ÉPREUVE E3. Mathématiques (unité U3) CCF Situation d évaluation n 2

Transcription

1 BTS Systèmes Numériques session 2016 Lycée Louis Armand 173 boulevard de Strasbourg Nogent-sur-Marne NOM : Prénom : ÉPREUVE E3 Mathématiques (unité U3) CCF Situation d évaluation n 2 Durée : 55 minutes L usage de la calculatrice est autorisé mais aucun échange n est autorisé. Aucun autre document ou matériel n est autorisé. Pour les questions précédées du symbole appeler le professeur pour expliquer votre démarche oralement ou grâce à la calculatrice. Pour les questions précédées du symbole appeler le professeur pour disposer d un poste avec le logiciel Scilab ou justifier votre réponse. Dans le cas d une utilisation du logiciel Scilab, une fiche d aide peut être demandée si besoin. 1

2 Exercice I : (5 points) Soit un entier naturel. On définit le nombre complexe. 1) On pose. a) (0,5) Le plan est muni du repère ci-dessous. Placer les images des nombres complexes 1,, sur le cercle trigonométrique suivant. b) (0,5) Simplifier les nombres complexes et. 2) Soit une séquence de trois nombres complexes. On rappelle que la Transformée de Fourier Discrète de cette séquence est une séquence de trois nombres complexes définis par : avec. a) (1) Exprimer, puis en fonction de,,, et. b) (0,5) On définit les matrices, et. Cette question est à choix multiple. Entourer la seule bonne proposition : ; ; ; ; ;. c) (2) À l aide du logiciel Scilab, calculer la Transformée de Fourier Discrète de la séquence. On utilisera un produit matriciel et on arrondira les résultats au centième. 3) (0,5) Pour tout entier, la Transformée de Fourier Discrète d une séquence est la séquence définie par : avec. L algorithme donné ci-dessous permet de calculer la séquence. Cette question est à choix multiple. Parmi les réponses suivantes, entourer celle qui complète la ligne 5 de l algorithme. 2

3 Variables :,, : entiers, : tableaux de nombres complexes. Entrée : Ligne 1 Ligne 2 Ligne 3 Ligne 4 Ligne 5 Ligne 6 Ligne 7 Ligne 8 Début longueur de ; Pour allant de 0 à faire Pour allant de 0 à faire Fin Pour Fin Pour Retourner Fin Exercice II : (5 points) 1) (0,5) Un signal sinusoïdal est enregistré et échantillonné. Le spectre de ce son est donné cidessous. De combien de sinusoïdes est composé le signal enregistré et quelles sont leurs fréquences? 2) Des erreurs peuvent se produire lors de l enregistrement d un signal. On note le temps d attente en millisecondes entre deux erreurs d enregistrement. On admet que la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre. 3

4 a) (0,5) Calculer la probabilité que le temps d attente entre deux erreurs soit inférieur à 1 ms. Le résultat sera arrondi au centième. b) (1) Calculer l espérance de et interpréter ce résultat dans le contexte de l exercice. c) (0,5) On note le nombre d erreurs d enregistrement sur une durée de 0,1 s. On admet que suit la loi de Poisson de paramètre. Calculer la probabilité que le nombre d erreurs d enregistrement soit supérieur ou égal à 40. Le résultat sera arrondi au centième. 3) Sur un poste informatique, exécuter le logiciel Scilab. Le son émis par un bip d une durée de 1 s a été échantillonné à une fréquence d échantillonnage. La séquence obtenue est enregistrée dans le fichier CCF-Bip.txt. a) (0,5) Récupérer les données du fichier texte avec la commande s_ech = read("ccf-bip.txt",-1,22050); puis calculer la transformée de Fourier Discrète de s_ech, on la notera y_ech. b) (1) La commande pour représenter le spectre du signal est plot(y_ech). Le capteur utilisé pour l enregistrement fait apparaître un bruit. Comment le voit-on graphiquement? Est-il constitué de signaux de faible fréquence ou de faible amplitude? c) (1) Les nombres complexes de la séquence y_ech dont le module est supérieur à 500 sont supprimés (remplacés par 0). La séquence obtenue a été enregistrée dans le fichier CCF-Spectre.txt. Récupérer ces données dans un tableau y_debruite, comparer la représentation graphique de y_debruite à celle donnée en question 1) puis calculer la transformée de Fourier Discrète Inverse de y_debruite. 4

5 GRILLE NATIONALE D ÉVALUATION EN MATHÉMATIQUES BTS SN IR Sous-épreuve E31 NOM : Prénom : Situation d évaluation n 2 Date de l évaluation : 1. Liste des contenus et capacités du programme évalués Contenus : Définition mathématique de la transformée de Fourier discrète. Propriétés mathématiques élémentaires de la transformée de Fourier discrète. Matrices. Loi exponentielle. Loi de Poisson. Capacités : Placer 1,,, ainsi que 1,,, sur le cercle unité. ; Simplifier sur des exemples. Calcul de la TFD à l aide d une matrice de TFD ; Calculer la TFD à l aide de commandes logicielles prêtes à l emploi. Traiter une sinusoïde ; Lecture critique du résultat. Effectuer des calculs matriciels à l aide d un logiciel. Représenter puis traiter une situation simple à l aide d une écriture matricielle. Calculer une probabilité dans le cadre de la loi exponentielle. Interpréter l espérance d une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Calculer une probabilité dans le cadre de la loi de Poisson à l aide de la calculatrice. 2. Évaluation S'informer Chercher Modéliser Raisonner, argumenter Calculer, illustrer, mettre en œuvre une stratégie Communiquer Rechercher, extraire et organiser l information. Proposer une méthode de résolution. Expérimenter, tester, conjecturer. Représenter une situation ou des objets du monde réel. Traduire un problème en langage mathématique. Déduire, induire, justifier ou démontrer un résultat. Critiquer une démarche, un résultat. Calculer, illustrer à la main ou à l aide d outils numériques, programmer. Rendre compte d une démarche, d un résultat, à l oral ou à l écrit. Présenter un tableau, une figure, une représentation graphique. Questions de l énoncé Ex. I : 2a) 2c) Ex. II : 1) 2a) 3a) 3c) Ex. I : 2c) 3b) 3c) Ex. I : 2b) 3) Ex. II : 2a) 2c) Ex. II : 1) 2b) 3b) 3c) Ex. I : 1a) 1b) 2a) 2c) Ex. II : 2a) 2b) 2c) 3a) 3b) 3c) Ex. II : 3a) 3b) 3c) Appréciation du niveau d acquisition TOTAL / 10 5