L3 SID APU Cours 3 Méthodes de conception d algorithmes Application aux algorithmes de Tri (suite)
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- Étienne Breton
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1 1/23 L3 SID APU Cours 3 Méthodes de conception d algorithmes Application aux algorithmes de Tri (suite) Thomas Pellegrini, équipe SAMoVA, IRIT, thomas.pellegrini@irit.fr IRIT - UPS
2 2/23 Approches diviser-pour-régner pour le tri Exemples communs Tri par tas Tri rapide Tri fusion
3 2/23 Approches diviser-pour-régner pour le tri Exemples communs Tri par tas Tri rapide Tri fusion
4 2/23 Approches diviser-pour-régner pour le tri Exemples communs Tri par tas Tri rapide Tri fusion
5 3/23 Méthode diviser-pour-régner algorithmes qui utilisent une récursion Diviser le problème en un certain nombre de sous-problèmes qui sont des instances plus petites du même problème Régner sur les sous-problèmes en les résolvant de manière récursive Combiner les solutions des sous-problèmes pour produire la solution du problème originel
6 4/23 TRI-FUSION Méthode diviser-pour-régner Diviser : diviser la suite de n éléments en deux sous-suites de n/2 éléments chacun Régner : Trier les deux sous-suites de manière récursive en utilisant le tri par fusion (récursion) Combiner : Fusionner les sous-suites triés deux par deux pour produire la suite originelle triée Nous allons utiliser une fonction qui réalise l opération de fusion : FUSION(A, p, q, r) avec A la suite (un tableau), et p, q, r trois entiers tels que p q < r. FUSION suppose que les sous-tableaux A[p..q] et A[q + 1..r] sont triés. Elle les fusionne en un sous-tableau trié A[p..r].
7 TRI-FUSION 5/23
8 6/23 TRI-FUSION 1: FONCTION FUSION(A : Entier[ ], p, q, r : Entier) 2: Entier i, j, k ; 3: n 1 : Entier q - p + 1 ; 4: n 2 : Entier r - q ; 5: Entier L[n 1 ] ; 6: Entier R[n 2 ] ; 7: POUR i de 0 à n 1-1 FAIRE 8: L[i] A[p+i] ; 9: POUR i de 0 à n 2-1 FAIRE 10: R[i] A[q+i+1] ; 11: L[n 1 ] ; 12: R[n 2 ] ; 13: i 1 ; 14: j 1 ; 15: POUR k de p à r FAIRE 16: SI L[i] R[j] ALORS 17: A[k] L[i] ; 18: i i+1 ; 19: SINON 20: A[k] R[j] ; 21: j j+1 ; 22: FIN FONCTION
9 Algorithme TRI-FUSION(A, p, r) 1: SI p < r ALORS 2: q E((p+q)/2) 3: TRI-FUSION(A, p, q) ; 4: TRI-FUSION(A, q+1, r) ; 5: FUSION(A, p, q, r) ; 6: FIN SI 7/23
10 8/23 Question! Pourquoi la fonction FUSION ne renvoie pas le tableau A?
11 8/23 Question! Pourquoi la fonction FUSION ne renvoie pas le tableau A? comment les paramètres d entrée sont-ils passés à une fonction?
12 8/23 Question! Pourquoi la fonction FUSION ne renvoie pas le tableau A? comment les paramètres d entrée sont-ils passés à une fonction? Un paramètre peut être transmis à une fonction : 1. par valeur : la valeur est clonée et la fonction travaille sur une variable interne 2. par référence : la fonction travaille sur la case mémoire correspondant à la variable qui stocke la valeur
13 8/23 Question! Pourquoi la fonction FUSION ne renvoie pas le tableau A? comment les paramètres d entrée sont-ils passés à une fonction? Un paramètre peut être transmis à une fonction : 1. par valeur : la valeur est clonée et la fonction travaille sur une variable interne 2. par référence : la fonction travaille sur la case mémoire correspondant à la variable qui stocke la valeur En algorithmique (et en Java) : 1. Types simples (Entier, Réel, Caractère, Booléen) : par valeur 2. Types composés (tableau, liste, pile, file, arbre) : par référence
14 9/23 Passage de paramètres en python En python, tout se passe par référence a = [1, 2, 3] # a est une liste (un tableau) b = a # on ne copie pas la liste a, # on copie de l'adresse de a (la reference) b.append(4) print(a) # resultat?
15 9/23 Passage de paramètres en python En python, tout se passe par référence a = [1, 2, 3] # a est une liste (un tableau) b = a # on ne copie pas la liste a, # on copie de l'adresse de a (la reference) b.append(4) print(a) # resultat? Comment réaliser une vraie copie de a?
16 10/23 Passage de paramètres en python Comment réaliser une vraie copie de a? a = [1, 2, 3] b = list(a) # on cree une vraie copie de la liste # cette fois, grace a list() b.append(4) print(a) # resultat?
17 10/23 Passage de paramètres en python Comment réaliser une vraie copie de a? a = [1, 2, 3] b = list(a) # on cree une vraie copie de la liste # cette fois, grace a list() b.append(4) print(a) # resultat? Notion complémentaire en python : objets mutables et objets non mutables 1. Types simples (int, float, bool, str, tuple, etc) : non mutables 2. Types composés (list, dict, set, etc) : mutables
18 11/23 Passage de paramètres en python def fonction_qui_sert_a_rien(l): L.append(157) a = [1, 2, 3] print(a) # resultat? fonction_qui_sert_a_rien(a) print(a) # resultat?
19 11/23 Passage de paramètres en python def fonction_qui_sert_a_rien(l): L.append(157) a = [1, 2, 3] print(a) # resultat? fonction_qui_sert_a_rien(a) print(a) # resultat? La liste a été modifiée! Car la liste est passée par référence à la fonction. Toute modification de la liste dans la fonction est donc visible en dehors de la fonction.
20 12/23 Passage de paramètres en python def deuxieme_fonction_qui_sert_a_rien(a): a = a * 2 return a a = 4 print(a) # resultat? b = deuxieme_fonction_qui_sert_a_rien(a) print(b) # resultat? print(a) # resultat?
21 12/23 Passage de paramètres en python def deuxieme_fonction_qui_sert_a_rien(a): a = a * 2 return a a = 4 print(a) # resultat? b = deuxieme_fonction_qui_sert_a_rien(a) print(b) # resultat? print(a) # resultat? L entier n a pas été modifié! Car même s il est passé par référence à la fonction, il est non mutable.
22 13/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION Temps pris par FUSION? Temps pris par TRI-FUSION?
23 14/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Notations pour décrire le temps d exécution asymptotique d un algorithme : par des fonctions définies sur N = {1, 2,...}
24 14/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Notations pour décrire le temps d exécution asymptotique d un algorithme : par des fonctions définies sur N = {1, 2,...} asymptotique : comportement quand n, la taille des entrées de l algo, est très grand (n : taille d un tableau pris en entrée par exemple)
25 15/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Notation O : borne asymptotique supérieure Pour une fonction f donnée définie sur N, on note O(f ) ou O(f (n)) (prononcer grand O de f ) l ensemble des fonctions g suivant :
26 15/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Notation O : borne asymptotique supérieure Pour une fonction f donnée définie sur N, on note O(f ) ou O(f (n)) (prononcer grand O de f ) l ensemble des fonctions g suivant : O(f ) = {g telles qu il existe des constantes positives c et n 0 telles que pour tout n n 0, on a 0 g(n) cf (n)}
27 15/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Notation O : borne asymptotique supérieure Pour une fonction f donnée définie sur N, on note O(f ) ou O(f (n)) (prononcer grand O de f ) l ensemble des fonctions g suivant : O(f ) = {g telles qu il existe des constantes positives c et n 0 telles que pour tout n n 0, on a 0 g(n) cf (n)} f est un majorant des fonctions g (à une constante multiplicative près c et pour n suffisamment grand, i.e. n supérieur à un certain n 0 )
28 15/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Notation O : borne asymptotique supérieure Pour une fonction f donnée définie sur N, on note O(f ) ou O(f (n)) (prononcer grand O de f ) l ensemble des fonctions g suivant : O(f ) = {g telles qu il existe des constantes positives c et n 0 telles que pour tout n n 0, on a 0 g(n) cf (n)} f est un majorant des fonctions g (à une constante multiplicative près c et pour n suffisamment grand, i.e. n supérieur à un certain n 0 ) Pour prouver que g(n) = O(f (n)) : trouver des valeurs c de n 0 qui marchent
29 16/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Exemples : T (n) = O(n 2 ) veut dire qu un certain multiple constant de n 2 est un majorant de le temps d exécution T
30 16/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Exemples : T (n) = O(n 2 ) veut dire qu un certain multiple constant de n 2 est un majorant de le temps d exécution T TRI-SELECTION : les deux boucles POUR imbriquées donnent immédiatement un majorant en O(n 2 ) pour le cas le plus défavorable
31 16/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Exemples : T (n) = O(n 2 ) veut dire qu un certain multiple constant de n 2 est un majorant de le temps d exécution T TRI-SELECTION : les deux boucles POUR imbriquées donnent immédiatement un majorant en O(n 2 ) pour le cas le plus défavorable Soit T (n) = n n, montrer que T (n) = O(n 2 )?
32 16/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Exemples : T (n) = O(n 2 ) veut dire qu un certain multiple constant de n 2 est un majorant de le temps d exécution T TRI-SELECTION : les deux boucles POUR imbriquées donnent immédiatement un majorant en O(n 2 ) pour le cas le plus défavorable Soit T (n) = n n, montrer que T (n) = O(n 2 )? n n n n 2 soit n n 11n 2 : on prend c = 11 et n 0 = 1 par exemple
33 16/23 Analyse de complexité : notation asymptotique Exemples : T (n) = O(n 2 ) veut dire qu un certain multiple constant de n 2 est un majorant de le temps d exécution T TRI-SELECTION : les deux boucles POUR imbriquées donnent immédiatement un majorant en O(n 2 ) pour le cas le plus défavorable Soit T (n) = n n, montrer que T (n) = O(n 2 )? n n n n 2 soit n n 11n 2 : on prend c = 11 et n 0 = 1 par exemple O(1) : coût constant, c est le coût des instructions élémentaires (assignation, test, etc)
34 17/23 Analyse de complexité : notation asymptotique n=65536, k=2 coût basique : 0,01s O(1) Temps constant, indépendant de la taille des données O(log 2 (n)) Temps logarithmique 0,16s O(n) Temps linéaire 655s O(n log 2 (n)) 10486s, environ 3h O(n 2 ) Temps quadratique 497 jours O(n k ), k > 2 Temps polynomial O(k n ), k > 1 Temps exponentiel 6, millénaires
35 18/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION Temps pris par FUSION? On fusionne deux tableaux de q-p+1 et r-q éléments soit n = r p + 1 éléments. Les deux boucles POUR des lignes 7 et 9 prennent un temps O(n 1 + n 2 ) = O(n) et il y a n itérations de la boucle POUR ligne 15 O(n) Temps pris par TRI-FUSION?
36 18/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION Temps pris par FUSION? On fusionne deux tableaux de q-p+1 et r-q éléments soit n = r p + 1 éléments. Les deux boucles POUR des lignes 7 et 9 prennent un temps O(n 1 + n 2 ) = O(n) et il y a n itérations de la boucle POUR ligne 15 O(n) Temps pris par TRI-FUSION? analyse des algos diviser-pour-régner
37 19/23 Analyse des algos diviser-pour-régner Lorsque l algorithme contient un appel récursif, on décrit son temps d exécution à l aide d une relation de récurrence
38 19/23 Analyse des algos diviser-pour-régner Lorsque l algorithme contient un appel récursif, on décrit son temps d exécution à l aide d une relation de récurrence Soit T (n) le temps d exécution d un problème de taille n,
39 19/23 Analyse des algos diviser-pour-régner Lorsque l algorithme contient un appel récursif, on décrit son temps d exécution à l aide d une relation de récurrence Soit T (n) le temps d exécution d un problème de taille n, Supposons que l on divise le problème en a sous-problèmes de taille n/b,
40 19/23 Analyse des algos diviser-pour-régner Lorsque l algorithme contient un appel récursif, on décrit son temps d exécution à l aide d une relation de récurrence Soit T (n) le temps d exécution d un problème de taille n, Supposons que l on divise le problème en a sous-problèmes de taille n/b, Il faut un temps T (n/b) pour résoudre un sous-problème, donc un temps at (n/b) pour résoudre a sous-problèmes.
41 19/23 Analyse des algos diviser-pour-régner Lorsque l algorithme contient un appel récursif, on décrit son temps d exécution à l aide d une relation de récurrence Soit T (n) le temps d exécution d un problème de taille n, Supposons que l on divise le problème en a sous-problèmes de taille n/b, Il faut un temps T (n/b) pour résoudre un sous-problème, donc un temps at (n/b) pour résoudre a sous-problèmes. Si l on prend un temps D(n) pour diviser le problème en sous-problèmes et un temps C(n) pour construire la solution globale, on obtient la récurrence : T (n) = { 0(1) si n c, at (n/b) + D(n) + C(n) sinon
42 19/23 Analyse des algos diviser-pour-régner Lorsque l algorithme contient un appel récursif, on décrit son temps d exécution à l aide d une relation de récurrence Soit T (n) le temps d exécution d un problème de taille n, Supposons que l on divise le problème en a sous-problèmes de taille n/b, Il faut un temps T (n/b) pour résoudre un sous-problème, donc un temps at (n/b) pour résoudre a sous-problèmes. Si l on prend un temps D(n) pour diviser le problème en sous-problèmes et un temps C(n) pour construire la solution globale, on obtient la récurrence : { 0(1) si n c, T (n) = at (n/b) + D(n) + C(n) sinon Pour TRI-FUSION, a = b = 2
43 20/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION Diviser : l étape diviser se contente de calculer le milieu du sous-tableau, ce qui consomme un temps constant, donc D(n) = O(1)
44 20/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION Diviser : l étape diviser se contente de calculer le milieu du sous-tableau, ce qui consomme un temps constant, donc D(n) = O(1) Régner : on résoud deux sous-problèmes, chacun de taille n/2, ce qui contribue pour 2T (n/2) au temps d exécution
45 20/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION Diviser : l étape diviser se contente de calculer le milieu du sous-tableau, ce qui consomme un temps constant, donc D(n) = O(1) Régner : on résoud deux sous-problèmes, chacun de taille n/2, ce qui contribue pour 2T (n/2) au temps d exécution Combiner : c est la procédure FUSION qui prend un temps C(n) = O(n)
46 20/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION Diviser : l étape diviser se contente de calculer le milieu du sous-tableau, ce qui consomme un temps constant, donc D(n) = O(1) Régner : on résoud deux sous-problèmes, chacun de taille n/2, ce qui contribue pour 2T (n/2) au temps d exécution Combiner : c est la procédure FUSION qui prend un temps C(n) = O(n) D(n) + C(n) = O(1) + O(n) = O(n), terme linéaire domine le terme constant
47 20/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION Diviser : l étape diviser se contente de calculer le milieu du sous-tableau, ce qui consomme un temps constant, donc D(n) = O(1) Régner : on résoud deux sous-problèmes, chacun de taille n/2, ce qui contribue pour 2T (n/2) au temps d exécution Combiner : c est la procédure FUSION qui prend un temps C(n) = O(n) D(n) + C(n) = O(1) + O(n) = O(n), terme linéaire domine le terme constant on obtient la récurrence suivante : T (n) = { 0(1) si n = 1, 2T (n/2) + O(n) si n > 1
48 21/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION On ré-écrit la récurrence avec une constante c qui est le temps requis pour résoudre les problèmes de taille 1 : T (n) = { 0(1) si n = 1, 2T (n/2) + cn si n > 1 Pour trouver T (n), on construit un arbre récursif
49 22/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION T (n) = { 0(1) si n = 1, 2T (n/2) + cn si n > 1
50 23/23 Analyse de la complexité de TRI-FUSION T (n) = { 0(1) si n = 1, 2T (n/2) + cn si n > 1 résultat : T (n) = cn(log(n) + 1) Soit T (n) = O(n log(n))
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