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3 1. INTRODUCTION La capacité portante d une fondation superficielle est une fonction des propriétés mécaniques des sols supports (cohésion et de angle de friction) et des caractéristiques géométriques de la fondation (largeur B et forme). Dans ce didacticiel, on traite l exemple d une fondation superficielle circulaire de largeur B = 1m reposant sur un massif homogène de sol non drainé. CESAR-LCPC v5 aide au dimensionnement de la fondation en recherchant l équilibre limite du système Objectifs du didacticiel - Maîtrise du maillage. - Prise en main des outils d analyse des coefficients de sécurité. - Maîtrise des procédures incrémentales-itératives de résolution des systèmes non linéaires. - Maîtrise des outils d'analyse Description du problème Hypothèses générales : - Problème analysable en axisymétrie, - Analyse statique, - Comportement non linéaire du sol. Loi de comportement plastique de Tresca (cohésion non drainée c u ). Pression uniforme 1m Pression uniforme 0,5 Ce modèle 3D est équivalent à ce modèle axisymétrique. Propriétés des matériaux h (kn/m 3 ) E u (MPa) c u (kpa) Sol , ,5 u ( ) K 0

4 1.3. Solution analytique L article Undrained bearing capacity factors for conical footings on clay, G. T. Houlsby and C. M. Martin, Géotechnique 53, No. 5, , 2003, donne la portance ultime du problème de fondation étudié : p 5.69c u kpa Ce résultat correspond à une semelle rigide circulaire avec glissement parfait en sous-face. La solution est obtenue par la méthode numérique des caractéristiques. Le sol est supposé suivre une loi élastoplastique parfaite de type Tresca. 2. ENTREE DES DONNEES POUR ANALYSE DU FACTEUR DE SECURITE 2.1. Réglages initiaux 1. Lancer CLEO2D. 2. Définir les unités dans le menu Préférences > Unités. - Dans l arborescence, sélectionner Général/Longueur et définir m dans la case en bas à droite. - Dans l arborescence, sélectionner Mécanique/Force et définir kn dans la case en bas à droite. - Dans l arborescence, sélectionner Mécanique/Déplacement et définir mm dans la case en bas à droite. 3. Cliquer Valider pour fermer. Utiliser «Sauver par défaut» pour définir ce système d unité comme l environnement utilisateur Maillage 2D Un nouveau projet commence toujours par l étape de définition de la géométrie, Géométrie. Les limites du modèle sont liées à la taille de la fondation. Pour une fondation superficielle, il est recommandé de placer les frontières à 6xB en largeur et 10xB en profondeur pour s affranchir des effets de bord. Tracé des contours : 1. Cliquer. La boîte de définition des Points s affiche. 2. Entrer 0, 0 en X ety, puis Appliquer. 3. Cocher Points liés pour générer les segments reliant les points consécutivement créés. 4. Entrer 0,5 ; 0 en X ety, puis Appliquer. Le segment A est créé. 5. Entrer 6 ; 0 en X ety, puis Appliquer. Le segment B est créé. 6. Entrer 6 ; -10 en X ety, puis Appliquer. Le segment C est créé. 7. Entrer 0 ; -10 en X ety, puis Appliquer. Le segment D est créé. 8. Entrer 0 ; 0 en X ety, puis Valider. Le segment E est créé. Le massif de sol est tracé.

5 Définition de la densité de maillage : Il faut définir une densité important dans les zones de forts gradients de contraintes, c est-à-dire sous la fonction dans notre cas. On définit une densité progressive pour générer un maillage progressif de petits éléments vers des éléments plus larges, notamment aux limites du modèle. 1. Aller à l étape sur la barre de progression du projet pour établir les divisions sur les segments. 2. Sélectionner le contour A. Cliquer Découpage par nombre pour diviser le contour en un nombre défini de segments. Entrer le nombre de divisions, 5. Valider. 3. Cliquer Découpage variable pour diviser les segments avec une longueur variable. Cocher Premier intervalle et Dernier intervalle pour définir la méthode. Entrer 0,1 m comme Premier intervalle et 1 m comme Dernier intervalle. Cliquer le segment B. Fermer. La position du clic détermine l emplacement du découpage initial. 4. Sélectionner le contour C. Cliquer Découpage par longueur pour diviser le contour en segments de longueur fixée. Entrer 1 m dans la boîte de dialogue. Valider. L algorithme du logiciel va ajuster les longueurs pour s approcher au mieux de la longueur renseignée. 5. Sélectionner le contour D. Cliquer Découpage par longueur. Entrer 1 m dans la boîte de dialogue. Valider. 6. Cliquer Découpage variable pour diviser les segments avec une longueur variable. Cocher Premier intervalle et Dernier intervalle pour définir la méthode. Entrer 0,1 m comme Premier intervalle et 1 m comme Dernier intervalle. Cliquer le segment E. 7. Fermer. Maillage surfacique : 1. Aller à l étape Maillage. 2. Sélectionner la surface correspondant au Sol. 3. Cliquer. - Choisir Interpolation quadratique comme type d interpolation. - Choisir Triangle comme type d élément. - Cliquer Valider pour générer le maillage. CESAR-LCPC propose 3 niveaux pour la procédure de maillage surfacique, donnant la possibilité de générer une progression de maillage de lâche à dense. Ajuster ce choix dans Préférences>Options programme : interpolation linéaire = lâche, interpolation cubique = dense.

6 A B E C D Figure 1: Géométrie Figure 2: Exemple de maillage Définition des groupes : Cette étape est facultative, mais elle aide à la reconnaissance des groupes d éléments. 1. Cliquer Définition de groupes. 2. Sélectionner le groupe correspondant au Sol. Renseigner Sol comme nom. 3. Valider Entrée des données du modèle Définition du modèle 1. Cliquer Définition du modèle. 2. Enter Calcul 1 comme nom. Ouvrir. 3. Choisir Statique comme domaine d application. Sélectionner MCNL comme module de calcul. Cocher Axisymétrique comme configuration. Valider. 4. Sélectionner Initialisation des paramètres comme type d initialisation. Valider. Voir le chapitre «Champs de contraintes initiales» du document «Introduction à CESAR-LCPC v5». Propriétés des matériaux 1. Cliquer Propriétés. 2. Cliquer Affectation des propriétés. 3. Choisir Mohr-Coulomb sans écrouissage comme modèle de comportement plastique. Renseigner les propriétés du sol. (kg/m 3 ) E (MN/m²) c (MN/m²) Sol ,45 0, Sélectionner le groupe d éléments du sol. Appliquer et Fermer. ( ) ( )

7 Figure 3: Boîte à outils pour l affectation des propriétés Figure 4: Boîte à outil pour définition des contraintes géostatiques Champs des contraintes initiales Le champ des contraintes initiales est initialisé comme un champ de contraintes géostatiques existant, la contrainte horizontale est liée à la contrainte verticale pour le coefficient de poussée latérale des terres au repos, K O. 1. Cliquer Conditions initiales. 2. Sélectionner Contraintes géostatiques. 3. Cliquer Insérer pour définir une nouvelle couche. 4. Entrer les valeurs suivantes : Altitude (m) Poids volumique (MN/m3) K0_x (-) ,5 5. Cliquer Valider. Conditions aux limites : 1. Cliquer Cas de conditions aux limites. 2. Entrer Blocages standards comme nom. Cliquer Ouvrir. 3. Cliquer pour définir le blocage latéral et inférieur. Les blocages sont automatiquement affectés aux limites du modèle.

8 Cas de charges : 1. Cliquer Cas de charges 2. Entrer Pression uniforme comme nom. Cliquer Ouvrir. 3. Sélectionner le segment A. Sur la Barre de sélection, sélectionner uniquement Sélection segments. 4. Activer Pression linéairement répartie. - Cocher Pression uniforme. - Renseigner la valeur de 0,120 MN/m². - Valider. Paramètres du calcul 1. Cliquer Paramètres du calcul. 2. Sous l onglet Paramètres généraux, entrer les valeurs suivantes: 3. Valider. - Processus itératif : Nombre max d incréments : 1 Nombre max d itérations par incrément : 1000 Tolérance : 0,001 - Type de calcul: Facteur de sécurité Cocher Détection de la non-convergence Mettre la Valeur min à 0.1 Mettre la Valeur max à 10 Mettre la précision à Méthode de résolution : 1-Contraintes initiales - Type d algorithme : Multi frontal L option Calcul avec stockage secondaire sur fichier est nécessaire lorsque la taille de la matrice du modèle est trop importante pour être gérée entièrement par la RAM de l ordinateur. Figure 5: boîte à outils pour les paramètres de résolution

9 Calculs Maintenant que toutes les données sont entrées, on peut lancer les calculs. 1. Cliquer Gestion des calculs. - Sélectionner le modèle Calcul 1. - Sélectionner Création des fichiers de données et lancement. Cliquer Valider. 2. Une Fenêtre de commandes externe s ouvre. Le processus itératif est affiché, il se finit par le message «Fin du calcul en mode EXEC». Fermer cette fenêtre. Les calculs peuvent être plus ou moins longs en fonction de la machine utilisée. Si le modèle n est pas affiché dans la liste des modèles, cela signifie qu il n est pas prêt pour le calcul. Cliquer Définition du modèle, sélectionner le modèle manquant, puis cliquer Info pour afficher l état du modèle. Toutes les étapes doivent être validées par une marque. Pendant le calcul, tous les messages affichés dans la Fenêtre de commandes externe sont importants. On doit en particulier porter attention aux messages d alertes sur les éventuels disfonctionnement du modèle. Les résultats sont stockés dans un fichier binaire (*.RSV4) dans le dossier temporaire ( /TMP/), défini lors du setup. Les informations détaillées sur le calcul sont aussi sauvegardées dans un fichier texte (*.LIST).

10 2.4. Résultats La valeur résultat du coefficient de sécurité est affichée : - Dans la Fenêtre de commandes externe - Dans le fichier listing. Le facteur de sécurité calculé est Ainsi la pression limite est de 114 kpa (0,9805 x 120), très proche de la valeur analytique de 113,8 kpa. Affichage des isovaleurs de déformations plastiques 1. Cliquer Visualisation des résultats 2. Cliquer Choix des visualisations. - Sélectionner Norme de la déformation plastique dans Visualisations, - Sélectionner Isovaleur comme Légende, - Valider. 3. Cliquer Options isovaleurs. - Sélectionner Zones comme Style des isovaleurs, - Valider. Figure 6: Vue des isovaleurs de déformations plastiques pour le coefficient de sécurité calculé

11 3. AUTRES POSSIBILITES D ANALYSE DE LA PRESSION LIMITE 3.1. Données pour une analyse en pilotage des charges Ce calcul est comparable au précédent sauf que le processus de chargement n est pas automatique mais défini par l utilisateur. Définition du modèle Comme le modèle est similaire du précédent, on fait une copie de Calcul 1, et on modifie où c est nécessaire. 1. Cliquer Définition du modèle. 2. Renseigner Calcul 2 comme nom. 3. Sélectionner Basé sur, puis Calcul 1 dans la liste. 4. Sélectionner Initialisation des paramètres comme type d initialisation. Valider. Propriétés des matériaux Aucun changement. Champs des contraintes initiales Aucun changement. Conditions aux limites : Aucun changement. Cas de charges : Aucun changement. Paramètres du calcul 1. Cliquer Paramètres du calcul. 2. Sous l onglet Paramètres généraux, entrer les valeurs suivantes: - Processus itératif : Nombre max d incréments : 12 Nombre max d itérations par incrément : 1000 Tolérance : 0,001 - Type de calcul: Standard - Méthode de résolution : 1-Contraintes initiales - Type d algorithme : Multi frontal Il n est pas nécessaire de modifier les coefficients appliqués aux conditions aux limites sous l onglet Pilotage des conditions aux limites puisqu elles sont nulles. Sous l onglet Pilotage des charges, le logiciel définit automatiquement les facteurs à 1 (valeur par défaut), divisés par 12 (le nombre d incréments). On obtient ainsi 12 fractions de 120 kpa comme processus de chargement.

12 Calculs 1. Cliquer Gestion des calculs. - Sélectionner le modèle Calcul 2. - Sélectionner Création des fichiers de données et lancement. Cliquer Valider. 2. Une Fenêtre de commandes externe s ouvre. Le processus itératif est affiché, il se finit par le message «Fin du calcul en mode EXEC». Fermer cette fenêtre Données pour une analyse en déplacements contrôlés Ce calcul est comparable au précédent sauf que le processus de chargement n est pas automatique mais défini par l utilisateur. Définition du modèle Comme le modèle est similaire du précédent, on fait une copie de Calcul 1, et on modifie où c est nécessaire. 1. Cliquer Définition du modèle. 2. Renseigner Calcul 3 comme nom. 3. Sélectionner Basé sur, puis Calcul 2 dans la liste. 4. Sélectionner Initialisation des paramètres comme type d initialisation. Valider. Propriétés des matériaux Aucun changement. Champs des contraintes initiales Aucun changement. Conditions aux limites : Le déplacement imposé est considéré comme un nouveau jeu de conditions aux limites. Il n y a pas de changement sur les conditions aux limites standards (blocages aux frontières). 1. Activer Cas de conditions aux limites. 2. Entrer Déplacement imposé Comme nom. Ouvrir. 3. Sélectionner les nœuds du segment A. 4. Cliquer Définition générale. - Cocher v. - Entrer la valeur de 40 mm. - Valider.

13 Cas de charge Comme on impose des déplacements, la pression uniforme copiée du modèle précédent est inutile. On supprime donc ce cas de charge. Cependant CESAR-LCPC nécessite la définition d au moins un cas de charge, on en définit donc un «faux». 1. Cliquer Cas de charges. 2. renseigner Vide comme nom. Ouvrir. 3. Cliquer Cas de charges. 4. Sélectionner le cas de charges Pression uniforme. Cliquer Supprimer. 5. Fermer. Le cas de charge actif ne peut pas être modifié. Paramètres du calcul 1. Cliquer Paramètres du calcul. 2. Sous l onglet Paramètres généraux, entrer les valeurs suivantes: 3. Valider. - Processus itératif : Nombre max d incréments : 20 Nombre max d itérations par incrément : 500 Tolérance : 0,001 - Type de calcul: Standard - Méthode de résolution : 1-Contraintes initiales - Type d algorithme : Multi frontal Il n est pas nécessaire de modifier les coefficients appliqués aux conditions aux limites sous l onglet Pilotage des charges puisqu elles sont nulles. Sous l onglet Pilotage des conditions aux limites, le logiciel définit automatiquement les facteurs à 1 (valeur par défaut), divisés par 20 (le nombre d incréments). On obtient ainsi 20 fractions de 40 mm. Calculs 1. Cliquer Gestion des calculs. - Sélectionner le modèle Calcul 3. - Sélectionner Création des fichiers de données et lancement. Cliquer Valider. 2. Une Fenêtre de commandes externe s ouvre. Le processus itératif est affiché, il se finit par le message «Fin du calcul en mode EXEC». Fermer cette fenêtre.

14 3.3. Analyses alternative Analyse en élasticité linéaire drainées Une analyse en élasticité linéaire peut être menée pour estimer les tassements de la fondation sous conditions drainées. Dans ce type d analyse, la variation du module avec la profondeur est un phénomène important à considérer. Dans ce but, on divisera le modèle en plusieurs couches ((2 m, 3 m et 5 m par exemple) et on affectera un module drainé calculé au centre de chaque couche par la formule empirique de Ohde-Janbu : avec les propriétés du sol : E ref E ver ref N h (kn/m 3 ) E (MPa) N Sol à ref = 100 kpa 0,7 0, Analyse non-linéaire avec cohésion non drainée variable L augmentation de la cohésion non drainée avec la profondeur est un paramètre important à considérer. Dans ce but, on divisera la partie supérieure du modèle en plusieurs couches fines et on affectera une cohésion non calculée au centre de chaque couche par la formule : u 0 avec les propriétés du sol : c u 1 2 ini ini sin ccos vert hor h (kn/m 3 ) E u (MPa) Sol à ref = 100 kpa N c u (kpa) u ( ) K 0 0,7 0, ,5 Note 1: La plasticité se concentrant sur le premier mètre de sol, les couches avec une variation de cohésion doivent être suffisamment fines pour modéliser l effet attend sur la solution. Note 2: On utilisera la formule d Ohde-Janbu pour estimer les modules non drainés de chaque couche du modèle.

15 vertical stress (kpa) Vertical stress (kpa) Didacticiel 1 - CESAR-LCPC version 5 4. RESULTATS La courbe contrainte-déplacement obtenue par les diverses analyse EF est comparée avec la solution analytique. On présente ces résultats dans la courbe ci-dessous loss of convergence displacements (mm) Load controlled Displacement controlled Benchmark solution Figure 7: courbe contrainte-déplacement au centre de la semelle La convergence n est pas obtenue pour le 12 ème incrément. Cela indique la rupture du sol. Ainsi la pression limite est entre 110 kpa and 120 kpa. Analyse non-linéaire avec cohesion non drainée On présente dans le graphe ci-dessous les résultats pour un modèle où les 2 mètres supérieurs du sol sont divisés en 3 sous-couches d épaisseurs égales (donc de67 mm d épaisseur chacune). On note que la discontinuité de la courbe est observée à l intersection avec la capacité portante analytique, calculée pour la cohésion de la première sous-couche FEM solution displacement controlled analytical solution for Cu = 19.0 kpa analytical solution for Cu = 20.9 kpa 0 analytical solution for Cu = 22.8 kpa displacements (mm) Figure 8: courbe contrainte-déplacement au centre de la semelle

16 Edité par : rue de Vincennes F MONTREUIL Tél. : Fax : itech

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