHME 3 Voici les résultats fournis par l algorithme modifié, arrondis à 0 3 Partie C n 4 5 6 7 8 9 0 00 000 500 000 u n 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,63 0,66 0,58 0,578 0,578 0,577 Conjectures : La suite semble être décroissante Elle semble converger vers 0,5? 0,57? Pour tout entier strictement positif n, n u n+ u n = + + n + n + ln(n+) n +lnn = n + ln(n+)+lnn = n + +ln où f est la fonction définie dans la partie A Nous avons vu que, pour n, f (n) = u n+ u n < 0 ; la suite est donc décroissante a) Soit un entier strictement positif Inégalité : + + 0 0 + ( (par intégration) ) + d 0 d = 0 n n + = f (n) 4
+ ( ) + + [ ] d 0 = d + d 0 = + d b) Ainsi : + d = [ln ]+ = ln( + ) ln ln ln () ln3 ln ln4 ln3 3 ln(n + ) lnn n ln(n + ) = ln(n + ) ln + + 3 + + n ln(n + ) lnn + + 3 + + n lnn = u n c) La fonction ln étant croissante, ln(n + ) lnn ln(n + ) lnn 0 Ainsi, pour tout entier strictement positif n, u n 0 3 La suite (u n ) étant décroissante et minorée par 0, est convergente Eercice n o 4 5 points Le plan complee est muni d un repère orthonormal direct (O; u ; v) On appelle f l application qui à tout point M d affie z, différente de, fait correspondre le point M d affie z + Soient A, B et C les points d affies respectives z A =, z B = + i et z C = i a) Voir en fin b) z A = + = ; z B = + i + = 5 4 5 i ; z C = i = + i c) Les points A, B et C ne sont pas alignés : z B z A = 5 4 5 i = 8 5 4 5 i ; z C z A = + i = + i Les vecteurs A B et A C ne sont pas colinéaires, (il y a un nombre impair de signes moins) Les trois points ne sont pas alignés Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d affie z fait correspondre le point M d affie z + a) g est une translation de vecteur u ( 0) b) Voir plus loin 5
c) La droite D est la médiatrice du segment dont les deu etrémités sont O(0,0) et (,0) Tout point M d affie z de la droite D est donc à égale distance de ces deu points, d où la relation z = z 0 = z 3 Soit h l application qui, à tout point M d affie z non nulle, associe le point M d affie z a) Nous avons, pour tout point M d affie z du plan : Donc : h(a ) = A, h(b ) = B et h(c ) = C g h M M M z g z = z + h z = = z z + = z b) Démontrer que, pour tout nombre complee non nul z, on a : z z = z = z z z = z = c) L image par h de la droite D est incluse dans un cercle C de centre le point I d affie et le rayon 4 Donc, comme le montre la question 3 a), l image par l application f de la droite D y B B C A A 0 0 C A C B 6