Le régime sinusoïdal

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1 Un peu d'histoire : À la suite de l'invention de la lampe à incandescence par Edison en 1878, un grand nombre d'installations s'équipe en générateur à courant continu pour l'éclairage. Parallèlement, un générateur de courant alternatif (l alternateur) est inventé. Mais il ne rencontre pas le même succès, du moins au début. Une véritable bataille entre l alternatif et le continu : Pourtant, un inventeur visionnaire et brillant, Nikola Tesla, développe ce type d'électricité et invente le moteur asynchrone qui fonctionne sous courant alternatif. En 1884, âgé de 28 ans, Nikola Tesla débarque aux États-Unis, où Edison vient de créer le réseau électrique alimentant la ville de New York. Ce réseau, basé sur le courant continu, souffre de sérieux dysfonctionnements : accidents fréquents, pannes régulières, incendies... Tesla est partisan de l'adoption du courant alternatif, tandis qu'edison, ardent défenseur du courant continu, y est totalement opposé. L'alternatif gagne définitivement la bataille de l'électricité. Pourquoi? Quand les centrales électriques virent le jour, surtout dans les régions éloignées des centres urbains, il fallut transporter l'énergie produite sur de longues distances. Mais les câbles qui transportent l'électricité ont une résistance et cela posa un problème majeur. Prenons un exemple : Une ville moyenne peut avoir besoin d une puissance d environ 10 MW. Si cette quantité devait être transportée sous une tension U = 100 V, le courant serait être énorme : I = P U = = A 100 Une ligne formée de deux câbles de cuivre de 1 cm de diamètre a une résistance R = 0,4 Ω/km. Avec un courant de 100 ka, la perte de puissance par effet Joule serait de P J = R I²=0,4 (100000) 2 =4GW par km! Impossible de transporter l énergie en basse tension! Il n'y avait d'autre choix économique que de baisser la valeur de l intensité du courant. Pour diminuer la valeur de l intensité dans les lignes, tout en maintenant la puissance constante, il faut augmenter la tension en proportion. En clair, si la tension atteint V, la même puissance pourrait être transportée efficacement avec un courant de 100 A Le régime Sinusoidal (V1.0).odt le 20/09/12 Page 1/6

2 L invention qui permet le développement des réseaux alternatifs La tension doit être élevée pendant le transport, mais pour l'utilisateur, elle doit être utilisable en toute sécurité. Il faut donc un dispositif simple pour élever la valeur de la tension en sortie de centrale et la rabaisser au niveau de l'utilisateur. Cet appareil existe, mais fonctionne uniquement en alternatif. Il est inventé en 1884 : Il s agit du transformateur. La machine qui génère les tensions alternatives La machine qui génère la tension électrique d'alimentation des réseaux de distribution s'appelle l alternateur. La tension qu'elle crée est sinusoïdale, sa fréquence dépend de sa vitesse de rotation. En Europe, on s'arrange pour que les alternateurs tournent à une vitesse de rotation telle que la fréquence de la tension sinusoïdale de sortie soit égale à 50 Hz. Exercice 1: Pertes en haute et en basse tension : Une installation électrique située à 10 km du transformateur EDF est alimentée sous 230 V par une ligne monophasée de résistance 0,4 Ω/km (Attention, le courant effectue l'aller et le retour). Elle consomme une puissance de 5 kw. Complétez le tableau : Expression littérale Tension de ligne 230 V V Résistance totale de la ligne l'intensité appelée par l'installation. Chute de tension dans les fils. Puissance perdue par effet Joule Tension disponible en bout de ligne Conclure : Le régime Sinusoidal (V1.0).odt le 20/09/12 Page 2/6

3 Rappels de trigonométrie Le cercle trigonométrique : π 2 = 90 M sens trigonométrique positif Les angles sont représentés en radian (rad) ou en degrés ( ). π = 180 OM sin( α ) O α OM cos( α ) 3π 2 = π = tour de cercle = 360 soit 2π radians α radians 2π = α 360 degrés Représentation d un signal sinusoïdal v(t) = Vmax sin(ω t + φ) + Vmoy v(t) : Valeur instantanée du signal Vmax : Valeur maximum du signal. On peut également la noter V F V1max = 10V ; V2max = 5V T : Période du signal (en seconde : s) F T1 = 0,02s = 20ms ; T2 = 0,01s = 10ms Le régime Sinusoidal (V1.0).odt le 20/09/12 Page 3/6

4 f : Fréquence du signal (en Hertz : Hz) F F1 = 50Hz ; F2 = 100Hz ω : Pulsation du signal (en rad/s) F ω1 = 314rad/s ; ω2 = 628rad/s ω=2π f f = 1 T t : temps (en s). C est la variable de l équation sur l'axe des abscisses. φ : Phase à l origine du signal (en rad). Cela correspond à l angle (ω t + φ) au moment ou t = 0. F φ1 = 0 rad ; φ2 = 1,57rad Remarque : On mesure la phase d un signal par rapport à un signal de référence considéré (arbitrairement) comme ayant une phase nulle. Cette différence de phase se nomme le déphasage. Il n'existe que pour des signaux de même fréquence. Déphasage : Φ 21 = φ 2 - φ 1 Vmoy : Valeur moyenne du signal. On peut également la noter V ou <v(t)> F V1moy = 0V ; V2moy = 0V Remarque : La valeur moyenne d un signal sinusoïdal sans composante continue (centré sur zéro) est nulle (A 1 = A 2 ). V : Valeur efficace (RMS) du signal. Elle correspond à la quantité de chaleur que produirait un signal continu (d amplitude égale à la valeur efficace de v(t)) pendant la même durée. On la note : Veff ou V Pour un signal sinusoïdal sans composante continue : V eff = V max 2 Vcàc : Valeur crête à crête du signal. Cela correspond à la l excursion maximale : V crête à crête = Vmax Vmin Le régime Sinusoidal (V1.0).odt le 20/09/12 Page 4/6

5 Exercice 2: Lecture et interprétation de sinusoïdes : A partir des courbes de V1, V2 et V3, complétez le tableau ci-dessous : Valeur mini (V) Valeur maxi (V) Valeur crête à crête (V) Valeur moyenne (V) V1 V2 V3 Valeur efficace (V) 76,6 V Période (s) Fréquence (Hz) Pulsation (rad/s) Phase (rad) 0 π/2 0 Équation Le régime Sinusoidal (V1.0).odt le 20/09/12 Page 5/6

6 Exercice 3 : Représentation graphique de signaux sinusoïdaux : Complétez le tableau puis représentez graphiquement les signaux V4 et V5 : V4 V5 Valeur mini (V) Valeur maxi (V) Valeur crête à crête (V) Valeur moyenne (V) Valeur efficace (V) 0 V 10,6 V Période (s) Fréquence (Hz) 200 Hz Pulsation (rad/s) Phase (rad) 0 Équation v5(t)=20 sin(628 t) V t (ms) Le régime Sinusoidal (V1.0).odt le 20/09/12 Page 6/6