Travaux Pratiques d Optique

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1 FACULTÉ DES SCIENCES D ORSAY Travaux Pratiques d Optique Responsable: Yann BERTHO yann.bertho@u-psud.fr Licence L1 BCST Année

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3 Table des matières Modalités Comment rédiger un compte rendu iii v I Travaux pratiques d optique 1 1 Introduction à l optique Miroir plan Dioptre plan Lentilles minces Chambre noire Mesure de distance focale d une lentille mince Étude qualitative d une lentille convergente utilisée en loupe La méthode d autocollimation La méthode de Bessel Association de lentilles Discussion des résultats Spectroscopie Le spectroscope Mesures Appendice : lecture d un vernier 19 II Annexe théorique 21 Mesures, erreurs et incertitudes 23 L erreur n est pas une faute L incertitude est une évaluation de l erreur maximale Traitement classique et traitement statistique des erreurs La spectroscopie 27 Généralités Le prisme i

4 ii TABLE DES MATIÈRES

5 Modalités Les travaux pratiques d optique s effectuent en binômes, lors de séances de 3 heures. La présence des étudiants est obligatoire et toute absence non justifiée entraine une note nulle au TP concerné. Dans le cas d une absence justifiée (certificat médical), la moyenne est effectuée sur le nombre de TP auxquels l étudiant a participé. Les comptes rendus sont à rendre à la fin de la séance de TP, il est donc fortement recommandé de lire (préparer) son TP avant la séance. Tout compte rendu remis en retard sera sanctionné par des points de pénalité. Le matériel mis à votre disposition pour ces travaux pratiques est utilisé par un grand nombre d étudiants. Comme tout matériel, il est susceptible de se dégrader avec le temps, de s user, de tomber en panne ou de nécessiter des entretiens et des réglages. Il vous est demandé de manipuler ce matériel avec précaution et de signaler tout défaut nécessitant une intervention technique afin de le garder en bon état. iii

6 iv MODALITÉS

7 Comment rédiger un compte rendu Un compte rendu de TP est un document scientifique destiné à : présenter une problématique donnée à un lecteur (non nécessairement spécialiste du sujet) expliquer et justifier la démarche suivie lors des expériences, afin de résoudre une problématique ou mettre en évidence le phénomène physique souhaité. À ce titre, un compte rendu de TP doit être rédigé avec soin, de manière claire et concise en évitant toute forme de style littéraire. Plusieurs parties demeurent incontournables lors de la rédaction : Introduction : elle consiste à décrire succintement la problématique et la démarche entreprise pour y faire face. Dispositif expérimental : présenter le dispositif expérimental en précisant les grandeurs qui vous semblent pertinentes. Des schémas clairs et annotés sont souvent d une grande utilité pour la compréhension du lecteur. Cette description doit être suffisamment détaillée pour qu une personne n ayant pas vu l expérience soit en mesure de la reproduire à la lecture du compte rendu de TP. Résultats expérimentaux : les résultats expérimentaux se présentent la plupart du temps sous forme de graphiques ou de schémas (notamment dans le cas de travaux pratiques d optique où des constructions de tracés de rayons sont indispendables à la compréhension). Tout résultat présenté devra absolument être commenté et interprété ; un résultat présenté sans explication adjacente ne comporte aucune valeur. Conclusion : la conclusion doit en quelques lignes tirer une leçon du travail réalisé par rapport à l objectif initialement fixé. Le cas échéant, elle peut également être l occasion d apporter une appréciation personnelle sur les travaux réalisés (points forts et points faibles de la méthode utilisée, améliorations du dispositif expérimental,... ) v

8 vi COMMENT RÉDIGER UN COMPTE RENDU

9 Première partie Travaux pratiques d optique 1

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11 TP n 1 Introduction à l optique Le but général de ce TP est de se familiariser avec les notions de rayons lumineux, d objet et d image réels ou virtuels, de dioptres plans, de miroirs plans, de lentilles minces et de distance focale. Il est surtout question d observer et de décrire les expériences menées, puis de les expliquer en s appuyant sur les schémas habituels de tracés de rayon en optique. Beaucoup d initiative vous est demandée. Les différentes parties de ce TP sont indépendantes et peuvent être traitées dans l ordre de votre choix. 1.1 Miroir plan i) Observer l image d un objet (crayon, règle,...) dans un miroir plan. Où se trouve l image? Est-elle réelle ou virtuelle? Est-elle droite ou renversée? Est-elle agrandie ou réduite? Faire un schéma optique de ces observations. ii) Placer une feuille de papier millimétré à côté et dans le même plan que vos yeux. Fermer un œil et observer l image du papier dans le miroir : quelle est la dimension de la partie visible de cette image, délimitée par le miroir? Comparer à la taille du miroir. Expliquer à l aide d un schéma. Par analogie, peut-on prévoir la taille du miroir qu il faudrait utiliser pour qu une personne puisse s y voir debout en entier? La réponse dépend-elle de sa distance au miroir? Expliquer à l aide d un schéma. iii) Observer l image de votre œil ou d une pièce de monnaie dans l ensemble de deux miroirs plans orthogonaux en orientant l intersection des deux miroirs verticalement. Combien d images peut-on voir? Comment bougent ces images en pivotant l ensemble des deux miroirs autour de leur intersection? Faire un schéma et expliquer. 1.2 Dioptre plan On se propose ici d observer l image d une pièce de monnaie dans un verre d eau. Poser une pièce au fond d un gobelet. L un des étudiants du binôme observe le fond du gobelet selon un angle tel que la pièce soit cachée par le bord du gobelet, à la limite de visibilité. L autre étudiant remplit progressivement et lentement le gobelet d eau ; il ne faut pas que la pièce se déplace. Que constate l observateur? Voit-il une image de la pièce et si oui, de quelle nature (réelle ou virtuelle) et de quel sens? Décrire et expliquer. Faire un schéma du système optique pour deux hauteurs d eau différentes. 1.3 Lentilles minces Image d un objet étendu i) Pour apprendre à reconnaître les lentilles convergentes et divergentes, observer un texte sur une feuille de papier à travers une lentille placée contre lui, puis éloigner lentement la lentille de l objet. Qu observet-on? Faire cette expérience avec différentes lentilles. Peut-on préciser ce qui caractérise une lentille 3

12 4 TP N 1. INTRODUCTION À L OPTIQUE divergente et une lentille convergente? Faire un schéma optique de vos observations. ii) Regarder une diapositive contrastée à travers la lentille convergentel 1, à une faible distance (< 5 cm). Qu observe-t-on? Un objet ou une image? Et dans ce dernier cas, est-elle réelle ou virtuelle? Quelle est sa position? Décrire et expliquer à l aide de schémas. iii) Essayer de former une image de la même diapositive sur un écran placé sur le banc optique. Pour cela, il sera peut-être nécessaire de modifier la distance entre la source (lampe + diapositive) et la lentille. Observe-t-on une image sur l écran quelle que soit sa position? L image est-elle réelle ou virtuelle? Quel est son sens? Faire varier la distance entre la lentille et la source et rechercher, pour chaque position de la lentille, la position de l écran correspondant à une image nette. Y a-t-il une distance particulière à partir de laquelle ce que vous observez change? Schématiser et expliquer ces observations. iv) Remplacer la lentille convergente par une lentille divergente. Décrire ce qui a changé par rapport à la lentille convergente. Expliquer à l aide de schémas Étude d un œil L œil humain est formé d un dioptre sphérique (cornée) suivi d une lentille convergente (cristallin). On admet que cet ensemble est équivalent à une lentille mince convergente unique. L image de l objet observé par l individu est ainsi formée sur un écran (rétine) situé à environ 2,5 cm en arrière de la pupille puis transmise au cerveau via le nerf optique. i) Vous disposez d une maquette d œil de grande taille, très conforme à son modèle biologique. Former l image d un objet réel sur la rétine. L image est-elle réelle ou virtuelle? Est-elle droite ou renversée? La réponse à cette question vous satisfait-elle compte tenu de votre expérience quotidienne? Commenter. ii) Déplacer l objet et observer l effet du gonflement du cristallin sur l image formée. iii) Fabriquer un œil myope (i.e. trop convergent) en éloignant un peu la rétine de sa position précédente. L image de l objet est-elle encore nette? Comment peut-on corriger ce défaut? Placez devant l œil artificiel une lentille correctrice (lunettes) que vous pensez adaptée. La netteté de l image s améliore-t-elle? iv) Fabriquer de même un œil hypermétrope (i.e. trop peu convergent) et l affecter de "lunettes" pour le corriger. Résumer cette étude par des schémas appropriés Diaphragme Mettre en place une lentille convergente sur le banc optique et former l image d une diapositive sur un écran. Dans cette partie du TP, il vous est demandé d écrire, avant toute observation, ce que vous prévoyez comme résultat. Dans chaque cas, il faudra réaliser des schémas très précis de vos observations. i) Masquer une moitié de la lentille avec du papier épais. Pouvez-vous prévoir ce que vous devez observer sur l écran? L observation correspond-elle à vos prévisions? Expliquer. ii) Placer un diaphragme (plaque percée d un trou) circulaire contre la lentille. Quelles sont vos prévisions? L observation y correspond-elle? iii) Placer un diaphragme double contre la lentille. Pouvez-vous cette fois prévoir le résultat? Qu en est-il de vos observations?

13 1.4. CHAMBRE NOIRE 5 iv) Placer un diaphragme carré contre la lentille. Pensez-vous que la forme du diaphragme changera le résultat? Que révèlent vos observations? 1.4 Chambre noire Une chambre noire est une boîte fermée dont la face avant est percée d un petit trou, éventuellement muni d une lentille, et dont la face arrière est constituée d un écran (verre dépoli, papier calque,... ). Le principe de la chambre noire est connu depuis le XVI e siècle, notamment pour des travaux topographiques. On élabora un dispositif portable afin de pouvoir suivre les contours de l image projetée sur une feuille de papier ou une plaque de verre et de la reporter sur un autre support. La chambre noire qui vous est proposée comporte un gros trou. Une petite plaque noire percée de trois trous de tailles différentes peut être placée devant la face d entrée. L écran de papier calque est situé à 10 cm du trou. i) En utilisant le trou de plus faible diamètre, observer dans la pénombre l image d un objet contrasté. L image est-elle bien visible et bien nette? Est-elle réelle ou virtuelle? Quel est son sens (droite ou renversée)? Comment varie l image (sens, dimension, netteté, luminosité) lorsque la distance de la chambre à l objet est modifiée? Décrire soigneusement vos observations et faire un schéma optique de l appareil et du trajet des rayons lumineux. ii) Réitérer les mêmes expériences avec le trou de diamètre intermédiaire, puis avec le trou de plus gros diamètre. Quelles sont les modifications observées par rapport au petit trou? Faire un schéma du trajet des rayons lumineux.

14 6 TP N 1. INTRODUCTION À L OPTIQUE

15 TP n 2 Mesure de distance focale d une lentille mince Le but de ce TP est de mesurer la distance focale d une lentille par plusieurs méthodes expérimentales. Pour chacune d entre elles, on donnera les résultats avec les intervalles de confiance correspondants afin de comparer les différentes méthodes. À la lumière de ces résultats, on pourra discuter en fin de TP les avantages et inconvenients des méthodes étudiées (mise en œuvre, précision,... ). Certaines parties de ce TP nécessiteront l utilisation d un banc optique. Une fiche explicative située près de chaque banc optique rappelle la façon de mettre en place les différents éléments utilisés (source, lentilles, écran,... ). On fera particulièrement attention au décalage éventuel qui pourrait exister entre le repère gradué sur le pied des différents éléments et la position réelle de l objet portée par le pied. Tout écart introduit une erreur systématique, sauf s il a été mesuré correctement préalablement et que l on en tient compte pour corriger les mesures. 2.1 Étude qualitative d une lentille convergente utilisée en loupe Sans utiliser le banc optique et en prenant chacune des lentilles L 1 et L 2 dans la main, regarder à travers elles les caractères les plus petits d un texte. i) Peut-on placer la lentille à n importe quelle distance de l objet pour observer quelque chose de net? Quelle est la distance la plus souhaitable et pourquoi? Faire des schémas optiques pour appuyer vos observations. ii) Avec laquelle des deux lentilles observe-t-on le mieux les plus petits détails? Décrire et schématiser la procédure utilisée. L image observée est-elle réelle ou virtuelle, droite ou renversée? iii) Évaluer expérimentalement la distance focale de chacune des lentilles convergentes L 1 et L 2 et comparer les résultats (une évaluation n est pas une mesure précise, c est une estimation approximative dont on donnera les barres d erreur). 2.2 La méthode d autocollimation La méthode d autocollimation est une technique simple qui permet de mesurer la focale d une lentille mince convergente à l aide d un miroir plan placé derrière la lentille. 7

16 8 TP N 2. MESURE DE DISTANCE FOCALE D UNE LENTILLE MINCE Principe de la méthode : lorsqu un objet A se trouve au foyer objet d une lentille convergente L, les rayons émergent de celle-ci en un faisceau parallèle à l axe optique. Ce faisceau se réfléchit alors sur un miroir plan M, puis traverse à nouveau la lentille convergente pour former une image nette A dans le même plan que l objet. A A L M i) En s appuyant sur le principe de la méthode décrit ci-dessus, déterminer la position de la lentille L pour laquelle l image A formée se situe dans le même plan que l objet A et en déduire la distance focale de la lentille. On utilisera comme objet une source ponctuelle A (plaque percée d un petit trou) et on inclinera très légèrement le miroir M par rapport à la verticale afin de visualiser plus facilement l image A. Pour chaque lentille L 1 et L 2, on effectuera deux mesures de la distance focale et on donnera sa valeur avec un encadrement (argumenter le choix de l encadrement). ii) Qu observe-t-on dans le cas où l autocollimation n est pas réalisée? Faire un schéma optique. 2.3 La méthode de Bessel La méthode de Bessel consiste à fixer la distance D entre un objet AB et un écran E (en se basant sur les résultats précédents, on prendra D telle que D > f ). On peut alors montrer qu il existe deux positions P 1 et P 2 de la lentille L pour lesquelles l objet AB et l image A B sont conjugués, c est-à-dire que l un est l image de l autre à travers le système optique (image nette sur l écran). On notera a la distance entre ces deux positions. La formule de conjugaison des lentilles minces permet alors d obtenir la distance focale de la lentille, de la forme : f = D2 a 2 4D. L E B A F P 1 F A B D i) Pour la lentille de plus courte focale, rechercher les deux positions de la lentille définies ci-dessus et en déduire la distance a. ii) Dans les deux positions précédentes, le grandissement A B /AB est-il le même? Faire un schéma optique pour illustrer votre réponse. iii) Mesurer D avec le plus de précision possible et en déduire la distance focale de la lentille.

17 2.4. ASSOCIATION DE LENTILLES Association de lentilles Rappel : Lorsque l on associe deux lentilles, l image A B d un objet AB donnée par la première lentille, devient objet pour la seconde lentille qui en donne une image A B Système de deux lentilles convergentes Placer la lentille convergente L 1 sur le banc optique de façon à former une image réelle A B d un objet AB. Puis placer lentille L 2 sur le banc optique de façon à ce que A B devienne objet pour L 2, qui en donne une image réelle A B. Décrire ce que vos observations pour différentes positions de L 2 par rapport à A B et faire des schémas optiques dans les cas suivants : i) A B est un objet réel pour L 2. ii) A B est un objet virtuel pour L Mesure de la distance focale d une lentille divergente D i) Expliquer pourquoi il est nécessaire d associer à la lentille divergente D, une lentille convergente pour mesurer la distance focale de D. ii) Faire un schéma du montage et le réaliser avec les lentilles L 1 et D dans l ordre suivant : source L 1 D. Montrer qu il est nécessaire que D soit placée entre L 1 et l image A B. iii) Mesurer les positions de A B, A B et D. En utilisant la relation de conjugaison, calculer la distance focale de D. Est-il nécessaire de connaître la position de L 1? 2.5 Discussion des résultats À l issue de ces différentes évaluations de f pour chacune des lentilles à votre disposition, récapituler vos résultats (valeurs et intervalles de confiance) en vous aidant éventuellement d une représentation graphique. Pour chaque lentille, donner alors un seul résultat avec un seul intervalle de confiance.

18 10 TP N 2. MESURE DE DISTANCE FOCALE D UNE LENTILLE MINCE

19 TP n 3 Spectroscopie La spectroscopie est l ensemble des techniques qui permettent d analyser la lumière émise par une source lumineuse. Pour cela, on utilise un spectroscope qui permet d étuder le spectre d émission, c est-à-dire l ensemble des radiations émises par la source lumineuse. Au milieu du XIX e siècle, c est l allemand Gustav Kirchhoff qui postule l existence de différents types de spectres selon la nature de la source lumineuse. Ce TP est destiné à montrer qu à partir de la connaissance de son spectre d émission, il est alors possible d identifier un gaz. Nous rappelons deux résultats importants pour ce TP (voir l annexe théorique concernant la spectroscopie pour le détail concernant l établissement de ces formules) : 1. L indice n d un matériau qui compose un prisme peut être déterminé connaissant l angle au sommet du prisme A et de l angle de déviation minimum D m d une longueur d onde considérée. On a alors n = Dm+A sin 2 sin A. (3.1) 2 2. L indice n d un matériau dépend de la longueur d onde λ de la radiation qui le traverse, par conséquent, l angle de déviation minimum dépend aussi de cette longueur d onde. La variation de l indice de réfraction du matériau en fonction de la longueur d onde est donnée par la relation suivante dans le domaine des longueurs d onde visibles, où a et b sont des constantes. n = a+ b λ2. (3.2) Dans un premier temps, à l aide de lampes spectrales de longueurs d onde λ connues, un étalonnage du spectroscope va être effectué. On étudiera systématiquement la variation de D m en fonction de λ pour un prisme d angle au sommet A et on en déduira un étalonnage donnant la variation de l indice n en fonction de la longueur d onde λ. Dans un second temps, la mesure des angles D m, et donc des indices n correspondant à chaque raie d émission d un élément inconnu, va permettre, en utilisant l étalonnage précédent, de déduire les longueur d onde de l élément inconnu. Ces longueurs d onde premettront enfin d identifier cet élément en consultant la table donnant les longueurs d onde d émission des principaux éléments employés dans les lampes spectrales. 11

20 12 TP N 3. SPECTROSCOPIE 3.1 Le spectroscope Description Le spectroscope comporte trois parties : Le collimateur : il est constitué par une fente F placée dans le plan focal objet d une lentille L 1. Cette fente est éclairée par la source S et sa largeur est réglable au moyen d une vis micrométrique. Le prisme : les rayons incidents issus de la source arrivent sur le prisme et en ressortent deviés d un angle D qui dépend de la longueur d onde λ. Le prisme est fixé sur une plateforme rotative munie d un vernier permettant une lecture aisée des angles de déviation. La lunette : tous les faisceaux monochromatiques pénètrent dans la lunette d observation et viennent former dans le plan focal de l objectif L 2 des images réelles de la fente d entrée. Il y aura donc autant d images de la fente qu il y a de radiations monochromatiques dans la lumière émise par la source étudiée. Ces images réelles sont examinées à l aide de l oculaire L 3 jouant le rôle de loupe. Il donne de ces raies des images virtuelles très agrandies. La mise au point se fait en modifiant le tirage de l oculaire à l aide d une vis de crémaillère V 1. On utilise le prisme avec un faisceau parallèle ; c est à cette seule condition que l image d un point est un point (stigmatisme rigoureux) et non une tache. Ainsi, une fente lumineuse fine parallèle à l arète et situé à l infini dans une direction très précise, sera vue, à travers le prisme, avec la même finesse et dans une direction différente (déviation D) Réglage du spectroscope Après avoir réglé l oculaire pour voir nettement le réticule, enlever le prisme avec son support de la platine. Allumer la lampe spectrale au mercure (Hg) et placer la derrière la fente. Avec la vis F, ouvrir très légèrement la fente. Les bords de celle ci doivent apparaître nettement dans la lunette si elle est placée dans l axe du collimateur. Avec la vis V 2, régler la hauteur afin de voir l image de la fente au milieu de champ visuel et faite la pivoter si nécessaire de façon à ce qu elle apparaisse verticale. Placer ensuite le prisme sur la platine.

21 3.1. LE SPECTROSCOPE 13

22 14 TP N 3. SPECTROSCOPIE 3.2 Mesures Angle du prisme A i) Recevoir le pinceau de rayons issu du collimateur sur l arète du prisme de façon à ce qu il se partage à peu près également sur les deux faces utiles du prisme. Viser alors au moyen de la lunette, dans les pinceaux réfléchis, les images de la fente et noter leurs abscisses angulaires : x et x. Observez-vous des raies de différentes couleurs? Pourquoi? ii) Les directions des pinceaux réfléchis forment un angle égal à 2A, on a donc A = (x x)/2. Déterminer A. Cette valeur vous semble-t-elle en accord avec une évaluation visuelle de l angle au sommet du prisme? Source S Collimateur A x x 2A Angle de déviation minimum D m et étalonnage en longeur d onde La procédure expérimentale est la suivante : Le prisme est fixé sur une plateforme tournante. Orienter cette plateforme de manière à ce que les rayons issus du collimateur arrivent sur la face d entrée du prisme sous une grande incidence. Chercher le spectre de raies à l œil, puis positionner la lunette de manière à recevoir les rayons émergents (réfractés) du prisme. Lorsque l on suit une raie de couleur déterminée, on constate en tournant toujours la plateforme dans le même sens, que le rayon dévié se déplace dans un sens puis s arrête avant de repartir dans l autre sens. Cet arrêt correspond au minimum de déviation. Au voisinage de l angle pour lequel on a repéré la déviation minimale, bloquer la lunette (vis V 3 ) et utiliser V 2 de manière à centrer la raie sur le réticule de visée. Relever sur le vernier l abscisse angulaire x i correspondant au minimum de déviation. Réitérer cette mesure pour la position x i symétrique par rapport à l axe du collimateur. i) Pour chacune des raies observées, suivre la procédure décrite ci-dessus pour déterminer les absisses angulaires x i et x i. En déduire les angles de déviation minimum D m, tels que D m = x i xi 2. ii) En vous appuyant sur les tableaux ci-dessous qui indiquent les raies d émission des lampes au mercure (Hg) et au cadmium (Cd), tracer sur le même graphique la courbe courbe d étalonnage du spectromètre D m = f(λ)

23 3.2. MESURES 15 Source S Collimateur D m x i 2D m x i Mercure (Hg) Raie d émission Longueur d onde Intensité doublet jaune 579,1 nm forte 577,0 nm forte verte 546,1 nm forte bleue 491,6 nm faible bleue-violette 435,8 nm forte violette 407,8 nm moyenne 404,7 nm moyenne Cadnium (Cd) Raie d émission Longueur d onde Intensité rouge 643,8 nm forte rouge 632,5 nm faible verte 508,6 nm forte bleue 480,0 nm forte bleue 467,8 nm forte violette 441,5 nm faible

24 16 TP N 3. SPECTROSCOPIE Détermination des raies d un spectre d émission d une lampe inconnue On utilise maintenant comme source une lampe inconnue que l on souhaite identifier. i) Pour chacune des raies émises pas la lampe inconnue déterminer l angle de déviation minimum D m. ii) En utilisant la courbe d étalonnage du spectromètre établie précédemment, en déduire les longueurs d onde émises par la source inconnue. iii) En se référant aux spectres représentés ci-après et aux tableaux fournissant les valeurs des longueurs d onde d émission de différents éléments, identifier l élément de la lampe inconnue. Longueurs d onde dans le spectre visible des raies intenses de quelques éléments Cadmium Cesium Helium Mercure Potassium 441,5 455,5 * 402,6 404,7 * 404,4 * 467,8 * 459,3 * 438,8 407,8 404,7 480,0 * 519,7 447,1 435,8 * 418,6 508,6 * 525,7 447,1 * 491,6 693,6 515,4 584,4 492,2 546,1 * 766,5 * 609,9 601,0 501,6 577,0 769,9 * 611,1 603,4 504,8 579,1 * 632,5 621,3 587,6 * 633,0 638,7 667,8 643,8 658,6 706,5 734,6 * 658,6 * 728,1 738,5 * 672,3 * 739,9 * 687,0 697,3 * 722,9 * Sodium Neon Zinc Thallium Rubidium 449,4 603,0 * 468,0 535,0 * 420,2 * 449,8 607,4 * 477,2 * 655,0 421,6 568,8 614,3 * 481,1 * 671,4 536,3 588,995 * 633,4 * 518,2 543,2 589,592 * 638,3 * 636,2 * 565,4 640,2 * 607,1 * 650,7 * 616,0 * 659,9 * 629,9 * 692,9 * 703,2 * 717,4 * 724,5 * 703,2 * (les longueurs d onde sont exprimées en nm et les raies les plus intenses sont signalées par * ) Détermination de la loi de variation n(λ) i) Calculer l indice n pour chacunes des raies des lampes Hg et Cd. ii) Tracer la courbe n = f(1/λ 2 ) et en déduire que la loi de la variation de n peut se mettre sous la forme n = a+ b λ 2, où l on déterminera les valeurs de a et b. iii) Quelle est la variation relative de n dans le domaine de longueur d onde utilisé (400 nm< λ <650 nm).

25 3.2. MESURES 17 Spectres, dans le visible, des raies intenses de quelques éléments

26 18 TP N 3. SPECTROSCOPIE

27 Appendice : lecture d un vernier Un vernier est l ensemble de deux règles graduées, l une fixe et l autre mobile (cette dernière étant le plus souvent le vernier proprement dit), se déplaçant l une par rapport à l autre et telles que n divisions du vernier aient même longueur que n 1 divisions de la règle fixe : L = (n 1)D = nd, (3.3) avec D la longueur d une division de la règle fixe et d la longueur d une division du vernier. La différence de longueur entre D et d est donc D d = D n. (3.4) I. Vernier au 1 10ième : exemple du pied à coulisse Pour une même longueur L = 9 mm, il y a 10 1 = 9 divisions sur la règle fixe et 10 divisions sur le vernier. D = 1mm, d = 0,9mm et D d = 0,1mm (3.5) Lecture Plusieurs cas sont possibles : i) Le zéro du vernier coïncide avec le zéro de la règle fixe, comme sur la figure précédente ; la lecture est alors 90 mm. ii) Le zéro du vernier se situe entre deux graduations de la règle fixe 19

28 20 APPENDICE : LECTURE D UN VERNIER La lecture est comprise entre 92 mm et 93 mm, soit x = (92+ε)mm, où ε représente l avance du 0 du vernier par rapport à la plus proche graduation inférieure de la règle fixe. Si N est le numéro de la division du vernier coïncidant avec une division de la règle fixe, on montre que : ε = (D d)n. Dans le cas ci-dessus N = 8, donc ε = 0,8mm et on mesure donc : Remarque x = (92,8± 0,1)mm. Il arrive parfois qu aucune division du vernier ne coïncide avec une division de la règle fixe. Dans ce cas, on écrit x = 92,4mm à 0,1mm près par défaut, ou x = 92,5mm, à 0,1mm près par excès. II. Vernier au 1 ième : exemple du vernier du spectroscope 20 La règle a été représentée linéairement; elle est en réalité circulaire. 30 divisions du vernier représentent le même angle θ que (30-1) divisions de la règle fixe. D = 1 2 = 30 (3.6) d = 29 (3.7) θ = = = 29D = 30d (3.8) D d = 1 (3.9) Ce vernier permet d apprécier la minute d angle. On rapelle que 60 = 60 minutes d angle = 1. Lecture Sur le schéma ci-dessus, on lit : θ = ε. On montrerait comme précédemment que ε = N(D d), où N est le numéro de la division du vernier qui coïncide avec une division de la régle fixe. Ici N = 3 donc ε = 3. On mesure donc finalement : θ = ±1.

29 Deuxième partie Annexe théorique 21

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31 Mesures, erreurs et incertitudes L erreur n est pas une faute La mesure d une grandeur, quelle qu elle soit, donne un résultat X qui est en général différent de la valeur X 0 que l on cherche à mesurer (et que nous appellerons valeur de référence). Une mesure mal faite avec de mauvais appareils donnera un résultat qui peut être très différent de la valeur cherchée. Une mesure bien faite, avec de bons appareils, donnera en général un résultat proche de la valeur cherchée. Mais dans tous les cas, il existe un écart inévitable entre le résultat de la mesure et la valeur de référence, quelle que soit la qualité de l appareillage et quelles que soient les précautions prises lors de la mesure. En effet, si l on effectue plusieurs mesures successives de la même grandeur, on constate que l on obtient des résultats différents à chaque mesure. La dispersion des résultats de mesure est normale : les appareils ne sont pas parfaits, les graduations sont plus ou moins épaisses, les conditions de mesure (température, humidité) varient à chaque essai, un mauvais éclairage, une mauvaise vue, la fatigue,..., autant de paramètres qui provoquent des erreurs de lecture plus ou moins importantes. Toutes ces causes et bien d autres entraînent une dispersion des résultats obtenus lors de mesures successives. Bien sûr, cette dispersion est en général faible pour des appareils de bonne qualité et dans de bonnes conditions expérimentales, mais elle n est jamais nulle. Tous ces écarts, qui s additionnent (ou se retranchent) les uns aux autres, se produisent de façon aléatoire, fluctuant d une mesure à l autre : c est ce qui conduit à un résultat erroné et variable. On dit que le résultat est entaché d une erreur aléatoire. Cela signifie que l erreur se produit au hasard, de façon imprévisible. Lorsque l erreur aléatoire est faible, on dit que la mesure est précise. La dispersion des résultats de mesures successives est alors faible. Une dispersion des mesures faible ne veut pas nécessairement dire que les résultats obtenus sont proches de la valeur de référence. En effet, il peut arriver qu un appareil soit mal étalonné. C est le cas d une balance qui indiquerait 515 g lorsqu on dépose une masse de 500 g dessus. Un tel défaut de l appareil provoque un écart entre la valeur mesurée et la valeur de référence. On appelle ce phénomène erreur systématique dans le sens qu elle est reproductible et identique d une mesure à l autre, contrairement à l erreur aléatoire. Cela ne signifie pas que l erreur systématique soit inévitable : en utilisant un matériel de très bonne qualité, en apportant un soin particulier aux réglages de zéro, d alignement, à l élimination des phénomènes parasites, etc, on peut la réduire. Il n en reste pas moins que la possibilité d une erreur systématique subsiste si elle n est pas décelée. Lorsque l erreur systématique est faible, on dit que la mesure est exacte. Encore une fois : cela ne signifie pas que le résultat d une mesure exacte est la valeur de référence. Il s agit ici de faire la distinction entre langage courant et langage scientifique. Enfin, soulignons le fait que la précision et l exactitude d une mesure sont indépendantes : on peut réaliser une mesure imprécise mais exacte, précise et exacte, etc. L incertitude est une évaluation de l erreur maximale On définit l erreur e comme la différence entre la valeur mesurée X et la valeur de référence X 0 que l on cherche à atteindre : e = X X 0. Comme la valeur de référence X 0 n est pas connue (puisqu on essaie de la mesurer!), l erreur reste donc toujours inconnue, en grandeur et en signe. Néanmoins, pour chaque mesure, elle a une valeur algébrique 23

32 24 MESURES, ERREURS ET INCERTITUDES bien déterminée. On cherche donc à estimer une valeur maximale X de la valeur absolue de l erreur, que l on appelle incertitude : e = X X 0 X. On écrit alors la valeur cherchée sous la forme : X 0 = X ± X ou X X X 0 X + X. Ces deux écritures sont équivalentes et définissent un intervalle de confiance à l intérieur duquel on affirme ainsi que la valeur de référence a toutes les chances (100%) de se trouver. Pour que cette affirmation soit la plus juste possible, il est essentiel de majorer avec largeur l erreur par l incertitude. Des évaluations d incertitude trop optimistes risquent de conduire à un intervalle trop étroit, pour lequel la valeur cherchée aura plus de chances d être à l extérieur qu à l intérieur. Inversement, un intervalle de confiance trop pessimiste (large) rend la mesure trop imprécise. Aucun extrême n est satisfaisant puisqu aucun n apportera d information concrète sur la valeur cherchée. L incertitude peut être estimée par un calcul classique, soit d après les indications du constructeur de l appareil de mesure, soit par une évaluation (personnelle, donc) si l appareil de mesure est simple. On peut ainsi estimer que la mesure d une longueur est précise à 1/2 graduation près (c est le consensus général) si l éclairage est bon, et si l expérimentateur a une bonne vue. Quel que soit le choix de l incertitude, il est essentiel de le discuter et l expliquer : c est cela, une démarche scientifique. L incertitude X est appelée incertitude absolue : elle a les mêmes dimensions que X et s exprime donc dans les mêmes unités. C est souvent elle que l on évalue par une mesure directe, mais elle n est pas toujours une bonne indicatrice de la précision de la mesure : mesurer 10 km à 10 cm près est beaucoup plus précis que mesurer 1 m à 10 cm près. C est donc la comparaison de l incertitude avec la valeur mesurée qui représente la précision de la mesure : c est l incertitude relative X X. L incertitude relative est une grandeur sans dimension, que l on a l habitude d exprimer en %. Plus elle est faible et plus la mesure est précise. Ainsi, 10 km mesurés à 10 cm près donnent X X = = 10 5 = 0,001% alors que le second cas précité donne 3 X X = = 10 1 = 10%, ce qui rétablit l idée intuitive de la précision de ces mesures. Si plusieurs mesures de la même grandeur sont effectuées, on dispose de plusieurs intervalles de confiance pour la valeur de référence. Pour donner un résultat final unique, il faut déterminer l intersection de tous ces intervalles. Cet intervalle final est en général plus petit que tous les intervalles de toutes les mesures. Si, après deux mesures par exemple, les deux intervalles de confiance ne s intersectent pas, les résultats sont dits incompatibles. Ils sont la preuve manifeste, dans une des mesures au moins, soit d une erreur grossière (de lecture de calibre par exemple), soit d une sous-évaluation des incertitudes. Lorsque la grandeur cherchée est liée à des grandeurs mesurables par un calcul (R = U/I), l incertitude doit être calculée en fonction des incertitudes des grandeurs mesurées. C est l objet des calculs d incertitude, que l on effectue en général à l aide de différentielles. Il est alors bon de se rappeler les deux règles suivantes : Combien de chiffres significatifs? y = a+b c = y = a+ b+ c, y = ab = y c y = a a + b b + c c. Le nombre de chiffres significatifs est le nombre de chiffres ayant une signification réelle compte-tenu de l incertitude. Il ne faut pas le confondre avec le nombre de chiffres après la virgule. Prenons un exemple : i) 85,639 possède cinq chiffres significatifs (dont trois après la virgule). L incertitude porte ici sur le chiffre 9. ii) 8563,9 possède cinq chiffres significatifs (dont un après la virgule). L incertitude porte encore sur le chiffre 9. iii) 8563,900 possède sept chiffres significatifs (dont trois après la virgule). L incertitude porte sur le dernier 0. Cette écriture correspond à un résultat cent fois plus précise que le précédent.

33 MESURES, ERREURS ET INCERTITUDES 25 L incertitude, qu elle soit calculée ou estimée, n est jamais connue elle-même avec une grande précision. On l arrondit généralement à un ou deux chiffres significatifs. Comme elle doit être un majorant de l erreur, on l arrondit toujours à la valeur supérieure. Après le calcul de l incertitude, on ajuste le nombre de chiffres significatifs du résultat trouvé. On écrit par exemple : X = (8,02±0,06)m et non X = (8,02137±0,0574)m X = (8,0±0,3)m et non X = (8±0,254)m Traitement classique et traitement statistique des erreurs Il est assez courant, surtout dans les sciences exactes, de ne faire qu une seule mesure d une grandeur inconnue. L incertitude est alors évaluée selon les principes exposés dans le paragraphe précédent, selon les caractéristiques des appareils utilisés, et les conditions de mesure. C est le traitement classique. Il est aussi possible d effectuer un traitement statistique d une série de plusieurs mesures d une même grandeur. Dans ce cas assez fréquent dans les sciences de la vie dans lesquelles la dispersion des résultats est souvent plus importante qu en physique ou en chimie il n est plus nécessaire de connaître les caractéristiques des appareils utilisés ou les conditions de mesure. C est la série de résultats elle-même qui permet de déterminer l intervalle de confiance dans lequel on peut affirmer que doit se trouver la valeur de référence, avec une certaine probabilité.

34 26 MESURES, ERREURS ET INCERTITUDES

35 La spectroscopie Généralités Nous avons tous la notion intuitive de la lumière, la première étant celle du jour. Puis vient la notion de source de lumière : sources primaires (Soleil, étoile, lampe,... ) ou sources secondaires (Lune, objet éclairé,... ). Nos yeux sont sensibles à la lumière : on dit qu ils sont des récepteurs de lumière. Un écran, une cellule photoélectrique, une plaque photographique sont aussi des récepteurs de lumière. Entre la source et le récepteur, la lumière se propage. Nous savons par l observation courante qu elle se propage en ligne droite : observation d un rayon de soleil pénétrant dans une pièce sombre, observation des bords rectilignes du faisceau lumineux d un phare, etc. En fait, le principe de propagation rectiligne de la lumière cesse d être vérifié quand on impose à la lumière de passer par des ouvertures de très petites dimensions ou de contourner des obstacles de très petites taille. En effet, la lumière est un phénomène vibratoire (fréquence ν) se propageant à une certaine vitesse v. Tant qu elle ne rencontre que des discontinuités du milieu de dimensions beaucoup plus grandes que sa longueur d onde λ (λ = v/ν), elle n est pas affectée et suit son trajet rectiligne ; en revanche, si la dimension du trou ou de l obstacle devient de l ordre de sa longueur d onde, alors la propagation de l onde se trouve perturbée et n est plus rectiligne : c est le phénomème de diffraction. Dans la suite de ce résumé, nous supposerons toujours que les ouvertures ou obstacles placés sur le trajet de la lumière sont suffisamment grands pour pouvoir négliger les phénomènes de diffraction et s en tenir au principe de propagation rectiligne. L association de ce principe et des lois de Descartes permet de trouver l ensemble des résultats de l optique géométrique. Nous avons dit que la lumière était un phénomène ondulatoire de fréquence ν et de vitesse de propagation v. Une lumière constituée par un signal de fréquence bien déterminée est appelée radiation monochromatique (par exemple la lumière jaune émise par une lampe au sodium ou la lumière émise par un laser). Par contre, la lumière émise par le soleil est la juxtaposition d une infinité de radiations monochromatiques que l on peut observer, en partie, dans un arc en ciel. La lumière émise par une lampe à décharge (ou lampe spectrale) contient un petit nombre de radiations bien déterminées. Une radiation monochromatique est donc caractérisée par sa fréquence ν qui ne dépend pas du milieu traversé. Pendant une période T = 1/ν, la radiation parcourt dans le milieu transparent un trajet λ = v/ν que l on appelle longueur d onde, où v est la vitesse de propagation dans le milieu. Cette vitesse est maximale dans le vide, on la désigne par c : c = m s 1. Remarque : dans la pratique, pour caractériser une radiation, on utilise sa longueur d onde dans le vide λ 0 = c/ν. Voici quelques points de repère pour les valeurs de λ 0. 27

36 28 LA SPECTROSCOPIE Dans les milieux matériels transparents, la vitesse de propagation v est toujours inférieure à c. On caractérise donc ces milieux par le rapport c/v que l on appelle l indice absolu n du milieu. n = c v, toujours > 1. Donnons quelques exemples de valeurs d indice : Milieu Indice vide 1, air 1, eau 1,33 verre 1,5 à 1,7 diamant 2,42 En toute rigueur, il faut savoir que la vitesse de propagation de la lumière ne dépend pas que du milieu traversé mais aussi de la fréquence de la radiation (ou des radiations) composant cette lumière. Autrement dit, pour deux radiations monochromatiques de fréquences ν différentes, le même milieu a deux indices n différents. Dans le domaine visible, on peut donner la relation suivante entre l indice n d un milieu et la longueur d onde λ : n = a+ b λ 2. Dans la pratique et par convention les valeurs données pour n correspondent à la lumière jaune (raie D du sodium), zone moyenne du spectre visible. L écart entre les indices extrêmes et l indice pour la lumière jaune est généralement faible et, sauf pour l étude de la dispersion, nous ne tiendrons pas compte de cette variation. Le prisme Définition Un prisme est un milieu transparent limité par deux dioptres plans non parallèles BP et BP. On supposera toujours que le prisme est plus réfringent que le milieu extérieur (n prisme > n ext ) et que les rayons lumineux tombant sur le prisme sont situés dans un plan de section principale. B A P P Marche d un rayon lumineux Un rayon incident SI contenu dans un plan de section principale (plan de la figure) arrive sur la première face du prisme sous l angle d incidence i. Puisque le prisme est plus réfringent que le milieu extérieur, ce rayon peut toujours pénétrer dans le prisme. La 1 ere loi de Descartes affirme qu il reste dans le plan de la figure. La 3 eme loi de Descartes (n 1 sini = n 2 sinr) affirme qu il se rapproche de la normale. Ici, on posera n2 n 1 = n (où n > 1) donc sini = nsinr. Le rayon va ensuite frapper la face de sortie sous une incidence r. Mais cette fois, le rayon allant d un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent, il existe un angle limite d incidence i lim tel que sini lim = 1. Donc deux cas : 1) si r > i lim, il n y a pas de rayon émergent du prisme. 2) si r < i lim, il y a un rayon émergent, faisant un angle i avec la normale.

37 LA SPECTROSCOPIE 29 Au total, le rayon a été dévié par le prisme d un angle D, angle entre le rayon incident SI et le rayon émergeant I S : D = (i r)+(i r ) S i I r A A r K I i D I : point d incidence I : point d émergence K : intersection des normales L : intersection des rayons incidents et dévié D : angle de déviation n 1 n 2 S Formules du prisme Les lois de Descartes donnent sini = nsinr et nsinr = sini. Soit K le point d intersection des normales en I et I alors les angles en A et K sont supplémentaires (A + ÎKI = 180 ). Comme par ailleurs, ÎKI +r+r = 180, on en déduit que A = r+r. Donc D peut se mettre sous la forme : D = i+r A. On obtient donc les quatre formules fondamentales : sini = nsinr, sini = nsinr, A = r+r, D = i+i A. Conditions d émergence d un rayon incident Tout rayon incident pénètre dans le prisme mais il n en sort pas nécessairement. On appelle i lim l angle limite : sini lim = 1/n. Il y a émergence si : i lim < r < +i lim Condition sur A D après les formules du prisme, on a alors i lim < A r < +i lim. La valeur maximale de r correspond à l incidence rasante. r max = i lim 0 A 2i lim ) Remarque : L angle limite dépend de l indice, donc de la longueur d onde. La condition d émergence pourra donc être vérifiée pour certaines longueurs d onde et pas pour d autres. Condition sur i Pour un prisme d indice n donné et d angle A donné, on a : i lim < A r < +i lim A i lim < r < A+i lim. Comme r i lim, l inégalité r A + i lim est toujours vérifiée. il faut donc vérifier A i lim r ou : sin(a i lim ) sinr. On appelle i 0 l angle d incidence minimum. i 0 vérifie la relation : sini 0 = nsin(a i lim ). Pour un prisme d angle A et d indice n, il n y a émergence que pour des rayons incidents d angle i > i 0. En résumé : si A > 2i lim aucun rayon ne peut ressortir. si A 2i lim tous les rayons incidents compris dans la région hachurée peuvent ressortir.

38 30 LA SPECTROSCOPIE Étude de la déviation D Nous allons considérer comme constants successivement deux des trois paramètres A, n ou i et étudier les variations de D en fonction du troisième. Variation de D en fonction de i On considère un prisme d angle A donné, éclairé par une lumière monochromatique. L indice n est donc donné. Compte tenu du principe de retour inverse de la lumière, si à un angle d incidence i = i 1 i 0 correspond un angle d émergence i = i 2, à un angle d incidence i = i 2 correspond un angle d émergence i = i 1. Pour ces deux valeurs de i (i 1 et i 2 ), la déviation D = i 1 +i 2 A est la même. Ainsi, puisque la déviation varie en fonction de l angle i d incidence, elle passe nécessairement par un minimum (ou un maximum) qui est atteint lorsque i = i = i m On peut déduire des quatres equations du prisme la loi de variation de D en fonction de i. dd di = 1 cosicosr cosi cosr. D est extremum pour dd di = 0, donc pour cosicosr = cosi cosr. On peut éliminer r et r qui sont liés à i et i. On montre alors que : dd di = 0 et i = ±i. Commei = i est impossible (on auraitr = r d oùa = 0), on a la déviation minimum pouri = i m = i D m = 2i m A et r m = A 2. On peut donner l indice en fonction de D m : n = sini m /sinr m. n = sin( D m+a) 2 sin A. 2 Remarque : Approximation des petits angles. Si les angles A et i sont petits, les équations du prisme s écrivent : i nr, i nr, A r+r, D i+i A = n(r +r ) A = A(n 1). Récapitulatif

39 LA SPECTROSCOPIE 31 i i dd di D i 0 π 2 D 0 = i 0 + π 2 A i m i m 0 D m π 2 i 0 1 D 0 = i 0 + π 2 A Variation de D en fonction de A On suppose i et n constants, on peut déduire des quatre équations du prisme la loi de variation de D en fonction de A. dd da = ncosr cosi 1. Comme r < i, on a toujours dd da > 0. Pour i et n donnés, la déviation augmente en fonction de l angle du prisme. Pour A 3 > A 2 > A 1 on a : D m3 > D m2 > D m1 et : D 03 > D 02 > D 01 Variation de D en fonction de n On suppose i et A constants, on peut déduire des quatre équations du prisme la loi de variation de D en fonction de n : dd da = n sina cosi cosr Cette fonction est toujours positive. La déviation augmente avec l indice. Application : Dispersion par un prisme. D augmente avec n pour a et i fixé. L indice pour le violet est supérieur à celui du rouge. Lorsque l on éclaire un prisme avec un faisceau parallèle de lumière polychromatique, on sépare les différentes composantes de cette lumière.

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