I Nombre dérivé et tangente Soit f une fonction définie sur un intervalle I, sa représentation grapique dans un repère et A, le point de d abscisse a Taux de variation Définition : Le taux de variation de la fonction f entre a et b, avec a b, est le quotient Avec b a + et 0, ce quotient s écrit aussi r() f(a + ) f(a) f(b) f(a) b - a Interprétation grapique Soient A et B les points de coordonnées A(a ;f(a)) et B(a + ;f(a + )) Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à yb ya xb - xa ; c est-à-dire f(a+) f(a) Le taux de variation de f entre a et a + est égal au coefficient directeur de la droite (AB) Nombre dérivé Supposons que pour des valeurs de de plus en plus proces de zéro, (avec 0), r() devient de plus en plus proce d un nombre fixé l On dit que l on cerce la limite de r() quand tend vers 0 On écrit lim 0 r() et on lit «limite de r() quand tend vers 0» Définition : On dit alors que la fonction f est dérivable en a et que l est le nombre dérivé de f en a Ce nombre dérivé est noté f (a) avec : f(a+) - f(a) f (a) lim 0
On considère la fonction f : x x² et a Alors f(a + ) f( + ) ( + )² + 2 + ² et f(a) f() ² f(a + ) f(a) + 2 + ² - 2 + ² Donc 2 + Et f () lim 0 (2 + ) 2 Tangente en un point à une courbe Grapiquement, lorsque tend vers 0, le point B de se rapproce de A Le coefficient directeur de (AB) tend vers f (a) lorsque B se rapproce de A Définition : Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f (a) Vocabulaire : Le point A(a ;f(a)) est le point de contact de la tangente et de f Remarque : Si f (a) 0, la tangente en A est parallèle à l axe des abscisses Equation de la tangente à au point d abscisse a : y f (a)(x a) + f(a) 2
II Fonction dérivée Définition Si f est une fonction dérivable en tout point a d un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I La fonction qui, à caque réel x de I, associe le nombre dérivé f (x) de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f Soit f la fonction définie sur par f(x) x² Déterminons la fonction dérivée f de f si elle existe (a + )² - a² a² + 2a + ² - a² On étudie le rapport r() La limite de r() lorsque tend vers 0 est 2a Donc la fonction f est dérivable sur et f (a) 2a 2a + ² La fonction dérivée f de f est donc définie par f (x) 2x pour tout x de 2a + Dérivée des fonctions usuelles Type de fonction Fonctions affines définies sur f(x) mx + p Fonctions puissances définies sur f(x) x n avec n entier naturel non nul Fonction inverse définie sur ]- ;0[ ]0 ;+ [ f(x) x Fonction racine carrée définie sur [0 ;+ [ f(x) x Fonction dérivée f est dérivable sur et f (x) m f est dérivable sur et f (x) nx n- s f est dérivable sur ]- ;0[ ]0 ;+ [ et f (x) - x² f est dérivable sur ]0 ; + [ et f (x) 2 x Cas particuliers : Fonctions constantes (fonctions affines avec m 0) f(x) p f (x) 0 Fonctions linéaires (fonctions affines avec p 0) f(x) mx f (x) m Fonction carré f(x) x² f (x) 2x Fonction cube f(x) x 3 f (x) 3x² 3
III Dérivées et opérations Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I Dérivée de u + v Si f(x) u(x) + v(x), alors f dérivable sur I et f (x) u (x) + v (x) La fonction f définie sur par f(x) x² + 3x est la somme de deux fonctions u et v définies par u(x) x² et v(x) 3x u et v sont deux fonctions dérivables sur avec u (x) 2x et v (x) 3 Donc f est dérivable sur et f (x) u (x) + v (x) 2x + 3 Dérivée de u v Si f(x) u(x) v(x) alors f est dérivable sur I et : f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) La fonction f définie sur par f(x) 2x(3x + ) est le produit de deux fonctions u et v définies sur par u(x) 2x et v(x) 3x + u et v sont deux fonctions dérivables sur avec u (x) 2 et v (x) 3 Donc f est dérivable sur et f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) 2 (3x + ) + 2x 3 Soit f (x) 6x + 2 + 6x 2x + 2 Dérivée de k u (avec k constante réelle) Si f(x) k u(x) avec k constante réelle, alors f est dérivable sur I et f (x) ku (x) Soit f la fonction définie sur par f(x) 7x² f(x) est de la forme k u(x) avec k 7 et u(x) x² Donc f (x) k u (x) 7 2x 4x Dérivée de u² Si f(x) (u(x))², alors f est dérivable sur I et f (x) 2 u (x) u(x) Soit f la fonction définie sur par f(x) (x² + )² f(x) est de la forme (u(x))² avec u(x) x² + Or u (x) 2x Donc f (x) 2 u (x) u(x) 2 2x (x² + ) 4x(x² + ) 4
Dérivée de v Si f(x) v (x) avec v(x) 0 sur I, alors f est dérivable sur I et f (x) - v(x) Soit f la fonction définie sur par f(x) f(x) est de la forme 3x² + 4 avec v(x) 3x² + 4 Or v (x) 3 2x 6x Donc f (x) - v'(x) - 6x (3x² + 4)² Dérivée de u v Si f(x) u(x) avec v(x) 0 sur I, alors f est dérivable sur I et v(x) u (x) v(x) u(x) v (x) f (x) Soit f la fonction définie sur I ]- ;-[ ]- ; + [ par f(x) 2x x + f(x) u(x) avec u(x) 2x et v(x) x + v(x) f est dérivable sur I et f (x) Or u (x) 2 et v (x) 2 (x + ) (2x ) Donc f (x) (x + )² u (x) v(x) u(x) v (x) 2x + 2 2x + (x + )² 3 (x + )² 5
s Le taux de variation de f entre a et a + est égal au coefficient directeur de la droite (AB) Le taux de variation de f entre a et a + est r() A(a,f(a)) et B(a +, f(a + )) Le coefficient de la droite (AB) est : yb ya xb - xa f(a + ) f(a) f(a + ) f(a) (a + ) a f(a + ) f(a) a r() Equation de la tangente à au point d abscisse a : y f (a)(x a) + f(a) Le coefficient directeur de la droite d équation y f (a)(x a) + f(a) est f (a) Pour x a, y f (a) (a a) + f(a) f(a) ; donc (a ;f(a)) appartient à la droite d équation y f (x)(x a) + f(a) Il s agit donc bien d une équation de la tangente à au point d abscisse a Dérivée des fonctions usuelles Type de fonction Fonctions affines définies sur f(x) mx + p Fonctions puissances définies sur f(x) x n avec n entier naturel non nul Fonction inverse définie sur ]- ;0[ ]0 ;+ [ f(x) x Fonction racine carrée définie sur [0 ;+ [ f(x) x Fonction dérivée f est dérivable sur et f (x) m f est dérivable sur et f (x) nx n- f est dérivable sur ]- ;0[ ]0 ;+ [ et f (x) - x² f est dérivable sur ]0 ; + [ et f (x) 2 x f(x) mx + p f(x + ) f(x) r() Donc f (x) lim 0 r() m f(x) x n : résultat admis f(x) x r() f(x + ) f(x) m(x + ) + p (mx + p) x + x Donc f (x) lim 0 r() - x² mx + m + p - mx p m m x (x + ) (x + ) x - (x + ) x - (x + ) x 6
f(x) x s r() f(x + ) f(x) x + - x ( x + - x) ( x + + x) ( x + + x) r() x + ² - x² ( x + + x) x + x ( x + + x) ( x + + x) x + + x Donc f (x) lim 0 r() 2 x Dérivée de u + v Si f(x) u(x) + v(x), alors f dérivable sur I et f (x) u (x) + v (x) f(a + ) f(a) r() u(a + ) + v(a + ) (u(a) + v(a)) u(a+) u(a) - v(a + ) v(a) u(a+) u(a) v(a+) v(a) lim u (a) et lim v (a) 0 0 Donc lim 0 r() u (a) + v (a) Donc f est dérivable sur I et f (x) u (x) + v (x) Dérivée de u v Propriété Si f(x) u(x) v(x) alors f est dérivable sur I et : f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) f(a + ) f(a) r() u(a + ) v(a + ) (u(a) v(a)) On ajoute et on retrance u(a) v(a + ) pour faire apparaitre les quotients u(a + ) u(a) v(a + ) v(a) et r() r() u(a + ) v(a + ) u(a) v(a + ) + u(a) v(a + ) - (u(a) v(a)) u(a + ) u(a) v(a + ) v(a) v(a + ) + u(a) On admet que lim 0 v(a + ) v(a) 7
s Alors lim r() v(a) u (a) + u(a) v (a) 0 Donc f est dérivable sur I et f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) Dérivée de k u (avec k constante réelle) Propriété Si f(x) k u(x) avec k constante réelle, alors f est dérivable sur I et f (x) ku (x) C est un cas particulier de la propriété f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) si f(x) u(x) v(x) avec v(x) k Or v (x) 0 Alors f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) u (x) k + u(x) 0 k u (x) Dérivée de u² Si f(x) (u(x))², alors f est dérivable sur I et f (x) 2 u (x)u u(x) C est un cas particulier de la propriété f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) si f(x) u(x) v(x) avec v(x) u(x) Alors u (x) v (x) Alors f (x) u (x) v(x) + u(x) v (x) 2 u (x) u(x) Dérivée de v Si f(x) v (x) avec v(x) 0 sur I, alors f est dérivable sur I et f (x) - v(x) f(a + ) f(a) v(a + ) - v(a) r() v(a) v(a + ) v(a + ) v(a) v(a + ) v(a) Or lim v (a) et lim v(a+) v(a) 0 0 v (a) Donc lim r() - 0 (v(a))² Donc f est dérivable sur I et f (x) v (x) v(a + ) v(a) - v(a+) v(a) 8
s Dérivée de u v Si f(x) u(x) avec v(x) 0 sur I, alors f est dérivable sur I et v(x) u (x) v(x) u(x) v (x) f (x) f(x) u(x) v(x) On applique alors les formules de dérivation pour le produit et l inverse : f (x) u (x) v(x) + u(x) - v (x) u (x) v(x) - u(x) v (x) u (x) v(x) v(x) v(x) - u(x) v (x) f (x) u (x) v(x) u(x) v (x) 9