Résolution de problèmes par l'exploration

Transcription

1 Résolution de problèmes par l'exploration Jérôme Champavère lifl.fr

2 Exemples de problèmes Jeu d'échecs Recherche parmi un ensemble de déplacements Trouver un déplacement qui améliore le positionnement Itinéraire Recherche parmi un ensemble de chemins Trouver un chemin qui minimise la distance à parcourir Preuve de théorème Recherche parmi un ensemble d'étapes de raisonnement Trouver un raisonnement qui permet de prouver le théorème

3 Terminologie État : description du monde relativement au problème considéré Espace des états (ou espace de recherche) : ensemble de tous les états possibles Action : opération permettant de changer d'état Chemin : séquence d'états reliés par des actions Exploration : processus de calcul qui consiste à déterminer une séquence d'actions permettant d'atteindre une solution Stratégie : choix de la prochaine action à entreprendre dans le processus d'exploration

4 Résolution de problèmes

5 Itinéraire Problème : aller de Lyon à Bordeaux

6 Itinéraire États : être dans une ville But à atteindre : être à Bordeaux Action possible : se déplacer de ville en ville en suivant les routes existantes Solution : une séquence de villes-étapes qui mènent à Bordeaux en partant de Lyon

7 Résoudre un problème Formuler le problème : décider des états et des actions à considérer étant donné un but Explorer l'espace de recherche : déterminer une séquence d'actions qui permet d'atteindre le but

8 Bien formuler Problème : l'échiquier écorné

9 Définition d'un problème État initial : ÊtreÀ(Lyon) Description des actions possibles avec une ensemble d'opérateurs pouvant être appliqués à un état pour générer des successeurs Nord(ÊtreÀ(Lyon)) = ÊtreÀ(Dijon) SudEst(ÊtreÀ(Lyon)) = ÊtreÀ(Grenoble) Sud(ÊtreÀ(Lyon)) = ÊtreÀ(Marseille) SudOuest(ÊtreÀ(Lyon)) = ÊtreÀ(Montpellier) Ouest(ÊtreÀ(Lyon)) = ÊtreÀ(Clermont-Ferrand) Test de but qui détermine si le but est atteint : ÊtreÀ(Bordeaux) Fonction de coût de chemin qui assigne un valeur numérique (non négative) à chaque chemin selon les actions réalisées, correspondant à la somme des coûts des actions individuelles le long du chemin, appelés coûts d'étape

10 Solution d'un problème Chemin qui part de l'état initial pour mener à un état final correspondant au but [ÊtreÀ(Lyon) ; ÊtreÀ(Clermont-Ferrand) ; ÊtreÀ(Limoges) ; ÊtreÀ(Bordeaux)] [ÊtreÀ(Lyon) ; ÊtreÀ(Montpellier) ; ÊtreÀ(Toulouse) ; ÊtreÀ(Bordeaux)] Solution optimale : celle qui a le coût de chemin minimal parmi toutes les solutions

11 Niveau d'abstraction Supprimer des détails de la représentation On laisse tomber le paysage, la météo, la radio, On conserve le minimum nécessaire pour la résolution du problème d'aller de Lyon à Bordeaux Abstraire également les actions Abstraction valide si on peut projeter la solution dans le monde réel, utile si elle simplifie la réalisation des actions de la solution

12 Environnement de résolution Statique : la formulation et la résolution du problème ne tiennent pas compte de modifications susceptibles de survenir dans l'environnement Observable : l'état initial et l'effet de toutes les actions sont connus Discret : il est possible d'énumérer les actions alternatives étant donné un état Déterministe : les solutions aux problèmes se présentent sous la forme de séquences uniques d'actions

13 Exemples de problèmes Problèmes jouets et problèmes du monde réel

14 Jeu de taquin à 8 pièces Configuration initiale Configuration finale

15 Jeu de taquin à 8 pièces État : emplacement des huit pièces et de la case vide État initial : n'importe quel état Actions : déplacement de la case vide (haut, bas, gauche, droite) But : l'état correspond à la configuration finale Coût du chemin : chaque action coûte 1, donc nombre d'étapes qui composent le chemin Abstraction : on ne représente pas les détails relatifs aux manipulations physiques

16 Les 8 dames Disposition inappropriée Solution

17 Les 8 dames Formulation incrémentale État : toute disposition de 0 à 8 dames sur l'échiquier État initial : pas de dame sur l'échiquier Action : poser une dame sur l'une des cases vides But : huit dames sur l'échiquier et aucune menacée Optimisation État : disposition de n dames (0 n 8), une par colonne à partir de la gauche des n colonnes occupées, sans qu'aucune dame n'en menace une autre Action : poser une dame sur une case appartenant à la colonne la plus à gauche sans que celle-ci ne soit menacée Formulation complète : 8 dames sur l'échiquier et déplacement de celles-ci

18 Problèmes du monde réel Recherche d'un trajet Routage dans les réseaux informatiques Systèmes de synchronisation dans les transports en commun Navigation d'un robot Itinéraires touristiques Voyageur de commerce Agencement de VLSI Ordonnancement automatique de l'assemblage d'objets complexes Conception de protéines de synthèse Recherches Internet

19 Recherche de solutions Arbre de recherche

20 Arbre de recherche Lyon Dijon Grenoble Marseille Montpellier Clermont Strasbourg Lyon Paris

23 Arbre de recherche Racine de l'arbre : nœud de recherche correspondant à l'état initial Développer l'état courant en appliquant toutes les actions possibles : génère un nouvel ensemble d'états Stratégie d'exploration pour choisir l'état à développer Distinction arbre de recherche / espace des états

24 Nœud de recherche Structure de données État : l'état de l'espace des états auquel le nœud correspond Nœud parent : le nœud de l'arbre de recherche qui a généré ce nœud Action : l'action qui a été appliquée au parent pour générer le nœud Coût du chemin : le coût g(n) du chemin depuis l'état initial jusqu'au nœud Profondeur : le nombre d'étapes que compte le chemin depuis l'état initial Distinction nœud / état Frontière : collection des nœuds feuilles générés mais non encore développés

25 Nœud de recherche Nœud parent ÊtreÀ(Dijon) État Nœud Action = Nord Profondeur = 1 Coût de chemin = 194

26 Notion de frontière Lyon Dijon Grenoble Marseille Montpellier Clermont Strasbourg Lyon Paris

27 Algorithme général d'exploration Entrées : un problème et une stratégie Sortie : une solution, ou échec initialiser l'arbre de recherche avec l'état initial du problème itérer si il n'y a pas de candidat à développer alors retourner échec choisir un nœud à développer en appliquant la stratégie si le nœud contient un état final alors retourner la solution qui correspond sinon développer le nœud ajouter les nœuds du résultat dans l'arbre de recherche

28 Mesure de performance Complétude : est-ce que l'algorithme garantit d'obtenir une solution lorsqu'il en existe une? Optimalité : est-ce que la stratégie trouve la solution optimale? Complexité en temps : quelle est la durée pour l'obtention d'une solution? Complexité en espace : de combien de mémoire faut-il disposer pour effectuer l'exploration?

29 Complexité Quantités à prendre en compte b : facteur de branchement (nombre maximal de successeurs d'un nœud donné) d : profondeur du nœud but le moins éloigné m : longueur maximale d'un chemin dans l'espace des états (possiblement infinie) Temps exprimé par rapport au nombre de nœuds générés pendant l'exploration Espace : nombre maximal de nœuds conservés en mémoire

30 Stratégies d'exploration Choix d'un ordre pour développer les nœuds Exploration non informée (ou aveugle) Pas d'information sur les états Générer des successeurs et distinguer état final / non final Exploration informée (ou heuristique) Déterminer si un état non final est «plus prometteur» qu'un autre

31 Stratégies d'exploration non informée

32 Stratégies d'exploration non informée Exploration en largeur d'abord Exploration à coût uniforme Exploration en profondeur d'abord Exploration en profondeur limitée Exploration itérative en profondeur Exploration bidirectionnelle

33 Exploration en largeur d'abord Développement de tous les nœuds au niveau n avant ceux du niveau n+1 Frontière implémentée par une file FIFO (firstin-first-out)

34 Exploration en largeur d'abord A A B C B C D E F G D E F G A A B C B C D E F G D E F G

35 Exploration en largeur d'abord Complétude : oui (si b est fini) Optimalité : pas nécessairement Complexité en temps et en espace : O(b d ) Profondeur Nœuds Temps Mémoire 8 10⁹ 31 heures 1 téraoctet 12 10¹³ 35 ans 10 pétaoctets

36 Exploration à coût uniforme Développement du nœud qui a le coût de chemin le plus faible File triée par coût croissant Équivalent à l'exploration en largeur d'abord si tous les coûts d'étape sont égaux

37 Exploration à coût uniforme A 1 10 S 5 B 5 G 15 5 C

38 Exploration à coût uniforme S A B C G S,0 1 A,1 G,11 2 B,5 G, C,15 Contenu de la file [(S,0)] Étape Développe (S,0) # nœuds développés [(A,1);(B,5);(C,15)] Développe (A,1) 1 [(B,5);(G,11);(C,15)] Développe (B,5) 2 [(G,10);(G,11);(C,15)] 3 Développe (G,10) Ø 4

39 Exploration à coût uniforme Complétude : oui, si le coût de chaque étape est à une constante positive ε Optimalité : oui, car les nœuds sont développés dans l'ordre du coût croissant de leur chemin Complexité en temps et en espace : O b C */ (où C* est le coût de la solution optimale)

40 Exploration en profondeur d'abord Développement du nœud le plus profond de la frontière de l'arbre de recherche Frontière implémentée par une pile (ou file) LIFO (last-in-first-out) Alternative : fonction récursive

41 Exploration en profondeur d'abord A A B C B C D E F G D E F G A A B C B C D E F G D E F G

42 Exploration en profondeur d'abord Complétude : non (chemin possiblement infini) Optimalité : non Complexité en espace O(bm) O(m) avec backtracking Complexité en temps : O(b m )

43 Exploration en profondeur limitée Limite de profondeur l Nœuds à la profondeur l non développés Résout le problème du chemin infini Équivalent à profondeur d'abord si l =

44 function DLS(problème,limite) nœud CRÉÉR-NŒUD-ÉTAT-INITIAL(problème) return DLS-REC(nœud,problème,limite) function DLS-REC(nœud,problème,limite) interruption_survenue false if TEST-ÉTAT-FINAL(problème,ÉTAT(nœud)) then return SOLUTION(nœud) else if PROFONDEUR(nœud) = limite then return interruption else foreach successeur in DÉVELOPPER(nœud,problème) do résultat DLS-REC(successeur,problème,limite) if résultat = interruption then interruption_survenue true else if résultat échec then return résultat if interruption_survenue else return interruption else return échec

45 Exploration en profondeur limitée Complétude : non (cas l < d) Optimalité : non Complexité en espace : O(bl) Complexité en temps : O(b l )

46 Exploration itérative en profondeur Variante itérative de l'exploration en profondeur limitée Augmentation graduelle de la limite jusqu'à atteindre un nœud but Nœud but atteint lorsque la profondeur limite vaut d (profondeur du nœud but le moins profond)

47 Exploration itérative en profondeur Limite = 0 A A Limite = 1 A A A A B C B C B C B C Limite = 2 A A A A B C B C B C B C D E F G D E F G D E F G D E F G

48 Exploration itérative en profondeur function IDS(problème) for profondeur = 0 to do résultat DLS(problème,profondeur) if résultat interruption then return résultat

49 Exploration itérative en profondeur Complétude : oui (si b est fini) Optimalité : oui (si toutes les étapes ont le même coût) Complexité en espace : O(bd) Complexité en temps : O(b d) Nombre de nœuds générés par IDS (b=10 et d=5) : = Nombre de nœuds générés par largeur d'abord : =

50 Exploration bidirectionnelle Exécution de deux explorations simultanées En aval depuis l'état initial En amont à partir du but Arrêt lorsque les deux explorations se rencontrent au milieu S G

51 Exploration bidirectionnelle S G

52 Exploration bidirectionnelle Complétude et optimalité : oui pour des coûts d'étapes uniformes et si les deux explorations sont en largeur d'abord Complexité en temps et en espace : O(b d/2) Nombre de nœuds générés pour d=6 et b=10 Exploration bidirectionnelle : Exploration en largeur standard :

53 Comparaison des stratégies d'exploration non informée Critère Largeur d'abord Coût uniforme Profondeur d'abord Profondeur limitée Itérative en profondeur Bidirectionnelle (si applicable) Complète oui1 oui1,2 non non oui1 oui1,4 Temps O(bd) O b C * / O(bm) O(bl) O(bd) O(bd/2) Espace O(bd) O b C * / O(bm) O(bl) O(bd) O(bd/2) Optimale oui3 oui non non oui3 oui3,4 b : facteur de branchement d : profondeur de la solution la moins profonde m : profondeur maximale de l'arbre de recherche l : profondeur limite ¹ si b est fini ² si les coûts des étapes sont ε avec ε positif ³ si les coûts d'étapes sont tous identiques ⁴ si les deux directions utilisent un exploration en largeur d'abord

54 Éviter les répétitions d'états

55 Répétition d'états Possibilité de perdre du temps à développer des états déjà rencontrés et développés Parfois inévitable (actions réversibles) Grille rectangulaire : chaque état a 4 successeurs L'arbre de recherche a 4 d feuilles, états répétés compris Pour un état donné, 2d 2 états distincts en d étapes Pour d=20, 10 9 nœuds mais seulement 800 états distincts!

56 Algorithme d'exploration en graphe function GRAPH-SEARCH(problème) nœuds_fermés Ø nœuds_ouverts {CRÉÉR-NŒUD-ÉTAT-INITIAL(problème)} loop if VIDE(nœuds_ouverts) then return échec nœud CHOISIR(nœuds_ouverts) if TEST-ÉTAT-FINAL(problème,ÉTAT(nœud)) then return SOLUTION(nœud) if nœud nœuds_fermés then nœuds_fermés nœuds_fermés {nœud} nœuds_ouverts nœuds_ouverts DÉVELOPPER(nœud,problème)

57 Stratégies d'exploration en graphe Exploration en largeur d'abord Optimalité avec des coûts d'étape constants Optimalité avec une exploration à coût uniforme Exploration en profondeur d'abord Besoins en mémoire non linéaires Optimalité avec une exploration itérative en profondeur si le meilleur chemin est mis à jour

58 Exercices

59 Les missionnaires et les cannibales Trois missionnaires et trois cannibales sont du même côté d'une rivière, à côté d'un bateau qui ne peut contenir qu'une ou deux personnes. Trouvez un moyen pour que tout le monde se retrouve sur l'autre rive sans que le nombre de missionnaires à un endroit donné ne soit jamais inférieur au nombre de cannibales au même endroit. Formulez précisément le problème en ne fournissant que les éléments nécessaires pour garantir une solution valide. Tracez un diagramme complet de l'espace des états. Implémentez et résolvez le problème de manière optimale en utilisant un algorithme d'exploration approprié. Est-ce une bonne idée de détecter les répétitions d'états? Selon vous, étant donné la simplicité de l'espace des états, pourquoi la résolution de ce problème a-t-elle posé tant de difficultés?

60 Distance entre deux pages Web Écrivez un programme qui prend en entrée les URL de deux pages Web et qui retourne un chemin composé de liens permettant d'aller de l'une à l'autre. Quelle est la stratégie d'exploration appropriée? L'exploration bidirectionnelle est-elle une bonne idée? Pourrait-on utiliser un moteur de recherche pour implémenter une fonction successeur? Sur le même thème, voir : Six Degrees of Wikipedia