LA TECHNIQUE D'ELABORATION ET DE CONTROLE DES PROGRAMMES (Initiation aux Pert-temps) par Jacques Hallak

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1 No. 37 LA TECHNIQUE D'ELABORATION ET DE CONTROLE DES PROGRAMMES (Initiation aux Pert-temps) par Jacques Hallak

2 ИЕР/ТМ/37/б9 juillet 197^ INSTITUT INTERNATIONAL DE PLANIFICATION DE L'EDUCATION 7-9* rue Eugène-Delacroix., Paris LA TECHNIQUE D'ELABORATION ET DE CONTROLE DES PROGRAMMES par Jacques Hallak Ce document fait partie de la série "Les principes de la planification de l'éducation ; conférences et discussions", préparée par l'iipe en vue de constituer une collection de matériaux d'enseignement de base dans le domaine de la planification de l'éducation. Ces documents sont basés sur les enregistrements«, transcriptions et notes de séminaires, conférences et discussions organisés par l'iipe dans le cadre de son programme de recherche et de formation % ils ne représentent - ni dans leur forme ni dans leur contenu -des publications officielles et les opinions qui y sont exprimées ne sont pas nécessairement celles de l'institut. L'utilisation,, l'adaptation ou la reproduction, entière ou partielle de ces documents sont strictement réservées aux Institutions et personnes spécifiquement autorisées par l'iife, i

3 TABLE DES MATIERES Pages I. LES PRINCIPES GENERAUX 1 1 о Définition 1 2, L'analyse du programme 2 3* L'élaboration du réseau 5 Conclusion 9 II. LE PERT-TEMPS L'estimation de la durée des opérations d'un projet 10 2, Le calcul des temps 15 3o La notion de battement ou latitude 16 4 о Le chemin critique 18 5» La probabilité de respecter un calendrier 19 6«, Un exemple d'application % projet de recherche sur l'administration de l'enseignement 25 a) Analyse préliminaire globale 23 b) Analyse détaillée 25 TERMINOLOGIE 32 Bibliographie sélective 33 ii

4 IIEP/TM/37/69 - page 1 I. LES PRINCIPES GENERAUX La Technique d'elaboration et de Controle des Programmes communément appelée PERT (Program Evaluation and Review Technique) utilisée sur une grande échelle par le département de la Marine des Etats-Unis en 1958* a vu son application s'étendre à la fois à d'autres domaines et dans d'autres pays. C'est ainsi que par exemple en France, la Méthode PERT et ses variantes (CPM)(l) commencent à être largement diffusées. A l'origine5 le besoin s'est fait sentir d'introduire ces méthodes en raison de la complexité de plus en plus grande des projets que l'on avait à traiter dans certains domaines. Des gains très sensibles de temps et d'argent ont pu être ainsi enregistrés et progressivement les méthodes de contrôle des délais et des coûts voient leur champ d'application s'étendre et toucher les secteurs d'activité les plus divers. En témoigne, par exemple, l'adoption récente de PERT dans les gros programmes de recherche et de développement en éducation* aux Etats-Unis. Tout en admettant que la Technique d"elaboration et de Contrôle des Programmes peut paraître de prime abord trop complexe pour voir son application se généraliser à tous les programmes d f éducation des pays en voie de développement, il n'en demeure pas moins qu'elle pourra s'appliquer avec profit dans quelques circonstances. Par exemple^, la programmation des projets de constructions scolaires* peut faire appel avec profit à la méthode PERTj de même l'organisation des examens à l'échelon national* en raison de la complexité et de son coût mériterait d'être basée sur un réseau PERT; en outre* l'introduction d'une réforme ou d'une innovation dans un système scolaire devrait être soigneusement planifiée et des versions simplifiées des méthodes PERT seraient probablement très utiles â la préparation du calendrier des opérations. Un dernier exemple d'utilisation potentielle des méthodes PERT est souvent proposé % il s'agit d'utiliser la technique d'élaboration et de contrôle des programmes dans la préparation des plans d'éducation. L'objet de ce cycle de deux conférences est d'introduire la méthode PERT de manière à montrer ses possibilités d'application et ses limites. C'est ainsi que cette partie est consacrée à la présentation des principes généraux de la méthode PERT; la seconde partie contiendra une initiation au PERT-TEMPS qui correspond à l'une des variantes de la Technique d 9 élaboration et de contrôle des programmes. 1. Définition Comme toute technique nouvelle-, le PERT fait l'objet de conversations animées dans les Directions d! entreprises* dans les administrations publiques* et dans tous les domaines où sa mise en application est à l'ordre du jour. Certains y voient la solution idéale à tous les problèmes de planification et le remède contre les décisions inopportunes* mais d'autres sont moins affirmatifs. Ces positions contrastées résultent souvent d'une mauvaise définition de la technique de contrôle et d'évaluation des programmes ou méthode PERT. (1) Critical Path Method ou méthode du chemin critique.

5 IIEP/TM/37/69 - Page 2 Le PERT est un instrument de direction destiné à définir et coordonner ce qui doit être fait pour atteindre les buts fixés dans les délais imposés. Cet instrument aide donc à prendre des décisions, La méthode intègre un nombre considérable de données statistiques : elle permet de détecter les incertitudes attachées à la réalisation de telle ou telle tâche, montre, grâce â la technique de simulation, les possibilités d'ajustements pour respecter les délais ou économiser les ressources, et s'appuie sur des principes mathématiques rigoureux tout en n'exigeant pas de ses utilisateurs une formation scientifique particulièrement poussée,, La technique d'élaboration et de contrôle des programmes est basée sur la théorie des graphesj elle s'exprime par des schémas graphiques sous forme d'une succession d'arcs orientés (réseaux de flèches) qui résulte de l'analyse d'un programme c Ces schémas supportent les éléments qui servent à l'établissement des calculs, 11 résulte de cette définition que, pour introduire les principes généraux sur lesquels repose la méthode PERT, il convient d'examiner successivement (i) la phase d'analyse du programme, (ii) la phase d'élaboration du réseau et la signification de ces différents éléments 2о L'analyse du programme L'analyse consiste essentiellement â préciser les objectifs du programme et â les décomposer en stades successifs de plus en plus détaillés jusqu'à ce que toutes les phases d'avancement figurent dans cette décomposition. Il s'agit donc de définir un objectif général du programme et de subdiviser ce dernier en objectifs partiels ou phases successives d'avancement selon le schéma suivant* SCHEMA No 1 Objectif du programme Г Objectifs partiels 1 Objectifs partiels 2 Objectifs partiels 3 ETC ETC Stade 1 Stade 2 Stade 3 ETC

6 ÏÏEP/TM/37/69 - Page 3 Bien sur, la décomposition peut continuer aussi loin que l'on désire;, mais ce qui est essentiel au niveau du directeur du programmai c'est de pouvoir préciser dès le départ en quoi consiste l'objectif et en quels éléments majeurs il désire l'analyser, quitte à laisser l'analyse de chaque élément â celui qui en sera responsable. Les niveaux et la consistance de cet objectif, la structure de la société ou de l'administration, les éléments clés auxquels le responsable a fixé son intérêt, les obligations existantes etc eso sont parmi les facteurs qui déterminent le choix des sections de décomposition et d'éclatement des responsabilités,, Le schéma d'analyse ne se borne donc pas â définir les objectifs et â mettre en évidence leurs relations, il montre également divers degrés de complexité selon chaque degré de responsabilité» Au niveau le plus bas de la hiérarchie, celui de l'exécution des opérations élémentaires, on atteint ce que l'on appelle dans le jargon PERT un "préstade". Le préstade est le stade qui précède la phase d'avancement d'une étape élémentaire du programme Nous remarquons d'ores et déjà, et nous pourrons le confirmer ultérieurement* qu'à partir d'un certain nombre d'activités le traitement d'un programme ne peut se faire sans le secours des machines électroniques, C'est précisément grâce aux ordinateurs que PERT a vu son champ d'application se développer dans tous les domaines«somme toute s l'analyse du programme consiste ä répondre aux questions suivantes t (i) Quel est le but â atteindre et de quel état partons=nous pour le faire? (il) Quels seront les états intermédiaires importants qui devront être atteints pour l'accomplissement du programme? (iii) Quelles opérations faut-il accomplir pour atteindre ces états"? L'analyse revient donc â définir les points clés du programme, c'est-à-dire son origine, son objectif, ses étapes et les opérations ou activités à réaliser. Il est utile, à ce stade, de définir très précisément ce que l'on entend par étapes et par activités dans la terminologie PERT, Une étape est le commencement ou la fin d'une tâche, et une activité consiste en l'exécution proprement dite de la tâche, C'est ainsi que "rédiger un rapport" n'est pas une étape mais une activité; en revanche, "rapport terminé" est une étape, mais non pas une activité* Par conséquent, les étapes РЕЙТ, contrairement aux activités, sent de durée nulle et ne consomment pas de ressources En outre, toute étape, sauf la (les) première(s) et la (les) dernière(s), est (sont) obligatoirement origine et fin d'une ou de plusieurs activités«de même tcute activité part d'une étape et aboutit â une étape.

7 IIEP/TM/37/69 - page 4 Par conséquent, les activités constituent en quelque sorte des contraintes pour l'achèvement des étapes, puisqu'une étape ne peut être considérée comme achevée (ou atteinte) que si les activités qui y aboutissent (ou antécédentes) sont accomplies, Il en résulte des contraintes entre les activités partant d'une (ou subséquente â une) étape et les activités antécédentes, (1) La phase d'analyse a justement pour objet de classer les étapes et les activités et de mettre en évidence les contraintes entre les différents éléments du schéma d'analyse s Le meilleur moyen de vérifier le classement est de s'assurer que les successions retenues sont logiques, A cet égard, deux types de difficultés sont à surmonter : d'une part, certaines contraintes peuvent ne correspondre ni à des activités, ni à des étapes» Elles doivent cependant être prises en considération dans l'analyse, dans la mesure où elles commandent l'achèvement des étapes subséquentes. Il s'agit des activités dites fictives, non consommatrices de ressources ou de temps; elles correspondent à des contraintes de liaison. D'autre part, il faut s? assurer que les contraintes que l'on a définies ne conduisent pas ä l'impossibilité d'atteindre l'objectif du programme. Il en est ainsi, par exemple, quand Í 'activité subséquente â une étape В est en mime temps antécédente à l'étape A qui précède B. Généralement, l'analyse critique des listes des étapes et des activités permet de trouver facilement les successions logiques* Mais, dès qu'il y a un grand nombre d'étapes ou d'activités, on peut craindre des erreurs ou des oublis et une certaine discipline s'impose alors. Plusieurs procédés ont été proposés i le plus simple consiste â préparer un tableau à double entrée ou matrice reliant les étapes et les activités entre elles. Plus précisément, on cherche d'abord l'étape (ou les étapes) origine(s). Elle est facile á dégager, C'est celle qui n'a aucune activité antérieure. Puis on recherche toutes les activités subséquentes â l'étape origine. Chacune de ces activités débouche nécessairement sur une étape, La question est alors la suivante : â partir de quelle étape peut-on entreprendre cette activité? On aboutit ainsi â un tableau des étapes complété des activités immédiatement postérieures ou subséquentes. On contrôle (et complète si nécessaire), ce tableau en examinant les activités antécédentes â chaque étape» Ce procédé très rapide permet de construire une matrice donnant pour chaque étape les activités immédiatement antérieures et immédiatement postérieures. Un exemple permettra de préciser la méthode ; le tableau suivant fournit la liste des étapes et des activités dans un sous-projet sans qu'elles aient été nécessairement classées dans un ordre logique, (1) Là où les étapes qui suivent immédiatement une autre étape-sans étape(s) intermédiaires- sont appelées étapes subséquentes. Là où les étapes qui précèdent immédiatement une autre étape-sans étape(s) intermédiaires- sont appelées étapes antécédentes,

8 IIEP/TM/37/69 - page 5 Etapes A, Examen final d'anglais passé«, B, Examen final d'histoire passé. C. Les inscriptions au cours d'anglais, et d'histoire terminées. D. Début des inscriptions au cours d'anglais et d'histoire. E. Délibérations du jury terminées«f, Diplômes distribués«activités a. Suivre les cours d'histoire» b Inscrire les élèves. Ce Corrections des copies d'anglais d. Suivre les cours d'anglais. e. Correction des copies d'histoire, f» Préparation des diplomes. La matrice qui suit est le résultat ultime de l'analyse du sous-projet, Elle indique la succession logique des étapes et des opérations 0 D В E D С A В P objectif Nous avons montré en quoi consiste l'analyse du projet. La phase qui suit dans la méthode consiste à préparer le graphe ou à élaborer le réseau, 3«L'élaboration du réseau Comme nous l'avons vu, la Technique d'elaboration et de contrôle des Programmes s'appuie sur un réseau de flèches préparé en utilisant les résultats de l'analyse. Le principe de la confection du réseau est très simple. Il utilise les propriétés des vecteurs. Rappelons qu'un vecteur est un segment de ligne continue, ayant une origine s une fin, une direction et une valeur (souvent mesurée par la longueur du vecteur). Dans la méthode PERT, le vecteur représente une activité, son origine l'étape antécédente 9 sa fin l'étape subséquente 3 et sa valeur représente à la fois un temps et un coût.

9 IIEP/TM/37/69 - Page 6 Le graphe d'un projet est un réseau constitué d'une succession de vecteurs ayant des points d'origine et de fins communes. Dans ce réseau, les étapes qui sont les éléments statiques du projet, sont représentées par des carrés ou des cercles. L'ordre dans lequel doivent se dérouler les activités fixe la disposition des vecteurs sur le graphe. Il est bien évident que les transcriptions des activités et des étapes sur le graphe seraient très lourdes sans le secours d'un système de repérage. On a pris l'habitude, pour faciliter la présentation, d'utiliser des codes ou un repérage par des lettres et des chiffres. Il arrive d'ailleurs, dans les cas simples, que l'on ne fasse appel qu'à un seul code pour les étapes; en vertu des conventions en vigueur dans la méthode PERT, il est possible de repérer toutes les activités par les codes, de l'étape origine et de l'étape fin. Par exemple, l'activité qui part de l'étape X et qui arrive à l'étape Y est repérée par X-Y Généralement, cependant, un système de repérage très élaboré doit être mis au point et il est habituel de préparer soigneusement un document de référence explicitant clairement le code, document mis à la disposition de tous les participants au projet programmé. Pour construire le graphe d'un programme, il est très commode d'utiliser le tableau à double entrée, qui a été préparé dans la phase analyse du programme. Il suffit d'indiquer la succession des étapes et des activités suivant l'ordre établi dans les tableaux d'analyse ou la matrice. On peut également procéder en passant par l'intermédiaire d'un classement des étapes en générations s Les étapes de la première génération sont atteintes au bout d'une seule série d'activités â partir de l'origine du programme. Les étapes de la deuxième génération sont atteintes au bout de deux séries d'activités à partir de l'origine du programme«les étapes de la x ème génération sont celles dont un chemin pour les atteindre comprendra x séries d'activités, A titre illustratif, l'exemple du sous-projet donné en (2) est représenté par le schéma no 2, suivant la méthode de classement des étapes en générations. Origine D le génération С 2e génération A SCHEMA No 2 3e génération E 4e génération F ш ь

10 IXEP/TM/37/69 - page 7 Un graphe plus simplifié est généralement admis, et nous l'adopterons dans la suite, SCHEMA No 3 (avec ou sans mention explicite des activités) 0 Sur le graphe ainsi constitué, on peut noter г г deux successions d'activités pour aller de l"étape origine à l'étape objectif Ces successions constituent des chemins (DCAEF et DCBEP) C = que l'étape E n'est atteinte (ou franchie puisqu'elle est de durée nulle) que si les activités с et e sont accomplies 0 - que toutes les étapes et toutes les activités figurent bien sur le graphe Somme toute, l'élaboration du graphe une fois terminée,, il est possible de procéder au eontrsle de l'analyse du projet D'une parti, il est nécessaire de suivre les chemins tracés sur le graphe depuis l'origine jusqu'à l'objectif et vérifier la logique de l'ordre retenu. En outrej, lors du controle des chemins, il sera facile de vérifier que l'on n'aboutit pas à une impossibilité. Cette impossibilité pourra se traduire sur le graphe par une boucle. Le schéma No 4 illustre un cas d'impossibilité (ou boucle) г ce cas est évidemment facile à mettre en évidence sur le graphe. SCHEMA No 4

11 IIEP/TM/37/69 - page 8 De plus, le controle du graphe suggère quelquefois un ajustement du schéma d'analyse dans la mesure ou il conduit à substituer â une présentation d'un sous-ensenable d'étapes "en série" une présentation de ce sous-ensemble "en parallèle"» Cette substitution est génératrice d'économies et correspond à une réallocation des ressources du projet. Le schéma No 5 montre le gain sur les délais obtenu au moyen d'une telle substitution» SCHEMA No ' 4 5 Mois De surcroît, le contrôle des chemins peut montrer que certains d'entre eux n'aboutissent pas à l'étape finale» Cela signifie s - soit que l'objectif atteint est un objectif partiel du programme et qu'il y a au moins une activité fictive qui doit lui être adjointe, soit vers une autre étape, soit vers l'objectif, - soit que l'objectif atteint n'a aucun rapport avec l'objectif final et dans ce cas, il est nécessaire de supprimer certaines activités,, SCHEMA No 6 En dernier lieu, il est nécessaire de faire un controle "en retour" du graphe en remontant de l'étape objectif â l'étape origine, contrsle qui portera essentiellement sur les conditions nécessaires aux démarrages de chaque activité.

12 IIEP/TM/37/69 - page 9 Conclusion Voici présenté à grands traits les principes généraux de la méthode PERT. De ces principes, il découle nettement que le PERT consiste essentiellement à analyser de manière logique et détaillée toutes les étapes et les activités intervenant dans la réalisation d'un projet de manière à les programmer de façon optimale. On présente dès lors les utilisations potentielles de PERT dans la planification de l'éducation. Il est bien certain, par exemple, que les projets de constructions scolaires pourraient constituer un domaine privilégié d'utilisation de PERT, Un autre domaine d'application de PERT est la mise en oeuvre de projets de recherche appliquée ou d'expérimentation«, De même, la préparation des plans d'éducation, en raison de sa complexité de plus en plus grande et du fait qu'elle fait appel à un nombre considérable d'organismes participants, pourra s'articuler selon un planning inspiré de PERT, Enfin, l'application de techniques voisines de PERT à l'administration et à la gestion des établissements d'enseignement supérieur semble, elle aussi, devoir s'étendre et se confirmer progressivement. Pour toutes ces raisons, il nous a semblé utile d'introduire cette méthode en indiquant les principes et les concepts généraux. Afin de compléter quelque peu cette initiation, il nous a paru utile d'exposer plus en profondeur l'une des variantes de la méthode PERT, celle dont l'application fait appel à relativement peu de difficultés de caractère méthodologique, le PERT-TEMPS, que nous exposerons dans la seconde partie«

13 IIEP/TM/37/69 - Page 10 II. LE PERT-TEMPS Un promoteur de construction a perdu le contrôle de son chantier quand il ne peut plus respecter les délais et les coûts de son exécution s Un projet est bien controlé quand son directeur peut répondre avec précision â ces deux questions: Quand sera-t-il terminé? Combien coûtera-t-il? Les deux questions sont évidemment interdépendantes puisque les coûts directs sont liés à la durée de la mise en oeuvre du projet* et l'idée la plus naturelle est d'utiliser le PERT comme une méthode de contrôle des délais et des coûts que l'on appelle PERT-C0UT o Cependant, il est possible de dissocier les données sur les délais des données sur les coûts, car* en effets il est souvent plus important ou tout au moins plus significatif,, de surveiller les délais d'exécution, dès lors que les précisions de cpût ont été établies Techniquement surtout, la méthode de contrôle des délais est moins complexe à mettre en oeuvre que celle qui concerne les coûts«, Aussi dans la partie qui suit* nous intéressonsnous uniquement au PERT-TEMPS dont nous expliquerons la méthode et illustrerons l'utilisation par un exemple concret. Il n'est évidemment pas dans notre intention de former des spécialistes du PERT-TEMPS, mais simplement de donner quelques indications sur la méthode, afin que le planificateur de l'éducation puisse apprécier ses possibilités, et, le cas échéant, y fasse appel afin de l'aider dans la mise en oeuvre des projets dont il est responsable«pour cette raison, cette partie ne sera pas un exposé exhaustif du PERT-TEMPS, mais sera centrée sur certains aspects particulièrement importants de son application, c'est-â-dire ; (i) L'estimation de la durée des opérations d'un projet (ii) Le calcul des temps, (iii) La notion de "battement" ou "latitude", (iv) Le "chemin critique", (v) La probabilité de respecter un calendrier,, En dernier lieu et en guise de conclusion au cycle consacré â la méthode PERT, nous étudierons un cas concret â titre illustratif* l e L'estimation de la dorée des opérations d'un projet Après avoir analysé le projet et construit le réseau ou graphe (voir partie No l), il est utile de compléter ce réseau en indiquant les durées des diverses opérations identifiées dans le projet» En effet, ainsi qu'il a été montré, par ailleurs, alors que les étapes ne sont consommatrices ni de temps, ni d'argent, en revanche les activités ou opérations nécessitent des délais de réalisation,, (l) (l) A l'exception, toutefois, des activités fictives«,

14 IIEP/TM/37/69 - page 11 Il est évident que l'obtention des renseignements exacts sur les durées de réalisation des opérations est une tâche difficile et fondamentale dans la mise en application de la méthode PERT, - Cette tâche est difficile, car les techniciens chargés des opérations élémentaires peuvent effectivement ignorer les durées réelles des opérations dont ils ont la chargej ils peuvent également répugner â donner ce type de renseignements, soit qu'ils craignent de s'engager sur des délais sans pouvoir les respecter, soit qu'ils y voient, â tort ou à raison, la preuve d'une volonté de controle plus poussé de la part des organismes centraux et de la Direction - Cette tâche est fondamentale, car en définitive, si les renseignements sur les durées des opérations sont erronés, toute la méthode PERT^TEMPS devient inefficace,, A quoi, en effet, sert-il d'établir des calendriers et de programmer des opérations, si calendriers et programmes devaient être plus proches de la théorie que des faits réels? Si les renseignements sur les délais pèchent systématiquement par excès, afin de garantir en tout état de cause le respect du calendrier, cela ne revient-il pas à vider de son sens l'application de la méthode PERT? Les spécialistes du PERT«=TEMPS attachent donc une grande importance à la phase des estimations des durées de réalisation des opérations et suggèrent que ces informations doivent être collectées "â la source", с'est-à-dire par enquête directe auprès des agents d'exécution du projet, partant du principe que la meilleure estimation de la durée d'une activité est celle que fournira le responsable de sa mise en oeuvre Afin de pallier aux incertitudes inhérentes à toute estimation, il a été recommandé de calculer trois valeurs différentes pour les durées de chaque opération Durée optimiste minimum: C'est la durée la plus courte nécessaire à l'accomplissement de 1 activité dans l'hypothèse où tout se déroulerait mieux qu'il n'est prévu 0 Durée pessimiste: C'est la durée maximale pendant laquelle l'opération peut être accomplie, c'est-à-dire "si tout se déroulait mal" (l) Durée la plus probable: C'est la durée la plus vraisemblable pour l'accomplissement de l'opération. C'est la durée qui aurait été fournie en tout état de cause, même si l'on n'avait demandé aux agents d'exécution qu'une seule estimation des données au lieu de trois (1) Compte non tenu des situations de caractère catastrophique»

15 IIEP/TM/37/69 - page.12 Chacune de ces durées est exprimée en jours, semaines ou mois. Les estimations représentent les jours de calendrier et non les jours ouvrables. Une fois établies, ces prévisions sont fermes et ne peuvent, en principe, plus être modifiées, sauf si la nature de l'activité change ou si les délais dans l'approvisionnement des ressources viennent à varier. Malgré leur caractère assez subjectif, les trois estimations de durées peuvent servir de base au calcul d'une grandeur - la durée moyenne - qui obéit à une loi de probabilité; il est possible de ce fait d'analyser les chances de réalisation d'un projet dans les limites de temps disponible«nous y reviendrons plus loin. Si 'a' est l'estimation optimiste, 'b' l'estimation pessimiste et 'm' l'estimation de temps la plus probable, la moyenne ou temps moyen 'te' est donnée par la relation : te = a -h 4m + b (1) Autrement dit, le temps moyen représente une moyenne statistique des trois estimations 'a', 'm' et 'b'. Pour les statisticiens, cela signifie que 'te' est le temps moyen que prendrait l'accomplissement de l'opération si elle était répétée un grand nombre de fois. Il convient de remarquer que si les valeurs données à 'a' et 'b' sont telles que : m ~ a = b ~ m, le temps moyen sera égal au temps le plus probable. Le temps moyen sera compris entre 'a' et 'm' ou 'm' et 'b' selon que m - a est supérieur ou inférieur â b - m. En dernier lieu, il est bien évident, que plus les valeurs de 'a' et de 'b* seront voisines de 'm', plus les renseignements sur les durées sont précis Les graphiques suivants illustrent les remarques faites sur 'a', 'm', 'b' et 'te'. Schéma Mo Si a - 9, b = 19 et m = 1.1, te = 12 te

16 IIEP/TM/57/69 - page 13 L'incertitude sur les durées est plus grande dans le cas *C" que dans le cas 'В*, D'ailleurs pour mesurer la dispersion, ou l'incertitude, on a l'habitude, en statistique, de calculer ce que l'on appelle la variance ^ qui est donnée par la relation rf 2 = (b - a)2 6 Plus la variance est élevée, plus grande est l'incertitude«2«, Le calcul des temps Une fois les durées moyennes estimées pour toutes les opérations du projet, elles sont portées sur le réseau au dessous des lignes des opérations représentées selon le schéma qui suit s a) Le temps le plus proche s les durées étant indiquées sur chaque opération du graphe, il est possible de calculer en suivant les chemins qui le composent les dates auxquelles les diverses étapes du projet peuvent être atteintes. Si plusieurs chemins débouchent sur une étape, l'étape n'est évidemment atteinte que si toutes les opérations antécédentes à cette étape ont été accomplies. La date qui tient compte des délais de réalisation des activités de tous les chemins est la "date au plus tot" de l'étape» Par exemple, sur le schéma précédent, la date au plus t6t de l'étape '4' est 9(2 + 7) et non pas 7(4 + 3) Donc la "date au plus tôt" ou le "temps le plus proche" pour atteindre une étape est obtenu en prenant le maximum des durées de réalisation des opérations se trouvant sur tous les chemins menant à l r étape* Si 'T' est la date au plus tot de 'A' et 'd', la durée de l'activité 'Aß', la date au plus tot de В est évidemment Т д + d e activités 'AB f Mais si les deux et? CB* aboutissent en 'B*, l'activité *AB' sera terminée à la date Т л + d n et l'activité 'CB' à la date T + d ; la date au plus tôt de A A c e l 1 étape 'B' sera la plus tardive des deux dates.

17 IXEP/TM/37/69 - page U Un peut ainsij de proche en proche, calculer les temps les plus proches pour toutes les étapes du projet, et partant pour l'objectif. Ces temps calculés en jours, semaines ou mois peuvent également être exprimés en dates du calendrier sous réserve que la date de l'origine du projet soit, fixée» Exercice : Quel est le temps le plus proche de l'étape ' 251' du réseau suivant? Te=0 Il y a 3 chemins pour aller de l'étape '2' à l'étape '25-1 '\/Ï (ii)( / TX /^22y fut^ /25Ï\ /v (ш/гу'гз)/' 25) (25ii ^~s ~^~^ V_y V_^y T21 = T2 -к 1 = 1 T22 = T2 + 6 = T23 = T2 +12 = 12 T24 = Maximum de (T ou T ) = 17 T25 = T = 22 T251 = Maximum de (T244-9 ou T25 + 7) =29.

18 ИЕР/ТМ/Л/вЭ - page 15 b) Le temps le plus éloigné : En général, le problème des temps et des délais de réalisation se pose de manière différente 0 Une date limite pour accomplir le projet est décidée, il reste à préciser les "dates au plus tard" des étapes successives du projet 0 Autrement dit, après avoir défini par contrat une date de terminaison d'un projet, quel est le temps le plus éloigné pour,le franchissement de chacune de ses étapes 0 Les responsables des diverses opérations sont tous concernés par cette question puisqu'ils veulent savoir dans quels délais ils doivent accomplir les opérations dont ils ont la chargeо Pour obtenir les dates "au plus tard" ou les "temps les plus éloignés" de chaque étape, il faut partir de la date admise pour l'objectif, puis remonter jusqu'à 1'originel en soustrayant à chaque fois la durée des activités antécédentes de son temps le plus éloigné, on obtient le temps le plus éloigné de l'étape précédente,, Cependant, si l'on obtient plusieurs valeurs de temps le plus éloigné pour une étape, on choisit évidemment la plus faible 0 Par exemple, si deux activités partent de l'étape "A', la date au plus tard du début de f AC' sera Tb - de; la date au plus tard de début de 'AB' sera de T e B - db 0 Donc la date au plus tard à laquelle l'étape 'A* devra être réalisée est la plus proche de ces deux dateso (l) On peut ainsi, de proche en proche, donner les dates au plus tard pour toutes les étapes du projeta Exercice s Reprenons le réseau donné plus haut, et supposons que la date contractuelle pour '251* est 3O0 Autrement dit, T = 30 0 Calculer les temps les plus éloignés pour 1'étape '2' Q (1) Alors que pour les dates au plus tot on utilise habituellement le symbole pour les dates au plus tard, on emploie le symbole "T*",

19 IIEP/TM/37/69 - page 16 Le tableau suivant montre comment procéder : Etape No Soustraction des te T* О = ) ) ) 3. La notion de battement ou latitude Après avoir.évalué le temps le plus éloigné et le temps au plus tôt de chaque étape, on dispose de suffisamment de renseignements pour calculer le battement, latitude (ou "flottement") dont on dispose pour atteindre chaque étape. Si la date au plus tot et la date au plus tard coïncident, il n'y a pas de margesí le battement est nul 1 et tout retard intervenant dans le franchissement de l'étape va se répercuter sur les opérations suivantes. Si, par contre, la date au plus tard est supérieure à la date au plus tôt pour une étape, la différence entre ces deux dates constitue une marge de manoeuvre pour le responsable du projet, puisqu'il dispose d'une certaine latitude dans l'accomplissement de l'activité considérée ou dans la surveillance de l'étape, La valeur du battement T' - T est alors positive et mesure l'importance de la marge de temps disponible, Cette notion de battement appliquée aux étapes peut également s'appliquer aux activités d'un programme. Il peut y avoir ainsi un battement entre la date au plus t8t de début d'une activité et la date au plus tard de début de cette activité, De même, intervient le battement entre la date au plus tot de fin d'une activité et la date au plus tard de fin de cette activité. L'intervention simultanée de divers types de battement rend rapidement le réseau d'un projet PERT très complexe. Sans vouloir développer plus avant cette notion de battement, il me semble cependant intéressant de vous montrer où son application peut conduire dans deux cas particuliers importants,

20 XIEP/TM/37/69 - page 17 a) Deux activités 1-3 et 2-3 conduisent à l'étape H J>\ La date au т 2 plus tot de,l'étape '2 étant 1, de l'étape s l' étant 2, des durées des deux activités 1-3 et 2-3 étant successivement de 4 et 6 S la date au plus tot de l'étape '.3* est J Q Or, il est clair que si l'activité 1=3 commence à la date au plus tôt de l'étape 'l' qui est aussi la date au plus tot du début de cette activité, alors la date au plus tot de la fin de I s activité 1-3 ne coïncide pas avec la date au plus tot de 1'étape? 3\ Il y a une marge de 7-6 = 1; cette marge est dite "libre" de l'activité 1-3= On remarque tout de suite que si on modifie la durée de l'activité I-3 de manière à absorber la marge libre, on ne modifie en rien le reste du programme; ce qui signifie qu'il est possible d'économiser des ressources sur l'activité 1-3 à concurrence de la marge libre, comme nous le verrons ultérieurement. b) Deux activités 1=3 et 1-4 sont subséquentes â l'étape 'l'. T' = 8 ^0 9 Les dates au plus tard des étapes 3 et 4 étant successivement de 8 et 9, les durées des activités 1-3 et 1-4 de 4 et 7, la date au plus tard de l'étape '1* est évidemment de 2. Or, il est clair que mime si l'activité 1-3 ne commence pas â la date au plus tard de l'étape 'l?, mais deux unités de temps plus tard, rien ne sera modifié dans le reste du programme Il y a donc battement entre la date au plus tard de fin de l'étape '1' et la date au plus tard de début de l'activité I-3.. Une telle marge est dite "indépendante". Là, également, il est possible d'économiser des ressources en annulant la marge indépendante; ceci permettra de rendre la réalisation du projet plus efficace.

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