Introduction. Utilisation d un ensemble de relations mathématiques pour refléter le plus adéquatement possible une situation réelle

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1 1. Introduction

2 Introduction Modélisation Utilisation d un ensemble de relations mathématiques pour refléter le plus adéquatement possible une situation réelle Compromis entre l adéquation avec la réalité et la facilité de résoudre le modèle

3 Modèle mathématique Trois entités à identifier i) l ensemble des actions (activités) qui s offrent à l agent de décision (variables) ii) iii) l objectif visé eprimé sous la forme d une fonction mathématique (fonction économique) Les règles définissant la nature du système à l étude eprimées en termes de relations mathématiques (contraintes)

4 Résolution Trois entités à identifier i) l ensemble des actions (activités) qui s offrent à l agent de décisions (variables) ii) l objectif visé eprimé sous la forme d une fonction mathématique (fonction économique) iii) Les contraintes définissant la nature du système à l étude eprimées en termes de relations mathématiques (contraintes) Résolution du modèle Utiliser une procédure (algorithme, méthode) pour déterminer les valeurs des variables représentant l amplitude de l utilisation des diverses actions pour optimiser la fonction économique (atteindre l objectif) en respectant les contraintes imposées

5 Modèle linéaire Deu propriétés particulières: 1. Additivité des variables: l effet global des actions prises (variables) est égale à la somme des effets particuliers de chacune des actions (variables). Il n y a pas d effet croisé des actions 2. Les variables prennent toujours des valeurs non négatives

6 Eemple 1: problème de diète 3 types de grains disponibles pour nourrir le troupeau: g1, g2, g3 Chaque kg de grain contient des quantités de 4 éléments nutritifs: ENA, ENB, ENC, END La quantité hebdomadaire requise de chaque élément nutritif est spécifiée Le pri au kg de chaque type de grains est spécifié. Problème: Déterminer la quantité de chaque grain (en kg) à utiliser pour établir une diète à coût minimum respectant la quantité requise de chaque élément nutritif

7 Données du problème 3 types de grains disponibles pour nourrir le troupeau: g1, g2, g3 Chaque kg de grain contient 4 éléments nutritifs: ENA, ENB, ENC, END La quantité hebdomadaire requise de chaque élément nutritif est spécifiée Le pri au kg de chaque type de grains est spécifié. quantité g1 g2 g3 hebd. ENA ENB ENC END $/kg Problème: Déterminer la quantité de chaque grain (en kg) à utiliser pour établir une diète à coût minimum respectant la quantité requise de chaque élément nutritif

8 Variables du problème 3 types de grains disponibles pour nourrir le troupeau: g1, g2, g3 Chaque kg de grain contient 4 éléments nutritifs: ENA, ENB, ENC, END La quantité hebdomadaire requise de chaque élément nutritif est spécifiée Le pri au kg de chaque type de grains est spécifié. i) Activités ou actions du modèle Actions variables # kg de g1 1 # kg de g2 2 # kg de g3 3 Problème: Déterminer la quantité de chaque grain (en kg) à utiliser pour établir une diète à coût minimum respectant la quantité requise de chaque élément nutritif

9 Fonction économique et contraintes ii) Fonction économique Coût de la diète par semaine = à minimiser iii) Contraintes ENA: ENB: ENC: END: quantité g1 g2 g3 hebd. ENA ENB ENC END $/kg Non négativité des variables: 1 0, 2 0, 3 0

10 Modèle mathématique ii) Fonction économique Coût de la diète par semaine = à minimiser iii) Contraintes ENA: ENB: ENC: END: Non négativité des variables: 1 0, 2 0, 3 0 min z = Sujet à , 2 0, 3 0

11 Eemple 2: problème d entreposage Entreposage d une commodité pour vente future. Problème s échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les pri unitaires d achat et de vente sont les mêmes Période t Pri unitaire ($) Coût unitaire d entreposage = $1 par période. Capacité de l entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maimiser les profits au cours des 3 périodes.

12 Données du problème Entreposage d une commodité pour vente future. Problème s échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les pri unitaires d achat et de vente sont les mêmes Période t Pri unitaire ($) Coût unitaire d entreposage = $1/ période. Capacité de l entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maimiser les profits au cours des 3 périodes.

13 Variables du problème Entreposage d une commodité pour vente future. Problème s échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les pri unitaires d achat et de vente sont les mêmes Période t Pri unitaire ($) Coût unitaire d entreposage = $1/période. Capacité de l entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement i) Activités ou actions du modèle Actions variables à chaque période t Acheter t1 Entreposer t 2 Vendre t3 Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maimiser les profits au cours des 3 périodes.

14 Fonction économique À chaque période t Acheter Entreposer Vendre t1 t 2 t3 Entreposage d une commodité pour vente future. Problème s échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les pri unitaires d achat et de vente sont les mêmes Période t Pri unitaire ($) Coût unitaire d entreposage = $1/période. Capacité de l entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement ii) Fonction économique Revenu net (période 1) (période 2) (période 3) à maimiser Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maimiser les profits au cours des 3 périodes.

15 Contraintes À chaque période t Acheter Entreposer Vendre t1 t 2 t3 Entreposage d une commodité pour vente future. Problème s échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les pri unitaires d achat et de vente sont les mêmes Période t Pri unitaire ($) Coût unitaire d entreposage = $1/période. Capacité de l entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maimiser les profits au cours des 3 périodes. ii) Contraintes Deu contraintes pour chaque période période 1: (capacité) = (équation de balance) disponible période 2: 22 disponible disposée 60 (capacité) = période 3: 32 disponible disposée disposée (équation de balance) 60 (capacité) = (équation de balanc e)

16 Contraintes À chaque période t Acheter Entreposer Vendre t1 t 2 t3 Entreposage d une commodité pour vente future. Problème s échelonnant sur 3 périodes successives. À chaque période, nous pouvons acheter et/ou vendre, et les pri unitaires d achat et de vente sont les mêmes Période t Pri unitaire ($) Coût unitaire d entreposage = $1/période. Capacité de l entrepôt = 60 unités. 30 unités disponibles initialement Problème: Déterminer pour chaque période les quantités à acheter, à vendre et à entreposer pour maimiser les profits au cours des 3 périodes. ii) Contraintes période 1: (capacité) = (équation de balance) disponible période 2: 22 disponible disposée 60 (capacité) = période 3: 32 disponible disposée disposée (équation de balance) 60 (capacité) = Variables non-négatives: 0 i = 1, 2,3; j = 1, 2,3 ij (équation de balance)

17 Contraintes À chaque période t Acheter Entreposer Vendre t1 t 2 t = = = 0 ii) Contraintes période 1: (capacité) = (équation de balance) disponible période 2: (capacité) = disponible période 3: 32 disponible disposée disposée (équation de balanc e) 60 (capacité) = (équation Variables non-négatives: 0 i = 1, 2,3; j = 1, 2,3 ij disposée de balance)

18 Modèle ma Sujet à = = = i = 1, 2,3; j = 1, 2,3 ij 0 0 Fonction économique (période 1) à maimiser Contraintes période 1: (capacité) = 30 pér iode 2: ( capacité) + + = période 3: = Variables non-négatives: 0 i = 1, 2,3; j = 1, 2,3 ij (période 2) (période 3) (capacité)

19 Problème du restaurateur Disponibilités du restaurateur: 30 oursins 24 crevettes 18 huîtres Deu types d assiettes de fruits de mer offertes par le restaurateur: à $8 composée de 5 oursins, 2 crevettes et 1 huître à $6 composée de 3 oursins, 3 crevettes et 3 huîtres Problème: déterminer le nombre d assiettes de chaque type à offrir pour que le restaurateur maimise son revenu en respectant les disponibilités de fruits de mer

20 Variables du problème Disponibilités du restaurateur: 30 oursins 24 crevettes 18 huîtres ii) Activités ou actions du modèle Actions variables # ass. $8 # ass. $6 y Deu types d assiettes de fruits de mer offertes par le restaurateur: à $8 composée de 5 oursins, 2 crevettes et 1 huître à $6 composée de 3 oursins, 3 crevettes et 3 huîtres Problème: déterminer le nombre d assiettes de chaque type à offrir pour que le restaurateur maimise son revenu en respectant les disponibilités de fruits de mer

21 Fonction économique et contraintes Disponibilités du restaurateur: 30 oursins 24 crevettes 18 huîtres Deu types d assiettes de fruits de mer offertes par le restaurateur: à $8 composée de 5 oursins, 2 crevettes et 1 huître à $6 composée de 3 oursins, 3 crevettes et 3 huîtres Problème: déterminer le nombre d assiettes de chaque type à offrir pour que le restaurateur maimise son revenu en respectant les disponibilités de fruits de mer i) Activités ou actions du modèle ii) Fonction économique revenu du restaurateur = 8 + 6y à maimiser iii) Contraintes oursins: 5 + 3y 30 crevettes: 2 + 3y 24 huîtres: 1 + 3y 18 non négativité des variables:,y 0

22 Modèle mathématique ma 8 + 6y Sujet à 5 + 3y y y 18,y 0 i) Activités ou actions du modèle ii) Fonction économique revenu du restaurateur = 8 + 6y à maimiser iii) Contraintes oursins: 5 + 3y 30 crevettes: 2 + 3y 24 huîtres: 1 + 3y 18 non négativité des variables:,y 0

23 Cutting Stock Problem Problem of cutting an unlimited number of pieces of material (paper rolls, for instance) of length l to produce n i pieces of length l i, i = 1, 2,, I. The objective is to minimize the number of pieces of material to meet the demands. Note: minimize number of pieces minimize total waste

24 Cutting pattern P j (j = 1, 2,, NJ) corresponds to a specific way of cutting a piece of material: a ij = number of pieces of length l i produced with cutting pattern P j where a ij 0 and integer, i = 1, 2,, I and I i= 1 a l ij i l

25 Mathematical Model (CSP) min NJ j= 1 j Subject to NJ j= 1 j a ij j n 0, integer i i = 1,, j = 1,, I NJ where j represents the number of pieces of material cut with the pattern j

26 Heuristic Techniques to Assign Judges in Competitions Amina Lamghari Jacques A. Ferland Computer science and OR dept. University of Montreal

27 Problem background The John Molson Business School International Case Competition. Takes place every year for the last 25 years at Concordia University in Montreal. 30 teams of business school students coming from top international universities. Partitioned in 5 groups of 6 teams. First part of the competition is a round-robin tournament including 5 rounds where each team competes against each of the other 5 teams of its group. The three best teams move to the finals. Problem: Judge Assignment to the competitions.

28 Problem constraints Constraints Objective function

29 Mathematical Model Maimize number of competitions with 5 judges Cost for assigning two judges of same epertise to a competition M i = set of admissible competitions for judge i At least one lead judge 3 or 5 judges assigned