maths Cours de mathématiques 2010-2011 Seconde F.Lagrave - Lycée Beaussier

maths Seconde Cours de mathématiques 2010-2011 F.Lagrave - Lycée Beaussier

cours de mathématiques cours avec exercices

T A B L E D E S M A T I È R E S 1 Généralités sur les fonctions 7 1.1 Notion de fonction.......................................... 8 1.2 Généralisation : notion de fonction................................. 10 1.3 Ensemble de définition. Valeurs interdites............................. 11 1.4 Représentation graphique...................................... 12 1.5 Au fil du temps............................................ 13 1.6 QCM «bilan»............................................ 14 1.7 Exercices et problèmes........................................ 15 1.8 Exercices du livre Déclic 2 de..................................... 22 2 Géométrie plane repérée 23 2.1 Repère et coordonnées........................................ 24 2.2 Exercices et problèmes........................................ 28 2.3 Exercices du livre Déclic 2 de..................................... 32 3 Équations et inéquations - épisode 1 33 3.1 Équations du premier degré..................................... 34 3.2 Équations-produits.......................................... 34 3.3 Inéquations du premier degré.................................... 35 4 Géométrie vectorielle 37 4.1 Translation.............................................. 38 4.2 Vecteurs du plan........................................... 39 4.3 Vecteurs colinéaires.......................................... 41 4.4 Exercices et problèmes........................................ 42 5 Fonctions affines et linéaires 43 5.1 Définition et représentation graphique............................... 44 5.2 Sens de variation........................................... 45 5.3 Signe de ax + b............................................ 45 5.4 Équations de droites......................................... 46 5.5 Méthode................................................ 47 6 Paramètres d une série statistique 48 6.1 Définitions et vocabulaire des statistiques............................. 49 6.2 Caractéristiques de position..................................... 50 6.3 Caractéristiques de dispersion.................................... 52 6.4 Représentation graphique d une série statistique.......................... 53 7 Équations et inéquations - épisode 2 57 7.1 Équations............................................... 58 7.2 Inéquations.............................................. 61 8 Droites et Systèmes 64 8.1 Droites dans un repère........................................ 65 5

2nde. Cours - 8.2 Système de deux équations à deux inconnues........................... 67 9 Probabilités 69 9.1 Vocabulaire.............................................. 70 9.2 Probabilité.............................................. 71 9.3 Calculs de probabilités........................................ 72 10Étude qualitative de fonctions 74 10.1 Variations d une fonction...................................... 75 10.2 Extremums.............................................. 77 10.3 Quelques cas particuliers....................................... 77 11Fluctuation d échantillonnage 79 11.1 Échantillonnage............................................ 80 11.2 Intervalle de fluctuation....................................... 80 11.3 Applications.............................................. 81 12Fonctions usuelles 84 12.1 La fonction carré........................................... 85 12.2 La fonction inverse.......................................... 88 6 http://lycee.lagrave.free.fr

1 C H A P I T R E Généralités sur les fonctions Johann Carl Friedrich Gauss (30 avril 1777 23 février 1855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Doté d un grand génie, il a apporté de très importantes contributions à ces trois sciences. Surnommé «le prince des mathématiciens», il est considéré comme l un des plus grands mathématiciens de tous les temps. La qualité extraordinaire de ses travaux scientifiques était déjà reconnue par ses contemporains. Dès 1856, le roi de Hanovre fit graver des pièces commémoratives avec l image de Gauss et l inscription Mathematicorum Principi («prince des mathématiciens» en latin). Gauss n ayant publié qu une partie infime de ses découvertes, la postérité découvrit la profondeur et l étendue de son œuvre uniquement lorsque son journal intime, publié en 1898, fut découvert et exploité. Considéré par beaucoup comme distant et austère, Gauss ne travailla jamais comme professeur de mathématiques, détestait enseigner et collabora rarement avec d autres mathématiciens. Malgré cela, plusieurs de ses étudiants devinrent de grands mathématiciens, notamment Richard Dedekind et Bernhard Riemann. Gauss était profondément pieux et conservateur. Il soutint la monarchie et s opposa à Napoléon qu il vit comme un semeur de révolution. (Source : Wikipédia)

2nde. Cours - Généralités sur les fonctions 1 Notion de fonction Exemple. Un banquier propose un livret d épargne qui rapporte 3% d intérêts par an. À la fin de l année chaque titulaire d un tel livret reçoit en plus des intérêts la somme de 10. 1. Calculer la somme disponible après un an si on place 100 en début d année. 2. Même question pour un placement de 250. 3. Le banquier a 150 clients possédant un tel livret. S il note x le montant placé en début d année par un client, exprimer le montant S(x) disponible après un an. Réponses : 1. La somme disponible après un an est : S = 100 + 3 100 + 10 = 113 100 2. La somme disponible après un an est : S = 250 + 3 250 + 10 = 267,50 100 3. La somme disponible est : S(x) = x + 3 x + 10 = 1,03x + 10 100 La somme disponible après un an S(x) dépend de la valeur de x on dit que S est une fonction de x. Remarque. Dans un tableur, le banquier peut compléter une feuille de calculs comme ceci : Dans la cellule B3 on a écrit A3+0,03*A3+10 ; puis on a recopié cette formule vers le bas. Exemple. On a tracé ci-dessous un rectangle ABCD tel que AD = 3 cm et AB = 5 cm. M est un point du segment [BC]. N est le point de [BA] tel que BN = BM. D C M A N B 1. Calculer l aire délimitée par le pentagone ANMCD lorsque BM = 1 cm. 8 http://lycee.lagrave.free.fr

2. Même question lorsque BM = 2 cm. 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions 3. On pose maintenant BM = x. Exprimer l aire A (x) de ANMCD en fonction de x. Réponses : 1. L aire de ANMCD est égale à l aire de ABCD moins l aire de BMN. Donc : A = 5 3 1 1 2 = 14,5 cm 2 2. De même : A = 5 3 2 2 2 = 13 cm 2 3. Si BM = x, l aire de BNM vaut x x 2. Donc : A (x) = 5 3 x x 2 = 15 1 2 x2 L aire A (x) dépend de la valeur de x on dit que A est une fonction de x. Exemple. Sur la figure ci-dessous, on a tracé une courbe dans un repère. C A C J I x y M M B On note A, B et C les points de la courbe d abscisses respectives 2, 3 et 9 2. Lire l ordonnée de chacun des points A, B et C. On a : y A = 3, y B = 1 et y C = 2. De même, pour tout point M d abscisse x de la courbe, on peut lire son ordonnée y M. L ordonnée de M dépend de x. On dit que c est une fonction de x. 9

2nde. Cours - Généralités sur les fonctions 2 Généralisation : notion de fonction 2 1 Définition Définition 1 : Si à chaque valeur de x d un ensemble D on associe un autre nombre noté f(x) déterminé par une relation algébrique, géométrique,... on dit qu on définit une fonction numérique f. On dit que f est la fonction définie par f(x) =.... On note : f : x f(x) Quelques points de vocabulaire : pour chaque x de D, le nombre f(x) est appelé image de x par la fonction f. L image d un nombre x est unique ; le nombre x est appelé un antécédent de f(x) par la fonction f. 2 2 Exemples Exemple. La fonction f est définie pour tous les x compris entre 5 et 7 par f(x) = x 2 2x 1. Cela signifie que si on se donne une valeur de x comprise entre 5 et 7, on peut calculer son image par la fonction f grâce à l expression donnée : on a : f( 3) = ( 3) 2 2 ( 3) 1 = 9 + 6 1 = 14 ; on peut dire aussi que l image par f de 0 est 1 (car f(0) = 0 2 2 0 1 = 1) ; on dit aussi 5 est un antécédent de 14 car f(5) = 5 2 2 5 1 = 14. Attention! Soit f une fonction numérique définie sur un ensemble D : pour chaque x D, il n existe qu une seule image de x par f ; par contre un nombre y peut avoir plusieurs antécédents par la fonction f. Exemple. Soit f la fonction définie pour tous les nombres x par f(x) = (x + 1) 2 + 2. Pour tout nombre x, il existe une seule image de x par f : c est le nombre qu on obtient en calculant (x + 1) 2 + 2. Par contre on a : d une part f(2) = (2 + 1) 2 + 2 = 3 2 + 2 = 11 ; d autre part f( 4) = ( 4 + 1) 2 + 2 = ( 3) 2 + 2 = 9 + 2 = 11 Ainsi 2 et 4 sont deux antécédents de 11. On peut remarquer aussi que certains nombres n ont pas d antécédent. En reprenant la fonction f, le nombre 0 n a pas d antécédent. En effet, (x + 1) 2 est toujours positif ou nul donc (x + 1) 2 + 2 est toujours supérieur ou égal à 2 : il ne peut pas valoir 0. 2 3 Algorithmes Exemple. On souhaite écrire un algorithme décrivant la façon de calculer l image d un nombre par la fonction f : x 2x 7. Exemple. On souhaite déterminer si un nombre x est un antécédent d un nombre y par la fonction f définie par f(x) = 2x 2 5. 10 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. Cours - Généralités sur les fonctions 1 Entrées : 2 Saisir x; 3 début 4 Calculer le double de x; 5 Retirer 7; 6 Afficher le résultat; 7 fin Algorithme 1: Calcul d une image 1 Entrées : 2 Demander le nombre x; 3 Demander le nombre y; 4 début 5 Calculer le carré de x; 6 Multiplier par 2; 7 Retirer 5; 8 Nommer z ce dernier résultat; 9 si y = z alors 10 Afficher «Oui x est un antécédent de y» ; 11 fin 12 sinon 13 Afficher «Non x n est pas un antécédent de y» ; 14 fin 15 fin Algorithme 2: x est un antécédent de y? 3 Ensemble de définition. Valeurs interdites On a vu dans l exemple 1.2.2 que la fonction f était définie pour tous les x compris entre 5 et 7. Cette expression «tous les x compris entre 5 et 7» est longue à écrire, aussi, les mathématiciens ont inventé une notation permettant de simplifier son écriture : tous les x compris entre 5 et 7 s écrit [ 5 ; 7] on parle de l intervalle fermé de bornes 5 et 7 ou plus simplement de l intervalle fermé 5, 7. De même, l ensemble de tous les nombres compris entre 0 et 1 s écrit [0 ; 1]. Attention : 0 et 1 appartiennent à l intervalle [0 ; 1] ; si on souhaite écrire l ensemble de tous les nombres strictement positifs et strictement inférieurs à 1, on écrit ]0 ; 1[ (crochets vers l extérieur). On dit que cet intervalle est ouvert. On peut aussi définir des intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés) comme par exemple [0 ; 1[ qui contient tous les nombres positifs ou nuls strictement inférieurs à 1. Voir la notion d intervalle ici : Ex 7 Le plus grand ensemble de nombres que nous utiliserons en classe de seconde est appelé ensemble des réels ; on le note R. Cet ensemble peut être partagé : on note R + l ensemble de tous les réels positifs (ou nuls) ; on note R l ensemble de tous les réels négatifs (ou nuls) ; on note R l ensemble de tous les réels non nuls (tous les réels sauf 0) ; on note R + l ensemble de tous les réels strictement positifs ; on note R l ensemble de tous les réels strictement négatifs. Enfin, en utilisant le symbole qui signifie infini 1, on peut donc écrire : R + = [0 ; + [; R = ] ; 0]; R + = ]0 ; + [; R = ] ; 0[; 1. Ce symbole a été inventé par Wallis mathématicien anglais du xvii e siècle. 11

Définition 2 : Ensemble de définition 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions Soit f une fonction numérique. L ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x) est appelé ensemble de définition de la fonction f. On le note généralement D f. Les valeurs pour lesquelles on ne peut pas calculer f(x) sont appelées valeurs interdites de la fonction f. à retenir! Soit f la fonction définie par f(x) = x+3 x 3. On ne peut calculer f(x) si x 3 = 0 : la division par 0 n existe pas. Ainsi x = 3 est une valeur interdite et l ensemble de définition de la fonction f est : D f =] ; 3[ ]3 ; + [= R \ {3}. Soit g la fonction définie par g(x) = x + 2. On ne peut pas calculer la racine carrée d un nombre strictement négatif. Donc pour pouvoir calculer g(x) il faut que x + 2 0, c est à dire que x 2. Donc l ensemble de définition de g est D g = [ 2 ; + [. Soit h la fonction définie par h(x) = 2x 2 3x + 1. Quelque soit la valeur de x on peut calculer 2x 2 3x + 1. Donc l ensemble de définition de h est D h = R. Remarque. Parfois, l énoncé restreint l ensemble de définition d une fonction. Dans l exemple 1.2.2, la fonction f n était définie, d après l énoncé, que sur [ 5 ; 7] : c est son ensemble de définition. Pourtant sans cette précision dans l énoncé, on aurait pu calculer f(x) pour n importe quelle valeur réelle de x. 4 Représentation graphique Dans cette partie, nous utiliserons un repère orthogonal du plan. Vous en avez déjà entendu parler depuis la cinquième 2, nous reviendrons un peu plus en détail sur le repérage au cours du chapitre 2 : géométrie plane repérée. On a vu dans l exemple 1.1 qu on peut définir une fonction à partir d un graphique : à chaque abscisse x, on associe le nombre f(x) qui est l ordonnée du point d abscisse x de la courbe. Réciproquement, si on a une fonction f définie sur D f, à chaque nombre x D f on associe un deuxième nombre f(x). Ainsi, chaque couple (x; f(x)) forme les coordonnées d un point M dans un repère. L ensemble de tous les points M lorsque x varie dans D f est appelé représentation graphique de la fonction f dans le repère. On la note généralement C f. C f J I x f (x) M 2. Du moins, je l espère! 12 http://lycee.lagrave.free.fr

5 Au fil du temps 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions Le concept de fonction a mis des siècles à s établir en mathématiques. La notion intuitive comme relation entre deux objets est assez ancienne, mais il faut attendre le XV II e siècle pour qu elle soit formalisée. C est le français Pierre de Fermat (1601-1665) qui met en place la notion fondamentale d équation d une courbe, associant donc ainsi les fonctions à une courbe du plan, et s intéresse aux extrema de fonctions. Fermat est essentiellement connu pour ses théorèmes en arithmétique, notamment pour son grand théorème, qu il prétendit avoir démontré dans une note de bas de page, mais dont la preuve ne fut trouvée qu en 1994. En 1673, l allemand Gottfried von Leibniz (1646-1716), à la fois philosophe et mathématicien, utilise pour la première fois le mot «fonction» et introduit le vocabulaire. Leibniz est essentiellement connu en sciences pour avoir découvert conjointement avec Newton le calcul infinitésimal, c est-à-dire dans l infiniment petit. En 1698, le suisse Jean Bernoulli (1667-1748) reprit le terme et en donne une première définition. Il proposa alors la notation f(x). Bernoulli développa le calcul exponentiel et la théorie des probabilités. Euler, mathématicien formé par Bernoulli, adopte cette notation en 1734 et définit en 1748 une fonction d une variable comme combinaison d opérations à partir de cette variable et de nombres constants. Euler travailla essentiellement sur le calcul infinitésimal lui aussi et sur la théorie des graphes (utiliser pour les GPS) En fait, le lien entre l expression d une fonction et sa courbe représentative en permet une étude plus approfondie. Le concept de fonction et l étude de leur propriété a révolutionné la recherche mathématique. Compte tenu du nombre incroyable d applications en physique, en économie et dans quasiment tous les domaines, l étude des fonctions est un des objectifs majeurs du lycée en mathématiques. 13

6 QCM «bilan» 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions Pour chacune des questions posées ci-après, il peut y avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Questions 1. Soit f la fonction définie par f(x) = 2x 2 5x 1. Alors : Réponses 1 est un antécédent de 6 par f f( 1) = 6 6 est un antécédent de 1 par f 2. Soit f la fonction définie par f(x) = 2x 2 + 1. Alors : l image de 2 par f est 9 3. Soit f la fonction définie par f(x) = x x 2 +x 2. Quels sont les points qui appartiennent à C f courbe représentative de f? 4. M(4; 1) est un point de la courbe représentative C f d une fonction f. Alors : 5. L ensemble des nombres qui sont strictement inférieurs à 4 mais supérieurs ou égaux à 5 est noté : 0 a deux antécédents par f l équation f(x) = 4 a deux solutions f(4) = 31 A(0; 1 2 ) B( 1; 1 2 ) C(2; 1 2 ) D(0; 0) f( 1) = 4 4 est un antécédent de 1 par f f(4) = 1 N( 1; 4) appartient aussi à C f ]4 ; 5] [ 5 ; 4[ ] 5 ; 4[ 6. Si x appartient à l intervalle ] 2 ; 3], alors : x = 0 7. Soit g la fonction définie par g(x) = 2x 3. Alors : 3 2 8. Soit h la fonction définie par h(x) = x+3 x 2. Alors : 9. Au cours d une journée, on mesure la température à chaque heure «pile». On note T la fonction qui, à une heure «pile» associe la température correspondante. x peut être nul x peut être égal à 2 x peut être égal à 3 est une valeur interdite pour g D g = [ 3 2 ; + [ g( 3 2 ) = 0 x = 3 est valeur interdite pour h x = 2 est valeur interdite pour h h(5) = 2,67 T est définie sur [0 ; 24] T est déf. pour x entier entre 0 et 23 T n est pas une fonction 14 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 7 Exercices et problèmes 1 On considère un triangle équilatéral ABC et H le pied de la hauteur issue de A. 1. Calculer AH lorsque AB = 3. Même question avec AB = 2. 2. On pose maintenant x la longueur du côté [AB]. Exprimer en fonction de x la longueur AH. 3. Remplacer dans l expression trouvée à la question précédente x par 3 puis par 2 et calculer. 2 On considère P RC un triangle vérifiant P R = 5, RC = 4 et P RC = 30. On note O le milieu de [P R]. A est un point du segment [RC] et B est le point de [P C] tel que (AB) est parallèle à (RO). On note H l intersection entre (RP ) et la perpendiculaire à (RP ) passant par A. Si vous êtes en salle informatique (ou chez vous), vous pouvez faire la construction avec le logiciel GeoGebra 3 1. Dans cette question, on se place dans le cas où AR = 3 2. (a) Faire une figure. (b) Calculer AB puis AH. En déduire l aire du trapèze RABO. 2. Dans cette question on pose x = RA (qui n est plus nécessairement égal à 3 2!). (a) Exprimer AB puis AH en fonction de x. (b) En déduire l expression A (x) de l aire de RABO en fonction de x. 3. À quelle condition le trapèze RABO est-il un parallélogramme? Justifier. 4. À quelle condition les points H et O sont-ils confondus? Justifier. 3 Soit f la fonction définie par f(x) = 2x 2 x 1. 1. Calculer les images de 3, de 5, de 2 et de 10. 2. Déterminer tous les antécédents de 1. 4 Reprendre les questions de l exercice précédent pour la fonction f : x x 2 + 7. 5 On donne f : x x + 3 2x 10 et g : x x + 2. Rappel Parfois, pour certaines valeurs de x, il n est pas possible de calculer l image de x par une fonction f. Dans ce cas on dit que ces valeurs de x sont des valeurs interdites pour la fonction. L ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x) est appelé l ensemble de définition de la fonction. On le note généralement D f. 1. Peut-on calculer l image de 3 par f? et par g? Expliquer. 2. Même question pour l image de 5 par f puis par g. 3. Résoudre l équation 2x 10 = 0. En déduire toutes les valeurs interdites de f, puis l ensemble de définition de f. 4. Résoudre l inéquation x + 2 0. En déduire l ensemble de définition de g. À savoir Pour déterminer l ensemble de définition d une fonction f, on regarde s il y a un quotient dans l expression de f(x) : les valeurs de x solutions de l équation «dénominateur = 0» sont alors des valeurs interdites pour f. on regarde s il y a des racines carrées dans l expression de f(x). L ensemble de définition de f est alors contenu dans l ensemble des solutions de l inéquation «expression sous la racine 0». l ensemble de définition peut aussi être restreint par des contraintes de l énoncé : si f(x) est la longueur d un segment, il faut que f(x) soit positif ou nul.... 3. GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique téléchargeable gratuitement à l adresse http://www.geogebra.org. 15

2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 6 Résoudre l inéquation 3x + 2 5x 3 et représenter la solution sur un axe gradué. 7 Compléter le tableau ci-dessous : Notation de l intervalle Inégalité vérifiée par les éléments x de l intervalle Représentation graphique [a ; b] a x b [a ; b[ a < x < b a b [a; + [ a x ]a; + [ a x < a 8 Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes : f : x 3x 2 5x + 2; g : x 3x + 2 2x 3 ; h : x 2x 5 (x 3)(2x + 5) ; m : x x n : x 3x + 2; p : s : x 2x + 1 x 2 4 ; q : x 2 4x 2 12x + 9 9 On donne ci-dessous l algorithme 3 qui calcule l image d un nombre par une fonction f. Déterminer cette fonction. 1 Entrées : Saisir x; 2 début 3 Calculer le double de x; 4 Retirer 7; 5 Élever le résultat au carré; 6 Ajouter 1; 7 fin 8 Résultat : Afficher «l image de x est» le résultat du dernier calcul; Algorithme 3: Calcul d une image 16 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 10 On donne ci-après l algorithme 4. 1 Entrées : Saisir x; 2 début 3 si x 0 alors 4 si x 1 alors 5 Calculer 1 x 1 ; 6 sinon 7 Calculer x 2 + 1; 8 Prendre l inverse du résultat précédent; 9 fin 10 sinon 11 Calculer 2x + 1; 12 Calculer l opposé du carré du résultat précédent; 13 fin 14 fin 15 Résultat : Afficher le résultat du dernier calcul; Algorithme 4: Par morceaux... 1. Appliquer cet algorithme aux nombres suivants : x = 3, x = 1, x = 0, x = 1 puis x = 3. 2. Compléter les phrases suivantes : si x ] ; 0[ alors f(x) = si x = 1 alors f(x) = si x 0 avec x 1 alors f(x) = 11 Pour chacune des figures ci-dessous, indiquer si la courbe tracée peut être la courbe représentative d une fonction (voir le rappel de la page suivante. Si c est le cas, donner l ensemble de définition de la fonction et les images des bornes de l ensemble de définition. J J J O I O I O I Figure 1 Figure 2 Figure 3 J J J O I O I O I Figure 4 Figure 5 Figure 6 17

2nde. exercices - Généralités sur les fonctions Exemple : sur la figure 1, la courbe est la représentation graphique d une fonction f définie sur [ 2 ; 3]. Et graphiquement, on lit : f( 2) = 1 et f(3) = 3. Rappel Soit f une fonction. Pour chaque valeur x de l ensemble de définition, on peut calculer f(x). Si on appelle y le nombre f(x), on obtient alors un couple (x; y) qui peut être les coordonnées d un point M dans un repère. L ensemble des points M qui ont des coordonnées du type (x; y) où x D f et y = f(x) est appelé courbe représentative de la fonction f dans le repère. 12 Sur le graphique ci-contre, on a tracé la représentation graphique d une fonction f. Répondre aux questions ci-dessous en utilisant le graphique. 1. Déterminer D f. 2. Déterminer l image de 1 et de -2. 3. Résoudre f(x) = 2. 4. Déterminer f(0). 5. Déterminer la valeur minimale de f(x). Pour quelle valeur de x ce minimum est-il atteint? J O I 13 On considère la fonction f définie par : f : x x 2 6x + 2. La fonction g est définie par la représentation graphique ci-dessous : 4 3 2 J y C g -5-4 -3-2 -1 0 I 2 3 4 5 6 7 8 x -1-2 Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte ; citer la réponse exacte. 1. L image de 1 par la fonction f est : a. 1 b. 0 c. 1 d. 3 2. L ensemble des antécédents de 7 par f est : { } { } a. 3 b. 2 c. 3. L ensemble de définition de la fonction g est : [ [ [ ] a. 1 ; 3 b. 1 ; 3 c. { 2 ; 3 } [ 4 ; 7 ] 4. L image de 0 par la fonction g vaut : a. 1 b. 1 c. 7 d. 0 d. d. { 1 ; 2 } ] 4 ; 7 ] 5. Quel point appartient à C g? a. ( 3 ; 1) b. ( 2 ; 0,5) c. ( 4 ; 1) d. (6 ; 2) 6. Quelle est la valeur maximale atteinte par g? a. 3 b. 4 c. 7 d. 3 18 http://lycee.lagrave.free.fr

14 Soit la fonction f définie qui R tout réel x associe le réel f(x) = x 2 6 x 1. Calculer f( 2). 2. Calculer l image de 3. 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions quand il existe. 3. Pourquoi l image de 0 par f n existe-t-elle pas? En déduire l ensemble de définition de f. 15 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x 2 2x + 3 1. La fonction f admet-elle des valeurs interdites? En déduire sont ensemble de définition D f. 2. Déterminer l image par f des réels 0 ; 3 2 et 2. 3. Déterminer les éventuels antécédents de 3 par f. 4. Montrer que pour tout x R on a f(x) = (x 1) 2 + 2. 5. En utilisant cette dernière écriture, déterminer les éventuels antécédents de 2 et de 4 par f. 16 On choisit un nombre, on lui ajoute 4, on élève le résultat au carré, on retranche 16 et on divise le tout par le nombre de départ. Quelle est la fonction blop décrite par cet algorithme? Quelle est l image de 4? Que vaut blop(0)? 17 Soit la fonction g qui à tout réel x associe le réel g(x) = 2x 2 3 Décrire l algorithme correspondant à la fonction g. Déterminer l image de 3, puis celle de 1 par la fonction g. Déterminer les antécédents éventuels de 7, de 3 et de 4 par la fonction g. 18 Décrire la fonction associée à l algorithme cicontre : 1 VARIABLES 2 x EST_DU_TYPE NOMBRE 3 y EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 LIRE x 6 y PREND_LA_VALEUR sqrt(2*x)+5 7 AFFICHER y 8 FIN_ALGORITHME 19 Écrire un algorithme permettant de déterminer les antécédents de n importe quel nombre réel y par la fonction f définie sur R par f(x) = 3x + 1 1 2 3 4 5 6 7 8 19

2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 20 On considère les trois fonctions f, g et h définissant l image du nombre x de la manière suivante : f(x) = 3x 2 ; g(x) = x 2 ; h(x) = 2 3x 1 x 1,5 1 1 3 1. Remplissez le tableau de valeurs ci-contre : 2. (a) Résoudre les trois équations suivantes : (E) : 3x 2 = 1 ; (F ) : x 2 2 = 2 ; (G) : 2 3x 1 = 1 f(x) g(x) h(x) (b) En vous servant de la question précédente, déterminer les ensembles ci-dessous : L ensemble des antécédents de 1 2 pour la fonction f ; L ensemble des antécédents de 2 pour la fonction g ; L ensemble des antécédents de 1 pour la fonction h. 3. (a) Quelle est l équation vérifiée par un nombre x qui a pour image lui même par la fonction f? Trouver ce nombre x. (b) Répondre à la même question avec la fonction g? 21 Dans le repère orthonormé (O, I, J) représenté ci-dessous, on considère la courbe représentative C de la fonction f : 1. Placer le point A( 2 ; 1). 2. On considère les points suivantes du plan : B( 2 ; 3) C(1 ; 1) D( 1,5 ; 5) E(0,25 ; 0,5) C y 5 4 (a) Placer ces points sur le repère. (b) Parmi ces points, lesquels appartiennent, de manière certaine, à la courbe C. 3 2 1 J 3. Placer le point F appartenant à la courbe C et ayant 1 pour abscisse. Donner ses coordonnées. 4. Combien de points de la courbe C ont pour ordonnée la valeur 1? Donner leurs coordonnées. I 3 2 1 O 1 2 3 1 2 3 x 20 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 22 Définition du petit Larousse : Un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiple) est un questionnaire proposant, pour chaque question posée, plusieurs réponses entre lesquelles il s agit de choisir la bonne. Pour chaque question, cocher la case associée à la réponse correcte : 1. Soit f une fonction vérifiant f(4) = 2, on dit : un antécédent de 4 est 2 2 est une solution de l équation f(x) = 2 4 a pour image 2 par la fonction f la courbe passe par le point de coordonnées (2 ; 4) 2. La courbe représentative de la fonction g passe par le point ( 1 ; 2), alors : l équation g(x) = 1, admet 2 comme solution. 1 est un antécédent de 2 par g. 2 a pour image 1 par g. 2 n a pas d image. 3. Soit h une fonction. L équation h(x) = 1 admet comme solutions 3, 1 5 et 2 alors : 3 est l unique antécédent du nombre 1 par la fonction h. l image du nombre 1 vaut 2. la courbe représentative passe par le point de coordonnées ( 2 ; 1 ). la fonction h vérifie h(3) = 2. 4. Soit j une fonction tel que le nombre 3 ait pour image 5 : j vérifie j( 5) = 3. 3 est un antécédent du nombre 5 par la fonction j. la courbe de j passe par le point de coordonnée ( 5 ; 3). l équation j(x) = 5 n admet aucune solution. 23 Dans le repère (O, I, J) ci-dessous est représentée la courbe représentative de la fonction f 3 2 J C f -5-4 -3-2 -1 O I 2 3 4 5-1 C f -2 1. Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2. Déterminer les images des nombres 1, 0, 2 par la fonction f : 3. Déterminer l ensemble des antécédents de 2 et 2 par cette fonction. -3 4. Donner, sous forme d intervalle, l ensemble des abscisses des points de C f possédant une ordonnée supérieure ou égale à 1,5. 21

Exercices du livre Déclic 2 de Lire un graphique 1 Exercices 1 et 2 page 14 ; QCM page 27 et exercices 38 à 41 page 31 Savoir faire 5 Lire «Savoir faire» et «Points méthode» pages 17 et 19 Notion d intervalle 2 Exercices 17 à 19 et 23 page 28 Notion de fonction 3 Exercices 27 à 30 page 29 Courbe représentative 4 Exercices 38 à 41 page 31 22

2 C H A P I T R E Géométrie plane repérée

2nde. Cours - Géométrie plane repérée Les planisphères et les cartes géographiques maritimes sont construits dans un repère comprenant l axe vertical des latitudes et l axe horizontal des longitudes. La position d un bateau par exemple est définie par ses coordonnées sur la cartes, c est-à -dire la longitude et la latitude. Lorsque l on cherche une position sur un plan de ville, on se repère également à l aide des axes verticaux et horizontaux du plan. Nous allons donc poser les bases de ce repérage dans le plan. 1 Repère et coordonnées Définition 1 : Définir un repère du plan, c est choisir 3 points non alignés, dans un ordre précis : O, I, J. On note ce repère (O,I,J), et : le point O est l origine du repère ; la droite (OI) est l axe des abscisses et le point I donne l unité de cet axe ; la droite (OJ) est l axe des ordonnées et le point J donne l unité de cet axe. Remarques. J O I J O I J O I Repère quelconque Repère orthogonal Repère orthonormé L axe des abscisses est souvent horizontal, mais ce n est pas une obligation Si le triangle OIJ est rectangle en O, le repère (O,I,J) est dit orthogonal. Les axes du repères sont perpendiculaires. Si le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O, le repère (O; I; J) est dit orthonormé. Les axes du repère sont perpendiculaires et ont la même unité. Définition 2 : On considère un repère (O,I,J) du plan et un point M quelconque. En traçant la parallèle à (OJ) passant par M, on obtient sur l axe (OI) l abscisse x M du point M. En traçant la parallèle à (OI) passant par M, on obtient sur l axe (OJ) l ordonnée y M de M. Le couple de réels (x M ; y M ) est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O,I,J). Exemple. M J O I Le point M a pour coordonnées (... ;... ) et le point A a pour coordonnées (... ;... ) A 24 http://lycee.lagrave.free.fr

1 1 Distance dans un repère orthonormé. 2nde. Cours - Géométrie plane repérée Exemple. 1. Calculer les distance AB, AC et BC en prenant comme unité le côté d un carreau du quadrillage. C 2. On choisit un repère orthonormé (A,I,J) d origine A tel que B(4 ; 2). (a) Placer le repère (A,I,J) sur la figure. (b) Comparer AB et x 2 B + y2 B. (c) Vérifier que l on a une relation analogue avec le point C. 3. Conjecturer une relation entre la distance BC et les coordonnées des points B et C. A B Propriété 1 : On considère un repère orthonormé (O,I,J) du plan et les points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). La distance entre les points A et B est : AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 l unité de longueur étant celle commune aux deux axes. Preuve. On suppose que x B > x A et y B > y A. Les autres cas se traitent de même. On note C le point tel que x C = x B et y C = y A. Dans le triangle ABC rectangle en C, on a d après le théorème de Pythagore : AB 2 = AC 2 + BC 2, ie : AB 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 Comme AB est positif on a AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. Attention! cette formule n est valable que si le repère est orthonormé! Exemple. A( 2 ; 0,5) et B(2,5 ; 3) y B A J O I C x AB = (2,5 ( 2)) 2 + (3 0,5) 2 = 4,5 2 + 2,5 2 = 26,5 5,1 25

1 2 Milieu d un segment 2nde. Cours - Géométrie plane repérée Au vidéo-projecteur, sur GeoGebra, créer 4 curseurs a, b, c et d prenant des valeurs entières comprises entre 5 et 5. Créer les points A(a ; b), B(c ; d) puis le milieu du segment [AB]. 1. En utilisant les curseurs et en observant les coordonnées des points A, B et C dans la fenêtre «algèbre», compléter le tableau de valeurs suivant : A (4 ; 2) ( 3 ; 1) (0 ; 5) (1 ; 3) (3 ; 0) ( 5 ; 4) (2 ; 2) (1 ; 1) B (2 ; 0) ( 5 ; 1) (1 ; 3) (3 ; 1) ( 4 ; 2) (0 ; 0) ( 2 ; 2) ( 3 ; 5) C 2. Conjecturer des relations entre les coordonnées du milieu du segment et celles de ses extrémités. 3. Définition 3 : Si x et y sont deux nombres réels, la moyenne arithmétique de x et y est le réel x + y. 2 Énoncer la conjecture précédente en utilisant la notion de moyenne arithmétique de deux nombres. Propriété 2 : On considère dans le plan muni d un repère (O,I,J) les ( points A(x A ; y A ) et ) B(x B ; y B ). xa + x B y A + y B Alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ; 2 2 Preuve. On se place dans un repère orthonormé du plan. 1 er cas : x A = x B ou y A = y B. Prenons par exemple y A = y B avec x B > x A. M est le milieu de [AB] donc M [AB] et MA = MB. On a donc clairement y M = y A (= y B ) et donc MA = x M x A et MB = x B x M. En résolvant MA = MB on obtient 2x M = x A + x B d où le résultat. y A = y B J O I A x A M B x B 2 e cas : x A x B et y A y B. Soit C le point du plan de coordonnées (x B ; y A ). Le repère étant orthonormé, le triangle ABC est rectangle en C. On note respectivement P et Q les milieux de [AC] et ( [CB]. En appli- xa + x B quant le 1 er cas on obtient P ( ) y B + y A Q x B ;. 2 ) ; y A et 2 En utilisant deux fois la propriété de la droite des milieux, on obtient que (MP ) est parallèle à (BC) et que (MQ) est parallèle à (AC) et donc les coordonnées de M sont (x P ; y Q ). y B y A J O I A x A M P B Q C x B 26 http://lycee.lagrave.free.fr

Exemples. 2nde. Cours - Géométrie plane repérée A( 1,5 ; 1,5) et B(3 ; 1,5) y A( 2 ; 0,5) et B(2,5 ; 3) y B A M B M J A J C O I x O I x M(0,75 ; 1,5) M(0,25 ; 1,75) 1 3 Quelques algorithmes... Exemple. L algorithme 5 permet de déterminer si un point M est sur la médiatrice d un segment [AB] lorsqu on connaît les coordonnées de ces trois points dans un repère orthonormé. 1 Entrées : Demander les coordonnées (x A ; y A ) de A; 2 Demander les coordonnées (x B ; y B ) de B; 3 Demander les coordonnées (x ; y) de M; 4 début 5 Calculer c 1 = (x x A ) 2 + (y y A ) 2 ; 6 Calculer c 2 = (x x B ) 2 + (y y B ) 2 ; 7 si c 1 = c 2 alors 8 Afficher «Oui, M appartient à la médiatrice de [AB]» 9 fin 10 sinon 11 Afficher «Non, M n est pas sur la médiatrice de [AB]» 12 fin 13 fin Algorithme 5: Un point appartient-il à la médiatrice d un segment? Exemple. Écrire l algorithme permettant de déterminer la nature d un triangle connaissant les coordonnées des trois sommets dans un repère orthonormé. 27

2 Exercices et problèmes 2nde. exercices - Géométrie plane repérée 2 1 Repérage - Longueurs et orthogonalité 1 Dans un repère orthonormé (O,I,J) on donne A(3 ; 2) et B( 1 ; 6). Montrer que ABI est un triangle rectangle. Qu en est-il du triangle ABJ? Justifier. 2 Dans un repère orthonormé (O,I,J) on donne A( 2 ; 2), B(1 ; 1), C( 2 ; 2) et Ω( 1 ; 0) (Ω est une lettre majuscule de l alphabet grec qui se lit «omega»). Montrer que Ω est le centre du cercle circonscrit à ABC. On se place dans un repère orthonormal (O,I,J). 3 Déterminer la nature du triangle ABC dans les cas suivants : 1. A ( 1 ; 2 ), B ( 0 ; 2 + 2 ) et C ( 3 ; 2 2 ) ; 2. A (3 ; 4), B ( 3 ; 2) et C ( 3 3 ; 1 3 3 ) ; 3. A ( 23 ) ( ) ( ) 1 7 ; 5, B 3 ; 8 et C 3 ; 6. 4 On considère les points A(4 ; 3), B( 1 ; 4) et C(3 ; 2). 1. Calculer les coordonnées de milieu K de [BC]. 2. Calculer KA et KB. 3. Quelle est la nature de ABC? 5 Déterminer la nature du quadrilatère ABCD dans les cas suivants : 1. A ( 1 ; 1), B (2 ; 1), C ( 3 ; 1 + 2 3 ) et D ( 0 ; 2 3 1 ) ; 2. A ( 6 ; 1), B (3 ; 5), C (9 ; 4) et D (0 ; 10) ; 3. A (1 ; 2), B ( 1 + 2 ; 3 ), C ( 1 + 2 2 ; 1 ) et D ( 1 + 2 ; 0 ). 6 On appelle C le cercle de centre Ω( 1 ; 2) et de rayon r = 10. 1. Parmi les points suivants, déterminer ceux qui appartiennent à C : A(4 ; 1), B( 1 ; 4), C(2 ; 1), D(0 ; 5) et E( 2 ; 3). 2. Démontrer que Ω est le milieu de [CD]. 3. Calculer une valeur de l angle ÊCD, arrondie à 0,1 près. 7 On considère les points A( 5 ; 9), B( 6 ; 1), C(6 ; 7) et H( 2 ; 3). 1. Démontrer que AHB et AHC sont rectangles. 2. Que peut-on en déduire pour H? 3. Calculer l aire de ABC. 8 On considère les points A( 5 ; 1), B(11 ; 3), C( 1 ; 5) et D(7 ; 5). 1. Démontrer que ABC et ABD sont rectangles. 2. On appelle E le point d intersection de (BC) et (AD) et F celui de (AC) et (BD). Démontrer que (AB) et (EF ) sont perpendiculaires. 28 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. exercices - Géométrie plane repérée 9 On considère les points A(2 ; 1), B(8 ; 2) et C( 4 ; 5). On appelle d 1 la médiatrice de [AB] et d 2 la médiatrice de [AC]. 1. Le point E(7 ; 6) appartient-il à d 1? et le point F (4 ; 4)? 2. Soit M un point de coordonnées (x ; y). On suppose que M d 1. (a) Écrire une égalité vérifiée par x et y. (b) Simplifier cette égalité. 3. Reprendre la question précédente avec M d 2. Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ABC. 10 Soit ABCD un carré. On appelle E le point tel que ADBE soit un parallélogramme et F le symétrique de A par rapport à C. 1. Faire une figure. 2. On choisit comme unité de longueur le côté du carré et on se place dans le repère (A,B,D). (a) Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure. (b) Démontrer que le triangle EDF est isocèle rectangle. 11 Soit ABCD un carré de côté 5. Soit a un réel de l intervalle [0 ; 5]. On appelle P le point de [AB] tel que AP = a, R le point de [AD] tel que DR = a et Q le point tel que AP QR soit un rectangle. On veut démontrer que les droites (P R) et (CQ) sont perpendiculaires. 1. Faire une figure 2. On se place dans le repère orthonormal d origine A, d axe des abscisses (AB) et d axe des ordonnées (AD). (a) Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure. (b) Soit S le point tel que CQP S soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de S. (c) Démontrer que P RS est un triangle rectangle. (d) Conclure. 12 Que fait l algorithme ci-dessous? Compléter les pointillés. 1 Variables 2 x A est un réel ; y A est un réel; 3 x B est un réel ; y B est un réel; 4 x C est un réel ; y C est un réel; 5 c est un réel ; h est un réel; 6 début 7 Lire : x A ; Lire : y A ; Lire : x B ; Lire : y B ; 8 Lire : x C ; Lire : y C ; 9 c (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (x C x A ) 2 + (y C y A ) 2 ; 10 h (x C x B ) 2 + (y C y B ) 2 ; 11 si h = c alors 12 Afficher :...... ; 13 sinon 14 Afficher :...... ; 15 fin 16 fin Algorithme 6: Dans un repère orthonormé 13 Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de trois points et vérifie si, dans un repère orthonormal, le triangle formé est isocèle. 29

2 2 Repérage - Coordonnées et milieux 2nde. exercices - Géométrie plane repérée 14 Dans un repère, on donne A(2 ; 4), B( 4 ; 5) et I( 1 ; 1 2 ). Montrer que A est le symétrique de B par rapport à I. 15 On considère la figure ci-contre : D A Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure F 1. dans le repère (C,B,D) ; G E 2. dans le repère (E,H,I) ; 3. dans le repère (H,I,G). C H J I B 16 On se place dans un repère (O,I,J). On considère les points A(2; 1), B( 1 ; 3), C(1 ; 3) et D( 1 ; 4). 1. Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure (a) dans le repère (B,C,D) ; (b) dans le repère (B,D,C). 3. Placer le point K de coordonnées (2 ; 1) dans le repère (O,I,J). Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère (I,K,J). 17 Soit ABCD un parallélogramme. On appelle E le symétrique de A par rapport à B, F le point tel que BDEF soit un parallélogramme et G le centre de gravité de AEC. 1. Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure (a) dans le repère (A,B,D) ; (b) dans le repère (C,D,B). 18 Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points suivants : ( ) 1 1. E de coordonnées 2 ; 1 dans (A,B,D) ; 2 2. F de coordonnées (1 ; 1) dans (A,B,C) ; 3. G de coordonnées (2 ; 1) dans (B,A,C) ; 4. H de coordonnées ( 12 ) ; 1 dans (D,C,B). Dans les exercices suivants, on se place dans un repère (O,I,J). 19 Calculer les coordonnées du milieu K de [AB] dans les cas suivants : 1. A(2 ( ; 3) et) B( 1 ; 4) ; 2. A(2 ; 3) et B(2 ; 7) ; 1 3. A 2 ; 3 et B ( 52 ) ( ) 3 ; 3 ; 4. A 4 ; 2 et B ( 23 ) 5 ; 0. 30 http://lycee.lagrave.free.fr

20 Déterminer si ABCD est un parallélogramme dans les cas suivants : 1. A( 1 ; 2), B(3 ; 0), C(0 ; 1) et D( 4 ; 1) ; 2. A(2 ; 5), B( 1 ; 4), C( 2 ; 3) et D( 5 ; 3) ; 2nde. exercices - Géométrie plane repérée 21 On considère les points A(3 ; 4), B( 1 ; 1), C( 5 ; 2), D(1 ; 6) et E(2 ; 1). 1. Faire une figure. 2. Démontrer que (BE) et (CD) sont parallèles. 22 On considère les points A(4 ; 2), B(2 ; 4), C( 1 ; 5) et D( 2 ; 0). On veut démontrer que ABCD est un trapèze. 1. Faire une figure. 2. Soit E le milieu de [AD]. Démontrer que ABCE est un parallélogramme. 3. Conclure quant à la nature de ABCD. 23 On considère les points A(2 ; 3) et B( 1 ; 1). Soit C le symétrique de A par rapport à B. 1. Préciser les positions relatives de A, B et C. 2. On pose C(x C ; y C ). Déterminer deux équations vérifiées par x C et y C. 3. Calculer les coordonnées de C. 24 On considère les points A( 1 ; 3), B(2 ; 2) et C(4 ; 1). 1. Déterminer les coordonnées du milieu de [AC]. 2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. 25 On considère les points A( 4 ; 3), B(2 ; 1) et C(0 ; 3). 1. Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. 3. Soit E le milieu de [CD]. Déterminer les coordonnées de E. 4. Soit F le symétrique de A par rapport à E. Déterminer les coordonnées de F. 5. Démontrer que ADF C est un parallélogramme. 6. Démontrer que C est le milieu de [BF ]. 26 Soit ABCD un parallélogramme et I le milieu de [CD]. On appelle E le symétrique de I par rapport à C, G le symétrique de I par rapport à B et F le point tel que BICF soit un parallélogramme. 1. Faire une figure. 2. En se plaçant dans le repère (A,B,D), démontrer que F est le milieu de [EG]. 31

Exercices du livre Déclic 2 de Coordonnées dans le plan 1 Exercices 20 et 21 page 230 ; QCM page 229 et exercices 15 à 17 page 230 Savoir faire 5 Lire «Savoir faire» et «Points méthode» pages 221 et 223 Utiliser des coordonnées pour le calcul de distances 2 Exercices 22 à 26 page 231 et 35 page 232 Utiliser les coordonnées du milieu d un segment 3 Exercices 37 à 38 page 232 et 43 page 233 Étudier les configurations du plan 4 Exercices 44 à 45 page 233 32

3 C H A P I T R E Équations et inéquations - épisode 1

2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 1 1 Équations du premier degré Définition 1 : équation à une inconnue Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l équation. Une solution de cette équation est une valeur de l inconnue pour laquelle l égalité est vraie. Résoudre une équation, c est en trouver toutes les solutions et écrire l ensemble des solutions. Exemple. 3x 7 = 5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est 3x 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =, donc) est 5. 4 est une solution de l équation 3x 7 = 5 car, lorsque je remplace l inconnue x par 4 dans l équation, l égalité est vérifiée : 3 4 7 = 12 7 = 5 2 n est pas une solution de l équation 3 x 7 = 5 car, lorsque je remplace x par 2, l égalité n est pas vérifiée : 3 2 7 = 6 7 = 1 5!! Remarque. Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s assurant que la nouvelle équation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l équation initiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition : Propriété 1 : Règles de manipulation des égalités Règle 1 : On ne change pas l ensemble des solutions d une équation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l équation. Règle 2 : On ne change pas l ensemble des solutions d une équation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l équation par un même nombre non nul. Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue x (ou s y ramenant). Ce sont des équations qui, après ces transformations autorisées, peuvent s écrire sous la forme ax = b, avec a 0. Cette équation a alors une unique solution, qui est b a. Exemple. Résoudre l équation : 3x 5 = 7 En utilisant la règle 1, 3x 5 + 5 = 7 + 5 on peut ajouter 5 aux deux membres de l équation En utilisant la règle 2, 3x = 12 3x 3 = 12 3 on peut diviser par 3 chaque membre de l équation L unique solution est : x = 4 l ensemble des solutions est S = {4} 2 Équations-produits Définition 2 : équation-produit Une équation-produit est une équation qui s écrit sous la forme (ax + b) (cx + d) = 0 (il peut y avoir plus de deux facteurs) Remarque. Cette équation (ax + b) (cx + d) = 0 est une équation du second degré ; en effet, si on développait le membre de gauche, l inconnue x apparaîtrait avec une puissance 2. 34 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 1 Prenons par exemple l équation (x + 1) (3x 6) = 0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l équation 3x 2 3x 6 = 0. Mais nous ne savons pas encore, résoudre l équation sous cette forme développée. Propriété 2 : rappel Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l un des facteurs est nul. Autrement dit, dire que «A B = 0» équivaut à dire que «A = 0 ou B = 0». Ainsi, (ax + b) (cx + d) = 0 si et seulement si ax + b = 0 ou cx + d = 0. On se ramène ainsi à la résolution de deux équations du premier degré!! Exemple. Résolvons l équation (3x 7) (2x + 5) = 0 (3x 7) (2x + 5) = 0 3x 7 = 0 ou 2x + 5 = 0 3x = 7 ou 2x = 5 x = 7 3 ou x = 5 2 S = { 5 } 2 ; 7 3 3 Inéquations du premier degré Définition 3 : équation à une inconnue Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l inéquation. Une solution de cette inéquation est une valeur de l inconnue pour laquelle l inégalité est vraie. Résoudre une inéquation, c est en trouver toutes les solutions et écrire l ensemble des solutions. Exemple. 3x 7 > 5 est une inéquation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe >) est 3x 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe >, donc) est 5. 6 est une solution de l inéquation 3x 7 > 5 car, lorsque je remplace l inconnue x par 6 dans l inéquation, l inégalité est vérifiée : 3 6 7 = 18 7 = 11 et 11 > 5 10 est une autre solution de l inéquation 3x 7 > 5 car, lorsque je remplace l inconnue x par 10 dans l inéquation, l inégalité est vérifiée : 3 10 7 = 30 7 = 23 et 23 > 5 2 n est pas une solution de l inéquation 3 x 7 > 5 car, lorsque je remplace x par 2, l inégalité n est pas vérifiée : 3 2 7 = 6 7 = 1 et 1 5!! Remarque. Pour résoudre une inéquation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s assurant que la nouvelle inéquation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l inéquation initiale. Pour ce faire, nous avons trois règles à notre disposition : Propriété 3 : Règles de manipulation des inégalités Règle 1 : On ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l inéquation. Règle 2 : On ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l inéquation par un même nombre strictement positif. Règle 3 : On ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l inéquation par un même nombre strictement négatif, à condition de changer le sens de l inégalité. 35

Exemple. 2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 1 Résoudre l inéquation : 3x 5 > 7 En utilisant la règle 1, 3x 5 + 5 > 7 + 5 on peut ajouter 5 aux deux membres de l inéquation En utilisant la règle 2, 3x > 12 3x 3 > 12 3 on peut diviser par 3 chaque membre de l inéquation Les solutions vérifient : x > 4 l ensemble des solutions est S = ]4 ; + [ On peut représenter l ensemble des solutions sur un axe, en hachurant la partie de la droite graduée constituée des nombres qui ne sont pas solutions : 4 S = ]4 ; + [ Attention au sens du crochet! Le crochet n est pas tourné vers les solutions, car 4 n est pas solution de l inéquation 3x 7 > 5. 36 http://lycee.lagrave.free.fr

4 C H A P I T R E Géométrie vectorielle

2nde. Cours - Géométrie vectorielle 1 Translation 1 1 Translation et vecteur associé Définition 1 : translation Un point C est l image d un point D par la translation qui transforme A en B lorsque le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. On dit alors que C est l image du point D par la translation de vecteur AB. Exemple. Translation de vecteur AB transformant D en C : Remarques. a. On remarque que : 1 (AB) et (DC) sont parallèles (même direction), 2 AB et DC sont de même longueur, 3 AB et DC vont dans le même sens. b. Les vecteurs seront souvent notés u, v, w... c. Le vecteur u n est pas fixe, on peut le dessiner n importe où sur une feuille : A D u u B C u u u u 1 2 Vecteurs et parallélogramme Définition 2 : Égalité de vecteurs Deux vecteurs AB et DC sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). On note alors AB = DC et les trois conditions 1 2 3 sont vérifiées. Exemple. Aucun des vecteurs ci-contre ne sont égaux 2 à 2. t Remarques. a. On note AB la norme de AB et AB = AB b. AB = 0 si et seulement si A = B c. Si on fixe un point O, alors pour tout vecteur u, il existe un unique point M vérifiant u = OM. j ı u v w 38 http://lycee.lagrave.free.fr

2 Vecteurs du plan 2nde. Cours - Géométrie vectorielle 2 1 Coordonnées d un vecteur Définition 3 : Coordonnées du vecteur u Soit (O, I, J) un repère du plan et u un vecteur. Soit M le point tel que OM = u : par la translation de vecteur u, le point O se transforme en M On appelle coordonnées du vecteur u les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). On note M (x ; y) et ( ) x u. y Soit O, I, J trois points non alignés du plan. On pose OI = ı et OJ = j. On parle alors de repère (O, ı, j ). Exemple. Dans le repère (O, ı, j ) de la figure ci-contre on a M (1 ; 2) et ( ) 1 u 2 Propriété 1 : dans le plan muni d un repère Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs ( ) coordonnées sont égales. x u = ( ) { x x = x v y y = y y y 4 3 M u 2 J 1 j I 0 1 0 ı 1 2 3 4 x 1 2 2 Opérations sur les vecteurs Définition 4 : Opposé d un vecteur Quels que soient les points A et B, le vecteur BA est appelé vecteur opposé au vecteur AB. Remarque. Si v = AB, alors v = AB = BA. Propriété 2 : dans le plan muni d un repère Deux vecteurs ( ) x u et ( ) x v y y sont opposés si, { x = x et seulement si, y = y Exemple. ( ) 1 u et ( ) j 1 u 4 4 ı u u A B AB = v v 39

Définition 5 : Somme de deux vecteurs Soient u et v deux vecteurs, on définit le vecteur w = u + v de la façon suivante : Soit A un point du plan, a. on trace le représentant de u d origine A : il a pour extrémité B, b. puis on trace le représentant de v d origine B : il a pour extrémité C. Le vecteur AC est un représentant du vecteur w. Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C du plan, on a AB + BC = AC. 2nde. Cours - Géométrie vectorielle Remarque. Quels que soient les vecteurs u, v, w du plan : u + v = v + u ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u + 0 = u Propriété 3 : dans le plan muni d un repère Si ( ) x u et ( ) x v y y, alors u + ( ) x + x v y + y Exemples. ( ) 3 u et ( ) 2 v alors u + ( ) 5 v 2 2 0 Écrire plus simplement les vecteurs suivants, en utilisant la relation de Chasles : transformer les soustractions en addition de l opposé a. u = AB + BC + CA = b. v = IJ + KI + JK = c. w = AB AC = d. t = RT ST + RS = j ı u v A u B w = u + v v C Propriété 4 : dans le plan muni d un repère Si A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ), alors ( ) xb x A AB et AB 2 = AB 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 y B y A Preuve. Dans le repère (O, ı, j ) si A (x A ; y A) et B (x B ; y B) alors par définition ( ) xa OA y A AB = AO + OB = ( OB + ) OA avec ( ) xb OB et ( ) xa OA d où ( ) xb x A AB y B y A y B y A Exemple. A (5 ; 2) et B (8 ; 4), alors ( ) 8 5 AB 4 2 donc AB ( ) 3 et AB 2 = AB 2 = 3 2 + 2 2 = 13. AB = 13. 2 40 http://lycee.lagrave.free.fr

Définition 6 : Produit d un vecteur par un réel 2nde. Cours - Géométrie vectorielle Soit u = AB un vecteur non nul et k un réel non nul, on définit le vecteur v = k u = AC par : a. A, B et C sont alignés, b. si k > 0, AC = kab et B et C sont du même côté par rapport à A, c. Si k < 0, AC = kab et B et C sont de part et d autre de A. Remarque. Quels que soient les vecteurs u, v, et les réels k et l : k( u + v ) = k u + k v (k + l) u = k u + l u k (λ u ) = (kλ) u k u = 0 k = 0 ou u = 0 Propriété 5 : dans le plan muni d un repère Si ( ) x u et k R, alors k ( ) kx u y ky j u ı Exemple. u v = w = x = ( ) 3 et v = 2 u alors v 2 y = ( ) 6 4 3 Vecteurs colinéaires Définition 7 : Colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs non nuls, u et v sont colinéaires s il existe un réel k non nul tel que v = k u. Autrement dit, les vecteurs u et v ont la même direction. Sur le dessin précédent, tous les vecteurs dessinés sont colinéaires entre eux. Théorème 1 : a. Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires b. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. A AB B AC C A AB D CD B C Propriété 6 : dans le plan muni d un repère ( ) x u et ( ) x v y y sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles : si et seulement si xy = x y xy x y = 0 41

Exercices et problèmes Translation et vecteur 1 Exercices 19 à 22 page 302 Somme de deux vecteurs 2 Exercices 26 à 27 page 302 et 28 à 30 page 303 Coordonnées d un vecteur 3 Exercices 39 à 44 page 304 Produit d un vecteur par un réel 4 Exercices 54 à 58 page 306 Colinéarité de deux vecteurs 5 Exercices 62 à 65 pages 306-307 6 Exercice 68 page 307 Applications de la colinéarité à la géométrie 7 Exercices 71 à 73 page 308 42

5 C H A P I T R E Fonctions affines et linéaires

2nde. Cours - Fonctions affines et linéaires 1 Définition et représentation graphique Définition 1 : fonction affine a et b sont deux réels donnés. La fonction définie sur R par f (x) = ax + b est appelée fonction affine, elle est représentée par une droite où Le réel a est le coefficient directeur de cette droite, Le réel b est l ordonnée à l origine. Si b = 0, la fonction est appelée fonction linéaire, représentée par une droite passant par l origine. Remarque. Comme pour n importe quelle fonction, pour tracer une fonction affine, on choisit des points que l on place dans un repère (deux suffisent, éventuellement un troisième pour vérifier!) Exemples. Représenter graphiquement les fonctions suivantes : a. D 1 : f (x) = 1 2 x. D 3 y 4 3 b. D 2 : f (x) = 2. c. D 3 : f (x) = 2x 1. D 2 2 1 4 3 2 1 j 0 0 ı 1 2 3 4 1 D 1 2 M x d. D 4 : f (x) = 3 4 x 3. D 4 3 4 P u Propriété 1 : La représentation graphique de la fonction affine f : x ax + b dans un repère (O, ı, j ) est la droite passant par P (0 ; b) et dont la direction est donnée par le vecteur directeur ( ) 1 u. a Preuve. Soit C f la courbe représentative de f dans un repère (O, ı, j ) : montrons que P (0 ; b) C f : on a f (0) = a 0 + b = b donc P (0 ; b) C f ; soit x R on a M (x; ax + b) C f et donc le vecteur ( ) ( ) x 1 P M a pour coordonnées soit x. ax a Ainsi tout vecteur ( ) P M est colinéaire au vecteur 1 u car P M = x. u, a donc les points M sont tous alignés sur la droite passant par P et de direction donnée par u. Théorème 1 : Caractérisation d une fonction affine Soit f une fonction définie sur R. La fonction f est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts x A et x B, le quotient a = f (x B) f (x A ) est constant. x B x A Cela signifie que l accroissement de la fonction est proportionnel à l accroissement de la variable. 44 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. Cours - Fonctions affines et linéaires 2 Sens de variation Propriété 2 : Variations d une fonction affine Soit f une fonction affine définie par f (x) = ax + b, alors : Si a > 0, f est croissante sur R, Si a < 0, f est décroissante sur R, Si a = 0, f est constante sur R. Exemples. a. La fonction f définie par f (x) = 3x + 2 est croissante, b. La fonction f définie par f (x) = 2x + 3 est décroissante, c. La fonction f définie par f (x) = 5 est constante. 3 Signe de ax + b Suivant le signe du coefficient directeur a, on obtient les tableaux de signes suivants : x variations si a > 0 Signe de ax + b a > 0 b a + 0 0 + y x variations si a < 0 Signe de ax + b b a + 0 + 0 y a < 0 b a x b a x Exemples. Tableau de signes des fonctions définies sur R par f (x) = 2x + 4 et g (x) = x + 3 : x variations de f Signe de 2x + 4 2 + 0 0 + x variations de g Signe de x + 3 3 + 0 + 0 45

4 Équations de droites 2nde. Cours - Fonctions affines et linéaires 4 1 Équations de droites parallèles aux axes y La droite D a pour équation : y = 3 Elle est l ensemble de tous les points M qui ont pour ordonnée 3. D y = 3 ı est un vecteur directeur de la droite D. L équation de l axe des abscisses est y = 0. j ı y = 0 x y x = 0 x = 4 D La droite D a pour équation : x = 4 Elle est l ensemble de tous les points M qui ont pour abscisse 4. j est un vecteur directeur de la droite D. L équation de l axe des ordonnées est x = 0. j ı x 4 2 Équations d une droite La droite D a pour équation : 3x + 5y = 19 Elle est l ensemble de tous les points M (x ; y) dont les coordonnées vérifient cette équation. L équation est de la forme αx + βy = γ, où α = 3, β = 5 et γ = 19. A (3 ; 2) et B ( 2 ; 5) sont deux points de D. AB ( ) 5 donc u 3 de D y = 3 5 x + 19 5 ( β α ) est un vecteur directeur est l équation réduite de D. Elle est de la forme y = ax + b, où b = 19 5 et a = y B y y A AB = = 3 est le coefficient x B x A x AB 5 directeur, ou pente, de la droite D. B 2 y 5 2 j ı A 3 3x + 5y = 19 D x 46 http://lycee.lagrave.free.fr

5 Méthode 2nde. Cours - Fonctions affines et linéaires 5 1 Trouver l équation d une droite Cela dépend des données : Méthode : Si l on connaît la pente a et un point A (x A ; y A) de la droite D M (x ; y) D si et seulement si y y A x x A = a y y A = a (x x A ) Exemple. Quelle est l équation de la droite D de pente 2 et qui passe par le point A (1 ; 4)? M (x ; y) D si et seulement si y 4 = 2 y 4 = 2 (x 1), soit y = 2 (x 1) + 4 x 1 donc l équation réduite de D est y = 2x + 6. Remarques. On peut aussi écrire : a. l équation de D est de la forme y = 2x + b et pour trouver b on écrit que A D donc 4 = 2 1 + b b = 6. ( ) x 1 b. M (x ; y) D si et seulement si AM et ( ) 1 u sont colinéaires, y 4 2 c est-à-dire 2 (x 1) = 1 (y 4) y = 2x + 6. Méthode : Si l on connaît deux points A (x A ; y A) et B (x B ; y B) de la droite ( ) x xa M (x ; y) (AB) si et seulement si AM et ( ) xb x A AB sont colinéaires y y A y B y A Exemple. A ( 1 ; 2) et B (2 ; 3), quelle est l équation de la droite (AB)? ( ) x + 1 M (x ; y) (AB) si et seulement si AM et ( ) 3 AB sont colinéaires, y 2 1 c est-à-dire 1 (x + 1) = 3 (y 2) x 3y = 7. Donc l équation réduite de (AB) est : y = 1 3 x + 7 3. 5 2 Application 1. Quelle est l équation réduite de la droite (AB)? 2. Quelle est la pente de la droite (AB)? 3. Donner un vecteur directeur u de la droite (AB). 4. Pourquoi ( ) 3 v est-il un vecteur directeur 6 de (AB)? 5. Le point S (x ; 3) (AB). Quelle est la valeur de x? 6. Quelle est l équation de la parallèle à (AB) passant par T ( 5 ; 2)? 7. Pourquoi les droites D 1 et D 2 d équations y = 2x + 5 et 4x + 2y = 14 sont-elles parallèles? y B j ı A x 47

6 C H A P I T R E Paramètres d une série statistique

2nde. Cours - Paramètres d une série statistique 1 Définitions et vocabulaire des statistiques La population est l ensemble des individus sur lesquels portent l étude statistique. (Par exemple une classe de seconde, les hommes, les habitants de la France...) Le caractère (ou variable ) d une série statistique est une propriété étudiée sur chaque individu : Le caractère est quantitatif lorsqu il ne prend que des valeurs (ou modalités) numériques : discret si les modalités sont limitées à un ensemble fini de valeurs (notes, âge...) continu si les modalités peuvent prendre n importe quelle valeur dans un intervalle. (poids, taille...). Dans ce cas on effectue souvent un regroupement des valeurs par classes. Sinon, il est qualitatif (couleur des yeux, sport pratiqué...) : les modalités ne sont pas des nombres. A chaque valeur (ou classe) est associée un effectif : c est le nombre d individus associés à cette valeur. Faire des statistiques, c est recueillir, organiser, synthétiser, représenter et exploiter des données, numériques ou non, dans un but de comparaison, de prévision, de constat... Les plus gros "consommateurs" de statistiques sont les assureurs (risques d accidents, de maladie des assurés), les médecins (épidémiologie), les démographes (populations et leur dynamique), les économistes (emploi, conjoncture économique), les météorologues... Définition 1 : distribution des fréquences On considère une série statistique à caractère quantitatif, dont les p valeurs sont données par : x 1, x 2,..., x p d effectifs associés n 1, n 2,..., n p avec n 1 + n 2 +... + n p = N. A chaque valeur (ou classe) est associée une fréquence f i : c est la proportion d individus associés à cette valeur. f i = n i est un nombre compris entre 0 et 1, que l on peut écrire sous forme de pourcentage. N L ensemble des fréquences de toutes les valeurs du caractère s appelle la distribution des fréquences de la série statistique. Exemple. Voici les notes obtenues à un contrôle dans une classe de 30 élèves : (Série A :) 2 3 3 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 11 11 11 13 13 15 16 On peut représenter cette série par un tableau d effectifs, et le compléter par la distribution des fréquences : Notes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Eff. 0 1 2 1 1 2 3 5 6 2 3 0 2 0 1 1 0 0 0 Fréq. en % 0 3 7 3 3 7 10 17 20 7 10 0 7 0 3 3 0 0 0 Remarque. On peut vérifier que la somme des fréquences est égale à 1 (ou à 100 si on les exprime en pourcentages). On peut aussi faire un regroupement par classe, ce qui rend l étude moins précise, mais qui permet d avoir une vision plus globale. Exemple. Toujours pour la série A, si on regroupe les données par classes d amplitude 5 points, on obtient : Notes [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 10 [ [ 10 ; 15 [ [ 15 ; 20 [ total Effectif 4 17 7 2 30 Fréquence 0,13 0,57 0,23 0,07 1 49

2 Caractéristiques de position 2nde. Cours - Paramètres d une série statistique 2 1 Moyenne Définition 2 : moyenne pondérée Soit une série statistique à caractère quantitatif, dont les p valeurs sont données par x 1, x 2,..., x p d effectifs associés n 1, n 2,..., n p avec n 1 + n 2 +... + n p = N. La moyenne pondérée de cette série est le nombre noté x qui vaut x = n 1x 1 + n 2 x 2 +... + n p x p n 1 + n 2 +... + n p = 1 N p n i x i. i=1 Remarque. Lorsque la série est regroupée en classes, on calcule la moyenne en prenant pour valeurs x i le centre de chaque classe ; ce centre est obtenu en faisant la moyenne des deux extrémités de la classe. Exemples. a. Dans la série A, la moyenne du contrôle est égale à x = 1 2 + 2 3 + + 1 16 30 b. si on regroupe par classe d amplitude 5 points, une estimation de la moyenne est : 4 2,5 + 17 7.5 + + 2 17,5 x = = 260 30 30 8,67. Remarque. On peut aussi calculer une moyenne à partir de la distribution de fréquences : x = f 1 x 1 + f 2 x 2 + + f p x p = p f i x i. i=1 = 254 30 8,47, Propriété 1 : Linéarité de la moyenne Si on ajoute (ou soustrait) un même nombre k à toutes les valeurs d une série, alors la moyenne de cette série se trouve augmentée (resp. diminuée) de k. Si on multiplie (ou divise) par un même nombre non nul k toutes les valeurs d une série, alors la moyenne de cette série se trouve multipliée (resp. divisée) par k. Exemples. On considère la série A : a. Si on ajoute 1,5 points à chaque note du contrôle, alors la moyenne de classe devient m = 8,47 + 1,5 = 9,97. b. Si on augmente chaque note de 10%, cela revient à multiplier chaque note par 1,1, ce qui donne m = 8,47 1,1 = 9,32. Propriété 2 : Moyenne par sous-groupes Soit une série statistique, d effectif total N, de moyenne x. Si on divise cette série en deux sous-groupes disjoints d effectifs respectifs p et q (avec p + q = N) de moyennes respectives x 1 et x 2, alors on a : x = p N x 1 + q N x 2. Exemple. On suppose par exemple que les 12 garçons de la classe de la série A ont obtenu une moyenne globale de 8 sur 20. La moyenne du groupe formé par les filles de la classe vérifie : 9,47 = 12 30 8 + 18 30 m f. Soit m f = 30 18 ( 9,47 12 30 8 ) = 10,45. 50 http://lycee.lagrave.free.fr

2 2 Médiane 2nde. Cours - Paramètres d une série statistique Définition 3 : médiane Soit une série statistique ordonnée dont les n valeurs sont x 1 x 2 x 3 x n. La médiane est un nombre Méd qui permet de diviser cette série en deux sous-groupes de même effectif. Si n est impair, Méd est la valeur de cette série qui est située au milieu, à savoir la valeur dont le rang est n+1 2, notée x n+1. 2 Si n est pair, Méd est le centre l intervalle médian, qui est l intervalle formé par les deux nombres situés «au milieu» de la série, à savoir x n 2 et x n 2 +1. Exemples. a. La médiane de la série «2 5 6 8 9 9 10» est 8. b. La médiane de la série «2 5 6 8 9 9» est 7. c. La médiane de la série «2 5 6 6 9 10» est 6. 2 3 Quartiles Définition 4 : quartiles Soit une série statistique, on appelle quartiles de la série un triplet de réels ( Q 1 ; Q 2 ; Q 3 ) qui sépare la série en quatre groupes de même effectif. On appelle premier quartile, noté Q 1, tout réel tel que au moins 25% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q 1 au moins 75% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q 1 On appelle deuxième quartile ou médiane, noté Méd (ou parfois Q 2 ), tout réel tel que au moins 50% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Méd au moins 50% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Méd On appelle troisième quartile, noté Q 3, tout réel tel que au moins 75% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q 3 au moins 25% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q 3 Remarques. a. De la même manière qu on a défini les quartiles, on peut définir les déciles : ce sont les 9 nombres qui partagent la série en dixièmes (comme les trois quartiles partagent la série en quarts). b. On peut représenter graphiquement les valeurs extrêmes, les quartiles et la médiane par un diagramme en boite, appelé aussi boite à moustaches, conçu de la manière suivante : au centre une boite allant du premier au troisième quartile, séparée en deux par la médiane ; de chaque côté une moustache allant du minimum au premier quartile pour l une, et du troisième quartile au maximum pour l autre. Exemple. Pour la série A, la calculatrice nous donne Q 1 = 7, Méd = 8,5 et Q 3 = 10. min Q1 Méd Q3 max 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Remarques. a. La hauteur des boites est arbitraire (on les fait parfois proportionnelles à l effectif total de la série). b. La boite contient les 50% des données centrales. c. On coupe parfois les moustaches de part et d autre à la hauteur du premier et neuvième décile ; on fait alors apparaître les minimum et maximum par un point. 51

2 4 Mode et classe modale - Effectifs et fréquences cumulés 2nde. Cours - Paramètres d une série statistique Définition 5 : On appelle mode d une série statistique une valeur du caractère dont l effectif associé est le plus grand. On appelle classe modale d une série statistique classée, une classe dont l effectif associé est le plus grand. Remarques. a. Une série statistique peut admettre plusieurs modes. b. Le mode n appartient pas forcément à la classe modale. Définition 6 : Quand les valeurs d un caractère quantitatif sont rangées dans l ordre croissant, L effectif cumulé croissant [ respectivement décroissant ] d une valeur est la somme des effectifs des valeurs inférieures [ respectivement supérieures ] ou égales à cette valeur, La fréquence cumulée croissante [ respectivement décroissante ] d une valeur est la somme des fréquences des valeurs inférieures [ respectivement supérieures ] ou égales à cette valeur. Exemples. a. On reprend l exemple de la série A, on obtient : Notes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Eff. 0 1 2 1 1 2 3 5 6 2 3 0 2 0 1 1 0 0 0 E.c.c. 0 1 3 4 5 7 10 15 21 23 26 26 28 28 29 30 30 30 30 E.c.d. 30 30 29 27 26 25 23 20 15 9 7 4 4 2 2 1 0 0 0 Ce tableau peut par exemple nous permettre de calculer la médiane de la série : l effectif étant de 30, on choisit la moyenne entre la 15 ième et la 16 ième note, lues dans la ligne des E.c.c. On obtient Méd = 8+9 2 = 8,5. b. Toujours pour l exemple de la série A par classes, on s intéresse cette fois-ci à la fréquence : Notes [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 10 [ [ 10 ; 15 [ [ 15 ; 20 [ Effectif 4 17 7 2 Fréquence en % 13 57 23 7 F.c.c. 13 70 93 100 F.c.d. 100 87 3 7 3 Caractéristiques de dispersion Définition 7 : On appelle étendue d une série statistique la différence entre la plus grande valeur du caractère et la plus petite. On appelle intervalle inter-quartiles l intervalle [ Q 1 ; Q 3 ]. L amplitude de cet intervalle Q 3 Q 1 est appelée écart inter-quartiles. Exemple. Dans la série A, l étendue est de e = 16 2 = 14 ; l intervalle inter-quartile est [7 ; 10] dont l écart vaut 10 7 = 3. 52 http://lycee.lagrave.free.fr

4 2nde. Cours - Paramètres d une série statistique Représentation graphique d une série statistique 4 1 Nuage de points - Diagramme à bâtons - Diagramme à barres Exemples. a. Nuage de points de la série A, on obtient : Notes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Eff. 0 1 2 1 1 2 3 5 6 2 3 0 2 0 1 1 0 0 0 Effectif 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 b. Diagramme à bâtons (représentation sans épaisseur) de la série A : Notes Effectif 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Notes c. Diagramme à barres (représentation avec épaisseur) : Vœux 1 en 2010, des élèves de Terminale de l académie de Nice en % % 50 40 30 20 10 0 33 BTS L1 et DEUST 31 DUT 20 CPGE 12 autres 4 53

4 2 Histogramme 2nde. Cours - Paramètres d une série statistique Lorsque le caractère étudié est quantitatif et lorsque les modalités sont regroupées en classes, on peut représenter la série par un histogramme : l aire de chaque rectangle est alors proportionnelle à l effectif (ou à la fréquence) associée à chaque classe. Remarque. Lorsque les classes ont la même amplitude, c est la hauteur qui est proportionnelle à l effectif. Exemples. a. Histogramme de la série A pour laquelle les amplitudes sont toute égales à 5 : Effectif 18 16 14 12 10 8 6 4 2 Notes [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 10 [ [ 10 ; 15 [ [ 15 ; 20 [ Effectif 4 17 7 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Notes b. Exemple d un histogramme représentant la répartition des salaires dans une entreprise, l amplitude des classes n étant pas régulière : 5 salariés 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 On obtient le tableau suivant : Salaires [900 ; 1200] [1200 ; 1400] [1400 ; 1600] [1600 ; 1800] [1800 ; 2000] [2000 ; 2400] Effectif 30 30 60 40 20 20 54 http://lycee.lagrave.free.fr

4 3 Courbe des fréquences cumulées 2nde. Cours - Paramètres d une série statistique Enfin, Lorsque le caractère étudié est quantitatif et lorsque les modalités sont regroupées en classes, on peut effectuer la courbe des fréquences cumulées (croissantes ou décroissantes) appelée aussi polygone des fréquences cumulées. Exemple. Polygone des fréquences cumulées croissantes et décroissantes de la série A : Fréquence en % 100 80 F.c.d. Notes [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 10 [ [ 10 ; 15 [ [ 15 ; 20 [ Effectif 4 17 7 2 Fréquence en % 13 57 23 7 F.c.c. 13 70 93 100 F.c.d. 100 87 3 7 F.c.c. 60 50 40 20 0 5 Méd 10 15 20 Notes On peut grâce à ces polygones déterminer la médiane de la série de deux manières : Soit en déterminant le point du polygone d ordonnée 50% : on trouve environ Méd = 8,2 Soit en lisant l abscisse du point d intersection des deux courbes. 55

4 4 Diagrammes circulaires, semi-circulaires, rectangulaires 2nde. Cours - Paramètres d une série statistique Les séries statistiques aux caractères qualitatifs peuvent aussi être représentées en diagrammes circulaires, semi-circulaires, rectangulaires, etc. L aire de chaque modalité devra être proportionnelle à l effectif de cette modalité. Les fréquences permettent d obtenir assez facilement la part du diagramme qui devra être consacrée à chaque modalité. Exemple. Ainsi si on considère la série suivante : On a alors : x i Blonds Bruns Châtains Roux n i 25 57 91 23 x i Blonds Bruns Châtains Roux Total n i 29 57 91 23 200 Fréquence f i 29 = 0,145 200 0,285 0,455 0,115 1 Part d un diagramme circulaire 0,145 360 = 52,2 102,6 163,8 41,4 360 Part d un diagramme semi-circulaire 0,145 180 = 26,1 51,3 81,9 20,7 180 Part d un rectangle de 10 cm 0,145 10 = 1,45 cm 2,85 cm 4,55 cm 1,15 cm 10 cm On obtient les diagrammes des figures ci-dessous. 28.5% Bruns 14.5% Blonds 45.5% 11.5% Roux Châtains 28.5% Bruns 14.5% Blonds Châtains Roux 11.5% 45.5% Blonds Bruns Châtains Roux 56 http://lycee.lagrave.free.fr

7 C H A P I T R E Équations et inéquations - épisode 2

2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 2 1 Équations 1 1 vocabulaire Une équation est une égalité dans laquelle figure une quantité inconnue (ou plusieurs). On désigne cette quantité inconnue par des lettres (x, y,... ). Exemples. Remarque. Ne pas confondre une équation (comme par exemple 2x + 3 = 0) et une expression algébrique (comme par exemple 2x + 3). Une expression algébrique ne contient pas le signe égal. Une solution, c est une valeur que prend la (ou les) quantité(s) inconnue(s) pour laquelle l égalité est vérifiée. Exemples. a. On considère l équation suivante : x 2 + 1 = 3 x La valeur 3 est-elle une solution de l équation? La valeur 1 est-elle une solution de l équation? b. On considère l équation suivante : 2x + y = 0 (Équation à deux inconnues x et y) Le couple (x ; y) = (1 ; 2) est-il solution de l équation? Et le couple (1 ; 2)? Trouver mentalement un autre couple solution : c. On considère l équation suivante : (x 2) 2 = 25 Trouver mentalement une solution de cette équation : Est-ce la seule? Résoudre une équation, c est en trouver toutes ses solutions et écrire l ensemble des solutions. (Il se peut qu il n y en ait pas, ou au contraire qu il y en ait plusieurs, voire une infinité.) La première chose à maîtriser parfaitement est la résolution des équations du type ax + b = 0. On peut, à ce niveau, préciser que l ensemble des solutions dépend de l ensemble dans lequel on résout l équation. Redonnons quelques exemples : Exemples. a. Résoudre dans R l équation 2x 1 = 0 : R : ensemble des nombres réels. N : ensemble des entiers naturels b. Résoudre dans N l équation 2x 1 = 0 : 58 http://lycee.lagrave.free.fr

1 2 Équations du type ax + b = 0 ou s y ramenant 2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 2 Résoudre : 2x + 6 = 0 Résoudre : 3x 2 = 6x + 4 Résoudre : 2(x + 4) = 3x (5 + x) Résoudre : 2(x 2) + 5x = 8x 2 (x + 2) Propriété 1 : Résolution dans R de l équation ax + b = 0 dans le cas général : { Si a 0, alors l équation a une unique solution : S = b } a Si a = 0, alors il y a 2 cas : Si b = 0, S = car alors on a 0x + 0 = 0, ce qui est vérifié pour toute valeur de x ; Si b 0, S = car alors on a 0x + b = 0. Cette égalité n est jamais vérifiée. Exemples. a. Trouver quatre entiers consécutifs dont la somme est égale à 2006 ; b. Trouver quatre entiers consécutifs dont la somme est égale à 2007. 1 3 Équations-produits Exemple. Une équation du type (3x + 1)(x 5) = 0 est une équation produit. Propriété 2 : rappel Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. Résoudre l équation suivante : (x + 1)x(x 1) = 0 Problème : comment résoudre les équations suivantes? (2x 1) 2 + x(1 2x) = 4x 2 1 (3x + 5) 2 = (x + 1) 2 Méthode à retenir Pour se ramener à une équation produit, il faut d abord tout regrouper dans un même membre et puis FACTORISER Stratégies de factorisation : faire apparaître un facteur commun ou utiliser une égalité remarquable. 59

Résoudre l équation suivante : 2x(x 1) = (x + 3)(x 1) 2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 2 Et lorsque l inconnue figure au dénominateur? Exemples. a. Résoudre 1 x = 2 x + 1 ; Démarche à suivre : préciser les contraintes sur l inconnue «chasser» l inconnue des dénominateurs résoudre l équation obtenue confronter les solutions aux contraintes b. Résoudre 3 x 2 9 = 1 x 3 ; c. Résoudre x2 x = 0 60 http://lycee.lagrave.free.fr

2 Inéquations 2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 2 2 1 vocabulaire Une inéquation est une inégalité dans laquelle figure une quantité inconnue (ou plusieurs). On désigne cette quantité inconnue par des lettres (x, y,... ). Exemples. Une solution, c est une valeur que prend la (ou les) quantité(s) inconnue(s) pour laquelle l inégalité est vérifiée. Exemples. a. On considère l inéquation suivante : x 2 1 3 La valeur 3 est-elle une solution de l inéquation? La valeur 1 est-elle une solution de l inéquation? b. On considère l inéquation suivante : x 2 x Trouver mentalement une solution de cette inéquation : Est-ce la seule? Résoudre une inéquation, c est en trouver toutes ses solutions et écrire l ensemble des solutions. Comme pour les équations, la résolution des inéquations doit faire l objet de règles précises. Le préalable est de savoir étudier le signe d une expression de la forme ax+b. Pour les inéquations plus compliquées, on cherchera à les factoriser pour se ramener à l étude, via un tableau, du signe de plusieurs expressions de la forme ax + b. Remarque. En général, l ensemble des solutions d une inéquation est constitué d intervalles. 2 2 Signe de ax + b Exemple. Pour quelles valeurs de x, l expression 2x + 1 est-elle positive? Et négative? En résumé, plaçons toutes ces informations dans un tableau de signes : x Signe de 2x + 1 1 2 0 + + Par exemple, les solutions de l inéquation 2x + 1 0 sont les nombres de l intervalle [ 12 ; + [. 61

Refaire la même chose avec, cette fois, l expression 3x + 2. 2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 2 Méthode générale Si a est strictement positif, alors : ax + b 0 ax b y a > 0 x a>0 x b a b a + b a x Signe de ax + b 0 + Si a est strictement négatif, alors : ax + b 0 ax b y a < 0 x a<0 x b a b a + b a x Signe de ax + b + 0 2 3 Signe d un produit de facteurs Exemple. Étudier le signe de P (x) = (2x + 1)( x + 2) On étudie le signe de chaque facteur : 2x + 1 0 x 1 2 et x + 2 0 x 2 On place ces informations dans un tableau de signes : x 1 2 2 + Signe de 2x + 1 0 + + Signe de x + 2 + + 0 Signe de (2x + 1)( x + 2) 0 + 0 Par exemple, l ensemble des solutions de l inéquation (2x+1)( x+2) < 0 est S = ] ; 1 [ ]2 ; + [. 2 62 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 2 Remarque. Dans certains cas, il est inutile de faire un tableau de signes. Par exemple, considérons l inéquation : (x 2 + 4)(x 3) 0 On constate ici que le premier facteur x 2 + 4 est toujours positif, l inéquation est donc équivalente à : x 3 0 x 3 S = ] ; 3] 2 4 Signe d un quotient Exemple. Résoudre l inéquation : 3 x 2x 1 0 Contrainte : 2x 1 0 c est-à-dire x 1 2. Étude du signe du numérateur et du dénominateur : Tableau de signes : 3 x 0 x 3 et 2x 1 0 x 1 2 x 1 2 3 + 3 x 2x 1 3 x 2x 1 + + 0 0 + + + 0 Conclusion : S = ] ; [ 1 [3 ; + [ 2 63

8 C H A P I T R E Droites et Systèmes

2nde. Cours - Droites et Systèmes 1 Droites dans un repère 1 1 Caractérisation analytique d une droite Théorème 1 : Soit c un réel. Tout droite parallèle à l axe des ordonnées a pour équation x = c, L ensemble des points M(x; y) tels que x = c est une droite parallèle à l axe des ordonnées. Théorème 2 : Soient m et p des réels. Tout droite non parallèle à l axe des ordonnées est de la forme y = mx + p, L ensemble des points M(x; y)tels que y = mx + p est une droite non parallèle à l axe des ordonnées. Remarque. Le réel m s appelle le coefficient directeur, le réel p est l ordonnée à l origine. Exemples. Pour chacune des équations suivantes, déterminer s il existe le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de la droite : a. 5x + y = 2 y = 5x 2 m = 5 p = 2 b. 2x 3y = 1 y = 2 3 x 1 3 m = 2 3 p = 1 3 c. 2x + 3y = 7 5x + 3y x = 1 Droite parallèle à l axe des ordonnées Remarque. Une équation de droite peut toujours s écrire sous la forme ax + by + c = 0, avec (a; b) (0; 0) : c est ce qu on appelle l équation cartésienne de la droite. 1 2 Coefficient directeur Propriété 1 : Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points d une droite D, le coefficient directeur se calcule grâce à la formule : m = y B y A x B x A Comment déterminer l équation de la droite D passant par deux points A et B? On considère la droite D passant par A(2 ; 1) et B( 1 ; 5). Méthode 1 : à partir de m et p La droite D n est pas parallèle à l axe des ordonnées, elle a donc pour équation y = mx + p. m = y B y A x B x A = 5 + 1 1 2 = 2 D passe par le point A(2; 1) d où : y A = mx A + p y A = 2x A + p 1 = 2 2 + p p = 3 la droite D a pour équation réduite : y = 2x + 3 ou Méthode 2 : avec des vecteurs Soit M(x; y) un point de la droite D, alors les vecteurs AM et ( ) AB sont colinéaires : xm x A AM et ( ) xb x A AB AM y M y A ( ) x 2 y + 1 et AB y B y A ( ) 3 colinéaires 6 6 (x 2) = ( 3) (y + 1) 6x 12 + 3y + 3 = 0 6x + 3y 9 = 0 la droite D a pour équation cartésienne : 2x + y 3 = 0 65

1 3 Droites parallèles, droites sécantes 2nde. Cours - Droites et Systèmes Propriété 2 : Deux droites D et D d équations respectives y = mx + p et y = m x + p sont : parallèles si et seulement si m = m, sécantes si et seulement si m m. Exemple. Déterminer une équation de la droite D parallèle à la droite D d équation y = 2x 3 passant pas le point A(1; 5). La droite D n est pas parallèle à l axe des ordonnées, elle a donc pour équation y = mx + p. m = m = 2 D passe par le point A(1; 5) d où : y A = mx A + p 5 = 2 1 + p p = 3 la droite D a pour équation y = 2x + 3 1 4 Représentation graphique Comment tracer la représentation graphique d une droite? Méthode par calcul de coordonnées de points appartenant à la droite Choisir deux valeurs de x : x 1 et x 2, calculer y 1 et y 2, placer les points A(x 1 ; y 1 ) et B(x 2 ; y 2 ) dans le plan muni d un repère (O, ı, j ) tracer la droite (AB) ou Méthode par utilisation du coefficient directeur et de l ordonnée à l origine Dans un repère (O, ı, j ), placer le point P de coordonnées P (0 ; p), à partir de ce point, tracer le vecteur ) v ce qui nous donne un second point M, tracer la droite (P M). ( 1 m Exemple. Représenter graphiquement les droites d équation : a. d 1 : y = x + 1 y b. d 2 : y = 2 c. d 3 : y = 3x 2 d. d 4 : x = 1 d 2 d 4 e. d 5 : y = 3 4 x 3 j O ı x d 1 d 5 d 3 66 http://lycee.lagrave.free.fr

2 Système de deux équations à deux inconnues 2nde. Cours - Droites et Systèmes 2 1 Définition Définition 1 : { ax + by = c Résoudre le système linéaire (S) : a x + b y = c c est trouver tous les couples de réels (x; y) appelés solutions du système qui vérifient simultanément les deux équations. Exemple. Soit (S) le système { 2x + y = 5 x + 4y = 6 le couple (2; 1) est une solution de (S) car : { 2 2 + 1 = 5 2 + 4 1 = 6 2 2 Interprétation graphique Théorème 3 : Les équations ax + by = c et a x + b y = c définissent, dans un repère, deux droites D et D. Résoudre le systèmes (S) revient à trouver les coordonnées des points d intersection de D et D. Si ab a b 0, les droites ne sont pas parallèles et le système admet une solution unique, Si ab a b = 0 les droites sont parallèles (strictement ou non) et le système admet aucune solution ou une infinité de solutions. Remarque. Si b 0 et b 0 les droites D et D ont pour coefficients directeurs respectifs a b Ainsi D et D sont parallèles si et seulement si a b = a b qui s écrit aussi ab a b = 0 et a b. Exemple. On considère le système (S 1 ) : { 2x + y = 1 2x + y = 3 ab a b = 2 1 ( 2) 1 = 4 0 les droites sont donc sécantes. y D D on trace D : y = 2x + 1 et D : y = 2x 3, j on lit les coordonnées du point d intersection et on donne l ensemble des solutions : O 1 ı 1 x S = { } (1 ; 1) 67

2 3 Méthodes de résolution par le calcul Résoudre le système (S 1 ) : { 4x + y = 7 3x 2y = 8 par substitution. 2nde. Cours - Droites et Systèmes Il s agit d exprimer une inconnue en fonction de l autre à l aide d une des deux équations et de la remplacer par l expression obtenue dans l autre équation : (S 1 ) { y = 4x + 7 { y = 4x + 7 (S 1 ) D où : S = 3x 2( 4x + 7) = 8 { y = 4x + 7 11x = 22 { } (2; 1) 3x + 8x = 8 + 14 { y = 4 2 + 7 x = 2 { y = 1 x = 2 Résoudre le système (S 2 ) : { 2x 3y = 8 (L 1 ) (5) 5x + 4y = 3 (L 2 ) ( 2) par combinaison linéaire. On multiplie la première équation par 5 et la deuxième par ( 2) de manière à éliminer la variable x et on additionne les deux équations membres à membres : { 10x 15y = 40 (5L 1 ) (S 2 ) 10x 8y = 6 ( 2L 2 ) 23y = 46 On obtient y = 46 = 2 et on remplace dans l une des deux équations : 23 (S 2 ) D où S = { y = 2 2x 3 ( 2) = 8 { } (1 ; 2) { y = 2 2x = 8 6 { y = 2 x = 1 On peut enfin utiliser la méthode par combinaison linéaire afin de trouver directement les 2 variables : { { (S 2 ) 10x 15y = 40 (5L 1 ) 8x 12y = 32 (4L 1 ) (S 2 ) 10x 8y = 6 ( 2L 2 ) 15x 12y = 9 (3L 2 ) 23y = 46 y = 2 23x = 23 x = 1 { } D où S = (1 ; 2) Remarque. La méthode par substitution n est à utiliser (et encore...) que lorsqu une inconnue s exprime très facilement en fonction de l autre. 68 http://lycee.lagrave.free.fr

9 C H A P I T R E Probabilités

2nde. Cours - Probabilités Le mot hasard vient de l arabe al zahr qui désigne un dé à jouer. Les jeux de hasard sont connus depuis la plus haute antiquité. Déjà les romains et les grecs jouaient aux osselets (des astragales). C est l étude des jeux de hasard qui a conduit Blaise Pascal (1623-1662) à s intéresser au calcul de probabilité. 1 Vocabulaire Le tableau ci-dessous résume les définitions et notations importantes relatives à la notion d expérience aléatoire. Pour les exemples, on considère l expérience consistant à lancer un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et à noter le nombre figurant sur la face supérieure du dé. DÉFINITIONS EXEMPLES Expérience aléatoire : C est une expérience liée au hasard dont on ne peut pas prévoir le résultat à l avance. L expérience est aléatoire. On peut cependant connaitre les issues appelées éventualités. possibles, Les éventualités sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L ensemble de toutes les éventualités d une expérience aléatoire est appelé univers. En général, on note cet ensemble Ω. Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } Évènement : Un évènement est une partie (ou un sousensemble) de l univers Ω. Il est constitué d une ou d un ensemble d éventualités. Lorsqu une éventualité x i appartient à un évènement A, on dit que x i réalise A. On considère l évènement A : «obtenir un nombre pair». On a A = { 2 ; 4 ; 6 }. L éventualité {2} réalise A. Événement particulier : Un évènement impossible est un événement qui ne se réalise jamais. Un évènement certain est un événement qui se réalise toujours. Un évènement élémentaire est constitué que d une seule issue. L évènement contraire de A est constitué de l ensemble des issues qui ne réalisent pas A. On le note Ā. B : «obtenir 7» est un évènement impossible. On note B =. C : «obtenir un nombre plus grand que 0» est un évènement certain. On a C = Ω. D : «obtenir 2» est un évènement élémentaire. D = {2}. D = {1; 3; 4; 5; 6}. C est l évènement : «ne pas obtenir 2» 70 http://lycee.lagrave.free.fr

2 Probabilité 2nde. Cours - Probabilités Théorème 1 : Loi des grands nombres Si l on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n importe quel évènement finit par se stabiliser autour d un nombre que l on appelle la probabilité de cet évènement. Exemple. Si on lance un très grand nombre de fois un dé, la fréquence d apparition du 5 tend à se stabiliser à 1 6. Définition 1 : Loi de probabilité Définir une loi de probabilité sur un univers, c est associer à chaque éventualité x i sa probabilité p i. Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, la loi est dite équi-répartie. On dit aussi que l on a équiprobabilité des issues. Théorème 2 : La probabilité d un évènement A constituent A. est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui Exemples. Quand on jette un dé à six faces équilibré, la loi de probabilité est la suivante : x i 1 2 3 4 5 6 p i 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 a. la probabilité d obtenir 6 est 1 6 ; b. la probabilité de ne pas obtenir 2 est 5 6 ; c. la probabilité d obtenir un chiffre pair est 3 6 = 1 2 ; d. la probabilité d obtenir un chiffre inférieur à 9 est 1 ; e. la probabilité d obtenir un résultat négatif est 0. Théorème 3 : Soit A un évènement. On a : 0 p(a) 1. En particulier, p( ) = 0 et p(ω) = 1 ; p(a) + p(ā) = 1. En particulier, p(ā) = 1 p(a). De plus, si la loi est équi-répartie, on a p(a) = nombre d issues réalisant A nombres d issues possibles Preuve. Quels que soient l expérience aléatoire et l événement A, il est certain que l un des évènements A ou Ā se réalisera. Par conséquent p(a) + p(ā) = 1. On en déduit que p(ā) = 1 p(a). 71

3 Calculs de probabilités 2nde. Cours - Probabilités Définition 2 : Intersection Union L Intersection des évènements A et B est l évènement, noté A B, formé des issues qui réalisent à la fois (simultanément) l évènement A et l évènement B. La Réunion des évènements A et B est l évènement, noté A B, formé des issues qui réalisent l évènement A ou l évènement B, c est à dire au moins l un des deux. Représentation de A B et de A B par un diagramme de Venn : A B A B A B A B Union de deux événements Intersection de deux événements Exemple. On note A l événement "obtenir un chiffre pair" et B l événement "obtenir un chiffre strictement inférieur à quatre" A B = "obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : A B = {2; 4; 6} ; A B = "obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : A B = {1; 2; 3; 4}. Théorème 4 : Soit A et B deux évènements. on a : p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Preuve. On comprend facilement cette proposition en observant les diagrammes de Venn. Si l on additionne les probabilités de A et B, on compte deux fois la probabilité de A B. Pour obtenir celle de A B, il faut donc soustraire une fois p(a B). Représentation d évènements à l aide d un tableau ou d un arbre 1 On jette deux dés à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule le produit obtenu : Dé n 2 Dé n 1 1 2 3 4 On lance une pièce de monnaie trois fois de suite, on peut schématiser cette expérience par un arbre : pile pile face pile 1 1 2 3 4 pile face 2 2 4 6 8 face 3 3 6 9 12 pile pile 4 4 8 12 16 face face pile face face 1. Voir un cours de troisième : http://melusine.eu.org/syracuse/journal/2009/06/07/cours/3_cours-proba.pdf 72 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. Cours - Probabilités 1 Une campagne de prévention routière s intéresse aux défauts constatés sur le freinage des véhicules et sur leur éclairage. 400 véhicules sont examinés. Le responsable du test de freinage a noté que 60 des 400 véhicules présentaient un défaut de freinage. Le responsable du test d éclairage a noté que 140 des 400 véhicules présentaient un défaut d éclairage. Une récapitulation permet de constater que 45 véhicules présentaient à la fois un défaut de freinage et un défaut d éclairage. 1. Compléter le diagramme de Venn ci-dessous pour représenter la situation. F E 2. On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Quelle est la probabilité que : (a) le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d éclairage? (b) le véhicule présente un défaut d éclairage mais pas de défaut de freinage? (c) le véhicule ne présente aucun des deux défauts? (d) le véhicule présente au moins un des deux défauts? 2 Plusieurs amis veulent choisir une activité. 73% d entre eux veulent voir un film, 30% veulent aller à la piscine, 3% n aiment aucune de ces deux activités. 1. Dessiner le diagramme de Venn correspondant. 2. Quelle est la part des amis qui veulent voir un film et aller à la piscine? 3. Quelle est la part des amis qui veulent voir un film ou aller à la piscine? 3 Dans une école de danse, 48 élèves sont répartis dans trois cours : hip hop (25 élèves), jazz (18 élèves) et classique (22 élèves). Trois d entre eux participent aux trois cours, cinq ont choisi uniquement jazz et quatre ont pris à la fois classique et jazz mais pas hip hop. Jazz Hip Hop 1. Compléter le diagramme de Venn ci-contre pour représenter la situation. 2. On choisit un élève au hasard. Quel est la probabilité qu il suive les cours classique et hip hop mais pas jazz? Classique 4 On interroge un groupe d adolescents pour organiser un repas. 56 acceptent d aller dans une pizzeria, 55 dans une crèperie, et 50 dans un fast-food. 19 refusent d aller dans un fast food, mais acceptent les deux autres propositions et 12 acceptent les trois. De plus, 15 refusent la pizzeria et le fast-food alors que 7 l acceptent. 1. Construire un diagramme de Venn pour traduire la situation. 2. On choisit au hasard un adolescent. Quelle est la probabilité qu il ne choisisse que le fast food? 73

0 C H A P I T R E Étude qualitative de fonctions

2nde. Cours - Étude qualitative de fonctions 1 Variations d une fonction 1 1 Sens de variation Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I : on dit que f est strictement croissante sur I lorsque pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) < f(b) ; on dit que f est strictement décroissante sur I lorsque pour tous réels a et b de I, si a < b alors f(a) > f(b). Interprétation graphique : Fonction strictement croissante : Fonction strictement décroissante : f (b) f (a) < f (b) f (a) J f (a) f (a) > f (b) J f (b) O I C f a a < b b O a I b a < b C f Pour tous les réels a et b de I tels que a < b, on a f(a) < f(b). La courbe C f «monte» lorsqu on se déplace vers la droite. Pour tous les réels a et b de I tels que a < b, on a f(a) > f(b). La courbe C f «descend» lorsqu on se déplace vers la droite. 1 2 Tableau de variation Définition 2 : Étudier les variations d une fonction, c est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante et ceux sur lesquels elle est strictement décroissante. On regroupe ces résultats dans un tableau appelé tableau de variation. Exemple. On a tracé ci-dessous la courbe représentant une fonction f définie sur l intervalle I = [ 6 ; 5]. En observant cette courbe, dresser le tableau de variation de f sur I. En observant le graphique on remarque que : sur l intervalle [ 6 ; 2], la courbe «descend» lorsqu on se déplace de la gauche vers la droite : sur cet intervalle la fonction f est strictement décroissante ; sur l intervalle [ 2 ; 1], la courbe «monte» lorsqu on se déplace de la gauche vers la droite : sur cet intervalle la fonction f est strictement croissante ; sur l intervalle [1 ; 5], la courbe «descend» lorsqu on se déplace de la gauche vers la droite : sur cet intervalle la fonction f est strictement décroissante. 75

2nde. Cours - Étude qualitative de fonctions C f J O I On obtient donc le tableau de variation suivant : x 6 2 1 5 f(x) 2 1 3 2 Les valeurs 2, 1, 3 et 2 placées dans le tableau sont les images respectives de 6, 2, 1 et 5. On les obtient ici par lecture graphique. Dans le cas où on connait l expression de f(x) en fonction de x, on les calcule. Par convention, dans un tableau de variation, une flèche vers le bas signifie que la fonction est strictement décroissante sur l intervalle considéré et une flèche vers le haut signifie qu elle est strictement croissante. Remarque. Lorsqu une fonction a une (ou plusieurs) valeur(s) interdite(s), on l indique dans le tableau de variation par une double barre verticale : prenons par exemple la fonction inverse f : x 1 x. La fonction f a une valeur interdite : x = 0 et on montrera dans le prochain chapitrequ elle est décroissante sur R et sur R +. On obtient donc le tableau de variation suivant : x 0 + f(x) 76 http://lycee.lagrave.free.fr

2 Extremums 2nde. Cours - Étude qualitative de fonctions Définition 3 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I ; et soit a I : on dit que f(a) est le maximum de f sur I si pour tout x I, f(x) f(a). On dit aussi que f atteint son maximum sur I pour x = a ; on dit que f(a) est le minimum de f sur I si pour tout x I, f(x) f(a). On dit aussi que f atteint son minimum sur I pour x = a. Dans les deux cas on dit que f(a) est un extremum pour f sur I. Exemple. Dans l exemple 10.1.2, le maximum de f sur [ 6 ; 5] est 3 ; il est atteint pour x = 1. Le minimum de f sur ce même intervalle est 2 ; il est atteint pour x = 5. Toujours dans cet exemple, f( 2) = 1 est un minimum pour f sur l intervalle [ 6 ; 1]. Remarque. Pour montrer que m est le minimum d une fonction f sur un intervalle I il suffit de montrer que : pour tout x I on a f(x) m 0 ; et qu il existe x 0 I tel que f(x 0 ) = m. De même, M est le maximum d une fonction f sur un intervalle I si : pour tout x I on a f(x) M 0 ; et s il existe x 0 I tel que f(x 0 ) = M. 3 Quelques cas particuliers 3 1 Fonction définie par morceaux Exemple. En 2006, l impôt sur le revenu d une personne célibataire était calculé «par tranches». En notant r son revenu annuel, le montant de l impôt I est : si r < 4 412 alors I = 0 ; si 4 412 r < 8 677 alors I(r) = r 0,068 3 301,84 ; si 8 677 r < 15 274 alors I(r) = r 0,191 4 1 369,48 ; si 15 274 r < 24 731 alors I(r) = r 0,282 6 2 762,47 ; si 24 731 r < 40 241 alors I(r) = r 0,373 8 5 017,93 ; si 40 241 r < 49 624 alors I(r) = r 0,426 2 7 126,56 ; si r > 49 624 alors I(r) = r 0,480 9 9 841. Un contribuable qui gagnait 20 000 était dans la «tranche» à 28,26%. Son impôt était donc de : I(20 000) = 20 000 0,282 6 2 762,47 = 2 889,53 C est-à-dire qu il payait 2 889,53 20 000 14,4% de ses revenus en impôts. On dit que I est une fonction de r définie par morceaux : l expression à utiliser pour calculer I(r) dépend de l intervalle dans lequel est r. Ici, il s agit même d une fonction affine par morceaux. La représentation graphique d une telle fonction est une succession de morceaux de courbes. Dans l exemple des impôts, il s agit d une succession de segments suivie d une demi-droite. En observant cette représentation graphique on constate que le fait de «changer de tranche d imposition» n augmente pas l impôt d un «saut» ainsi la somme restante après impôt est toujours croissante lorsque le revenu augmente. 77

2nde. Cours - Étude qualitative de fonctions Impôt I en k euro Reste en k euro Reste Impôt 10 2 5 25 50 Revenu r en k euro 3 2 Fonction définie en quelques valeurs Exemple. Un forfait de téléphonie permet d envoyer autant de sms que l on veut pour un abonnement de 20 par mois. On note f la fonction qui au nombre n de sms envoyé au cours du mois associe le prix de revient du sms en centimes. On a f(n) = 2000 n. Et cette fonction est définie pour n entier naturel non nul : f n est pas définie sur un intervalle mais sur N. Sa représentation graphique sera une succession de points non reliés les uns aux autres. En première, une telle fonction sera appelée suite numérique. coût unitaire en centimes 20 5 25 40 nombre de sms 78 http://lycee.lagrave.free.fr

Fluctuation1 C H A P I T R E d échantillonnage

2nde. Cours - Fluctuation d échantillonnage 1 Échantillonnage On s intéresse à l étude d un caractère (quantitatif ou qualitatif) des N individus d une population. Pour chacun des individus de la population, le caractère peut à priori prendre des valeurs aléatoirement différentes. Lorsqu on n a pas accès à l ensemble de la population, on procède à un échantillonnage, i.e. au choix de n individus dans la population, sur lesquels on observe la valeur du caractère. Exemple. Lorsqu on lance un dé un certain nombre de fois ou lorsqu on interroge des électeurs sur le nom du candidats pour lequel ils comptent voter. On dit qu on dispose d un échantillon de données. Par exemple, l expérience qui consiste à lancer 100 fois un dé peut conduire à l échantillon : Numéro 1 2 3 4 5 6 Effectif 15 21 17 13 16 18 Le résultat d un lancer n influe pas sur le suivant, on dit que les lancers sont indépendants. Définition 1 : Un échantillon de taille n est la collection des n résultats obtenus après n répétitions indépendantes d une même expérience aléatoire. Exemple. «FONDAMENTAL» L épreuve de Bernoulli consiste en une expérience aléatoire n ayant que deux issues. Ainsi, effectuer un sondage dans une population amenée à choisir lors d une élection entre deux candidats A et B revient à obtenir un échantillon du type : A - B - A - B - B -... 2 Intervalle de fluctuation Remarque. «préliminaire» Revenons sur l exemple du lancer de 100 dés, en réitérant l expérience, on obtient un nouvel échantillon qui n a aucune raison de fournir les mêmes résultats. Il en va de même pour un second sondage effectué sur une même population. Ce phénomène est appelé la fluctuation d échantillonnage. On peut cependant dans le second cas, avoir une idée de cette fluctuation. Théorème 1 : (admis) Considérons une expérience de Bernoulli où l échantillon est de taille n 25. Supposons que l une des issues a pour probabilité p avec 0,2 p 0,8 Lorsqu on dispose d un grand nombre d échantillons (de même taille), pour au moins 95% d entre eux, les fréquences observées seront comprises dans l intervalle : [ p 1 ; p + 1 ] n n Ce dernier est appelé intervalle de fluctuation de la fréquence de f au seuil de 95%. Ainsi lorsqu on dispose d un échantillon, on a 95% de chances que la fréquence observée appartienne à cet intervalle. L échantillon est représentatif (ou non biaisé) si et seulement si sa fréquence d apparition de la caractéristique est dans cet intervalle. http://lycee.lagrave.free.fr/img/ggb/intervalle_fluctuation_seconde.ggb Remarque. La longueur de l intervalle diminue lorsque la taille de l échantillon devient grand. Ainsi, la fréquence d observation se rapproche de p : il s agit d une illustration de la loi des grands nombres. On dira que les fluctuations d échantillonnage de f autour de p sont d autant plus faibles que n est grand. Quand la taille de l échantillon, n, tend vers l infini, la fréquence observée f tend vers p. 80 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. Cours - Fluctuation d échantillonnage Exemple. On sait que dans une population donnée, il y a 60% de fumeurs, soit une proportion p = 0,6 de fumeurs. Sur 400 malades atteints d un cancer des bronches, on trouve 333 fumeurs, soit une fréquence f = 0,833 de fumeurs. Un tel résultat ne suffit pas à prouver que le tabagisme augmente les chances de cancer des bronches. Il faut savoir si la différence entre 0,6 et 0,83 est significative d un comportement différent des malades atteint du cancer des bronches. Si les malades se comportent comme le reste de la population, on devrait encore avoir une proportion p = 0,6 de fumeurs chez les malades. Pour un échantillon de n = 400 personnes issues de la population, l intervalle de fluctuation de f serait [ p 1 n ; p + 1 n ] = [ 0,6 1 400 ; 0,6 + 1 400 ] = [0,55 ; 0,65]. Comme f = 0,83 n appartient pas à cet intervalle, on peut considérer que la proportion p = 0,6 n est pas compatible avec l observation f, et ici qu il y a plus de fumeurs chez les malades atteints d un cancer des bronches. Comme toujours, on a considéré que l échantillon observé faisait partie des 95% d échantillons donnant une fréquence dans l intervalle de fluctuation. Le risque d erreur est donc de 5%. 3 Applications Dans la suite, on dispose d un échantillon pour laquelle on observe une fréquence f. 3 1 On suppose p connu et on teste l hypothèse f = p C est par exemple le cas si l on cherche à savoir si une pièce est truquée à partir d un échantillon de lancers de pièces. Ainsi, si l on obtient 2 050 fois piles en lançant 4 000 fois une pièce et que l on veuille tester l hypothèse f = p = 0,5, cela revient à tester si la pièce est truquée. Or on sait que si n = 4 000 alors pour au moins [ 95% des expériences (qui consistent à lancer 4 000 pièces), les fréquences appartiendront à l intervalle : 0,5 1 200 ; 0,5 + 1 ] = [0,495 ; 0,505]. Ici, on a : f = 2050 = 0,512 5 / [0,495 ; 0,505]. Ce 200 4000 qui signifie qu on a 95% de chances de ne pas se tromper en supposant la pièce truquée mais aussi 5% de faire erreur. Exemples. a. Dans la réserve indienne d Aamjiwnaag, située au Canada il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. Est-ce le fruit du hasard? 46 garçons sur 132 naissances alors que la fréquence théorique de garçons est p = 0,5. 0,5 1 0,413 et 0,5 + 1 0,587 132 132 Donc l intervalle de fluctuation au seuil de 95% est [0,413 ; 0,587]. Il n y a donc que 5% de chances d obtenir une valeur en dehors de cet intervalle. La valeur 46 = 0,348 est nettement en dehors de cet intervalle. Il y a lieu de se poser des questions et de 132 chercher quelle peut-en être la raison. b. Les entreprises sont sensées ne pas faire de discrimination quant au sexe des personnes employées. Deux entreprises A et B ont respectivement 41 femmes pour 100 employés et 4 850 femmes sur 10 000 employés. Pour chacune des entreprises, la sélection est-elle équitable? Pour l entreprise A l intervalle de fluctuation de la fréquence au seuil de 95% est : [ 0,5 1 100 ; 0,5 + 1 ] = [0,4 ; 0,6] or f = 41 = 0,41 et on a 0,41 [0,4 ; 0,6] donc l échantillon est 100 100 représentatif d une situation de parité. [ Pour l entreprise B, l intervalle de fluctuation est : 0,5 1 10000 ; 0,5 + 1 ] = [0,49 ; 0,51] 10000 or ici f = 4850 = 0,485 et 0,485 n appartient pas à l intervalle, donc l échantillon n est pas représentatif 10000 d une situation de parité. 81

3 2 On suppose p inconnu et on teste l hypothèse p = f 2nde. Cours - Fluctuation d échantillonnage Le parti d un candidat commande un sondage réalisé à partir de 1 600 personnes à l issue duquel il est donné gagnant avec 52% des voix. A-t-il des raisons d être confiant? On peut répondre à la question si on montre p > 0,5 avec une grande probabilité. Le problème est que p est inconnu... On remarque alors que : p 1 40 f p + 1 40 f 1 40 p f + 1 intervalle de confiance au risque de 5% 40 0,52 0,025 p 0,52 + 0,025 0,495 p 0,545 On ne peut donc conclure. De toute façon, même si l on avait obtenu p > 0,5, on aurait eu 5% de chances de se tromper en pensant que l élection était gagnée. Exemples. a. Lors d un référendum, un sondage aléatoire simple pratiqué sur 1 000 personnes a donné 55% pour le "Oui" et 45% pour le "Non". Peut-on prévoir le résultat du référendum? L intervalle de confiance est [ f 1 n ; f + 1 n ] = Avec un risque d erreur de 5%, on peut dire le "Oui" va l emporter. [ 0,55 1 1000 ; 0,55 + 1 1000 ] = [0,518 ; 0,582] b. Si, pour un référendum, on sait que "oui" se situe autour de 50%, combien de personnes faudrait-il interroger pour que la proportion de "Oui" soit connue à 1% près? (en plus ou en moins) L intervalle de confiance est c. Pourcentage de garçons à la naissance. [ f 1 n ; f + 1 n ]. On veut ( ) 2 1 1 0,01 soit n = 10 000 n 0,01 Dans un pays, sur 429 440 naissances, on a dénombré 221 023 garçons. Ce résultat est-il conforme à l hypothèse selon laquelle il y a 50% de naissances masculines (et donc 50% de naissances féminines)? Intervalle de confiance de niveau 0,95 : [ 221 023 429 440 1 429 440 ; ] 221 023 429 440 + 1 = [0,5132 ; 0,5162] 429 440 soit entre 51.32% et 51.62% de naissances masculines donc non conformité avec l hypothèse. d. Le dernier sondage de 2002 ne prévoyait pas la présence de Jean-Marie Le Pen au second tour. Pouvaiton croire au sondage? 21 Avril 2002 second tour de l élection présidentielle en France. Les sondages (1000 p) prévoient : M Chirac : 19 % M Jospin : 18 % M Le Pen : 14 % Les Résultats sont : Surprenant! M Chirac : 19,88 % M Jospin : 16,18 % M Le Pen : 16,88 % Les intervalles de confiance à 95 % [ 16 % ; 22 % ] [ 15 % ; 21 % ] [ 11 % ; 17 % ] Il n y a pas de surprise, seulement que M Jospin est dans la partie basse et M Le Pen dans la partie haute. Remarque. Il y a autant d intervalles de confiance que d échantillons. Ils sont centrés sur la fréquence f de l échantillon. 82 http://lycee.lagrave.free.fr

3 3 Qu est-ce qu un sondage? 2nde. Cours - Fluctuation d échantillonnage Un maire voudrait connaître le pourcentage de personnes de sa commune favorables à un projet d urbanisme, et ceci à partir d une enquête portant sur un nombre restreint d individus. Il demande à quatre collaborateurs comment procéder. le 1er propose d ouvrir à la mairie un registre pour recueillir l avis des personnes désirant s exprimer sur le sujet ; le 2e d interroger les 1 350 habitants de son quartier ; le 3e d interroger les 100 premières personnes rencontrées dans la rue, le mardi suivant à partir de 10 h. le 4e de sélectionner, de façon totalement aléatoire, 100 individus à interroger, à partir de la liste des habitants de la commune. [ Tous les quatre pensent ensuite utiliser la formule bien connue f 1 ; f + 1 ]. Ils affirment avoir n n une probabilité 0,05 de se tromper en disant que la proportion cherchée est dans cet intervalle. À la place du maire, et indépendamment de toute considération de coût ou de difficulté de réalisation pratique (et en supposant que toutes les personnes interrogées répondent), quelle méthode choisiriez-vous? Celle du collaborateur : 1 : Non, car seules les personnes intéressées feront la démarche d aller jusqu à la mairie. Celles qui n en ont pas le temps, ou qui ne se sentent pas assez concernées, ne seront pas consultées. L échantillonnage ainsi réalisé ne sera pas représentatif de toute la population. 2 : Non, la taille de l échantillon est grande, ce qui permettrait une bonne précision si on avait un échantillon vraiment aléatoire, mais il ne s agit pas d un tirage au hasard sur l ensemble de la population, puisqu on exclut du sondage tous les habitants des autres quartiers. 3 : Non, car on exclut du sondage toutes les personnes qui travaillent le mardi matin. On risque de n interroger que des femmes au foyer, des retraités ou des chômeurs. L échantillon ne serait pas représentatif de l ensemble des habitants de la ville. 4 : Oui, c est la seule démarche qui permette de justifier le recours à la formule donnant l intervalle de confiance. Il est nécessaire d avoir un échantillon aléatoire simple : tous les habitants ont la même chance d être choisis, et de façon indépendante. Personne n est exclu du sondage. Le maire décide donc de choisir, à partir d une liste de plusieurs milliers de noms, 100 personnes, "totalement au hasard". Mais comment faire pour être sûr d agir "en toute objectivité"? Une solution est l utilisation de tables de nombres au hasard, ou de procédés informatiques. À partir d une liste numérotée de N noms, choisir les numéros de n personnes, de façon à ce que chacun ait la même probabilité d être choisi, et de façon indépendante. D autre part, si le maire pense que son projet risque d être ressenti différemment par les hommes et les femmes (implantation d un stade de foot-ball par exemple), ou selon les tranches d âge, et que la liste d habitants dont il dispose mentionne le sexe et l âge, que faire? Il peut améliorer la précision de son estimation en choisissant au hasard un certain nombre d hommes, un certain nombre de femmes, un certain nombre d individus par tranche d âge. C est ce que l on appelle un sondage stratifié. De même, il peut être logique de procéder dans certains cas à des sondages à probabilités inégales : par exemple si les individus sont des entreprises, il peut être utile de les choisir avec des probabilités proportionnelles à leur chiffre d affaire, ou au nombre de leurs salariés. Remarque. Une méthode de sondage consiste à définir la façon dont on va prélever les individus dans la population afin de constituer un échantillon. Lorsque tous les individus ont la même probabilité d appartenir à l échantillon sélectionné, on parle de sondage à probabilités égales. Un sondage aléatoire est dit simple si tous les échantillons de taille n fixée sont réalisables avec la même probabilité. Il existe également des sondages stratifiés (s appuyant sur des sous-populations appelées strates constituées à partir des données portant sur l ensemble de la population), des sondages par la méthode des quotas (analogue aux sondages stratifiés mais avec probabilité inégales d appartenir à l échantillon sélectionné),... 83

2 C H A P I T R E Fonctions usuelles

2nde. Cours - Fonctions usuelles 1 La fonction carré 1 1 La fonction carré Définition 1 : La fonction carré est la fonction définie sur R qui, à tout réel associe son carré. f : x x 2 Exemple. Soit f la fonction carré. Alors on a f(3) = 3 2 = 9, f(0) = 0, f( 2,5) = 6,25,... Propriété 1 : La fonction carré est croissante sur R + et décroissante sur R. Cela signifie que : deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés ; deux nombres négatifs sont rangés dans l ordre inverse de leurs carrés. Preuve. Il s agit de démontrer que si a et b sont deux réels positifs tels que a < b alors a 2 < b 2. Si a = 0 alors a 2 = 0 et b 2 > 0 donc a et b sont dans le même ordre que a 2 et b 2. Si a 0, alors a est strictement positif. Or a < b donc en multipliant les deux membres de cette inégalité par a, on obtient a 2 < ab. De même, b > 0 donc en multipliant les deux membres de a < b par b on obtient : ab < b 2. Ainsi a 2 < ab < b 2 donc a et b sont dans le même ordre que leurs carrés. Il s agit de démontrer que si a et b sont deux réels négatifs tels que a < b alors a 2 > b 2. Si b = 0 alors b 2 = 0 et a 2 > 0 donc a et b sont dans l ordre inverse de leurs carrés a 2 et b 2. Si b 0, alors b est strictement négatif. Or a < b donc en multipliant les deux membres de cette inégalité par b, on obtient ab > b 2. (On change le sens d une inégalité lorsqu on multiplie les deux membres par un nombre strictement négatif) De même, a < 0 donc en multipliant les deux membres de a < b par a on obtient : a 2 > ab. Ainsi a 2 > ab > b 2 donc a et b sont dans l ordre inverse de leurs carrés. Tableau de variations : Courbe représentative : x 0 + f : x x 2 0 C f Le minimum de la fonction carré est 0 ; il est atteint pour x = 0. La courbe représentative de la fonction carré tracée ci-contre est une parabole de sommet O et d axe (O; j). j i 85

2nde. Cours - Fonctions usuelles 1 2 Fonction définie à l aide de la fonction carré Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x 2 12x + 13. 1. Montrer que f(x) = 2(x 3) 2 5. 2. Déterminer les variations de f sur ] ; 3] puis sur [3 ; + [. 3. Dresser le tableau de variations de f pour x [ 1 ; 6]. 4. Dresser un tableau de valeurs de la fonction f puis tracer sa courbe représentative dans un repère. 1. On a : 2(x 3) 2 5 = 2(x 2 6x + 9) 5 = 2x 2 12x + 13 = f(x). 2. Soit a et b deux réels tels que a < b 3. On a : a < b 3 On soustrait 3 : Donc : a 3 < b 3 0 La fonction x x 2 est décroissante sur R Donc : (a 3) 2 > (b 3) 2 On multiplie par 2 (2 > 0) Donc : 2(a 3) 2 > 2(b 3) 2 On soustrait 5 : Donc : 2(a 3) 2 5 > 2(b 3) 2 5 D où : f(a) > f(b) Donc la fonction f est décroissante sur ] ; 3]. De même sur [3 ; + [, soit a et b tels que 3 a < b : On a : 3 a < b On soustrait 3 : Donc : 0 a 3 < b 3 La fonction x x 2 est croissante sur R + Donc : (a 3) 2 < (b 3) 2 On multiplie par 2 (2 > 0) Donc : 2(a 3) 2 < 2(b 3) 2 On soustrait 5 : Donc : 2(a 3) 2 5 < 2(b 3) 2 5 D où : f(a) < f(b) Donc la fonction f est croissante sur [3 ; + [. 3. On en déduit le tableau de variations de f sur [ 1 ; 6] : x 1 3 6 27 13 f 5 f( 1) = 2 ( 1) 2 12 ( 1) + 13 = 27 et f(6) = 2 6 2 12 6 + 13 = 13. 4. On dresse un tableau de valeurs : x 1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 27 13 3 3 5 3 3 13 On trace alors la courbe représentative de f dans le repère ci-dessous : 86 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. Cours - Fonctions usuelles C f j i S Cette courbe est une parabole de sommet S(3 ; 5) et d axe (S; j). La fonction f admet pour minimum 5 qui est atteint pour x = 3. Définition 2 : Une fonction f dont l expression algébrique peut s écrire sous la forme f(x) = ax 2 + bx + c où a 0 est appelée fonction polynome de degré 2. Propriété 2 : Soit f un polynôme de degré 2 défini par f(x) = ax 2 + bx + c. Alors il existe deux réels α et β tels que f(x) = a(x α) 2 + β. α est la valeur de x pour laquelle f(x) atteint son extremum qui est β : si a > 0, alors β est un minimum ; si a < 0, alors β est un maximum. L expression a(x α) 2 + β est appelée forme canonique du polynome f. 1 3 Équations Propriété 3 : Équations x 2 = k Soit k un réel quelconque. Alors : si k > 0, alors l équation x 2 = k admet deux solutions : k et k ; si k = 0, alors l équation x 2 = k admet une unique solution : 0 ; si k < 0, alors l équation x 2 = k n a pas de solution. 87

2 La fonction inverse 2nde. Cours - Fonctions usuelles 2 1 La fonction inverse Définition 3 : La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel non nul associe son inverse. Pour x 0, f(x) = 1 x Propriété 4 : La fonction inverse est décroissante sur R et sur R +. Preuve. Soit a et b deux réels strictement négatifs tels que a < b. Étudions le signe de 1 a 1 b : 1 a 1 b = b ab a ab = b a ab. Or a et b sont négatifs donc ab > 0. De plus a < b donc b a > 0. Donc 1 a 1 b est égal au quotient de deux réels positifs ; c est donc un réel positif. Donc 1 a 1 b > 0 ; ainsi, 1 a > 1 b. Les nombres a et b et leurs images sont donc rangés dans l ordre inverse : la fonction inverse est décroissante sur R. On démontrerait de même que la fonction inverse est décroissante sur R +. Remarque. Attention! La fonction inverse n est pas décroissante sur R. En effet, on a : 2 < 2 et 1 2 < 1 2 : les images de 2 et 2 sont rangés dans le même ordre que 2 et 2. Tableau de variations : Courbe représentative : x 0 + 0 f 0 j La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole de centre O et d asymptotes (Ox) et (Oy). i 88 http://lycee.lagrave.free.fr

2nde. Cours - Fonctions usuelles 2 2 Expressions rationnelles Exemple. Soit f la fonction définie par f(x) = 3x 5 x 2. On note C f sa courbe représentative dans un repère (O; i, j). 1. Déterminer l ensemble de définition de f. 2. Montrer que pour x D f, on a f(x) = 3 + 1 x 2. 3. Déterminer les coordonnées des points d intersection de C f avec les axes du repère. 4. Étudier les variations de f sur ] ; 2[ puis sur ]2 ; + [. 5. En se limitant à l ensemble [ 3 ; 2[ ]2 ; 7], dresser le tableau de variations de f, puis un tableau de valeurs et enfin la courbe représentative de f dans un repère. 1. f(x) existe pour x 2 0 soit x 2 : x = 2 est une valeur interdite pour f. Donc D f =] ; 2[ ]2 ; + [. 2. On a : 3 + 1 x 2 = 3(x 2) x 2 + 1 x 2 = 3x 6+1 x 2 = 3x 5 x 2 = f(x). 3. Le point d intersection A de C f avec l axe des ordonnées a pour abscisse x A = 0 et donc pour ordonnée y A = f(0) = 5 2. Donc A ( 0; 2) 5. Les points d intersection de C f avec l axe des abscisses ont pour ordonnée 0. On résout donc l équation f(x) = 0. Un quotient est nul si et seulement si son dénominateur n est pas nul et son numérateur est nul. Donc pour x 2, f(x) = 0 si et seulement si 3x 5 = 0 soit x = 5 3. Donc C f coupe (Ox) en un seul point : B ( 5 3 ; 0). 4. Pour étudier les variations de f, on utilise l expression de f(x) trouvée à la question 2. Soit a et b deux réels tels que a < b < 2. On a : a < b < 2 On soustrait 2 : Donc : a 2 < b 2 < 0 La fonction x 1 x est décroissante sur R Donc : 1 a 2 > 1 b 2 On ajoute 3 : Donc : 3 + 1 a 2 > 3 + 1 b 2 D où : f(a) > f(b) Donc la fonction f est strictement décroissante sur ] ; 2[. De même, soit a et b deux réels tels que 2 < a < b. On a : 2 < a < b On soustrait 2 : Donc : 0 < a 2 < b 2 La fonction x 1 x est décroissante sur R + Donc : 1 a 2 > 1 b 2 On ajoute 3 : Donc : 3 + 1 a 2 > 3 + 1 b 2 D où : f(a) > f(b) Donc la fonction f est strictement décroissante sur ]2 ; + [. 5. On en déduit le tableau de variations : Tableau de variations : Tableau de valeurs : x f 3 2 7 2,8 3,2 x 3 0 1 3 4 7 f(x) 2,8 5 2 2 4 7 2 3,2 89

Courbe représentative : 2nde. Cours - Fonctions usuelles C f j i 90 http://lycee.lagrave.free.fr