EXAMEN DE MODELISATION

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1 mars 2009 EXAMEN DE MODELISATION Seuls les documents de cours sont autorisés Durée : 2 heures Les quatre parties des questions sont indépendantes. Pour chaque question, après avoir précisé les hypothèses, vous utiliserez directement les résultats du cours sans les démontrer. 1) MISE EN SITUATION 1.1) DESCRIPTION Générale (Figure 1) La station de radiologie AFM est utilisée dans les hôpitaux pour réaliser des radiographies de toutes les parties du corps humain. Le patient est allongé sur la table d examen 5. Un arceau 2 déplace l émetteur de rayons X 4 et le récepteur d'images 3 autour du malade. Repère utilisé dans la description suivante : x = axe du récepteur d'images. y = axe horizontal de rotation du bras/bâti. z = axe de rotation de l'arceau/bras. 1 ASCENSEUR AFM Figure 1 : station de radiologie en position de référence Le médecin peut commander à partir d'un pupitre les différents mouvements du mécanisme : - Translation / y de là table d'examen 5/bâti 0 : Ty (course : 2500 mm.) - Rotation / y du bras 1/ bâti 0 : Ry (débattement : 360 ) - Rotation / z de l'arceau 2/ bras 1 : Rz (débattement : 150 ) - Translation / x du récepteur d'images 3/ arceau 2 : Tx (course : 450 mm.) La fonction de déplacement en translation Tx est réalisée par un système mécanique appelé Ascenseur AFM450 qui est l'objet de l'étude

2 1.2) Principe de fonctionnement de l ascenseur AFM450 L'axe x du récepteur d'images est vertical en position initiale et correspond à la position la plus couramment utilisée en fonctionnement (position de référence décrite figure 1). Dans cette position le médecin commande le moteur pour ajuster la hauteur du récepteur. La masse du récepteur d images 3 est estimée à M = 210 kg. Son centre de gravité est situé sur l axe x. Ecrou Flottant Figure 2 : détail interne de l ascenseur Description du fonctionnement interne de l'ascenseur : - La fonction guidage en translation de l'ascenseur est réalisée par un chariot à 4 galets. (dont 2 sont montés sur excentrique pour contrôler le jeu dans la liaison glissière) - La fonction transmission de puissance est réalisée principalement par : - Un moteur à courant continu bidirectionnel équipé d'un frein et d'un codeur de position. - Un réducteur à poulies et courroie crantées. - Un système vis à billes avec un écrou monté flottant (pas de transmission d efforts ni de moments transversaux). - La fonction contrôle de position : - Les déplacements extrêmes sont limités, à trois niveaux, par des butées logicielles, des capteurs électriques de fin de course et des butées mécaniques en caoutchouc. - Un capteur de resynchronisation permet de contrôler électroniquement avec précision la position du chariot à chacun de ses passages au centre de l'ascenseur. 2

3 1.3) Détail du guidage de la vis à billes Rotule à billes Paire de roulements à contact obliques Figure 3 : détail du guidage de la vis à billes 1.4) Détail de la géométrie du guidage par galet Coupe du galet Figure 4 : détail du guidage du chariot Galet avec rail de guidage 3

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5 2) QUESTIONS Seuls les documents de cours sont autorisés. Les quatre parties sont indépendantes. Pour chaque question, après avoir précisé les hypothèses, vous utiliserez directement les résultats du cours sans les démontrer. Barème approximatif : I : 2 points II : 7 points III : 8 points IV : 2 points Présentation et orthographe : 1 point I. Questions générales sur la précontrainte. Q I.1 Commentez la phrase ci-après. Un montage précontraint amène toujours une raideur plus importante que le même montage non précontraint. Q I.2 Compléter au mieux la phrase ci-après. Pour étudier un montage précontraint, je dois étudier les relations II. Vis à billes (dimensionnement des arbres en statique et en fatigue) Partie 1 : analyse La vis à billes est guidée par l intermédiaire de 3 roulements. Q II.1 Expliquez l utilité du guidage proposé et présentez les inconvénients associés. Q II.2 Détaillez les efforts (forces et/ou moments, sans valeurs numériques) engendrés, sur la vis à billes, par le moteur et par le poids du récepteur en position de référence. Partie 2 : dimensionnement On se propose de vérifier la tenue de la section de la vis à billes située juste entre le montage de roulements à contact oblique et la portion contenant le filetage pour le passage des billes (à côté de A1 de la figure 3). Les caractéristiques de calcul sont décrites ci-dessous. Données de la section Q II.3 Evaluez les K t requis. Matière : acier 34 CrMo4 TR; Re = 550 MPa ; Rm = 920 MPa. Grand diamètre : 20 mm Petit diamètre : 15 mm Rayon de raccordement : 0.1 mm Rugosité : Rt = 2 µm Sollicitations : N = 5000 N ; Mt = 3 N.m Q II.4 Calculez le coefficient de sécurité en statique. Q II.5 Calculez le coefficient de sécurité en fatigue en considérant toutes les sollicitations de fatigue en fatigue illimitée pour faire un calcul conservatif. Q II.6 Le choix du matériau vous parait-il adapté? 5

6 III. Roulements de la liaison pivot (précontrainte de roulements) L objet de cette étude est de calculer le défaut de positionnement axial lié à la déformation des roulements sous charge. La précontrainte est mise en place par l intermédiaire d un écrou en serrant à 10 Nm. Compte tenu de la géométrie des filets et des coefficients de frottements, cela correspond à un effort axial de 3600 N. Caractéristiques des roulements à rouleaux coniques : Partie 1 : analyse Dimensions Ζ α( ) K * en mm N * 10-5 Q III.1 Expliquez pourquoi on peut négliger la charge radiale sur chaque roulement lorsqu on étudie la position de référence. Partie 2 : dimensionnement Q III.2 Compte tenu que les deux roulements sont identiques, calculez la déformation axiale de chaque roulement puis la précontrainte axiale e engendrée par l effort de précontrainte préconisé. Q III.3 Ecrivez les quatre relations permettant de calculer les charges axiales des roulements sous l effet du poids du récepteur d images 3 en position de référence (2060 N). Q III.4 La résolution de ces équations amène à travailler sur un système non-linéaire. Afin de pouvoir continuer, voici plusieurs couples de valeurs possibles pour les charges axiales : Charge 1 Charge 2 Sol N 8875N Sol 2-840N 6350N Sol N 5660N Sol N 4645N Sol 5 0N 5660N A partir de vos équations, déterminez rapidement quel couple de valeurs peut convenir. Q III.5 A partir du couple solution choisi précédemment, calculez le nouveau déplacement axial des roulements et ensuite le déplacement de l arbre entre la position initiale précontrainte et la position sous charge. Q III.6 Que pensez-vous du résultat précédent? Q III.7 Décrivez brièvement (sans calcul) ce qui se passe lorsque le récepteur tourne autour de l axe y de 180, puis de 90. IV. Comportement du galet (théorie de Hertz) La liaison glissière est assurée par des galets en appui sur des rails de guidage. Les contacts étant des contacts étroits, la théorie de Hertz peut-être exploitée pour dimensionner les galets. Q IV.1 Indiquez, en vous justifiant, le modèle géométrique de calcul le mieux adapté à la situation. Q IV.2 Précisez les informations géométriques utiles au calcul (il peut être judicieux de faire un dessin pour être bien clair et précis). Fin du sujet 6

7 Résultats I. Questions générales sur la précontrainte. Q I.1 La raideur d un montage précontraint est bien augmentée mais tant qu il n y a pas de décollement. Q I.2 Les relations à considérer pour étudier un montage précontraint sont : Les relations d équilibre des efforts Les relations de compatibilité des déformations Les relations efforts/longueur des éléments considérés II. Vis à billes (dimensionnement des arbres en statique et en fatigue) Q II.1 Le montage proposé est un montage hyperstatique puisqu on a l association d une liaison pivot avec une liaison linéaire annulaire (rotule laissée libre axialement). L intérêt d un tel montage est d augmenter la rigidité pour éviter un flambement de la vis. L inconvénient majeur est qu il faut avoir une grande qualité de fabrication et de montage pour éviter d introduire des efforts internes. Q II.2 Le moteur engendre un couple qui est transmis par la courroie, les conditions de fonctionnement de la courroie engendre un effort tranchant et un moment de flexion. Le poids du récepteur engendre uniquement un effort axial car le moment de flexion est repris par la liaison glissière. Q II.3 Ktt = 4.58 ; Kto = 2.83 Q II.4 σt = 28.3 MPa ; τo = 4.5 MPa σe VM = 131 MPa α S = 4.2 OK car valeur >1. La marge de sécurité est confortable. Q II.5 Hypothèse : les sollicitations de fatigue sont toutes considérées en fatigue illimitée. Option 1 : Travail en torsion alternée car on peut inverser le sens de rotation du moteur. La composante de traction due au poids est considérée comme composante moyenne en position de référence. σtm = 28.3 MPa ; τoa = 4.5 MPa σme = 28,3 MPa ; σae = 22,2 MPa χ me = χ t = 20.0 ; χ ae = χ o = 10.1 Rmp = 1587 MPa ; Choix de Ks = 0.95 => σ Dp = 483 MPa α F = 17.7 OK car valeur >1. La marge de sécurité est énorme, on est tranquille! Option 2 : on peut tout aussi justement considérer que la torsion alternée engendrée par le moteur n a pas suffisamment de cycles pour générer le phénomène de fatigue. Calcul en fatigue inutile. Option 3 : on lance le calcul en considérant qu il n y a aucune contrainte alternée. Le calcul ne peut pas être finalisé car il y a blocage au moment de calculer χ ae qui devient indéterminé. On revient à l option 2, pas de contrainte alternée donc pas de fatigue. Q II.6 On pourrait envisager un matériau moins noble pour gagner en coût de production. Un acier type C35 à l état recuit devrait largement suffire, on éviterait ainsi le coût du traitement thermique. 7

8 III. Roulements de la liaison pivot (précontrainte de roulements) Q III.1 Les charges radiales peuvent être négligées car c est la glissière (donc les galets) qui reprend le moment engendré par le poids, les seuls efforts radiaux restants sont ceux engendrés par la tension de la courroie et ceux-ci restent très faibles. Q III.2 Selon les hypothèses indiquées, les roulements travaillent en charge axiale pure, on peut donc exploiter la 1/m (1+ m)/m * Z. ( sinα). δa relation page 60 : K = Ce qui donne : δ a0 = mm e = mm Q III.3 Equilibre des efforts : Fa 1 - Fa = 0 N Compatibilité des déformations : e = δa 1 + δa 2 Relations effort/déformation pour chaque roulement : Q III.4 Fa 1/m * Z = 1/m. ( sin ) (1 m)/m α + Le seul couple de valeurs qui vérifie l équilibre des efforts axiaux est la solution 4. Q III.5 δa 1 = mm δa 2 = mm δa = δa 0 - δa 1 = δa 2 - δa 0 = mm Q III.6 Le déplacement est très faible, il n y aura pas de problème de précision de positionnement. Q III.7 Le récepteur tourne de 180 => c est le même problème avec la force dans l autre sens => δa = mm Le récepteur tourne de 90 => il n y a plus de force axiale => δa = mm IV. Comportement du galet (théorie de Hertz) La liaison glissière est assurée par des galets en appui sur des rails de guidage. Les contacts étant des contacts étroits, la théorie de Hertz peut-être exploitée pour dimensionner les galets. Q IV.1 Le modèle géométrique de calcul le mieux adapté à la situation est le modèle cylindre/plan. (Cylindre pour le galet en approximation de la géométrie réelle conique et plan pour le rail) Q IV.2 Informations géométriques utiles au calcul : rayon du cylindre et longueur de contact L K Fa 1/m i. δ ai R 8