Une nouvelle approche de la conjecture de Collatz Selon laquelle toute suite d entiers produite par l algorithme éponyme finit par atteindre 1

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1 Une nouvelle approche de la conjecture de Collatz Selon laquelle toute suite d entiers produite par l algorithme éponyme finit par atteindre 1 par Wilfrid Poulain wpoulain@aedifex.fr le 1er mars 2015

2 La suite de Collatz de l entier strictement positif n 0 est définie par récurrence de la manière suivante : n n i+1 = { i 2 si n est pair n i + 1 si n est impair Les divisions successives de n i par 2 reviennent à trouver la plus grande puissance de 2 qui le divise. En effet, à chaque itération de la première règle on crée successivement les diviseurs 2, 4, 8, 16,, soit 2 1, 2 2, 2, 2 4, J appelle suite de Collatz simplifiée une suite de Collatz ne comprenant que ses termes impairs. Pour les trouver, après chaque application de la règle 2 à n i on fait pgp2(n i ), où pgp2 est une fonction qui renvoie la plus grande puissance de 2 divisant n i. Dans Mathematica, par exemple, pgp2 s écrira pgp2[n_] = 2^IntegerExponent[n, 2] Par conséquent, le successeur impair d un terme impair est n i+1 = (n i + 1)/pgp2(n i + 1). On évite ainsi les nombreuses divisions par 2 tout en conservant l intégrité de la suite. Calcul du terme n r de rang r dans une suite simplifiée En construisant une suite simplifiée à l aide de valeurs symboliques on parvient à la fonction n(r) suivante (d j et d k sont les diviseurs, explications plus bas. Voir aussi la page 10) : r 2 r i 1 n(r) = i=0 (i j=1 d j ) + ( n 0 + 1) r 1 r k=1 d k, r > 0 Elle permet de calculer n importe quel terme impair de rang r sur la base des diviseurs, ou puissances de 2, qui ont abouti à transformer successivement n 0 jusqu à lui donner la valeur 1. Exemple : avec n 0 = 29 cette liste de diviseurs est 8, 2, 4, 8, 16. Dans ce qui suit ils correspondent à d 1, d 2, d, d 4, d 5. Pour obtenir cette liste il est nécessaire de conserver les diviseurs lors de la production d une suite simplifiée. En faisant varier r de 1 à 5 on obtient la suite simplifiée de 29, c est-à-dire 11, 17, 1, 5, 1. Voici les expressions calculées par la fonction n(r), dans lesquelles C est égal à n 0 + 1, valeur constante : n 0, C d 1, d 1 + C d 1 d 2, d 1d 2 + d C d 1 d 2 d, d 1d 2 d + d 1 d 2 + 9d C d 1 d 2 d d 4, d 1 d 2 d d 4 + d 1 d 2 d + 9 d 1 d d C d 1 d 2 d d 4 d 5 Si L est la longueur (ou nombre de termes) d une suite de diviseurs, alors on a toujours n(l) = 1, c est-à-dire dans le cas de L = 5 : d 1 d 2 d d 4 + d 1 d 2 d + 9 d 1 d d C d 1 d 2 d d 4 d 5 = 1 1

3 Autrement dit, la valeur du numérateur est égale à la plus grande puissance de 2 qui la divise. Je vais montrer comment cette expression fonctionne, pas à pas en commençant par une suite de deux diviseurs (donc trois termes avec le 1 final), après l avoir réécrite sous une forme équivalente et remplacé C par sa valeur : d 1 (d 2 (d (d 4 + ) + 9) + 27) n 0 = d 1 d 2 d d 4 d 5 Dans le premier tableau, à gauche, on commence par 8*1+ = 11 (le 1 se trouve sous d 2 = 16, et le est la puissance de qui se trouve sur la ème ligne de la colonne d 1 ), à quoi on ajoute 9*1, toujours dans la colonne d 1. 1 représente ici n 0, le 1 er terme de la suite de trois termes. d 1 d 2 d 1 d 2 d d 1 d 2 d d 4 d 1 d 2 d d 4 d 5 d 0 d n 0 n 1 n 0 n 1 n 2 n 0 n 1 n 2 n n 0 n 1 n 2 n n 4 n 1 n 0 Premier tableau : 8*1 + = *1 = 8*16 = 128. Deuxième : 4* = *17 = 4*8*16 = 512. Troisième : 2* = *11 = 2*4*8*16 = Quatrième : 8* = *29 = 8*2*4*8*16 = Pour démontrer que ce mécanisme se perpétue nous allons chercher la valeur du prédécesseur de d 1, que nous appellerons d 0, ainsi que celle du prédécesseur de n 0 dans la suite de n 1. Dans ce qui suit, 729 = 6 précède logiquement 24 = 5 dans la 4 ème ligne, et 24 précède 81 dans la 4ème ligne (voir le cinquième tableau) : Ce qui donne : 1145 d n 1 = 8192 d 0 (ou d 0 d 1 d 2 d d 4 d 5 ) n 1 = 29 d 0 1 Or, dans toute suite simplifiée on a n r = n r n d r 1 = n rd r 1 r Le résultat du calcul ci-dessus ne déroge pas à la règle, il indique que n 1 est bien le prédécesseur de n 0 = 29. Comme d 0 est par définition une puissance de 2, le premier candidat est d 0 = 2 (mais il y en a d autres), ce qui donne n 1 = (29*2-1) / = 19. Comme 1145 d est dans ce cas égal à 25, on peut continuer et poser : et on obtient 25 d n 2 = 1684 d 1 (ou d 1 d 0 d 1 d 2 d d 4 d 5 ) 2

4 n 2 = 19 d 1 1 Calcul de n 0 en fonction des diviseurs de sa suite On peut calculer la valeur de n r 1 si on connaît celles de n r et de d r. Par conséquent : n 4 = d 5 1 n 1 = n 2d 2 1 n 0 = n 1d 1 1, n = n 4d 4 1 = d 4(d 5 1) 9 = d 2(d (d 4 (d 5 1) ) 9) 27 81, n 2 = n d 1 = d 1(d 2 (d (d 4 (d 5 1) ) 9) 27) n 0 = d 1 (d 2 (d (d 4 (d 5 1) ) 9) 27) 81 On reprend maintenant l expression ci-dessus d 1 (d 2 (d (d 4 + ) + 9) + 27) n 0 = d (d 4 (d 5 1) ) 9 27 dans laquelle on remplace 24 n 0 par sa valeur fonction des diviseurs, que l on vient de calculer. On obtient : d 1 (d 2 (d (d 4 + ) + 9) + 27) d 1 (d 2 (d (d 4 (d 5 1) ) 9) 27) 81 = d 1 d 2 d d 4 d 5. Ceci démontre que d 1 (d 2 (d (d 4 + ) + 9) + 27) n 0 = d 1 d 2 d d 4 d 5 et donc, en généralisant, que d 1 ( (d L (d L 2 (d L ) + 2 ) + ) ) + L 1 + L n 0 L i=1 d i = 1 Ainsi, le dernier terme d une suite de Collatz est-il toujours 1 Quelle que soit la longueur d une suite, ou plus précisément le nombre de ses diviseurs, cette expression intègre l ensemble de ceux-ci. Alors sa valeur est 1. Avant de l atteindre elle prend les formes suivantes, que j ai citées plus haut sous une forme différente, prenant en compte un diviseur de plus à chaque étape : n 0, n d 1, d n 0 d 1 d 2, d 1(d 2 + ) n 0 d 1 d 2 d, d 1(d 2 (d + ) + 9) n 0 d 1 d 2 d d 4 Elles produisent successivement tous les termes de la suite, jusqu au moment où l une d elles prend la valeur 1, ce qui marque la fin de ladite suite faute de diviseurs supplémentaires.,

5 Annexes Voici le graphe de la suite de Collatz de 41, dans ses versions originale à gauche et simplifiée à droite : On note que ce qui donne sa forme générale au tracé ce sont les entiers impairs. Les entiers pairs et leurs divisions séquentielles par 2 ne représentent qu un bruit autour de cette forme. Recréation d une suite simplifiée sur la base de ses diviseurs Rappel de l expression de n 0 pour L = 5 : n 0 = d 1(d 2 (d (d 4 (d 5 1) ) 9) 27) En cherchant à la programmer je me suis aperçu que la suite simplifiée pouvait être extraite en entier de ses diviseurs d 1, d 2, d une manière extrêmement simple. Pour commencer j ai dressé le tableau suivant, après avoir noté que la plus grande puissance de était associée au premier diviseur, d 1, ce qui donne une liste inversée de ces nombres : puis que chaque diviseur était décrémenté de la valeur de la puissance de en-dessous de lui après avoir été multiplié par le résultat de l opération précédente, en commençant par d A partir de là on fait 8*15- = 117, 4*117-9 = 459, 2* = 891, et enfin 8* = 7047 :

6 Or, 7047/ 5 = 29, 891/ 4 = 11, 459/ = 17, 117/ 2 = 1, 15/ 1 = 5 La suite simplifiée est ainsi recréée, sans calculs compliqués mais par le simple jeu des diviseurs et des puissances de. Il ne reste plus qu à lui ajouter 1. Voici ci-dessous la fonction divs2suite() (lire divstosuite) que j ai écrite sous Mathematica. C est la variable m qui contient le résultat de l opération à passer au diviseur précédent, donc calculée par récurrence. Ce code simplissime est facile à comprendre. Peut-être devrais-je préciser que PrependTo[lst, val] ajoute val au début de la liste lst, et que AppendTo l ajoute à la fin. Cette fonction accepte la liste des diviseurs en paramètre et retourne la suite simplifiée correspondante, ce qui montre que cette dernière est potentiellement présente dans la liste des diviseurs : Exemple avec la suite de diviseurs suivante : 4, 2, 16, 4, 8, 2, 4, 16, 2, 4, 4, 16, 2, 2, 4, 8, 16. La fonction divs2suite() renvoie 417, 256, 845, 721, 541, 20, 05, 229, 4, 65, 49, 7, 7, 11, 17, 1, 5, 1, c est-à-dire la suite simplifiée de 417. Si on réitère l opération après avoir supprimé le 4 initial de la liste des diviseurs, la fonction retournera la suite simplifiée du successeur de 417, c est-à-dire 256. La valeur de n 0 est donc le résultat d un calcul portant sur l ensemble des diviseurs à compter du dernier, celui qui donnera 1 après division par luimême, comme l expression de n 0 le laissait comprendre avec d 5 1 en son centre. Ceci montre qu il est impossible de modifier la valeur de n L = 1 sans altérer l ensemble de la suite de n 0, puisque la valeur de tous les termes repose sur celle de son prédécesseur n L 1. Voici comment fonctionne la construction des termes d une suite en commençant par d 5 1, que je remplacerai pour aérer le tableau par la lettre grecque α (alpha) : d 1 d 2 d d 4 d 5 d 2 (d (d 4 α ) 9) 27 d (d 4 α ) 9 d 4 α α n 0 n 1 n 2 n n 4 (d 2 (d (d 4 α ) 9) 27)/81 (d (d 4 α ) 9)/27 (d 4 α )/9 α/ Comme on peut le voir, d L 1 est présent dans l expression de chaque valeur de n r. Lorsque l algorithme de Collatz parvient à n L 1 il ne reste plus que (d L 1)/, qui donnera 1 à l étape suivante. Le dernier diviseur, d L, est donc une puissance de 2 divisible par après décrémentation. Sachant que dans une suite de Collatz il n existe aucun entier pair égal à n + 1 qui soit divisible par 9 (sinon (n 1)/ serait divisible par ), les seules valeurs possibles de d L sont 4, 16, 256, 1024, 1684,, ce qui donne les valeurs possibles de n L 1 : 5

7 1, 5, 85, 41, 5461, (en effet, 1 = (4*1-1)/ est son propre successeur. La valeur d L = 4 ne sera donc jamais rencontrée à la fin d une liste de diviseurs). Fonctions utiles Voici une fonction créée sous Mathematica. Elle accepte en entrée un entier impair, n 0, et renvoie les entiers dont la somme est égale à la plus grande puissance de 2 qui la divise. Elle reproduit en fait le mécanisme de la fonction n(r) de la première page, en construisant successivement et par un moyen très simple l expression de tous les termes impairs, jusqu à celle qui donne 1, celle-ci par exemple (voir page 1) : d 1 d 2 d d 4 + d 1 d 2 d + 9 d 1 d d C d 1 d 2 d d 4 d 5 = 1 Avec n 0 = 29 on obtient (8192, {512, 192, 144, 216, 7128}), ce qui signifie = 1 (8192 = 2 1 ) Le dernier nombre de la liste représente 81*(*29+1) = Attention, les nombres de cette liste peuvent être très grands, selon la longueur de la suite simplifiée! Voici cette fonction, sous forme d une copie d écran : Autre exemple : sommeegale(25) renvoie On a bien = 1 ( = 2 18 ) Les explications concernant le fonctionnement de cet algorithme figurent page 11. 6

8 Il peut être intéressant de savoir que le même algorithme, à une petite variante près, permet de produire la suite simplifiée d un entier impair, autrement dit sans passer par l algorithme de Collatz : Par exemple, suitesimpl(41) renvoie 41, 1, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 17, 10, 155, 2, 175, 26, 95, 59, 445, 167, 251, 77, 28, 425, 19, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 911, 167, 2051, 077, 577, 4, 25, 61, 2, 5, 5, 5, 1 Les diviseurs successifs qui ont créé cette suite sont 4, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 4, 8, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 8, 2, 2, 2, 16, 4, 4, 16, 8, 2, 2, 2, 16 On peut les calculer facilement ainsi : Suites simplifiées aléatoires Dans un certain sens, une suite de Collatz, simplifiée ou non, est toujours aléatoire, puisqu on part d un terme initial choisi au hasard. Ce que j entends ici par aléatoire est une suite construite sans ce choix initial et à l envers : le dernier diviseur est sélectionné au hasard dans la liste des valeurs qu il peut prendre, comme le sont tous ceux qui le précèdent. Le seul critère à respecter est que le terme de la suite produit par un diviseur donné soit un entier impair non divisible par. Voici la fonction suitealeatoire() suivie des explications nécessaires : 7

9 L algorithme est basé sur l expression n r 1 = n rd r 1 reproduite par m1 = (divactu*m2-1) /. dl, qui reprend le nom de d L, c est-à-dire le dernier diviseur, renvoie l un des nombres 16, 256, 1024 ou 1684, qui représentent ses quatre premières valeurs possibles. Quant à divalea, cette fonction renvoie un diviseur compris entre 2 et 1024 choisi aléatoirement. Un poids est attribué à chaque diviseur, qui correspond à la probabilité de le rencontrer dans une suite de Collatz : 1/2 pour 2, 1/4 pour 4, 1/8 pour 8, etc., de sorte que la fonction Mathematica RandomChoice le choisira plus fréquemment que d autres selon l importance de son poids. While[!MemberQ[{1, 5},Mod[m1, 6]], ] signifie qu on continue de tirer un diviseur au hasard aussi longtemps que la variable m1 n est pas un entier impair non divisible par. En effet, les entiers impairs dans ce cas ont tous un modulo 6 égal à 1 ou 5. La fonction suitealeatoire() accepte pour premier argument la longueur de la suite désirée, et comme second argument, facultatif, un drapeau indiquant si on veut qu elle renvoie la suite générée (1, par défaut, donc sans le préciser) ou la liste des diviseurs (longueur, 0). Voici un exemple de suite générée aléatoirement par suitealeatoire(0) : , , , , , , , , , , , , , , , , , 2792, , , 604, 54065, 40549, 760, 11405, 4277, 401, 01, 11, 85, 1 Son graphe : 8

10 Toutes sont loin d avoir cette allure. La plupart descendent en piquée, ce à quoi nous ne sommes pas habitués. Nous avons en effet l habitude de voir des suites de Collatz monter puis descendre, ce qui vient du fait que nous choisissons le plus souvent de petits nombres initiaux. Mais dans le cas présent les choses sont un peu différentes, et je prendrai l exemple suivant : comme les suites aléatoires sont construites à partir du terme précédant 1 (lequel est seulement ajouté) puis en remontant vers le premier terme selon la longueur désirée de la suite, j avais pensé au début à un algorithme qui calculerait le plus petit prédécesseur de chaque terme. Mais j ai vite compris que ce serait une idée saugrenue, puisque la suite n aurait plus rien d aléatoire et serait en fait unique. Mais voici ce que ça aurait donné pour une suite calculée à partir de son avant-dernier terme 5 : , , , 51766, , , , , 15547, 2021, , 289, 607, 4555, 68, 5125, 961, 721, 541, 20, 05, 229, 4, 65, 49, 7, 7, 11, 17, 1, 5, 1 Malgré qu il s agisse à chaque fois du plus petit prédécesseur, la suite grimpe (ou plutôt descend) très rapidement. Il n y a rien d anormal, car si on calcule la suite simplifiée du premier terme de la suite aléatoire, on obtient exactement la même suite d entiers. Sans doute faudrait-il chercher à améliorer cet algorithme pour que sa tendance soit à la décroissance plutôt qu à la croissance. Si toutefois c est possible. Avec un peu de gymnastique on pourrait construire une suite de Collatz originale, aléatoirement s entend, avec sa kyrielle d entiers pairs. Mais ça n apporterait rien de plus. Le cycle trivial Comme je l ai mentionné plus haut, 1 est son propre successeur. Le cycle trivial est une conséquence directe de l algorithme de Collatz, puisqu au lieu de faire, 5, 1 et terminer sur le 1, on fait, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, L existence de ce cycle n est ni absolue ni nécessaire. Dans une suite simplifiée, 85 = , 5 = et 1 = sont des prédécesseurs de 1 9

11 Calcul d une suite simplifiée à l aide de valeurs symboliques Voici comment on calcule les expressions qui ont conduit à la fonction n(r) de la première page : n 0 n 1 = n d 1 n 2 = n d 2 = d 1 + (n 0 + 1) d 1 d 2 n = n d = d 1(d 2 + ) + 9(n 0 + 1) d 1 d 2 d n 4 = n + 1 d 4 = d 1(d 2 (d + ) + 9) + 27(n 0 + 1) d 1 d 2 d d 4 n 5 = n d 5 = d 1(d 2 (d (d 4 + ) + 9) + 27) + 81(n 0 + 1) d 1 d 2 d d 4 d 5 Dans une suite de n termes on trouve n-1 diviseurs. Exemple avec n 0 = 29 : la suite simplifiée est 29, 11, 17, 1, 5, 1, et les diviseurs sont 8, 2, 4, 8, 16. En effet, (*29+1) / 8 = 11, (*11+1) / 2 = 17, (*17+1) / 4 = 1, etc. Les expressions ci-dessus sont respectivement égales à : n 0 = 29 n 1 = n 2 = n = n 4 = n 5 = = ( ) 8 2 = 17 8 (2 + ) + 9 ( ) = 1 8 (2 (4 + ) + 9) + 27 ( ) = 5 8 (2 (4 (8 + ) + 9) + 27) + 81 ( ) = 1 Fonctionnement de l algorithme mis en œuvre dans sommeegale() 10

12 Rappel de la fonction sommeegale() de la page 6 : La progression du calcul s inscrit dans un tableau dont les rangées successives sont représentées par le contenu de la variable rangee. Nous continuons avec l exemple de n 0 = 29. La constante const est égale à *29+1 = 88. Au départ, la liste rangee ne contient que la valeur de const. La variable p représente une puissance de, la première étant 0, et la liste listp contient les puissances successives de à partir de p = 1. La première valeur de la variable div est la plus grande puissance de 2 divisant la constante, soit 8 (88/8 = 11), et la première valeur de la variable somme est égale à la constante. La boucle While est itérée aussi longtemps que somme est différent de div, et ajoute à chaque itération un nouvel élément au début de la liste rangee. Etat originel du tableau : rangee 88 somme listp 1 rangee x listp Première itération. On ajoute div = 8 au début (PrependTo) de la liste rangee, et la puissance suivante de à la liste listp : rangee 8 88 somme listp 1 rangee x listp Seconde itération. div contient maintenant la plus grande puissance de 2 divisant somme, égale à 272, soit 16 (272/16 = 17) : rangee somme listp 1 9 rangee x listp Troisième itération. div = 64 (82/64 = 1) : 11

13 rangee somme listp rangee x listp Quatrième itération. div = 512 (2560/512 = 5) : rangee somme listp rangee x listp Terminé! La variable somme étant égale à 8192, et div à 8192 également (la plus grande puissance de 2 divisant 8192 est en effet 2 1 = 8192) la boucle While prend fin. On remarque au passage (principe utilisé par la variante de cet algorithme nommée suitesimpl(), page 7) qu on a formé ce faisant la suite simplifiée de n 0 = 29, c est-à-dire 29, 11, 17, 1, 5, 1 : 29, 88/8 = 11, 272/16 = 17, 82/64 = 1, 2560/512 = 5, 8192/8192 = 1. Il s agit pour résumer de produire une liste d entiers pairs dont chaque terme est égal à une puissance de 2 multipliée par une puissance de, et dont la somme est une puissance de 2. Posé autrement, le problème consiste à prendre une puissance de 2 quelconque et à la décomposer en une somme de produits de puissances de 2 et de puissances de, ces dernières figurant dans leur ordre naturel (1,, 9, 27, ). La difficulté est encore accrue par le fait qu il peut y avoir plusieurs résultats, comme en témoigne notre somme finale de 8192 : n 0 sommeegale(n 0 ) somme finale = 8192 Suite simplifiée de n , 192, 144, 216, 24, , 7, 11, 17, 1, 5, , 192, 144, 216, , 11, 17, 1, 5, , 48, 72, , 5, 5, 5, , 192, , 1, 5, , , 5, , , 41, 1 Autre exemple, 17 valeurs de n 0 conduisent à une somme finale de 2 16 = 6556 : 25, 77, 81, 241, 245, 267, 725, 79, 75, 80, 805, 2261, 2275, 2417, 2421, 725, sommeegale(25) = {4096, 156, 1152, 1728, 648, 972, 55404} et sommeegale(7281) = {4, 6552}. Rien ne laisse supposer que cet algorithme pourrait ne pas s appliquer avec succès à tous les entiers impairs. Tout en constituant une alternative plus simple et directe à l algorithme de Collatz, et surtout plus intuitive, il reste néanmoins à démontrer que la variable somme finira toujours par prendre pour valeur une puissance de 2. Si c est le cas, alors la conjecture de Collatz sera validée, à défaut de pouvoir l être par l approche traditionnelle du problème. 12