CHAPITRE 9C. MOUVEMENT DU SOLIDE - ANALYSE DES MÉCANISMES

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1 CHAPITRE 9C. MOUVEMENT DU SOLIDE - ANALYSE DES MÉCANISMES La théorie des mécanismes se classe parmi les disciplines scientifiques qui traitent des méthodes de détermination des formes constructives et des dimensions des pièces de machine. On y fait intervenir les notions de mécanique, c est à dire l étude des mouvements des systèmes matériels en fonction des influences extérieures. La mécanique, tout comme la démarche suivie lors de la construction d un mécanisme peut être divisée en deux étapes : l une cinématique, l autre dynamique. L objet de la cinématique est de décrire les mouvements des corps en fonction du temps, sans tenir compte des causes qui les ont produits ou des effets qu ils produisent (forces, couples). Elle comporte donc l étude des positions que chaque composante du système prend pour différentes configurations, ainsi que leurs vitesses et accélérations. L objectif de la cinématique est double : l étude du mouvement d un système existant (analyse) ou la réalisation d un mouvement particulier (synthèse); l écriture dynamique du système à partir des accélérations et des inerties. L étude dynamique, seconde étape, fait, elle, intervenir les notions d efforts et de couples transmis entre organes assemblés. Le stade ultérieur sera le dimensionnement des organes pour qu ils puissent résister aux sollicitations et/ou subir une déformation limitée. Dans ce chapitre, nous nous limiterons à l étude cinématique des mécanismes : après avoir défini les notions de base, nous aborderons l étude des couples et le rôle qu ils jouent dans le fonctionnement des mécanismes. Nous terminerons par l analyse des principaux mécanismes, illustrée par quelques applications concrètes. 1 ANALYSE DESCRIPTIVE DES MÉCANISMES. 1.1 Notion de mécanisme. Un mécanisme est constitué de corps matériels, appelés organes, assemblés par des liaisons de manière à produire un effet utile. Cet effet utile sera en général la réalisation d une transmission (de puissance ou de commande), avec ou sans transformation de mouvement. Ces liaisons introduisent un certain nombre de contraintes entre les organes qui limitent le «degré de liberté» du mécanisme. Un mécanisme est constitué d un ensemble d organes ou aussi appelés «classe d équivalence». Un organe de machine peut être constitué d une ou plusieurs pièces. Prenons l exemple du moteur à combustion interne : celui-ci contient entre autres un mécanisme dont l effet utile est de transformer le mouvement rectiligne alternatif du piston en un mouvement circulaire continu. Il possède un seul degré de liberté, la rotation de vilebrequin. Les organes de ce mécanisme sont, par exemple, l ensemble du bloc moteur, du carter et la culasse; le piston constitué lui-même du piston et de la biellette cylindre. La bielle, le vilebrequin, sont des pièces du moteur. 1

2 Figure 1 Vue en coupe d un moteur à combustion interne. 1.2 Degré de liberté d un mécanisme. Si on considère les organes du mécanisme comme indéformables et qu à chaque organe k on attache un repère R k, il revient alors au même d étudier les déplacements du repère R j par rapport au repère R i que les déplacements des organes associés. Figure 2 Déplacement du repère R j par rapport au repère R i. Le déplacement de R j par rapport à R i s effectue dans l espace avec six degrés de liberté : trois degrés de liberté de translation le long des trois axes et trois degrés de liberté de rotation autour des trois axes. 2

3 Pour décrire le système constitué des organes i et j, il est donc nécessaire d utiliser six coordonnées généralisées. Cependant, l existence d une liaison introduit des contraintes (d inconnues) dans le système sous forme de relations entre coordonnées. Le nombre de contraintes, fonction du type de liaison, réduit le degré de liberté du système. Pour obtenir le degré d'un mécanisme de N pièces nous additionnons le degré de chacune des pièces moins une (N 1) qui est la base de ce mécanisme et donc fixe pour le mécanisme. Effectivement il est possible d'obtenir le degré de liberté d'un mécanisme dans la station spatiale, la station étant la référence. A ce nombre de degré nous devons soustraire le nombre de contraintes de liaisons qui lient chacune des pièces entre elles. A) Nombre de degrés de liberté Soit un système mécanique constitué de N corps, dont l un est fixe (le bâti), et reliés entre eux par p m liaisons possédant m degrés de liberté, on définit le degré de liberté D du système comme étant la différence entre le nombre de coordonnées généralisées nécessaires pour décrire le système et le nombre de contraintes indépendantes. La relation est donc : (le nombre total de degré de liberté) - (le nombre de contraintes indépendantes de liaison). Si : D = le degré de liberté (ddl), N = le nombre de pièces du mécanisme, A = le nombre de degré de liberté d'une pièce dans l'espace considéré (A = 6 dans l'espace 3D, A= 3 dans le plan), p m = nombre de liaisons ayant m degrés de liberté, donc (A m) contraintes de liaisons c m = (A - m) nombre de contraintes de liaisons A 1 D A ( N 1) [ p c m m ] m1 ou A 1 m1 D A( N 1) [ p ( A m)] (formule de Grübler) Dans l'espace 3D, nous avons A = 6 : m D 6( N 1) 5 m1 [ p m (6 m)] Équation 1 Nombre de degrés de liberté dans l espace Pour un mécanisme plan la relation devient : D 3( N 1) 2 m1 [ p m (3 m)] Équation 2 Nombre de degrés de liberté dans le plan ou 3

4 D 3( N 1) p1 (3 1) p2 (3 2) Dans le cas où nous n'avons que des liaisons P (prismatique) et R (rotoïde), à 1 ddl, la relation devient avec p 1 liaisons : D 3( N 1) 2 p Une autre manière de rechercher le ddl: Si g est le nombre d'articulation et f i est le ddl dans la i ème articulation, 1 D D A( N A( N 1) A g g 1) g i1 g i1 f i f i (formule de Tchebytchev Grübler Kutzbach) Les N pièces ont A. (N 1) ddl. Chaque liaison supprimerait A ddl si elle était un encastrement, A.g au total. A cette différence sont ajoutés les ddl réellement fournis par les articulations. Dans le plan et si nous n'avons que des liaisons P (prismatique) et R (rotoïde), à 1 ddl, la relation devient avec g liaisons, f i = 1 : D 3( N g 1) g 3( N 1) 2 g Équation 3 Calcul du nombre de degré de liberté d un mécanisme : mouvement plan. Deux cas particuliers nous intéressent : si D=0, le mécanisme ne possède aucun degré de liberté et on parlera de structure; si D=1, le mouvement d un des organes du système détermine complètement celui des autres : c est le cas par exemple du système bielle-manivelle-piston-cylindre; Si D<1, le système est hyperstatique. Le nombre de contraintes de liaisons (d inconnues) est plus grand que le nombre d équations (de coordonnées généralisées). 1.3 Une étude cinématique ou dynamique Chaque objet dans l espace a six degrés de liberté (trois translations et trois rotations). L étude d un mécanisme peut être abordée de deux manières différentes. D un point de vue cinématique, l étude peut être menée au moyen des trois déplacements linéaires de translation et des trois déplacements circulaires de rotation. D un point de vue dynamique, les six équations sont celles des résultantes des efforts et des couples autours des trois axes principaux. Nous retiendrons la première démarche. 4

5 1.4 Structure d un mécanisme : notion de liaison Dans un mécanisme, les pièces fixes les unes par rapport aux autres forment un organe, une «classe d équivalence». L ensemble des classes d équivalence constitue le mécanisme et ces différentes classes d équivalence ont des liaisons entres elles. Un corps, une classe d équivalence, dans l espace, a six degrés de liberté, un de ses déplacements peut se décomposer en maximum six mouvements élémentaires et indépendants. L analyse des liaisons réelles n est pas toujours aisée. Les liaisons peuvent être cataloguées et modélisées en onze liaisons élémentaires parfaites. Une liaison parfaite satisfait à trois hypothèses : Contact théorique : point, droite, (cercle), cylindre, sphère, surface hélicoïdale ; Surface parfaite ; Liaison sans jeu ni frottement. Les pièces qui se déforment (ressorts, amortisseur...) ne sont pas prises en compte dans la modélisation des liaisons (n'appartiennent à aucune classe d'équivalence). Il en résulte que la puissance dissipée par une liaison parfaite est nulle. Les 11 liaisons élémentaires parfaites 1. Encastrement, liaison complète, 0 ddl, soudure, assemblage boulonné. 2. Pivot, 1 ddl, une charnière. 3. Glissière, 1 ddl, Gsm à glissière. 4. Glissière hélicoïdale, 1 ddl, vis écrou. 5. Pivot glissant, 2 ddl, pompe à vélo, amortisseur hydraulique. 6. Liaison sphérique à doigt, 2 ddl, manche de manette de jeu. 5

6 7. Rotule, 3 ddl, rotule de suspension de voiture, boule attache remorque. 8. Appui plan, 3 ddl 9. Liaison linéaire rectiligne, 4 ddl, rouleau de roulement, soupape sur sa came. 10. Liaison linéaire annulaire, 4 ddl, bille de roulement. 11. Liaison ponctuelle ou sphère-plan, 5 ddl, roulette sphérique sur le sol. Remarque sur l encastrement L encastrement peut être définitif, par soudage, collage; Il peut être démontable, par exemple l accouplement de deux arbres au moyen de bride (voir Erreur! Source du renvoi introuvable.), nous sommes en présence d un assemblage par friction, pression des deux brides au moyen de boulons, par obstacle au moyen d une clavette. Remarque, cette même dualité entre friction et obstacle se retrouve dans la transmission de puissance par courroie et engrenage. 1.5 Structure d un mécanisme : schématisation d un mécanisme. Tout mécanisme peut être analysé sous la forme d une chaîne cinématique constituée de liaisons ou aussi appelées couples. Un couple est l ensemble de deux corps et d une liaison 1. Suivant le but de l étude, la représentation d un mécanisme peut se faire au moyen de 2 schémas, à chacun est associé un graphe des liaisons. 1. schéma architectural, technologique ; 2. schéma cinématique. Exemple : arbre et ses deux paliers dans un bâti. 1 La notion de couple est largement décrite au 2 6

7 Figure 3 Un arbre monté sur deux paliers Le schéma architectural représente le détail des liaisons entre les deux pièces. Le roulement de gauche est «libre», équivalent à une liaison linéaire annulaire. Le roulement de droite est fixe et équivalent à une rotule. Figure 4 Schéma architectural et le graphe des liaisons Le schéma cinématique ne s intéresse qu à la cinématique de l ensemble, le même montage est réduit ici à un pivot, un axe en rotation uniquement. Figure 5 Schéma cinématique et le graphe de la liaison Remarquons que les deux graphes sont équivalents. Ce second est un graphe équivalent simplifié. 1.6 Le nombre cyclomatique, de cycles indépendants Si le système mécanique comporte N corps et L liaisons, nous pouvons construire le graphe de structure associé à ce mécanisme. La figure suivante est un exemple de graphe comportant 6 corps et 8 liaisons. Figure 6 Graphe associé à un mécanisme. 7

8 Un cycle est un chemin fermé extrait d un graphe de structure tel qu en le parcourant on ne rencontre pas deux fois le même corps. Les cycles suivants sont extraits du graphe précédent. Figure 7 Cycles extraits du graphe de la Figure 6. Le nombre de cycles indépendants est directement calculable à partir du nombre de corps et de liaisons : L N 1 Équation 4 Nombre de cycles indépendants Dans le graphe de l exemple ci-dessus, = 3. Cette structure possède donc trois cycles indépendants qui forment d ailleurs une base de cycles. Figure 8 Base de cycles de la Figure 6. Il est important d identifier les cycles indépendants d un mécanisme pour deux raisons : réduire l étude du système à celle simplifiée de chaque cycle et ; faire apparaître les relations existant entre eux, synonyme de contraintes. Retenons que les sommes des efforts et des moments d un cycle fermé sont nulles. D où l intérêt de les isoler. Le graphe du mécanisme peut être simplifié pour obtenir le graphe cinématique. Nous retrouvons deux cycles indépendants. Figure 9 Décomposition du cycle 8

9 L = 5, N = 6, le nombre de cycles est = Un exemple : la nacelle Retrouvons le nombre de ddl de ce mécanisme en travaillant en étapes. La nacelle se déplace dans l espace 3D. Mis à part la liaison entre (1) et (2), le bras est un mécanisme plan auquel nous pouvons appliquer nos relations en 2D, le mécanisme est plan. La nacelle (11) reste verticale et n intervient pas dans l établissement du ddl, pas plus que son articulation D. Dans le plan, sans (1), nous avons 9 pièces et 11 articulations (2 en C) à 1 ddl. D où le nombre de ddl D = 2. En revenant en 3D, la rotation entre (1) et (2) ajoute 1 ddl. L ensemble a en définitive 3 ddl. En ajoutant le mouvement de rotation de la nacelle, le mécanisme a 4 ddl. Figure 10 Support de nacelle. Ainsi par exemple, le graphe de structure associé au support de la nacelle est le suivant Figure 11 9

10 Graphe associé au support de nacelle de la Figure 10 et des graphes simplifiés. Les vérins et les pièces 9 et 10 sont accessoires quant à la position de la nacelle, ce qui nous donne un schéma équivalent simplifié et justifie le graphe. Nos relations sont parfaitement applicables à cette configuration. Le dernier graphe est encore plus simple où les vérins ont été supprimés, ils actionnent le mécanisme mais ne conditionnent pas les mouvements. Figure 12 Nacelle simplifiée Remarquons cependant que si nous appliquons l Erreur! Source du renvoi introuvable. au système 3D de Figure 12, nous obtenons une valeur négative du degré de liberté, alors que manifestement ce système possède trois degrés de liberté. Il faut donc admettre que toutes les contraintes considérées ne sont pas indépendantes. Nous reviendrons sur ce problème dans le chapitre traitant des mécanismes plans. Remarquons aussi qu en appliquant la même relation au second schéma simplifié de la nacelle, nous retrouvons 3ddl. 1.8 Schémas équivalents Soit une roue dentée montée sur un arbre au moyen d une clavette. Suivant le point de vue le schéma peut apparaître différent. Pour le concepteur (a), la roue dentée est montée sur l arbre, nous avons un pivot. Ensuite la roue est bloquée par la clavette ce qui nous donne un appui plan. Le monteur (b) place d abord la clavette puis monte la roue, il a une glissière. En fin de course la roue aboutit sur un appui plan. Si l on décompose l assemblage (c), nous obtenons un pivot-glissant et deux appuis plans. 10

11 Figure 13 Trois schémas équivalents 1.9 Chaînes ouvertes ou fermées Notons pour terminer que la chaîne cinématique peut être fermée ou ouverte, selon que le dernier élément constitutif du mécanisme corresponde ou pas à son premier. Figure 14 Mécanisme à chaîne ouverte ou fermée Liaisons en série ou en parallèle Le mécanisme à gauche de la Figure 14 est à chaîne ouverte, les liaisons sont en série. Les liaisons en série «accroissent» le nombre de ddl. Le mécanisme à chaîne ouverte de la Figure 14 l illustre ou l exemple de la nacelle. Un autre exemple, un pivot et une glissière donnent un pivot glissant : 11

12 1 ddl + 1 ddl = 2 ddl Figure 15 Un pivot et une glissière donnent un pivot glissant = Les liaisons en parallèle «réduisent» le nombre de ddl et rigidifient le mécanisme. Le mécanisme à chaîne fermée de la Figure 14 l illustre. Ses liaisons sont en parallèles. 2 ANALYSE CINÉMATIQUE D UN MÉCANISME : LES COUPLES. La précédente définition d un mécanisme a fait apparaître une succession d organes assemblés par des liaisons. On appelle «couple» l ensemble de deux organes et d une liaison. Si nous examinons en détail le contact entre deux organes, nous pouvons en distinguer de trois types : ponctuel, linéaire et aréolaire. C est sur le type de contact que la classification suivante des couples est basée. 2.1 Couples inférieurs. Les couples inférieurs procèdent d un contact aréolaire. Ce type de contact ne peut exister que si les surfaces de contacts possèdent la propriété d être superposables en toutes leurs parties. Les couples inférieurs permettent la transmission d efforts plus importants. Il est possible de montrer qu en partant d un couple hélicoïdal et par dégénérescence d obtenir tous autres les couples. 2.2 Couples supérieurs. Les couples supérieurs procèdent d un contact ponctuel (celui d une bille sur un plan) ou linéaire (celui d un cylindre sur un plan). Le glissement que le couple inférieur engendre et qui provoque le frottement, est remplacé, grâce au couple supérieur, par du roulement. Un couple supérieur ne peut exister par lui-même, il faut assurer son maintien par soit : la clôture de la chaîne cinématique ; la clôture par action mécanique pour assurer le contact (ressort, ) ; la clôture par action mécanique pour assurer un mouvement. On rencontre ce type de couple dans les paliers à roulement, par exemple, ou encore au niveau du contact entre deux dents d un engrenage. Le contact étant ponctuel ou linéique, les contraintes sont très importantes. Un couple supérieur peut être transformé en plusieurs couples inférieurs de manière avantageuse du point de vue des contraintes internes aux matériaux, mais pas du frottement. Les contacts ponctuels et linéiques amènent des déformations des surfaces en contacts. Hertz a étudié ces phénomènes. Nous les approfondirons dans le chapitre sur les roulements à billes. 12

13 Figure 16 Équivalence entre un couple supérieur et deux couples inférieurs associés Le contact ponctuel (5 ddl) est transformé en deux couples inférieurs, une rotule (3 ddl) et un contact plan (3 ddl), = 6 ddl au total. La pièce I peut tourner autour d un axe vertical sans affecter le mouvement entre A et B nous avons affaire à un mouvement interne qui n a pas d influence sur l entrée et la sortie. Le ddl de l ensemble est bien 6-1 = 5. Le second montage avec des couples inférieurs permet la transmission d efforts beaucoup plus importants avec le même degré de liberté. 3 MÉCANISMES À COUPLES INFÉRIEURS. 3.1 Mécanismes plans Un mécanisme est dit plan s il est plan cinématiquement et d un point de vue des efforts, c est-à-dire que la trajectoire de tout point appartenant au système est située dans un plan parallèle à un même plan, les efforts régnant au sein du système sont tels que la résultante F est située dans le plan et le moment résultant M A en un point A est perpendiculaire à F. Un couple rotoïde (R) complet sera réalisé en pratique soit par le contact de surfaces de révolution (axe et palier ou moyeu), soit en formant deux surfaces de contact de révolution concentriques qui enserrent un coulisseau de forme appropriée. Dans ce dernier cas, la représentation dans le plan sera un coulisseau en arc de cercle, équivalent au point de vue cinématique à une barre articulée au centre du cercle, mais permettant de concrétiser certains cas limites où l articulation s éloigne à grande distance, rendant la barre trop encombrante ou trop lourde, sans parler des inconvénients de déformation. A la limite, lorsque l articulation tend vers l infini, la coulisse devient rectiligne. RR et PR Figure 17 Équivalence entre un couple rotoïde et un couple prismatique. Si la chaîne est ouverte, il ne peut s agir que du couple rotoïde (R) ou prismatique (P) seul. 13

14 Pour rappel dans l espace 2D, plan, il faut aussi redéfinir le calcul du degré de liberté du mécanisme en partant de l hypothèse que chaque corps n a que 3 ddl et que chaque articulation de type R ou P impose 2 contraintes indépendantes, ce qui conduit à N 1 2g 3.( N 1) 2 1 D 3. p Équation 5 Rappel : Calcul du nombre de degré de liberté d un mécanisme : mouvement plan. A) Systèmes à 1 ddl : le trois barres Si la chaîne est fermée et constituée d un seul cycle (cas le plus simple), il s agira du quadrilatère articulé dont un côté est fixé : c est le trois barres. Les anglo-saxons parlent de «four-bar mechanism». Exemple : direction d un véhicule avec a = c. On appellera bielle b la barre opposée au côté fixe et manivelle ou balancier les barres adjacentes, a et c, suivant qu elles peuvent ou non exécuter des rotations entières. RRRR Figure 18 Structure d un trois-barres. Le trois barre, dans sa configuration de base ci-dessus, remplit deux fonctions possibles : la matérialisation d une relation entre les angles d inclinaison des deux manivelles. On rencontre cette fonction pour la réalisation d une direction d un véhicule ; la génération de la trajectoire d un point de bielle. C est le cas généralement pour les presses mécaniques. Nous allons voir qu en changeant la nature des couples (RP), les dimensions relatives des organes, le nombre de trois barres combinées, on peut générer une multitude de mécanismes différents. Bielle-manivelle Si l articulation o du 3 barres tend vers l infini, d,c devient un couple prismatique. Ce mécanisme permet la transformation d un mouvement circulaire uniforme en un mouvement rectiligne alternatif. Une application connue est celle du moteur à explosion. 14

15 RRRP Figure 19 Bielle-manivelle. Excentrique à coulisse Dans le cas où les articulations o et A tendent vers l infini, deux couples prismatiques apparaissent. Ils produisent le même type de transformation de mouvement que le système bielle-manivelle mais les frottements y sont beaucoup plus importants. RRPP Figure 20 Excentrique à coulisse. Guidage elliptique Les articulations o et o tendent vers l infini. Le mouvement de translation du premier coulisseau va guider celui du second. On peut de plus démontrer que la trajectoire d un point quelconque de la bielle est une ellipse. PRPP Figure 21 Guidage elliptique. Coulisse oscillante Lorsqu une des articulations mobiles A ou A tend vers l infini, nous obtenons une coulisse oscillante. 15

16 RPRR Figure 22 Coulisse oscillante. En fonction du rapport oo /c, on distingue trois mécanismes différents : oo /c, le mouvement de la coulisse sera oscillant. De plus, le temps mis pour la course retour de la coulisse est inférieur au temps de la course aller. On parlera de mécanisme à retour rapide (voir les applications qui suivent. oo /c=1, le mouvement de la coulisse sera tournant à vitesse, moyennant une modification géométrique de la coulisse (coulisse en croix). oo /c 1, on obtient alors un mécanisme qui transforme un mouvement circulaire uniforme en un mouvement circulaire varié, oscillant autour de. Figure 23 Les trois types de coulisse oscillante. Levier à coulisse C est un cas particulier de coulisse oscillante où l articulation o tend vers l infini. RPRP Figure 24 Levier à coulisse. RPRP B) Systèmes à deux degrés de liberté On peut distinguer deux types de systèmes à deux ddl : 16

17 les systèmes obtenus en donnant à des systèmes à 1ddl, vus précédemment, un ddl de déplacement supplémentaire. Il suffit de prendre un nouvel organe de référence et une articulation de plus. les systèmes à 2 ddl à l origine, ils sont étudiés en fixant l un des éléments, généralement l organe de réglage. Le degré de liberté restant concerne le mouvement principal. Exemple : la pompe doseuse (voir applications suivantes). Cette décomposition permet d étudier plus aisément un mécanisme à 2ddl. 3.2 Mécanismes dans l espace. Ces mécanismes, outre les couples rotoïdes et prismatiques, seront constitués des autres couples inférieurs : hélicoïdal (1 ddl), cylindrique (2 ddl) et sphérique (3 ddl). Les applications sont nombreuses : vis mère de machine outils, joint de cardan, joint de Hooke, arbres cannelés, joint d Oldham...Pour la plupart, ils font partie de mécanismes de transmission en tant qu accouplements d arbre et feront l objet d une étude plus approfondie dans les chapitres correspondants. 4 MÉCANISMES À COUPLES SUPÉRIEURS. Les couples inférieurs seront utiles lorsqu il faudra transmettre des efforts importants. Puisqu ils sont basés sur un contact aréolaire, les pressions de contact seront réduites et resteront dans un domaine de valeurs admissibles. Cependant, pour la même raison, ils ont le défaut de conduire à des pertes importantes par frottement et de s user. L emploi de couples supérieurs, à contacts linéaires ou ponctuels, permet de réduire ce frottement en substituant le roulement au glissement. L utilisation de matériaux plus durs et la multiplication des contacts suffira à résoudre le problème de la pression de contact. Hertz a étudié les déformations et les pressions, cette théorie est présentée au chapitre des roulements. Ces mécanismes ont comme fonction principale le guidage (les cames), la liaison entre partie fixe et mobile (cf. Erreur! Source du renvoi introuvable. : Erreur! Source du renvoi introuvable.) et la transmission de puissance (engrenages). Ils feront l objet d une étude plus approfondie. Pour montrer l étendue des combinaisons possibles, la Figure 25 donne quelques exemples de mécanismes dans l espace, à couples inférieurs et/ou supérieurs. 17

18 Figure 25 Exemples de mécanismes dans l espace. 5 PARTICULARITÉS Via des applications, des particularités vous sont présentées. 5.1 Mouvements non indépendants : un étau Figure 26 Schémas d un étau et d un mécanisme impossible L étau a 1 ddl. Pourtant si nous prenons la relation dans le plan, D = = 0. Cette relation correspond à la seconde figure. Le mécanisme est immobile. Dans un étau les mouvements d A et B ne sont pas indépendants. Prenons le mécanisme en 3D. Tenons compte que d A et C uniquement : D = = 2, mais B fait perdre 1ddl à A, d où D = = 1. 18

19 5.2 Mouvement interne Soit le train d atterrissage d un avion. La rotation de la roue ne nous intéresse pas ici, seul le mécanisme d ouverture et fermeture est pris en compte (rotation de 4). Figure 27 Train d atterrissage Si vous faites le calcul de D en 3D vous obtenez D = 2, alors que le mouvement doit être unique. En effet la barre 3 a une rotation possible sur elle-même qui n influence pas le mouvement général. Le mouvement est dit «interne», comme l exemple du couple inférieur de la Figure 16. Pour être plus correcte la relation des ddl doit s écrire ainsi : D 6 ( N 1) 5 m1 [ p m (6 m)] Équation 6 mvts internes En 2D, toutes les liaisons ont 1 ddl est D est égal à Un engrenage Quel est le degré de liberté d un engrenage fixé sur un bâti? D =1. Mais quel est le degré de liberté au contact des dents des deux roues de l engrenage. Figure 28 Un engrenage sur son bâti N = 3 ; 2 liaisons rotoïdes à 1 ddl et celle entre les dents à x ddl. D = 3(N-1) 2g 1 (3-x)g x = 1 ; D = (3-x) = 1 ; x = 2 ddl! 19

20 5.4 Equivalence Certains couples supérieurs ont une équivalence avec un couple inférieur, au point de vue cinématique. Ce qui permet d en simplifier l étude. Cette équivalence n est qu instantanée. Exemples d application : cames et engrenages. Soit deux cames remplacées par un trois barres. Faites le calcul de D dans les cas. Figure 29 Deux cames en trois barres 6 APPLICATION DE SYNTHÈSE. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de résumer et appliquer l ensemble des notions exposées ci-avant, à l aide l exercice de synthèse représenté à la Figure 30. On y trouve le schéma cinématique du mécanisme ainsi que son étude cinématique. De quoi s agit-il? Le mécanisme représente celui d une presse à retour rapide. Il est constitué d un système de 4 barres, représentées en gras, pour lesquelles deux présentent un mouvement de rotation : ce sont les manivelles O 1A et O 2C. A ce système est reliée la barre BD terminée par un couple prismatique rectiligne. On peut imaginer facilement que les mouvements de rotation des manivelles vont imprimer au coulisseau un mouvement alternatif de translation, tel celui qu on rencontrerait dans une presse à emboutir, par exemple. Notons enfin qu il s agit bien d un mécanisme à mouvement plan. Quel est le degré de liberté de ce mécanisme? A la lumière de la précédente description, nous devons nous attendre à un système possédant un seul degré de liberté, correspondant à une position linéaire du coulisseau. Vérifions ceci à l aide de l Erreur! Source du renvoi introuvable. de la page Erreur! Signet non défini. : N : nombre total de corps = 8 (5 barres, 1 coulisseau, roue dentée O 3 et le bâti); g : nombre de liaisons = 11 (8 rotoïdes (Attention! B est double, en effet, on aurait pu fixer B de BD entre B et C), 1 prismatique et 2 engrènements). De par la roue O 3, les mouvements des deux manivelles ne sont pas indépendants. En effet, on peut voir sur le schéma la roue centrée en 0 3 créant un lien entre les deux roues dentées solidaires des manivelles. Nous obtenons bien 1ddl. 20

21 Figure 30 Théorie des mécanismes : application de synthèse. Pour réaliser l étude cinématique, on a subdivisé la rotation des manivelles en 12 temps, égaux puisque la vitesse de rotation est supposée constante. A chacun de ces temps correspond une configuration particulière du mécanisme, faisant apparaître la trajectoire du point B, et également celle du point D. Chacune est nécessaire : celle de B pour se rendre compte de l encombrement, par exemple, celle de D parce qu il s agit du coulisseau de travail. On comprend dès lors comment arriver à tracer les diagrammes des espaces et des vitesses. En subdivisant l abscisse du temps en douze mêmes intervalles, on reporte les différentes positions verticales du coulisseau sur l ordonnée du graphe, entre les extremums, 7 et 11. On constate que le système est idéalement conçu puisqu il présente une minimisation du temps de montée, temps improductif, tandis que la descente et le travail se réalisent à vitesse constante et modérée. L étape suivante serait de déterminer le diagramme des accélérations pour pouvoir intégrer les forces d inerties dans une étude dynamique, déterminer les autres efforts en présence et poursuivre le dimensionnement des organes. 7 EXERCICES. A l analyse des mécanismes suivants : recherchez le type de mouvement et la fonction du mécanisme; identifiez les types de couples et de mécanismes parmi ceux exposés précédemment, (remarquez que les coulisseaux ne sont pas toujours représentés); quel est le nombre de degré de liberté attendu? Calculez-le. 21

22 Mouvement d étau limeur 22

23 Figure 31 Pompe doseuse Exemples 23