CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur. Cinématique

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1 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétences visées: B2-06, B2-08, C2-10, C2-11 v1.0 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles Contenu : TD 1 Chaise d escalier TD 2 Lecteur DVD TD 3 Centrifugeuse de laboratoire TD 4 Transfert - Limiteur de vitesse TD 6 Aérogénérateur TD 6 Centrifugeuse humaine Latécoère TD 7 Robot ABB IRB580 TD 8 Transfert - Scie sauteuse TD 9 Véhicule auto-balancé de type Segway Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 1

2 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétence visée: B2-06 v1.0 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles Équations du mouvement Chaise d escalier type Derby 1 Présentation L entreprise Derby-Sopal commercialise un dispositif permettant aux personnes âgées ou handicapées de retrouver l usage de l escalier par une solution fiable et facile d installation quelle que soit la configuration de l escalier, tournant ou droit. Cet appareil est, de plus, adaptable à un handicap particulier. L originalité de ce dispositif est en outre sa position repliée qui conserve à l escalier sa fonction traditionnelle. Ici nous étudierons le dispositif le plus simple pour escalier droit, dont un schéma d installation est donné en figure 2. La chaise 1 peut monter et descendre le long du rail 2 fixé à l escalier en prenant appui sur la chaîne 3 solidaire du rail. Des boutons d appel 4 et 5 permettent d amener en position haute ou basse le dispositif indépendamment des commandes propres sur l accoudoir. Nous étudierons uniquement la partie opérative, la partie commande étant rendue complexe par un nombre important de sécurités. Problématique On souhaite déterminer les équations de mouvements. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 2

3 CPGE TSI1 - S2I Chaise d escalier type Derby TD 2 Travail demandé Au cours de cette étude nous chercherons à déterminer les caractéristiques cinématiques : vitesses et accélérations au cours du mouvement de montée. Ces caractéristiques seront ensuite utilisées en dynamique et en résistance des matériaux afin de vérifier les dimensions de la chaîne. Les résultats d essais font apparaître les caractéristiques suivantes, ramenées au centre de gravité de l ensemble au mouvement. v(m.s 1 ) 0, 2 t 1 29, 8 30 t(s) L escalier atteint la vitesse de 0, 2 m.s 1 en l espace de 10 cm. Il évolue ensuite à vitesse constante jusqu à 29, 8 s, puis s arrête en 0, 2 s. L accélération et la décélération sont supposés constantes. Question 1 Écrire les équations de la phase 1. Question 2 En déduire le temps t 1. Question 3 Écrire les équations des phases 2 et 3. Question 4 Question 5 Déterminer la distance totale parcourue. Réaliser les graphes d accélération, de vitesse et de position. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 2 / 2 D après: A. MEURDEFROID - A. CHABERT - TSI - Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison

4 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétence visée: B2-06 v1.0 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles Équations du mouvement Lecteur DVD 1 Présentation L étude suivante portera sur un lecteur de DVD d ordinateur. Le mécanisme de sortie de la trappe du lecteur de DVD est alimenté par un moteur 12 V, qui par un ensemble cinématique, permet la translation rectiligne du tiroir par rapport à la carcasse. Problématique On souhaite connaître la tension nominale à imposer au moteur lors d une commande échelon afin d ouvrir le tiroir. Données La course du tiroir vaut : c = 130 mm La loi de vitesse vous est donnée sur le graphe ci-dessous. v(mm.s 1 ) V s T a = 0, 2 T f = 1, 6 t(s) Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 2

5 CPGE TSI1 - S2I Lecteur DVD TD 2 Travail demandé Question 1 Question 2 Question 3 Rappeler la définition d un mouvement de translation ; ainsi que ses propriétés. Préciser les différentes phases du mouvement du tiroir par rapport au bâti. Écrire les équations génériques du mouvement. Question 4 Exprimer a 1 et x 1 en fonction de V s et T a. (a 1 = accélération de la phase 1 ; x 1 = condition initiale liée à la phase 2) Question 5 Déterminer numériquement V s et a 1. Question 6 Compléter les graphes d accélération et de position suivant : a(mm.s 2 ) T a = 0, 2 T f = 1, 6 t(s) x(mm) T a = 0, 2 T f = 1, 6 t(s) Le moteur est commandé de la manière suivante : 1 V équivalent 10 mm.s 1 (calcul cinématique non demandé). Question 7 Déterminer la valeur de l échelon en tension nécessaire au bon fonctionnement. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 2 / 2

6 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétences visées: B2-06, C2-10, C2-11 v1.1 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles Cinématique du solide Centrifugeuse de laboratoire 1 Présentation Cette centrifugeuse est composée d un bâti 1 auquel est lié le repère R (O 1, x 1, y 1, z 0,1 ), d un rotor 2 R 2 (O 2, x 2, y 2, z 1,2 ), et d une éprouvette 3 R 3 (O 3, x 3, y 2,3, z 3 ) contenant deux liquides de densité différente. Sous l effet centrifuge, dû à la rotation du rotor 2 autour de (0 1, z 1 ), l éprouvette 3 s incline progressivement. Le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejeté vers le fond de l éprouvette, ce qui réalise la séparation des deux liquides. Les solides 2 et 1 sont en liaison pivot d axe ( 0 1, ) ( z 1,2. Les solides 2 et 3 sont en liaison pivot d axe O3, ) y2,3. Posons : O 1 O 2 = h. z 1, O 2 O 3 = R. x 2, O 3 A 3 = l. x 3, α = ( x 1, x 2 ) = ω.t et β = ( x 2, x 3 ) A 3 est la zone de séparation des liquide dans l éprouvette. R, h et l sont des distances en mètres. Problématique Déterminer l accélération du point de séparation de l éprouvette en vue d une étude dynamique. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 2

7 CPGE TSI1 - S2I Centrifugeuse de laboratoire TD Caractéristiques techniques Caractéristique Valeur Réf. HET-1004 Ventilée Oui Réfrigérée Non Vitesse de rotation (tr/min) Accélération max g Volume max. (avec rotor angulaire) 6 50 ml A poser sur Paillasse Alimentation /50 60 Hz Dimensions (L H P ) mm Poids (kg) 6 2 Travail demandé Question 1 Réaliser les figures planes illustrant les deux paramètres d orientation α et β. Question 2 Écrire le vecteur position O 1 A 3. Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Écrire les vecteurs taux de rotation associés aux repères mobiles. Déterminer V (A3 /R 1 ). Même question par application de la dérivation vectorielle. Déterminer V (O3 /R 1 ) par application de la relation du champ des vecteurs vitesse. Question 7 Écrire les torseurs cinématiques en O 2 et O 3 entre 2 et 1. Question 8 Question 9 Question 10 Écrire la composition des vitesses en O 3 entre les solides 3, 2 et 1. Conclure. Écrire la composition des vecteurs rotation. Déterminer Γ (A3 /R 1 ) Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 2 / 2

8 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétences visées: C2-10, C2-11 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles v1.0 TD transfert: Cinématique du solide Limiteur de vitesse 1 Présentation Soit une masse 2 dans une goulotte 1 entraînée en rotation autour de (O, z ) par rapport au bâti 0. La masse 2 est attirée au fond de goulotte par un ressort mais sous les effets dynamique, elle a tendance à sortir de la goulotte. Lorsque la vitesse de rotation de la goulotte est trop importante, la masse vient toucher un contact fixe dans 0 ce qui déclenche une perte de vitesse. Le système se comporte donc comme un «limiteur de vitesse». On pose les paramètres suivant : Position de 1/0 définie par θ tel que Ω (1/0) = θ. z. Position de la masse dans la goulotte : OM = ρ. x 1 avec ρ paramètre variable. Problématique On souhaite effectuer une analyse dynamique du système pour tarer le ressort, pour cela, il est nécessaire de déterminer quelques paramètres du mouvement. 2 Travail demandé Question 1 En vue du tarage du ressort par une analyse dynamique, calculer les vecteurs vitesse et accélération du centre M de la masse par rapport au bâti 0. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 1

9 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétences visées: B2-06, B2-08, C2-10, C2-11 v1.2 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles Cinématique du solide Aérogénérateur 1 Présentation La figure 1 représente le corps S 0 d un aérogénérateur à hélice bipale muni d un empennage lui permettant de s orienter dans le «lit» du vent. Figure 1 Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 2

10 CPGE TSI1 - S2I Aérogénérateur TD Paramétrage Soit R 0 (O, x 0, y 0, z 0 ) un repère lié au corps S 0. Le rotor S 1 entraîne un alternateur électrique situé dans le corps S 0 et a une liaison pivot d axe (O, y 0 ) avec celui-ci. Soit R 1 (O, x 1, y 0, z 1 ) un repère lié à S 1. On pose : θ = ( z 0, z 1 ), avec θ = ω.t et ω = 120 rad.s 1. Par fort vent un dispositif de mise en drapeau permet aux pales de l hélice de pivoter autour de l axe (O, x 1 ). Soit R 2 (O, x 1, y 2, z 2 ) un repère lié à la pale S2 tel que l axe (O, z 2 ) soit dirigé suivant la droite de référence (AB) de la pale. On pose β = ( z 1, z 2 ). En fonctionnement normal l angle de calage β = 20. Soit G, le centre d inertie de la pale S 2, tel que : OG = a. x1 + c z 2 avec a = 160 mm et c = 13 mm. Problématique On souhaite vérifier l équilibrage dynamique du système (problèmes de vibrations dans le système). Pour cela, un objectif intermédiaire consiste à obtenir les caractéristiques cinématiques du centre d inertie G par rapport à R 0, et particulièrement l accélération. 2 Travail demandé Question 1 base. Construire le schéma cinématique de l aérogénérateur et les figures de changement de Question 2 Déterminer la norme du vecteur vitesse V (G/R0 ) l angle β reste égal à 20. Question 3 En déduire le torseur cinématique de S2/S0 au point G. Question 4 de trois manières différentes lorsque Déterminer la norme du vecteur accélération Γ (G/R0 ) lorsque l angle β reste égal à 20. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 2 / 2

11 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétences visées: B2-06, C2-10, C2-11 v1.0 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles Cinématique du solide Centrifugeuse humaine Latécoère Présentation 1.1 Principe de la centrifugeuse Les performances des avions de combat modernes permettent d atteindre des niveaux d accélération très élevés, qui peuvent conduire à la perte de conscience du pilote. Pour améliorer la résistance humaine aux fortes accélérations, la centrifugeuse constitue un moyen d essai indispensable pour la recherche médicale afin d étudier l effet des fortes accélérations (10 g) sur le corps humain et de développer de nouveaux systèmes (combinaison anti-g, commande vocale, son 3D...). Elles sont utilisées d autre part pour l entraînement des pilotes afin d augmenter par des exercices de contraction musculaire et de respiration leur tolérance aux fortes accélérations. La société Latécoère développe et réalise ce type d équipement depuis les années 50 ; la première centrifugeuse à 2 corps avec axe de roulis passif a évolué vers une centrifugeuse à 3 corps avec axes de roulis et tangage asservis commandés par moteurs hydrauliques, l ensemble ayant une puissance d un Mégawatt. 1.2 Objet de l étude L étude proposée ici s articule autour d une présentation du moyen d essai le plus récent, la centrifugeuse du Centre d Essais en Vol de Brétigny/Orge (Fig. 1, 2, 3). Problématique Il faut valider l utilisation de cette centrifugeuse pour simuler les accélérations effectivement subies par le pilote dans son avion. Pour cela, il faudra effectuer une étude cinématique. de la centrifugeuse. Figure 1 Centrifugeuse Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 4

12 CPGE TSI1 - S2I Centrifugeuse humaine Latécoère TD Figure 2 Schéma d architecture Figure 3 Système d alimentation en énergie Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 2 / 4

13 CPGE TSI1 - S2I Centrifugeuse humaine Latécoère TD 1.3 Paramétrage Figure 4 Schéma cinématique Figure 5 Position du pilote dans la nacelle On paramètre la centrifugeuse de la façon suivante (Fig. 4 et 5) : bras 1 en liaison pivot d axe (O, z 0 ) avec le bâti 0 (ψ), anneau 2 en liaison pivot d axe (I, x 1 ) avec le bras 1 (θ), nacelle 3 en liaison pivot d axe (I, y 2 ) avec l anneau 2 (ϕ). Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 3 / 4

14 CPGE TSI1 - S2I Centrifugeuse humaine Latécoère TD 2 Travail demandé 2.1 Compléments au paramétrage Question 1 Tracer les figures planes de changement de base associées aux angles ψ, θ et ϕ. Préciser les vecteurs rotation associés. En déduire Ω (3/0). 2.2 Calcul de l accélération «ressentie» par le pilote C est l accélération ressentie au niveau de la tête du pilote qui est le paramètre important pour l étude des phénomènes physiologiques. Pour simplifier les lois de commande de la centrifugeuse, on installe donc le siège pilote dans la nacelle de telle façon que le point I, centre de la tête du pilote se trouve aligné sur les axes de rotation des deux liaisons pivot bras 1/anneau 2 et anneau 2/nacelle 3. Ainsi : IO = R. y 1. Question 2 Calculer le vecteur vitesse V (I,3/0) du point I, centre de la tête du pilote par rapport au repère R 0. Donner son expression dans la base b 1. Question 3 base de b 1. Calculer le vecteur accélération Γ (I,3/0) et donner son expression en projection dans la Soit G = g Γ (I,3/0) le vecteur qui représente le nombre de «g» qui s applique sur le pilote en I au cours de l exercice. L accélération de la pesanteur est telle que : g = g. z 0. Question 4 Projeter le vecteur G dans la base du repère R 3 liée à la nacelle. Les 3 composantes obtenues représentent : l accélération longitudinale G x ressentie par le pilote, dans les phases de freinage ou d accélération de l avion par exemple ; l accélération latérale G y, qui doit rester la plus faible possible car une accélération latérale de quelques g peut être mortelle ; l accélération verticale G z, pratiquement égale à l accélération résultante. C est à partir de cette composante, donnée dans les profils d accélération d entraînement des pilotes, que l on commande la vitesse de rotation du bras. 2.3 Recherche des Lois du Mouvement Afin de permettre l asservissement du système, on souhaite déterminer les lois du mouvement permettant de reproduire les situations où les composantes d accélération longitudinale et latérale sont nulles. Question 5 Calculer en fonction de R, g et ψ l inclinaison θ de l anneau pour que l accélération latérale G y «ressentie» par le pilote sur l axe y 3 reste nulle. Question 6 En déduire la condition sur l angle ϕ pour générer une composante G x nulle, accélération «ressentie» par le pilote suivant l axe x 3, en fonction de R, g, ψ et ψ. On suppose maintenant que G y est nulle. Donner la nouvelle valeur de cette condition. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 4 / 4

15 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétences visées: B2-06, C2-10, C2-11 v1.2 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles Cinématique du solide Robot ABB IRB580 1 Présentation L IRB 580 de chez ABB est un robot de peinture extrêmement flexible, économique et précis utilisé notamment dans l industrie automobile pour réaliser la peinture de pièces de tôlerie avec une cadence élevée. Cette exigence de productivité et de répétabilité (±0, 3 mm pour un robot de masse 630 kg et avec un ensemble pistolet de 10 kg en bout) entraîne des contraintes dynamiques importantes au niveau du pistolet de peinture qui nécessitent un dimensionnement rigoureux. Figure 1 Vue réelle et modèle numérique pour analyse dynamique sous modeleur CATIA Problématique On se propose en vue de l étude dynamique, de calculer les vitesses et accélération en bout de bras (on ne tient pas compte des poignets articulés qui soutiennent le pistolet en bout de robot). 2 Paramétrage On considère les solides suivants supposés indéformables : le socle 0, la base tournante 1, l avantbras 2 et le bras 3. La figure 2 donne le schéma cinématique du système retenu ainsi que le paramétrage. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 3

16 CPGE TSI1 - S2I Robot ABB IRB580 TD Figure 2 Paramétrage Soit R 0 (O, x 0, y 0, z 0 ) le repère de référence lié au socle 0 tel que z 0 soit dirigé suivant la verticale ascendante. Soit R 1 (O, x 1, y 1, z 01 ) le repère de référence lié à la base tournante 1 en liaison pivot par rapport au socle 0 autour de l axe (O, z 01 ). On pose α = ( x 0, x 1 ) = ( y 0, y 1 ) l angle de rotation entre 0 et 1. Soit R 2 (O, x 2, y 12, z 2 ) le repère de référence lié à l avant-bras 2 en liaison pivot par rapport à la base tournante 1 autour de l axe (O, y 12 ). On pose β = ( x 1, x 2 ) = ( z 01, z 2 ) l angle de rotation entre 1 et 2. Soit R 3 (O, x 3, y 23, z 3 ) le repère de référence lié au bras 3 en liaison pivot par rapport à l avantbras 2 autour de l axe (A, y 23 ). On pose ψ = ( x 2, x 3 ) = ( z 2, z 3 ) l angle de rotation entre 2 et 3. L avant-bras 2 est tel que OA = a x2 et le bras 3 tel que AG = b x3 où G est le centre de positionnement du pistolet de peinture. 3 Travail demandé Question 1 Construire les figures de changement de base Question 2 Déterminer les vecteurs vitesse angulaire Ω (1/0), Ω (2/1) et Ω (3/2) en projection sur la base b 2 ( x 2, y 2, z 2 ). En déduire Ω (2/0). Question 3 Que dire du vecteur vitesse V (O,2/0) et du vecteur accélération Γ (O,2/0)? Justifier. Question 4 Déterminer le vecteur vitesse V (A,2/0) en projection sur la base b 2 ( x 2, y 2, z 2 ). On utilisera la relation du champ des vecteurs vitesse en passant par O. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 2 / 3

17 CPGE TSI1 - S2I Robot ABB IRB580 TD Question 5 Déterminer le vecteur vitesse V (G,2/0) en projection sur la base b 2 ( x 2, y 2, z 2 ). Question 6 Déterminer le vecteur vitesse V (G,3/2) la base b 2 ( x 2, y 2, z 2 ). en projection sur la base b 3 ( x 3, y 3, z 3 ) puis sur Question 7 Écrire la relation de champ des accélérations permettant de calculer le vecteur accélération Γ (A,2/0). Ne pas développer les calculs. Question 8 Déterminer le vecteur accélération Γ (G,3/2) en projection sur la base b 3 ( x 3, y 3, z 3 ) puis sur la base b 2 ( x 2, y 2, z 2 ). Après quelques calculs - dont vous êtes malheureusement dispensés - on obtient le résultat suivant : Γ (G,3/2) + Γ (G,2/0) = [a cos β + b cos (β + ψ)] α 2 cos β (a + b cos ψ) β [( ) 2 b β + ψ [a cos β + b cos (β + ψ)] α 2 [a sin β + b sin (β + ψ)] α β [a cos β + b cos (β + ψ)] α 2 sin β (a + b cos ψ) β + b sin ψ + ψ ] 2 cos ψ [( β2 + ψ 2 ) sin ψ ψ cos ψ ] b 2 Question 9 Déterminer à partir de ce résultat le vecteur accélération Γ (G,3/0) en projection sur la base b 2 ( x 2, y 2, z 2 ) par application de la relation de composition des vecteurs accélération. On souhaite maintenant peindre une portière située à une distance L, inférieure à a + b, suivant l axe x 0 et à une distance nulle suivant y 0. L objectif est de déterminer les lois de commande en position des moteurs actionnant le robot. Question 10 Donner les deux équations scalaires traduisant la trajectoire imposée au point G. En déduire une condition sur α et une équation reliant les paramètres a, b, L, β et ψ. Question 11 Selon la valeur de β + ψ, exprimer ψ par deux expressions différentes. Question 12 Représenter le mécanisme dans la position dans laquelle β (β < 0) est maximale. Exprimer cet angle β max en fonction des paramètres. Question 13 Déterminer l amplitude du pistolet. Il est conseillé de représenter le mécanisme dans les positions extrêmes. Question 14 Donner l allure de la courbe reliant la hauteur du point G (composante suivant z 0 ) par les deux relations de l angle ψ. Conclure. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 3 / 3

18 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétences visées: B2-06, C2-10 v1.0 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles TD Transfert: Cinématique du solide Scie sauteuse 1 Présentation Le système de transformation dans ce type de scie sauteuse est un système par came à excentrique. Réel : scie sauteuse = modélisation Modèle cinématique associé Que constate-t-on? Où est le problème? Le point I peut être défini de plusieurs façons différentes. 2 Travail demandé Question 1 Question 2 Question 3 Construire les figures de changement de base Exprimer le vecteur vitesse de glissement en utilisant la composition des mouvements. Calculer ce vecteur vitesse de glissement. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 1

19 CPGE TSI - Sciences de l Ingénieur TSI1 Cinématique TD Réf. Programme: S411 - Solide indéformable, lois de mouvement Compétences visées: B2-06, B2-07, C2-10, C2-11 Lycée Richelieu 64, rue Georges Sand Rueil-Malmaison - Académie de Versailles v1.1 Cinématique du solide Véhicule auto-balancé de type Segway 1 Présentation Le support de l étude est le véhicule auto-balancé Segway (Figure 1) moyen de transport motorisé pour la ville. En termes de prestations, il est moins rapide qu une voiture ou qu un scooter, mais plus maniable, plus écologique, moins encombrant et nettement plus moderne! La conduite du Segway se fait par inclinaison du corps vers l avant ou vers l arrière, afin d accélérer ou freiner le mouvement (comme pour la marche à pied dans laquelle le piéton s incline vers l avant pour débuter le mouvement). Les virages à droite et à gauche sont quant à eux commandés par la rotation de la poignée directionnelle située sur la droite du guidon. Figure 1 Illustration Segway La spécificité de ce véhicule est d avoir deux roues qui ont le même axe de rotation, avec son centre de gravité situé au-dessus de l axe commun des roues, si bien qu on se demande comment rester à l équilibre une fois monté sur la plateforme. Tout comme le cerveau permet à l individu de tenir debout sans tomber grâce à l oreille interne, le système comporte un dispositif d asservissement d inclinaison maintenant la plate-forme du véhicule à l horizontale ou encore la barre d appui, supposée orthogonale à cette plate-forme, à la verticale. Le Segway comporte à cet effet des capteurs et des microprocesseurs commandant les deux moteurs électriques équipant les deux roues. Structurellement, le véhicule est composé de (voir figure 2) : d un chariot (châssis + 2 roues uniquement), transportant le conducteur, de deux moto-réducteurs entraînant les roues (un par roue), d un ensemble constitué d un gyromètre et d un pendule délivrant une information sur l angle d inclinaison du châssis par rapport à la verticale et sur sa dérivée, d un calculateur élaborant, à partir des informations issues des capteurs, les consignes de commande des groupes moto-réducteurs, de batteries fournissant l énergie aux divers composants. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 1 / 5

20 CPGE TSI1 - S2I Véhicule auto-balancé de type Segway TD Figure 2 Eléments constituant le Segway 2 Paramétrage On considère les solides suivants supposés indéformables : la route 0 ; le châssis du chariot 2 ; la roue droite R D ; la roue gauche R G ; le conducteur 4. Figure 3 Paramétrage global (Sur la figure de droite, on considère β = 0). Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 2 / 5

21 CPGE TSI1 - S2I Véhicule auto-balancé de type Segway TD La figure 3 illustre le paramétrage décrit ci-après : Soit R 0 (O, x 0, y 0, z 0 ) le repère de référence lié à la route 0 tel que z 0 verticale ascendante. soit dirigé suivant la Le châssis du chariot 2 est orienté par rapport à la route 0 par l intermédiaire de deux repères : Le repère R 1 (O, x 1, y 1, z 01 ) en rotation par rapport à R 0 autour de z 01 tel que x 1 soit colinéaire à l axe commun des roues de centres de gravité respectifs O D et O G. A se trouve au milieu de cet axe tel que O D O G = L x 1 et O D A = L x 1 = AO G. On pose ϕ = ( x 0, x 1 ) = 2 ( y 0, y 1 ) l angle de virage ; Le repère R 2 (A, x 12, y 2, z 2 ) lié à 2 en rotation autour de (A, x 12 ) par rapport à R 1 tel que z2 soit parallèle à la barre d appui du chariot. On pose ψ = ( y 1, y 2 ) = ( z 1, z 2 ) l angle d inclinaison du châssis par rapport à la verticale. La régulation consiste à maintenir cet angle nul. Le conducteur 4 est orienté par rapport au châssis 2 par l intermédiaire de deux repères : le repère R 3 (A, x 23, y 3, z 3 ) en rotation par rapport à R 2 autour de (A, x 23 ). On pose α = ( y 2, y 3 ) = ( z 2, z 3 ) l angle d inclinaison arrière-avant du conducteur ; le repère R 4 (O, x 4, y 34, z 4 ) lié à 4 en rotation autour de (A, y 34 ) par rapport à R 3 tel que (A, z 4 ) passe par le centre de gravité G du conducteur 4. On pose β = ( x 3, x 4 ) = ( z 3, z 4 ) l angle d inclinaison droite-gauche du conducteur et AG = h. z4 avec h constante positive. La roue droite R D associée à un repère R D (O D, x 12, y D, z D ) est en liaison pivot d axe (O D, x 12 ) par rapport au châssis 2. On pose θ D = ( y 2, y D ) = ( z 2, z D ) l angle de rotation de la roue droite par rapport au châssis 2. On note I D le point de contact de la roue droite avec la route tel que O D I D = R. z 01 avec R rayon des roues, constante positive. On suppose qu il y a roulement sans glissement de la roue droite sur la route en I D. La roue gauche R G associée à un repère R G (O G, x 12, y G, z G ) est en liaison pivot d axe (O G, x 12 ) par rapport au châssis 2. On pose θ G = ( y 2, y G ) = ( z 2, z G ) l angle de rotation de la roue droite par rapport au châssis 2. On note I G le point de contact de la roue gauche avec la route tel que O G I G = R. z 01 avec R rayon des roues, constante positive. On suppose qu il y a roulement sans glissement de la roue droite sur la route en I G. Enfin, on pose pour la vitesse du chariot : V (A,2/0) = U(t). x 1 + V (t). y 1. Problématique Quels sont les éléments cinématiques nécessaires pour vérifier le non-dérapage des roues en virage, les performances de vitesse et d accélération? Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 3 / 5

22 CPGE TSI1 - S2I Véhicule auto-balancé de type Segway TD 3 Travail demandé Paramétrage Question 1 Établir les schémas de passage entre bases (6 figures). Étude du comportement des roues au sol Question 2 base de R 1. Question 3 Déterminer les vecteurs vitesse de rotation Ω (1/0), Ω (2/0), Ω (RD /2) et Ω (RG /2) dans la Que dire des vecteurs vitesse V (ID,R D /0) et V (IG,R G /0)? Justifier pourquoi. Question 4 V (ID,R D /0). Écrire la relation de composition des vitesses avec le châssis 2 pour le vecteur vitesse Question 5 Déterminer le vecteur vitesse V (ID,2/0) par le champ des vitesses de 2/0 entre A et I D dans la base de R 1. Question 6 Déterminer le vecteur vitesse V (ID,R D /2) par le champ des vitesses de R D /2 entre O D et I D dans la base de R 1. Question 7 En déduire l expression de V (ID,R D /0) dans la base de R 1 puis au regard de la question 3, écrire les équations algébriques traduisant le comportement de la roue droite sur la route. Question 8 Reprendre librement mais par similitude l étude des questions 4 à 7 pour la roue gauche dans le but d écrire les équations algébriques traduisant le comportement de la roue gauche sur la route. En déduire une relation de comportement reliant les paramètres θ D, θ G et ϕ aux dimensions R et L. Détermination de la vitesse et de l inclinaison du conducteur en virage en fonctionnement régulé Dans cette partie, on considèrera les hypothèses suivantes : Dans cette partie, où le véhicule évolue en virage en marche avant, on suppose que l asservissement d inclinaison est parfaitement réalisé c est à dire que ϕ = cste = 0. De plus, le conducteur est supposé parallèle à la barre d appui soit α = cste = 0 et uniquement incliné d un angle β constant vers l intérieur du virage. Cela impose une composante V (t) constante négative en marche avant. U(t) est quant à lui nul au regard des équations algébriques déterminées précédemment. Enfin, on considère que le virage est pris à vitesse angulaire ϕ constante positive. Question 9 R 1. Déterminer le vecteur rotation Ω (4/0) puis le vecteur vitesse V (G,4/0) dans la base de Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 4 / 5

23 CPGE TSI1 - S2I Véhicule auto-balancé de type Segway TD L accélération ressentie par le conducteur est G = g Γ (G,4/0) où g = g. z 01 est l accélération de la pesanteur. Question 10 Calculer le vecteur G = g Γ (G,4/0) dans la base de R 1. La position naturelle d un individu en virage (cas de la bicyclette, des rollers,...) est de s incliner vers l intérieur du virage. L application du principe de la dynamique au conducteur montre alors que cette condition est équivalente à G = g Γ (G,4/0) colinéaire à z 4. Question 11 Projeter le vecteur G = g Γ (G,4/0) dans la base de R 4. En déduire la ou les équations traduisant la nullité des composantes de G = g Γ (G,4/0) suivant x 4 et y 4. On considère les conditions suivantes de fonctionnement : ϕ = 0, 8 rad.s 1, h = 0, 95 m, g = 9, 81 m.s 2 et V = 10 km/h (soit un rayon de virage de 3, 5 m). En place d une résolution analytique, on donne ci-dessous les courbes des projections de G = g Γ (G,4/0) suivant x 4 et y 4. G. x4 en m.s 2 G. z4 en m.s 2 angle β (degrés) angle β (degrés) Question 12 Déterminer graphiquement sur les courbes l angle β du conducteur dans les conditions énoncées. Justifier. En déduire la valeur numérique G. z 4 de l accélération ressentie par le conducteur suivant z 4. Conclure. Lycée Richelieu - Rueil-Malmaison Page 5 / 5