Les élèves sont invités à réfléchir individuellement, puis au bout de 5 min, par 2, 3 ou 4. Une feuille blanche est fournie a chacun.

Transcription

1 Séance 14CM2 Sciences et Maths Durée : 45 min Voici le problème des lapins de Fibonacci qui fut proposé en 1202 : Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois? Les propositions des élèves sont : - le premier mois il y a un couple. - le second mois il y a toujours un couple. - le troisième mois il y a un couple et un nouveau couple. Mais très vite, les enfants ont des hypothèses très variées : - Et si les lapins se sauvent? - On ne peut pas se reproduire entre frères et sœurs... Je demande aux enfants de laisser momentanément de côté toutes les hypothèses biologiques sur lesquelles nous reviendrons ensuite et de rester sur la question purement mathématique. Les élèves sont invités à réfléchir individuellement, puis au bout de 5 min, par 2, 3 ou 4. Une feuille blanche est fournie a chacun.

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3 Après 20 min de travail de recherche, mise en commun. On compare les suites trouvées par les groupes 1/1/2/3/4/5/6/7/8/9 1/1/2/3/5/8/12/20/32/54 1/1/2/3/5/8/13/21/34/55 1/1/2/4/8 1/1/2/4/6/8/12/14 en 12 ans il y aura 188 couples En quatre mois 15 couples vont se former. De nombreux échanges oraux, les élèves comparent notamment les réponses 2 et 3 dont la partie en gras présente une similitude qui pourrait laisser penser à une erreur de calcul de l'un des deux groupes. Nous recommençons le raisonnement, en collectif, au tableau, un utilisant des couleurs. La suite 1/1/2/3/5/8/13/21/34/55 est finalement adoptée. Très vite un puis deux élèves trouvent alors le prolongement de la suite numérique par addition des 2 résultats précédents. 1+1 = = = = = = 21

4 Nous effectuons une recherche collective sur Internet, au TNI. (mots clés : Fibonacci + lapins) Et découvrons une explication sur le nombre d'or, découvert par Fibonacci après cette suite numérique. Aussitôt nous vérifions la présence de ce nombre d'or, en divisant chaque nombre de la suite par celui qui le précède. (utilisation de la calculette)

5 Ce que nous retenons de cette recherche mathématique : La suite de Fibonacci est une suite numérique 1/1/2/3/5/8/13/21/34/55 régit par une règle d'addition des deux nombres précédents pour trouver le suivant. Le nombre d'or : 1, Dans la suite de Fibonacci, plus on avance et plus on se rapproche du nombre d'or. Quelques travaux d'élèves :

6 Durée 5 min Enfin, nous abordons les hypothèses restées en suspend : les élèves sont renvoyés à leurs feuilles pour écrire toutes les hypothèses qui leurs viennent à l'esprit au-delà des calculs mathématiques.

7 Mise en commun : Durée 10 min Ce n'est pas possible de faire des enfants entre frères et sœurs. Après discussion, nous sommes arrivés à la conclusion que c'est interdit pour l'homme, et provoque des anomalies plus les relations de parentés sont proches, mais que cela reste possible chez les animaux, avec plus ou moins de présence d'anomalies. Un lapin ne peut faire un couple par mois, il faut attendre 9 mois. Ce groupe a été invité à faire une recherche internet qui a confirmé que le temps de gestation est bien d'un moi environ pour le lapin. Un couple n'a pas forcément un seul couple, avec un seul mâle et une seule femelle à chaque fois. Un couple de lapins peut être stérile. Vocabulaire : La stérilité a été expliqué pour certains élèves. Les lapins peuvent mourir. (mort à la naissance, mort de vieillesse, mort par maladie) Les mathématiques ne sont pas forcément vrais. Après précisions apportées oralement, il s'agit de comprendre que les problèmes mathématiques données à l'école ne sont pas toujours des situations réelles de la vie. Prolongements : - Un enfant monte un escalier. A chacun de ses pas, il franchit soit une, soit deux marches. De combien de manières différentes peut-on monter un escalier de 6 marches?

8 Présentation du problème des marches d'escalier. De nouveau, une feuille par élève / 5 min de temps de travail individuel puis travail par groupes de 2,3, 4. Après environ 10 min de recherches, lorsque les élèves sont arrivés à 3, puis 5 puis 8 solutions pour monter 3, 4 ou 5 marches, plusieurs groupes s'aperçoivent d'une nouvelle présence de la suite numérique de Fibonacci...

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