Méthodes arborescentes exactes et approchées
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- Jean-Pierre St-Pierre
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1 Méthodes arborescentes exactes et approchées Complexité, Algorithmes Randomisés et Approchés October 8, 2015
2 Problème d optimisation (rappel) Définition : Nom du problème : P Paramètres génériques du problème (nombres, graphes,...) Une caractérisation de ce qu est une solution réalisable : Une instance I de P est une instanciation des paramètres génériques A chaque instance I correspond un ensemble de solutions réalisables S(I ). Une fonction objectif f Résolution (problème de minimisation) : Déterminer un algorithme A qui, pour chaque instance I détermine une solution s (I ) de S(I ) telle que : s S(I ), f (s (I )) f (s).
3 Exemple : le voyageur de commerce euclidien Données : plan n points dans le
4 Exemple : le voyageur de commerce euclidien Données : n points dans le plan Solution réalisable : Un cycle hamiltonien dans le graphe complet sous-jacent K n
5 Exemple : le voyageur de commerce euclidien Données : n points dans le plan Solution réalisable : Un cycle hamiltonien dans le graphe complet sous-jacent K n Fonction objectif : La longueur du cycle (que l on souhaite minimiser)
6 Exemple : le voyageur de commerce euclidien Données : n points dans le plan Solution réalisable : Un cycle hamiltonien dans le graphe complet sous-jacent K n Fonction objectif : La longueur du cycle (que l on souhaite minimiser) Ce problème est NP-difficile.
7 Trouver une solution optimale du TSP Première idée : énumérer l ensemble des solutions réalisables du TSP : (n 1)! 2 cycles possibles But : Trouver une solution optimale sans énumérer toutes les solutions.
8 Branch-and-bound (séparation-évaluation) Branch (brancher) Diviser (partitionner) l espace de recherche Arbre d énumération (ou arbre de recherche) Explorer l arbre de recherche
9 Brancher La racine de l arbre représente l ensemble des solutions. Chaque sous-arbre représente une solution partielle. Espace des solutions
10 Brancher La racine de l arbre représente l ensemble des solutions. Chaque sous-arbre représente une solution partielle.
11 Brancher La racine de l arbre représente l ensemble des solutions. Chaque sous-arbre représente une solution partielle.
12 Brancher La racine de l arbre représente l ensemble des solutions. Chaque sous-arbre représente une solution partielle.
13 Brancher La racine de l arbre représente l ensemble des solutions. Chaque sous-arbre représente une solution partielle.
14 Brancher : exemple sur le problème du TSP Soit 1 le premier sommet du cycle. On choisit au niveau i le i eme sommet du cycle (n i choix)
15 Branch-and-bound (séparation-évaluation) Branch (brancher) Diviser (partitionner) l espace de recherche Arbre d énumération (ou arbre de recherche) Explorer l arbre de recherche Bound (borner) Borne supérieure de la valeur d une solution optimale Borne inférieure de la valeur d un nœud
16 Borner Au noeud courant on a : une borne supérieure B sup d une solution optimale (par exemple le coût d une solution réalisable que l on a déjà rencontrée) ce que l on a déjà une borne inférieure B inf du coût de toute solution issue du noeud courant (borne inf de toute solution du sous-arbre courant) ce que l on peut espérer avoir de mieux en explorant le sous-arbre Si B inf > B sup alors on élague : on n explore pas le sous-arbre enraciné au noeud courant.
17 Borner : exemple sur le problème du TSP Soit G = (S, A) un graphe valué. Soit i S un sommet. Soit cout adj min1(i) le coût de la plus petite arête adjacente à i et cout adj min2(i) le coût de la 2ème plus petite arête adjacente à i. Propriété : Le coût d un cycle hamiltonien de G est 1 n 2 i=1 cout adj min1(i) + cout adj min2(i). Borne inférieure du coût d une solution dont les sommets S forment un cycle partiel = coût des arêtes du cycle partiel + cout adj min1(i) + cout adj min2(i). 1 2 i S\S
18 Exemple
19 Branch-and-bound (séparation-évaluation) Un algorithme de branch-and-bound pour un problème de minimisation est basé sur une procédure de branchement qui décompose le problème, et une borne inférieure pour éviter d avoir à parcourir tout l arbre.
20 Arbre d énumération L arbre d énumération n est pas complètement stocké en mémoire. En effet, sa taille est proportionnelle à la taille de l ensemble des solutions, qui est exponentielle. L arbre d énumération est exploré pour trouver la solution optimale. Il y a deux façons classiques d explorer l arbre : Parcours en profondeur Parcours le meilleur d abord
21 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory
22 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory Charger le problème en mémoire
23 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory Première branche = premier sous-problème
24 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory Descendre
25 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory Première feuille
26 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory Premier retour en arrière
27 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory Seconde feuille
28 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory Deuxième retour en arrière
29 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory et retourner en arrière à nouveau
30 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory et ainsi de suite...
31 Explorer l arbre d énumération Parcours en profondeur Memory...jusqu à la dernière feuille
32 Complexité La complexité temporelle est en O( S ), ce qui est généralement exponentiel en la taille du problème. La complexité en espace est en O(hn) avec n taille du problème et h hauteur de l arbre d énumération (h est polynomial en n).
33 Complexité La complexité temporelle est en O( S ), ce qui est généralement exponentiel en la taille du problème. La complexité en espace est en O(hn) avec n taille du problème et h hauteur de l arbre d énumération (h est polynomial en n). les feuilles intéressantes traversées pendant la recherche doivent être stockées. Si on cherche la meilleure solution, la taille de la solution est O(n). Si on cherche plusieurs bonnes solutions, la taille des solutions peut être aussi grande que la taille de S.
34 Explorer l arbre d énumération Parcours le meilleur d abord A chaque itération, parmi les sommets ouverts, on choisit le plus prometteur (par exemple celui qui a la borne inférieure la plus basse). Les sommets ouverts sont stockés dans un tas (priorité d un noeud = sa borne inférieure). Inconvénient : la taille du tas peut être grande.
35 Comment trouver une borne inférieure? Coût de la solution partielle Solution ad hoc (propriété) Relaxation du problème
36 Trouver une borne inférieure : relaxation du problème S
37 Trouver une borne inférieure : relaxation du problème S S
38 Trouver une borne inférieure : relaxation du problème S S
39 Trouver une borne inférieure : relaxation du problème S S Ignorer certaines contraintes définissant S, ou rendre ces contraintes moins fortes. Soit S le nouvel ensemble de solutions (S S ). Le minimum du problème relâché est une borne inférieure. min x S f (x) min x S f (x). On cherche un problème relâché qui est polynomial.
40 Exemple : TSP Un chemin hamiltonien (CH) est un chemin qui traverse tous les nœuds du graphe.
41 Exemple : TSP Un chemin hamiltonien (CH) est un chemin qui traverse tous les nœuds du graphe. Un CH est un arbre couvrant avec la contrainte additionnelle que l arbre doit avoir seulement deux feuilles.
42 Exemple : TSP Un chemin hamiltonien (CH) est un chemin qui traverse tous les nœuds du graphe. Un CH est un arbre couvrant avec la contrainte additionnelle que l arbre doit avoir seulement deux feuilles. Le problème de l arbre couvrant de poids minimum (ACPM) est une relaxation du problème du plus court CH le plus court. Le coût d un ACPM est une borne inférieure du CH de poids minimum, qui est une borne inférieure pour le TSP.
43 TSP : borne inf pour une solution partielle Coût d une solution partielle coût du tour partiel + coût d un arbre couvrant de poids minimum pour les noeuds qui ne sont pas couverts par le tour partiel
44 En pratique Plus la borne inférieure est bonne, plus le nombre de nœuds visités pendant la recherche est faible. Cependant, si la borne inférieure est meilleure, son temps de calcul peut être plus long moins de nœuds visités plus de temps passé à chaque nœud il faut faire des tests pour savoir quelle solution est la meilleure. Une bonne solution initiale est très importante.
45 Construire une bonne solution Algorithmes gloutons Construire une solution à partir de règles simples
46 Construire une bonne solution Algorithmes gloutons Construire une solution à partir de règles simples Heuristiques basées sur une relaxation du problème Construire une solution réalisable à partir d une solution relâchée qui viole certaines contraintes
47 Construire une bonne solution Algorithmes gloutons Construire une solution à partir de règles simples Heuristiques basées sur une relaxation du problème Construire une solution réalisable à partir d une solution relâchée qui viole certaines contraintes Branch and bound partiel Utiliser un arbre d énumération pour obtenir une bonne solution sans explorer tout l espace des solutions.
48 Algorithmes gloutons Un algorithme glouton peut souvent être adapté au problème traité. Il ne retourne pas l optimum mais en général la solution obtenue n est pas trop mauvaise. A chaque étape, la solution partielle courante est augmentée en ajoutant un élément tel que les contraintes ne sont pas violées. l élément minimise une règle heuristique. Cette règle exprime souvent un optimum local. On dit qu elle est myope.
49 Règle du PlusProcheVoisin pour le TSP
50 Règle du PlusProcheVoisin pour le TSP Choisir un point de départ aléatoirement
51 Règle du PlusProcheVoisin pour le TSP Aller vers son plus proche voisin
52 Règle du PlusProcheVoisin pour le TSP...et itérer
53 Règle du PlusProcheVoisin pour le TSP
54 Règle du PlusProcheVoisin pour le TSP La solution est réalisable mais pas optimale
55 Une autre heuristique gloutonne Comme dans l algorithme de Kruskal, connecter les points les plus proches.
56 Une autre heuristique gloutonne
57 Une autre heuristique gloutonne
58 Une autre heuristique gloutonne L arête peut ne pas être acceptée car le degré du nœud serait égal à 3.
59 Une autre heuristique gloutonne L arête la plus courte qui ne crée pas de nœud de degré 3 ni de cycle est choisie.
60 Une autre heuristique gloutonne
61 Une autre heuristique gloutonne
62 Une autre heuristique gloutonne
63 Une autre heuristique gloutonne
64 Une autre heuristique gloutonne
65 Une autre heuristique gloutonne
66 Une autre heuristique gloutonne
67 Heuristique de Clarke-Wright Cette heuristique a été initialement introduite pour le problème de tournées de véhicules (VRP). Le VRP est une généralisation du TSP dans laquelle il y a un dépôt à partir duquel tous les tours commencent et se terminent. les véhicules ont une capacité limitée : les livraisons doivent être divisées en plusieurs tournées. Pour construire un tour pour le TSP, on choisit arbitrairement une ville comme étant le dépôt et les véhicules ont une capacité illimitée.
68 Heuristique de Clarke-Wright Créer un tour individuel entre chaque point et le dépôt.
69 Heuristique de Clarke-Wright Le gain d une arête mesure la diminution de la longueur du tour obtenu en choisissant cette arête.
70 Heuristique de Clarke-Wright L arête avec le gain le plus important est choisie à chaque étape.
71 Heuristiques basées sur la relaxation du problème Trouver une relaxation du problème Le TSP euclidien est relaxé en un arbre couvrant de poids minimum
72 Heuristiques basées sur la relaxation du problème Trouver une relaxation du problème Le TSP euclidien est relaxé en un arbre couvrant de poids minimum Retourner une solution optimale pour le problème relâché Algorithme de Prim ou de Kruskal
73 Heuristiques basées sur la relaxation du problème Trouver une relaxation du problème Le TSP euclidien est relaxé en un arbre couvrant de poids minimum Retourner une solution optimale pour le problème relâché Algorithme de Prim ou de Kruskal Si la solution du problème relâché viole certaines contraintes du problème initial, réparer cette solution pour la rendre réalisable.
74 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
75 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
76 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
77 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
78 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
79 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
80 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
81 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
82 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
83 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
84 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
85 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
86 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
87 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum
88 Construire un tour à partir d un arbre couvrant de poids minimum La longueur du tour retourné est inférieure ou égale à deux fois la longueur d un tour optimal.
89 Recherche partielle dans un arbre d énumération Le but est d utiliser une structure générale (l arbre d énumération) afin d avoir des algorithmes génériques. Au lieu de construire une seule solution, on construit plusieurs solutions en visitant plusieurs feuilles de l arbre. On a besoin d une heuristique pour évaluer à priori les différents choix représentés par les différentes branches descendant d un nœud.
90 Heuristique gloutonne dans un arbre de recherche La meilleure branche est dessinée comme étant la branche gauche.
91 Heuristique gloutonne dans un arbre de recherche La meilleure branche est dessinée comme étant la branche gauche. Choisir la meilleure branche à priori
92 Heuristique gloutonne dans un arbre de recherche La meilleure branche est dessinée comme étant la branche gauche. et répéter le même processus de sélection
93 Heuristique gloutonne dans un arbre de recherche La meilleure branche est dessinée comme étant la branche gauche.
94 Heuristique gloutonne dans un arbre de recherche La meilleure branche est dessinée comme étant la branche gauche.
95 Heuristique gloutonne dans un arbre de recherche La meilleure branche est dessinée comme étant la branche gauche.
96 Heuristique gloutonne dans un arbre de recherche La meilleure branche est dessinée comme étant la branche gauche. jusqu à trouver la solution
97 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure Choisir la branche gauche avec la probabilité 1 p avec p < 0.5
98 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure Recommencer la procédure
99 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure
100 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure
101 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure
102 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure Et choisir la meilleure
103 Branch-and-Greed
104 Branch-and-Greed?? Comment choisir entre les deux premières branches du nœud racine?
105 Branch-and-Greed?? Exécuter l algorithme glouton pour chaque sous-arbre
106 Branch-and-Greed???? et sélectionner la branche qui mène au sous-arbre avec la meilleure solution.
107 Branch-and-Greed???? Exécuter à nouveau l algorithme glouton pour chaque sous-arbre du sous-arbre courant
108 Branch-and-Greed?????? Emprunter la meilleure branche
109 Branch-and-Greed?????? Jusqu à ce que le chemin rouge atteigne une feuille
110 Branch-and-Greed Soit H 0 l algorithme glouton basé sur un arbre d énumération. Le transparent précédent a défini une nouvelle heuristique, appellée H 1, qui appelle H 0 à chaque nœud pour choisir la meilleure branche à explorer. Plus généralement, on peut définir récursivement l heuristique H k qui appelle H k 1 à chaque nœud pour choisir la meilleure branche à explorer. Le nombre de solutions visitées par l heuristique H k est borné par un polynôme de degré k. Quand k est assez grand, l espace entier est visité.
111 Recherche à écarts limités (Limited Discrepancy Search) Ecart : un choix où l on n a pas sélectionné la solution à priori la meilleure. La k ieme étape explore le chemin avec k écarts.
112 Recherche à écarts limités (Limited Discrepancy Search) Ecart : un choix où l on n a pas sélectionné la solution à priori la meilleure. La k ieme étape explore le chemin avec k écarts. Step 0
113 Recherche à écarts limités (Limited Discrepancy Search) Ecart : un choix où l on n a pas sélectionné la solution à priori la meilleure. La k ieme étape explore le chemin avec k écarts. Step 0 Step 1
114 Recherche à écarts limités (Limited Discrepancy Search) Ecart : un choix où l on n a pas sélectionné la solution à priori la meilleure. La k ieme étape explore le chemin avec k écarts. Step 0 Step 1 Step 2
115 Recherche à écarts limités (Limited Discrepancy Search) Ecart : un choix où l on n a pas sélectionné la solution à priori la meilleure. La k ieme étape explore le chemin avec k écarts. Step 0 Step 1 Step 2 Step 3
116 Résumé : Branch-and-bound (séparation-évaluation) Branch (brancher) Diviser (partitionner) l espace de recherche Arbre d énumération (ou arbre de recherche) Explorer l arbre de recherche Bound (borner) Borne supérieure de la valeur d une solution optimale (solution réalisable) Borne inférieure de la valeur d un nœud Pour réduire (encore) le nombre de noeuds explorés : ensemble dominant, règle de dominance.
117 Ensemble dominant Pour certains problèmes, on peut facilement déterminer un sous-ensemble S de solutions de S tel que S contient au moins une solution optimale de S. L algorithme de branch-and-bound doit explorer S au lieu de S.
118 Règle de dominance On peut souvent prouver une propriété (P) qui doit être vérifiée par au moins une solution optimale du problème.
119 Règle de dominance On peut souvent prouver une propriété (P) qui doit être vérifiée par au moins une solution optimale du problème. En analysant une solution partielle à un nœud de l arbre de recherche, on peut quelquefois prouver que (P) ne peut pas être vérifiée par les solutions qui complètent la solution partielle courante.
120 Règle de dominance On peut souvent prouver une propriété (P) qui doit être vérifiée par au moins une solution optimale du problème. En analysant une solution partielle à un nœud de l arbre de recherche, on peut quelquefois prouver que (P) ne peut pas être vérifiée par les solutions qui complètent la solution partielle courante. Le nœud est dominé par une solution partielle qui satisfait (P).
121 Règle de dominance On peut souvent prouver une propriété (P) qui doit être vérifiée par au moins une solution optimale du problème. En analysant une solution partielle à un nœud de l arbre de recherche, on peut quelquefois prouver que (P) ne peut pas être vérifiée par les solutions qui complètent la solution partielle courante. Le nœud est dominé par une solution partielle qui satisfait (P). La propriété (P) est appelée règle de dominance.
122 Une règle de dominance pour le TSP Le tour partiel (chemin) (s 1 = 1, s 2,, s k ) doit être un chemin hamiltonien entre s 1 et s k dans le sous-graphe défini par les nœuds {s 1, s 2,..., s k }. lgth=41.52 lgth=45.29
123 Une règle de dominance pour le TSP Le tour partiel (chemin) (s 1 = 1, s 2,, s k ) doit être un chemin hamiltonien entre s 1 et s k dans le sous-graphe défini par les nœuds {s 1, s 2,..., s k }. lght= lght= lgth=41.52 lgth=45.29
124 Une règle de dominance pour le TSP Le tour partiel (chemin) (s 1 = 1, s 2,, s k ) doit être un chemin hamiltonien entre s 1 et s k dans le sous-graphe défini par les nœuds {s 1, s 2,..., s k }. lght= lght= lgth=41.52 lgth=45.29
125 Une règle de dominance pour le TSP Le tour partiel (chemin) (s 1 = 1, s 2,, s k ) doit être un chemin hamiltonien entre s 1 et s k dans le sous-graphe défini par les nœuds {s 1, s 2,..., s k }. lgth=41.52 lgth=45.29 Un tour partiel est dominé quand on peut montrer qu il existe un tour partiel plus court.
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