Chapitre 3: Elasticité et résistance des matériaux

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1 Chapitre 3: Elasticité et résistance des matériaux But de ce chapitre: pouvoir comprendre et, dans certains cas, évaluer les conditions dans lesquelles se produit une facture des os ou des dommages aux tissus. 3.1 Déformation des matériaux Selon l'importance des contraintes appliquées à un objet, les déformations qu'il subit sont élastiques, plastiques ou conduisent à la rupture. La relation entre contrainte et déformation est linéaire jusqu'au point A (ressort). Elle s'écrit: Loi de Hooke: F = k Δl où F est la force appliquée au ressort Δl est son allongement du ressort, k est la constante du ressort [N/m] Vectoriellement, la loi s'écrit: r F = k Δ r l Dans la figure ci-dessous, on remarque qu'entre A et B, la relation n'est plus linéaire, bien qu'élastique. Entre B et C on atteint le domaine plastique (déformation permanente, même si les contraintes disparaissent). Contrainte Limite élastique Limite de résistance à la traction Limite linéaire A B C D Limite de rupture Déformation (allongement) On a des relations similaires pour un barreau soumis à une contrainte de tension. La constante du "ressort" s'exprime dans ce cas en fonction des propriétés élastiques de la matière: Contrainte: σ = F où A est l'aire de la section droite. A La contrainte est liée à la déformation relative ε = Δl l par σ = E ε. On peut encore écrire cette relation sous la forme: Δl l = 1 E F où E est le module d'élasticité A ou module de Young (Y), grandeur dépendant du matériau et que l'on trouve dans certaines tables numériques. Voici quelques exemples: - 1 -

2 Matériau Module de Young E [N m ] Limite de résistance à la traction σ max [N m ] Aluminium Acier Verre , Os en traction 1, , Os en compression 0, , Os en torsion Limite de résistance à la compression σ max [N m ] 0, (torsion) Bois dur Tendon , Caoutchouc 10 6 Vaisseaux sanguins 0, Muscle 0, Application: une corde de piano en acier de diamètre 1mm tendue avec une force de 600 N subit une déformation relative de Δl l = 1 E F A = allongement de 3 mm pour une corde longue de 1m. 6 = 0,3%. Ceci correspond à une 3. Contraintes Les contraintes que subit un matériau ne sont pas seulement des tensions ou des compressions: un objet peut aussi être soumis à un cisaillement, une torsion ou à une flexion. Dans ces derniers cas la situation est plus complexe, car les contraintes et les déformations ne dépendent plus seulement de la matière dont est faite l'objet et de sa dimension, mais également de sa forme géométrique. Type de déformation Tension Torsion Flexion Effort (Action externe) Force F appliquée sur un objet de section A Couple T appliqué sur un objet de forme donnée Moment de force M f appliqué sur un objet de forme donnée Contrainte (Effet interne) Déformation σ = F A Δl = F A l E θ T l 3.3 Hauteur et forme des arbres Pour une masse donnée, il est plus favorable d'avoir une structure creuse qu'une structure pleine (pour le montrer, il faut estimer les contraintes pour des situations où l'aire des sections est la même). Exemple: un tube creux de diamètre extérieur 5 cm, de diamètre intérieur 4 cm, présente une même section qu'un tube plein de diamètre 3 cm. On peut alors montrer qu'un - -

3 tube creux est près de 3 fois plus résistant à la torsion qu'un tube plein de même masse et de même matière. Pour ce qui est de la flexion, on arrive à des conclusions similaires. On aurait alors tendance à conclure qu'un tube de très gros diamètre avec une paroi très mince est la géométrie qui résiste le mieux à la torsion et à la flexion. Mais en réalité il y a une limite à ne pas dépasser, sinon il se produit un flambage: La nature a créé la structure cylindrique des arbres pour résister au flambage. La hauteur maximum d'un arbre est ainsi liée à son diamètre. On peut montrer que, pour un cylindre plein de rayon r, la hauteur limite est donnée par: h limite = c r / 3. Ce résultat est aussi valable pour fixer les dimensions des structures cylindriques du corps humain. c est une constante qui dépend de la masse volumique et du module d'élasticité de l'objet. Ainsi, pour un arbre à la limite du flambage, doubler son rayon ne permet pas de doubler sa hauteur (mais seulement de la multiplier par 1,6). 3.4 Chocs et impulsion Lors d'une collision, la force qui agit sur un objet ou sur un passager est d'autant plus importante que la durée de collision est brève. Pour traiter plus particulièrement de ce sujet, il importe d'introduire les notions de quantité de mouvement et d'impulsion. Considérons tout d'abord une balle qui heurte un mur: elle arrive contre le mur avec une vitesse v r 1 et rebondit avec une vitesse v r. Au cours de la collision, la vitesse change de norme et de direction car le mur exerce une force F r sur la balle pendant le court instant Δt. La balle arrive La balle heurte le mur La balle repart V 1 F V r On définit: quantité de mouvement p = m v r Impulsion: J r 1, = F r Δt La loi de la variation de la quantité de mouvement stipule que l'impulsion d'une force résultante s'exerçant sur un objet, est égale à la différence de la quantité de mouvement de cet objet avant et après le choc: r F Δt = m r v m r v 1 pour le cas ci-dessus, cette loi s'écrit en norme comme: F Δt = m v m v 1. Dans le cas où la force ne serait pas constante pendant la durée de l'impact, on travaille avec une valeur - 3 -

4 moyenne estimée. Exemple: on saute d'une hauteur h, jambes tendues et on se reçoit sur les talons. Dans ce cas, v = 0 et v 1 = gh. L'impulsion vaut donc F Δt = m gh et la force est égale à F = m gh /Δt. L'os de la jambe est soumis à une contrainte (compression) σ = F A = m gh. Supposons qu'une personne de 80 kg tombe d'une hauteur A Δt de 1 m, et se reçoit, genoux bloqués, sur les talons ( A cm ) de sorte que la durée du choc N soit de 10 - s. On trouve σ =1, D'après le tableau du premier paragraphe, l'os se m fracture. Pour diminuer la contrainte, il faut plier les genoux pour augmenter la durée du choc. En général, ce n'est pas par compression que les os se brisent, mais surtout par torsion ou flexion. 3.5 Airbag et autres exemples La fonction de l'airbag est de rallonger la durée de la collision ou, ce qui revient au même, la distance de freinage. La force exercée sur le passager est donc plus faible qu'en l'absence d'airbag. Si on admet que la contrainte maximale admissible pour ne N pas endommager les tissus est de 0,5 10 6, on trouve que 70 km/h est la vitesse m maximale possible pour un passager de 70 kg, retenu sur une surface de 1000 cm et freinée sur 30 cm grâce à l'airbag. Coup du lapin: on peut estimer de la même manière la vitesse minimum qui occasionne des lésions lors d'une collision par l'arrière et sans l'usage d'un appuie-tête. Quant aux chutes depuis une hauteur importante, la personne peut s'en sortir indemne si l'amortissement est tel que l'impact n'est pas trop bref ou que la distance de freinage est relativement grande

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6 3. Contraintes Les contraintes que subissent un matériau ne sont pas seulement des tensions ou des compressions: un objet peut aussi être soumis à une torsion ou à une flexion. Dans ces derniers cas la situation est plus complexe, car les contraintes et les déformations ne dépendent plus seulement de la matière dont est faite l'objet et de sa dimension, mais également de sa forme géométrique. Type de déformation Tension Effort Contrainte Déformation Force F appliquée sur objet de section A σ = F A Δl = F A l E Torsion Couple T appliqué sur un objet de forme donnée τ T D 3 pour cylindre plein... D T τ (D 4 d 4 ) D pour cylindre creux θ T l d Flexion Moment de force M f appliqué sur objet de forme donnée... D σ = 6M f pour objet b h de section rectangulaire... b h Ci-dessous on donne quelques exemples de moment de force appliquée à un os qui conduirait à une fracture: Os Jambe Fémur Tibia Péroné Bras Humérus Radius Cubitus Moment correspondant à la fracture [N. m] Angle de torsion à la fracture [ ] 1,5 3,4 35,7 5,9 15,4 15, - 6 -

7 Par exemple un skieur dont l'extrémité de la spatule (longue de 1 m) est retenue par une force de 100 N, subira une force de 330 N au niveau de la pointe du pied (longueur 0,3 m). On règle la fixation du ski pour qu'elle s'ouvre à une valeur inférieure! 3.3 Hauteur et forme des arbres On peut montrer que pour une masse donnée, il est plus favorable d'avoir une structure creuse qu'une structure pleine (pour le montrer, il faut estimer les contraintes pour des situations où l'aire des sections est la même). Exemple: un tube creux de diamètre extérieur 5 cm, de diamètre intérieur 4 cm, présente une même section qu'un tube plein de diamètre 3 cm. Si on calcule le rapport des contraintes pour ces deux cas: τ plein = T τ creux 3 ( ) =,7 ce qui signifie 3 T 5 qu'un tube creux est près de 3 fois plus résistant à la torsion qu'un tube plein de même masse et de même matière. Pour ce qui est de la flexion, on arrive à des conclusions similaires. On aurait alors tendance à conclure qu'un tube de très gros diamètre avec une paroi très mince est la géométrie qui résiste le mieux à la torsion et à la flexion. Mais en réalité il y a une limite à ne pas dépasser, sinon il se produit un flambage: La nature a crée la structure cylindrique des arbres pour résister au flambage. La hauteur maximum d'un arbre est ainsi liée à son diamètre. On peut montrer que, pour un cylindre plein de rayon r, la hauteur limite est donnée par: h limite = c r / 3. Ce résultat est aussi valable pour fixer les dimensions des structures cylindriques du corps humain. c est une constante qui dépend de la masse volumique et du module d'élasticité de l'objet. Ainsi, pour un arbre à la limite du flambage, doubler son rayon ne permet pas de doubler sa hauteur (mais seulement de la multiplier par 1,6). Fracture en spirale d'un tibia - 7 -