Exercices électrothermie

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1 Exercice 1. Exercices électrothermie Lorsque l'on pose la main sur une pièce métallique à température ambiante, on «sent du froid». Expliquer physiquement le phénomène. Exercice 2. Calculer la chaleur nécessaire pour augmenter de 1 K la température d'un litre d'eau. La capacité thermique massique de l'eau est de 4186 J/(kg.K). En utilisant la relation Q=m c, on trouve Q= =4186 J Pour obtenir cette énergie, on fait tomber un solide de masse m d'une hauteur de 100 m. Calculer m. L'énergie potentielle d'un solide de masse m est donnée par E p =m g h avec h = 100 m. Pour transformer 4186 J, le solide doit avoir une masse m= E p g h = 4186 =4,27 kg 9, Exercice 3. On considère une enceinte fermée (celle d' un four par exemple) à l'intérieur de laquelle la température est de 800 C, il ne peut pas y avoir d'échange de matière avec l'extérieur. Au bout de trois heures, la température a diminué de 600 C. 1. Quel type de transfert de chaleur est en jeu? Il s'agit de transfert par conduction. 2. Pour que la température diminue moins vite faut il augmenter ou diminuer la résistance thermique des parois de l'enceinte? Justifier. La différence de température entre l'intérieur et l'extérieur de l'enceinte est liée à la résistance thermique R th et à la puissance P du dispositif de chauffage par =R th P. Pour P donnée, la différence de température augmente si R th augmente : il faut donc augmenter R th pour que la température diminue moins vite (la différence entre l'intérieur et l'extérieur reste «plus grande plus longtemps»). 3. Si la capacité thermique du produit à l'intérieur de l'enceinte est augmentée, la diminution de température sera t elle plus ou moins rapide? Justifier. En augmentant la capacité thermique C th du produit à l'intérieur de l'enceinte, on augmente l'énergie thermique DQ stockée car Q=C th, la diminution de température sera donc moins rapide. Exercice 4. Échauffement d'un câble L'intensité admissible pour un câble à isolant PVC multipolaire monophasé de section 35 mm 2 posé à l'air libre ou enterré est égale à 147 A s'il est en cuivre et 112 A s'il est en aluminium. Il présente une résistance de 0,524 Ω / km s'il est en cuivre et 0,868 Ω / km s'il est en aluminium. 1. Calculer la puissance perdue par effet Joule pour 100 m de câble (attention, il y a deux conducteurs...) en cuivre puis en aluminium parcouru par l'intensité admissible. La résistance de 200 m de conducteur en cuivre est La résistance de 200 m de conducteur en aluminium est R Cu =0,2.0,524=0,105 R Al =0,2.0,868=0,174 Pour le cuivre : P jcu =0, =2270 W Pour l'aluminium : P jal =0, =2180 W 2. La résistivité thermique du sol est égale à 0,85 K.m / W en hiver et 1,20 K.m / W en été. Calculer les élévations de température correspondantes pour le câble en cuivre puis celui en aluminium. Exercices électrothermie Page 1 sur 7 TS2ET

2 Pour une longueur de 100 m, le sol présente une résistance thermique de R thhiv =0,85/100=8, K/W en hiver et de R thété =1,20 /100=0,012 K/W En appliquant la relation =R th P, on obtient : Cuivre Aluminium Exercice 5. Intensité efficace équivalente Le graphe ci contre représente l'évolution du courant dans l'induit d'une machine à courant continu à aimants permanents, cela correspond à un service S4 : service intermittent périodique à démarrage. 1. Exprimer l'énergie perdue par effet Joule en fonction des différentes durées et intensités et de la résistance de l'induit du moteur. La résistance de l'induit est notée R. Hiver 19,3 C 18,5 C Été 27,2 C 26,1 C L'énergie est le produit de la puissance instantanée par la durée de fonctionnement ce qui donne W j =R.I d 2.t d R.I p 2. t n t d 2. En déduire la puissance moyenne équivalente à ce fonctionnement. D'après la relation P moy = W j t, on obtient avec Dt = T : P moy = R.I 2 d.t d R.I 2. p t n t d T 3. L'intensité efficace équivalente, notée I eq, est égale à l'intensité efficace du courant qui circulerait en permanence dans l'induit. Exprimer I eq en fonction des durées et des intensités. D'après l'énoncé, I eq est telle que 2 P moy =R I eq, par identification : I eq = I d 2.t d I p 2. t n t d T 4. Application numérique : Calculer l'intensité efficace équivalente, l'énergie dissipée par effet Joule pendant une minute et la puissance perdue par effet Joule. R = 2 Ω, I d = 30 A, I p = 10 A, T = 60 s, t d = 15 s, t n = 45 s. = Intensité efficace équivalente : I eq =16,6 A 60 Énergie dissipée par effet Joule pendant une minute : Puissance perdue par effet Joule : P j = W j =R. I 2 t eq =2.16,6 2 =551 W Exercice 6. Chauffe eau solaire W j =R. I 2 eq. t=2.16, =33,1 kj Pour chauffer l'eau d'un ballon de 200 L, on utilise un dispositif constitué de 4 m 2 de capteurs solaires thermiques. Le rayonnement solaire a une puissance supposée égale à 1 kw / m 2. Les panneaux sont reliés à un échangeur placé dans le ballon par un circuit hydraulique parcouru par un fluide caloporteur (eau et glycol). 1. Calculer la durée nécessaire pour élever la température de l'eau de 10 C à 60 C en supposant que l'installation a un rendement de 70 %. On utilise la relation Q=m c avec m = 200 kg la masse des 200 L d'eau, c la capacité calorifique massique de l'eau (4186 J/(kg.K)) et Dq l'augmentation de température pour déterminer l'énergie à transmettre à l'eau ce qui donne Q= =41,9 MJ. Exercices électrothermie Page 2 sur 7 TS2ET

3 La puissance disponible correspond à celle de 4 m 2 de panneaux soit La durée est obtenue par t= Q P P= ,7=2800 W =41, =15000 s soit environ 4 heures et 10 min. La suite concerne l'étude du refroidissement de l'eau lorsque le soleil est insuffisant ou absent (par exemple la nuit). La circulation de fluide caloporteur est stoppée. 2. Le ballon est un cylindre de 1 m de hauteur et de 51 cm de diamètre. Son isolation est réalisée avec 5 cm de mousse de polyuréthane 2,15 K /(m 2.W). Calculer la résistance thermique du ballon. On calcule d'abord la surface du ballon en contact avec l'extérieur puis on multiplie par la résistance de l'isolant. Surface du ballon : S=2 D2 4. D.h, le premier terme correspond au couvercle et au fond de diamètre D, le deuxième terme correspond au rectangle de longueur pd et de largeur h entourant la périphérie. Application numérique S=2 0,512.0,51.1=2,01 m 2 4 D'où la résistance thermique R th =2,01. 2,15=4,32 K/W 3. Calculer la capacité thermique de l'eau stockée dans le ballon. On l'obtient à partir de la capacité massique de l'eau et de la masse de l'eau stockée dans le ballon ce qui donne C th =m.c= =837 kj/k 4. Représenter le schéma électrique «analogue» en faisant apparaître les capacité et résistance thermiques ainsi que la puissance transmise et la différence de température. La résistance thermique R th est en parallèle avec la capacité thermique C th, P correspond à la puissance transmise et Dq à la différence de température. 5. Établir l'équation différentielle reliant la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur du ballon, la résistance thermique et la capacité thermique. En déduire la valeur de la constante thermique et l'exprimer en jours. D'après la «loi des nœuds» : Pour la résistance thermique : Pour la capacité thermique : D'où l'équation différentielle : P= p R t p C t p R t = R th p C t =C th d dt P= d C R th th dt (analogie avec la loi d'ohm pour les résistances électriques) (analogie avec la loi d'ohm pour les capacités) Pour que le coefficient multipliant Dq soit égal à un, on multiplie cette équation par R th : d R th P= R th C th, la constante de temps est dt th =R th C th =4, =36, s soit en divisant par 24 et 3600 presque 42 jours. La solution de l'équation différentielle est de la forme t =A e B Exercices électrothermie Page 3 sur 7 TS2ET

4 6. Déterminer les constantes A et B en utilisant le régime établi et les conditions initiales : à l'instant t = 0, la température de l'eau est égale à 60 C et celle à l'extérieur du ballon est égale à 15 C. En régime établi, la température de l'eau dans le ballon est égale à 15 C, la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur est nulle. Le terme B correspondant au régime établi, on a B = 0 Initialement, la différence de température est de 45 C donc est nulle. 0 45= A e =A car l'exponentielle de zéro Finalement t =45 e 7. La température à l'extérieur du ballon est égale à 15 C et l'eau est à 60 C. Calculer la température de l'eau chaude au bout de 10 heures. D'après la relation précédente : ,61.10 =45 e 6 =44,5 C, la température de l'eau est donc de 59,5 C. Exercice 7. Refroidissement d'un composant de puissance La puissance P dissipée par un thyristor est donnée par la relation 2 P=V T0.i T r D. I Teff avec V T0 la tension de seuil du thyristor, r D sa résistance dynamique, i T la valeur moyenne de son intensité et I Teff la valeur efficace de cette même intensité. Pour les calculs : V T0 = 1,4 V et r D = 15 mω. Le courant dans un thyristor a l'allure représentée ci contre : 1. Puissance dissipée par le thyristor a. Exprimer les valeurs moyenne et efficace du courant en fonction de I c puis faire l'application numérique avec I c =18 A. Pour la valeur moyenne Pour la valeur efficace i T = 1 T I T c 3 = 18 3 =6 A I Teff = 1 T I 2 T c 3 = 18 3 =10,4 A b. Calculer la puissance dissipée par le thyristor dans ces conditions. D'après la relation proposée dans l'énoncé 2 P=V T0.i T r D. I Teff =1, ,4 2 =10 W Cette puissance va entraîner une augmentation de la température au cœur du composant, il faut vérifier si cela ne peut entraîner sa destruction. Rappel : pour un corps présentant une résistance thermique R th, l'élévation de température Dq due à une puissance P s'obtient par la relation : =R th. P. 2. Quelle est l'unité de la résistance thermique? C'est le K/W (à retrouver à partir de la relation) Le constructeur indique une résistance thermique R thjc de 2,4 SI entre la jonction (le cœur du composant) et le boîtier (en Anglais : case) et de 62,5 SI, notée R thca, entre le boîtier et l'air ambiant. Exercices électrothermie Page 4 sur 7 TS2ET

5 3. Élévation de température sans dissipateur a. Les deux résistances thermiques R thjc et R thca sont en série, en déduire la résistance équivalente. Les résistances thermiques en série s'ajoutent donc R eq = R thjc et R thca = 64,9 K/W. b. Calculer l'augmentation de température. =R eq. P=64,9.10=649 C c. La température de jonction ne doit pas dépasser 130 C et la température ambiante est supposée égale à 30 C, calculer la température de jonction et conclure. En additionnant l'élévation de température calculée précédemment à la température ambiante, on trouve 679 C ce qui entraînerait la destruction du composant. 4. Calcul du dissipateur Pour limiter la température de jonction à une valeur raisonnable, le thyristor est placé sur un dissipateur. La résistance thermique R thcs entre le boîtier et le dissipateur (heatsink en Anglais) est négligeable. Tout se passe comme si la résistance thermique R thcs (entre le boîtier et le dissipateur) était en série avec la résistance thermique R thsa (entre le radiateur et l'air ambiant) et l'association ainsi créée était en parallèle avec la résistance thermique R thca (entre le boîtier et l'air ambiant). Le schéma ci contre représente cette association ainsi que la résistance thermique entre la jonction et le boîtier. θ j : température de la jonction θ c : température du boîtier θ a : température de l'air ambiant a. La chaleur transitant en majorité par le radiateur, la résistance thermique R thca peut être remplacée par une résistance infinie. Exprimer la nouvelle résistance thermique R thja (entre la jonction et l'air ambiant) en fonction de R thjc, R thcs et R thsa. La résistance thermique entre le boîtier et le radiateur est supposée nulle (sa valeur n'étant pas donnée dans l'énoncé). Avec l'hypothèse de résistance infinie, tout se passe comme si R thca était un circuit ouvert et R eq = R thjc + R thsa b. Calculer la résistance thermique entre le radiateur et l'air ambiant pour que la différence de température entre la jonction et l'air ambiant ne dépasse pas 100 C. D'après la relation =R eq. P, il faut R eq = P = =10 K/W et comme R eq = R thjc + R thsa on obtient R thsa = 10 2,4 = 7,6 K/W. c. Calculer la résistance équivalente à l'association de R thcs, R thsa et R thca. En déduire que R thca est effectivement négligeable. Les résistances R thcs et R thsa sont en série et leur association est en parallèle avec R thca donc R eqca = R R R thcs thsa thca 7,6.62,5 = R thcs R thsa R thca 7,6 62,5 =6,78 K/W, cette valeur est très proche de la valeur de R thsa calculée lorsqu'elle était supposée seule. Exercice 8. Freinage d'une automobile Une voiture de masse M = 1350 kg roule sur autoroute horizontale à la vitesse constante de 130 km.h Calculer son énergie cinétique E c1. Exercices électrothermie Page 5 sur 7 TS2ET

6 E c1 = 1 2 m v 2 1= ,6 =880 kj (vitesse à exprimer en m/s) 2. Elle freine et sa vitesse atteint la valeur de 72 km.h 1. Calculer la nouvelle valeur de son énergie cinétique E c2 à cette vitesse. E c2 = 1 2 m v 2 2= ,6 =270 kj 3. On constate alors un échauffement des disques de freins. a. Quelle est l origine de celui ci? La différence entre les énergies cinétiques de début et fin de freinage a été reçue par les freins, cette énergie a entraîné l'augmentation de température. b. En déduire la quantité d énergie Q transférée aux disques. Q=E c1 E c2 = =610 kj c. Calculer leur température finale q f si la température initiale est égale à 40 C. On considérera que chacun des quatre freins est un disque homogène de 25 cm de diamètre et de 10 mm d épaisseur. Il faut utiliser la relation de l'acier. Q=m c avec m la masse des disques et c la capacité thermique massique Masse des disques : m= µ a.4. D2 4. e avec D leur diamètre, e leur épaisseur et µ a la masse volumique de l'acier soit m= µ a. D 2. e= , =15,3 kg D'où une élévation de température = Q m c = ³ =86,7 C, ce qui donne une température des 15,3.460 disques de 126,7 C. d. En réalité, une mesure effectuée sur les disques montre que leur température finale n est que de 100 C, commenter l écart constaté entre la valeur calculée et celle mesurée. Les disques échangent de l'énergie avec leur environnement, ils ne stockent pas toute l'énergie reçue Données : Masse volumique de l acier : 7800 kg.m 3 Capacité calorifique massique de l acier : C p = 460 J.kg 1. C 1 Exercice 9. Chauffage de l'habitacle d'une automobile On propose la modélisation suivante de l habitacle d une voiture : Vitres Parois non vitrées Surface (m 2 ) 3 6 Épaisseur (mm) 4 20 Conductibilité thermique (W.m 1.K 1 ) 0,8 0,04 La puissance échangée P entre deux milieux en régime permanent est donnée par la relation P= S R avec R la résistance thermique exprimée en m 2.K/W, P exprimée en W, S la surface d échange de chaleur exprimé en m 2 et Dq = q 2 q 1 la différence de température entre les deux faces du matériau en K. La résistance thermique est définie par R= e k avec e l'épaisseur du matériau exprimée en m et k la Exercices électrothermie Page 6 sur 7 TS2ET

7 conductibilité thermique exprimée en W.m 1.K 1. On chauffe l intérieur de l habitacle. On mesure une différence de température Dq v de 1,2 C entre deux faces des vitres ; la différence de température Dq nv entre deux faces des parois non vitrées est alors de 12 C. 1. Calculer la résistance thermique R v des vitres et la résistance thermique R nv des parois non vitrées du véhicule. Pour les vitres : R v = e v k v = ,8 = Km 2 /W Pour les surfaces non vitrées : R nv = e nv k nv = ,04 =0,5 Km2 /W 2. Calculer la puissance P v dissipée à travers les vitres. P v = S v v R v = 3.1, =720 W 3. Calculer la puissance P nv dissipée à travers les parois non vitrées du véhicule. P nv = S nv nv R nv = ,5 =144 W 4. Calculer la puissance P t de chauffe nécessaire pour conserver une température constante dans le véhicule malgré les pertes thermiques. C'est la somme des deux puissances calculées précédemment soit P t = 864 W 5. Quel est le pourcentage des pertes calorifiques par les vitres? C'est le rapport de la puissance perdue par les vitres sur la puissance totale soit vitrage...) 720 =85,3% (double 844 Exercice 10. Chauffe eau électrique On considère un chauffe eau électrique dont le ballon a une capacité de 150 L et la résistance chauffante a une puissance égale à 3000 W. 1. Calculer l'énergie thermique reçue par l'eau lorsque sa température est passée de 15 C à 60 C. Elle est donnée par la relation Δ Q=mc Δ θ avec m la masse de l'eau, c la capacité calorifique massique de l'eau et Δ Q l'élévation de température. Δ Q= =28,2 MJ 2. Pour obtenir l'élévation de température de la question précédente, le chauffe eau a fonctionné à puissance nominale pendant trois heures. Calculer l'énergie électrique reçue. L'énergie fournie par le chauffe eau est donnée par Δ W =P Δ t avec P la puissance du chauffe eau et Δ t la durée de fonctionnement. Δ W = =32,4 MJ 3. Comment expliquer la différence entre l'énergie thermique reçue par l'eau et l'énergie électrique reçue par le chauffe eau? Une partie de l'énergie transmise à l'eau a été dissipée dans l'environnement entourant le chauffe eau. Exercices électrothermie Page 7 sur 7 TS2ET