Fonctions carré et du second degré

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1 Section européenne Fonctions 4 Fonctions carré et du second degré A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de : connaître la représentation graphique et les variations de la fonction carré; développer, factoriser des expressions polynomiales simples; connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes; identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d une expression en vue de la résolution du problème donné; résoudre une inéquation à partir de l étude du signe d une expression produit de facteurs du premier degré La fonction carré Dans cet exercice, on s intéresse à la plus simple des fonctions du second degré, la fonction carré définie par f(x) = x Déterminer, sans la calculatrice, les images des entiers de l intervalle [ 5; 5] par la fonction f et exposer les résultats dans un tableau de valeurs. 2. Tracer à la calculatrice la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ 3; 3]. Quelles semblent être les variations de cette fonction? 3. Dans cette question nous allons démontrer que les variations de la fonction carré sont bien celles observées précédemment. Pour cela, considérons deux nombres réels a et b tels que a < b. a. Quel est le signe de la différence a b? b. Quelles sont les images de a et b par la fonction f? c. Factoriser la différence f(a) f(b). d. Supposons que a et b soient tous les deux positifs. Quel est alors le signe de a + b et celui de f(a) f(b)? En déduire les variations de f sur R +. e. Supposons que a et b soient tous les deux négatifs. Quel est alors le signe de a + b et celui de f(a) f(b)? En déduire les variations de f sur R. f. Conclure en dressant le tableau de variations de f sur R. 4. Soit a un réel non nul. Comparer les images f(a) et f( a), puis représenter la situation sur un graphique. Quelle propriété cela implique-t-il pour la courbe représentative de la fonction f. 5. Tracer la courbe représentative de la fonction à l échelle 2cm pour une unité en abscisse et 1cm pour une unité en ordonnée. 6. Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes. x 2 = 2 ; x 2 = 7 ; x 2 = 1 ; x 2 < 6 ; x 2 1 ; 3.6 < x 2 ; 0.5 < x 2 5.

2 11.2 On considère la fonction carré définie par f : x x a. Déterminer un intervalle d amplitude 10 sur lequel la fonction est croissante. b. Déterminer un intervalle d amplitude 6 sur lequel la fonction est décroissante. c. Déterminer un intervalle d amplitude 5 sur lequel le sens de variation de la fonction change. d. Déterminer un intervalle d amplitude 7 sur lequel la fonction a pour minimum 0 et pour maximum a. Donner les extremums de f sur l intervalle I = [0, 5; 3]. b. Même question pour l intervalle [ 3; 1]. c. Même question pour l intervalle [ 3; 2] Associer à chaque affirmation (1 à 4) sa justification (a à d) : 1. Un carré est toujours positif. 2. ( 5, 2) 2 > ( 5, 1) ( 9, 54) 2 = 9, < a. f : x x 2 est décroissante sur R. b. f : x x 2 admet pour minimum 0. c. f : x x 2 est croissante sur R +. d. f : x x 2 est paire Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Questions 1. Si 0 a b alors (a) a 2 b 2 (b) b 2 a 2 2. Si a b 0 alors (a) a 2 b 2 0 Réponses (c) a 2 et b 2 ne sont pas comparables (b) b 2 a Si a 0 b alors (a) a 2 b 2 (c) a 2 et b 2 ne sont pas comparables (b) b 2 a 2 4. Si x [ 2; 1] alors (a) x 2 [1; 4] (c) a 2 et b 2 ne sont pas comparables (b) 0 x 4 (c) x 2 [4; 1] 5. Si f(x) = (2x 1)(x + 4) alors (a) f(x) = 3x Si f(x) = x 2 2x + 1 alors l axe de symétrie de la courbe de f contient (b) f(x) = 2x 2 + 7x 4 (c) f(x) = 3(x + 1) 2 4 (a) le point A(1; 2) (b) le point B(1; 0) (c) le point C(0; 1). 2

3 11.5 En justifiant à l aide des variations de la fonction carré, donner un encadrement de x 2 dans chacun des cas suivants : 1. 0 x x x x On s intéresse dans cet exercice aux 12 fonctions définies ci-dessous. f 1 (x) = 3x + 1 ; f 2 (x) = x 2 + 2x + 2 ; f 3 (x) = 25 ; f 4 (x) = 2x 2 5 ; f 5 (x) = 3x 2 + 2x + 5 ; f 6 (x) = 2 x ; f 7 (x) = 1 2 x2 + 4x 1 ; f 8 (x) = 2 4x 6 ; f 9 (x) = (2x 1) 2 ; f 10 (x) = 2x 1 2 ; f 11 (x) = 2x 2 2, 5x 5 ; f 12 (x) = 3 2 x2 x Repérer les fonctions polynômes du second degré. 2. À l aide de la calculatrice, tracer le tableau de variations des fonctions polynômes du second degré repérée précédemment On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x 2 + 3x a. Utiliser la calculatrice pour calculer les images par la fonction f de tous les entiers de 6 à 3 et exposer les résultats dans un tableau. b. Qu observe-t-on dans le tableau précédent? Quelle propriété graphique de la courbe de f cela indique-t-il? c. Soit a un nombre réel quelconque. i. Simplifier au maximum les images f( 3 2 a) et f( a). ii. Que constate-t-on dans les deux calculs précédents? iii. Représenter la propriété ainsi observée par un rapide schéma. Quelle propriété graphique de la courbe de la fonction f est ainsi démontrée? 2. a. Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle la fonction f atteint son extremum puis proposer un tableau de variations pour f. b. Déterminer la constante C telle que f(x) = (x )2 + C. c. Utiliser la formule précédente pour trouver la valeur α de x pour laquelle la fonction f atteint son extremum et calculer cet extremum. d. Sur un même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction f et la droite d équation x = α. Que constate-t-on? 11.8 For each function below, find its extremum and its symmetry axis, then draw its variations table. 1. h 1 : x x 2 2x 2 ; 2. h 2 : x x 2 5 ; 3. h 3 : x x 2 10x ; 4. h 4 : x 4x x + 10 ; 5. h 5 : x x 2 + 2x + 1 ; 6. h 6 : x x 2 7x

4 11.9Í Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2(x 3)(x + 4). 1. a. Déterminer les antécédents de 0. b. Donner l expression développée de la fonction f. c. Appliquer l algorithme suivant à la fonction f. begin Input : a, b, c, coefficients of a quadratic function ; b 2 4ac d ; if d 0 then b + d x 1 ; 2a b d x 2 ; 2a Output : x 1, x 2 ; end if end d. Expliquer la condition d Reprendre la question précédente avec la fonction g(x) = (x + 4)(x 7). 3. Reprendre la question précédente avec la fonction h(x) = 2x 2 + 3x + 4 (on se contentera d une recherche graphique des antécédents). 4. Quel semble être le rôle de l algorithme? Résoudre chacune des inéquations suivantes : 1. (2x + 1)( 5 x)(x 7) (2x 1)(2 + x) + (2x 1) x(x 4) 2x x 2 (2x + 1) Dans cet exercice, on s intéresse à la fonction f définie sur R par f(x) = x 2 2x 3 1. Décrire les variations de cette fonction, en justifiant rapidement mais sans préciser aucune valeur. 2. La formule permet-elle de déterminer le nombre de solutions de l équation f(x) = 0? 3. Vérifier que f(x) = (x + 1)(x 3) et que f(x) = (x 1) 2 4. Nous avons maintenant trois formules différentes pour la fonction f. Dans les questions suivantes, il faudra choisir quelle formule permet de répondre le plus facilement. 4. Calculer l image de 0 par la fonction f. 5. Calculer l image de 1 par la fonction f. 6. Calculer l image de 1 par la fonction f. 7. Déterminer les solutions de l équation f(x) = Déterminer le minimum ou le maximum de la fonction f et préciser la valeur de x pour laquelle il est atteint. 4

5 9. Dresser le tableau de signes de f sur R. 10. Dresser le tableau de variations de f sur R On s intéresse dans cet exercice aux 12 fonctions polynômes du second degré définies ci-dessous. g 1 (x) = x 2 1 ; g 2 (x) = 2(x 3 2 ) ; g 3 (x) = (x 1)(x 5) ; g 4 (x) = (x 2)(x + 2) ; g 5 (x) = x 2 + 2x 3 ; g 6 (x) = x 2 4 ; g 7 (x) = (x 2 + 1) ; g 8 (x) = (x 1) 2 2 ; g 9 (x) = (x 3) 2 4 ; g 10 (x) = 2x 2 + 6x ; g 11 (x) = x(2x 6) ; g 12 (x) = x 2 6x + 5 ; 1. Repérer les fonctions égales dans la liste ci-dessus. 2. Pour chaque fonction, répondre à chacune des questions suivantes en utilisant la formule la mieux adaptée. a. Déterminer les antécédents de 0. b. Dresser le tableau de signes de la fonction. c. Déterminer l extremum de la fonction en précisant sa nature et la valeur de x pour laquelle il est atteint. d. Dresser le tableau de variations de la fonction In this exercise, we consider the two functions f et g defined by f(x) = x 2 4 and g(x) = x A few questions about function g. a. What kind of function is g? What can you deduce about its graph? b. What are the variations of the function g over R? Explain your answer in a few words. 2. A few questions about the function f. a. What kind of function is f? What can you deduce about its graph? b. What is the minimum of f over R? Prove it. c. Give the variations of the function f in a table. 3. Draw the graphs of the two functions in the same coordinate system. 4. Solve graphically the equation f(x) = g(x) and the inequation f(x) g(x). 5. Find graphically the value of x for which the difference between f(x) and g(x) is the greatest over the interval [ 1; 2]. In the next questions we will call this value α. In the following questions we will try to check the previous answer by using a third function, h, defined by h(x) = f(x) g(x). 6. What does it mean for f(x) and g(x) when h(x) = 0? 7. What can you say about h(x) when f(x) < g(x)? 8. What can you say about h(x) when x = α? 9. Prove that h(x) = x 2 x Compute the values of α and h(α). 5

6 11.14 Consider the function g defined over R by g(x) = x 2 x. 1. Is g a linear function? Is it a polynomial function? If so, what is its degree? 2. What is the general shape of the graph of g? Answer with a sentence and a quick sketch. 3. Solve the equation g(x) = 0 and deduce the sign table of the function. 4. What seems to be the preimage of the extremum of function g? 5. Find a constant real number m such that g(x) = (x+m) 2 1. What can you deduce 4 from this new formula for g(x)? 6. Draw the variations table of g. 7. In the same coordinate system, draw the symmetry axis of the graph of g and then the graph itself. 8. Solve graphically the following equations and inequations : x 2 x = 0 ; x 2 x = 4 ; x 2 x = 1.5 ; x 2 x 0 ; x 2 x > 5 ; 0.5 < x 2 x < A volley-ball is thrown by a player from an altitude of 2 meters, with an angle of approximately 11 for the ground. Its altitude as a function of the distance x from the throwing point is then given by the formula h(x) = 0.04x x + 2. Part A 1. Use the expression of h to find its maximum and the value of x for which it is reached. 2. Find out the variations of function h and show them in a table. 3. The ball will reach the altitude of 2 meters a second time. Use the symmetries of the curve to find for what value of x it will do so. 4. a. Check that h(x) = 0.04(x 10)(x + 5). b. Use this new expression of h to find the solutions of the equation h(x) = 0. What does it mean for the ball? Part B After touching the ground, the ball rebounds and its altitude it then given by a second function : m(x) = 0, 1x 2 + 2, 5x Find out the maximum of this new function and the value of x for which it is reached. 2. Check that x = 10 is a solution of the equation m(x) = 0. Why is it important that it is so? 3. Find the second solution of the equation m(x) = 0. What does it mean for the ball? 6

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