Exercices corrigés de SQ20

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1 1 Exercices corrigés de SQ2 Corrigés TD 1 à 4 Printemps 215 responsable de l'uv : André Turbergue

2 SQ2 TD1 : espaces probabilisés TD1 : espaces probabilisés 1 Énoncés Exercice 1. Calculer si possible une constante réelle α telle qu'il existe une probabilité P sur N vériant P ({n}) α pour tout n N. 2n Exercice 2. Partie A On considère une suite (u n ) n N vériant pour tout entier n supérieur à 1, u n 1 2 u n u n 1 Démontrer que (u n ) n N est une suite arithmétique. Partie B Soit p un entier naturel xé supérieur à 2 et n un entier tel que n p. Une particule est placée sur un axe gradué, initialement au point I d'abscisse n. On lance autant de fois que nécessaire une pièce de monnaie équilibrée. À chaque obtention de Face, la particule avance d'une unité vers la droite. À chaque obtention de Pile, la particule recule d'une unité vers la gauche. Le jeu s'arrête dès que la particule atteint le point A d'abscisse zéro ou le point B d'abscisse p. On note u n la probabilité pour que le jeu s'arrête en A. 1. Que valent u et u p? 2. On note F l'événement : obtenir Face au premier lancer de la pièce et A n l'événement : le jeu s'arrête en A. Démontrer que pour tout entier n tel que 1 n p 1, on a u n 1 2 u n u n 1 3. En déduire u n en fonction de n et p. 4. Quelle est la probabilité pour que le jeu ne s'arrête jamais? Partie C Un joueur joue au casino une succession de parties indépendantes. À chaque partie, la probabilité qu'il a de gagner un euro est égale à 1/2 et celle de perdre un euro est aussi égale à 1/2. Au départ le joueur a une cagnotte de n euros. Le jeu s'arrête dès que le joueur est ruiné ou dès qu'il a en sa possession la somme de p euros (où p est un entier strictement supérieur à n). Quelle la probabilité que le joueur nisse ruiné? UTBM printemps 215 page 2

3 SQ2 TD1 : espaces probabilisés 2 Corrigés Exercice 1. On sait que la série géométrique ( 1 2 On cherche α tel que P (N) + n + n ( 1 2 ) n est convergente et admet pour somme : ) n 1 α + 2 n α n ( ) n 2α 1, ce qui donne α 1 2. Exercice 2. Partie A Posons r u1 u. Démontrons par récurrence sur n N que un+1 un r L'égalité est vériée au rang initial n par dénition de r. Soit k N. Supposons que uk+1 uk r. Démontrons alors, sous cette hypothèse, que l'égalité est vraie au rang k + 1. Par hypothèse, uk u k u k. D'où uk+2 + uk 2 uk+1 D'où uk+2 uk+1 uk+1 uk Or, d'après l'hypothèse de récurrence, uk+1 uk r On en déduit que uk+2 uk+1 r Conclusion : selon le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, un+1 un r. Autrement dit : n N, un+1 un + r Ainsi (un)n N est une suite arithmétique. Partie B 1. u 1 : la particule se trouve initialement au point A et elle s'arrête en A avant même de commencer sa marche. up : si au départ la particule est en B (point d'arrêt), elle ne pourra pas atteindre le point A. 2. La pièce de monnaie étant équilibrée, P (F ) P (F ) 1 2 où F désigne l'événement : obtenir Pile au premier lancer de la pièce. Comme 1 n p 1, la particule eectue au moins un déplacement, et on établit une relation de récurrence, en conditionnant par le résultat du premier lancer de la pièce. - Si on obtient Face au premier lancer de la pièce, tout se passe alors comme si la particule commençait sa marche au point d'abscisse n + 1. Donc PF (An) un+1 - Si on obtient Pile au premier lancer de la pièce, tout se passe alors comme si la particule commençait sa marche au point d'abscisse n 1. Donc P F (An) un 1 Les événements F et F forment une partition de l'univers Ω. La formule des probabilités totales permet d'écrire : P (An) P (F ) PF (An) + P (F ) P F (An) c.à.d. un 1 2 u n u n 1 3. On a aaire à une suite (nie) vériant la relation de récurrence de la partie A. L'égalité un 1 2 u n u n 1 est vraie pour tout entier naturel n compris entre 1 et p 1. Les termes u, u1, u2,..., up sont ceux d'une suite arithmétique dont nous noterons r la raison. Pour tout entier n tel que n p, un u + n r avec u 1 et up u + p r On en déduit que 1 + p r puis que r 1 p Par conséquent pour tout entier n tel que n p, un 1 n p 4. Notons Bn l'événement : le jeu s'arrête en B et posons vn P (Bn). On choisit pour nouveau repère le repère d'origine B dans lequel le point A a pour abscisse p. Dans ce repère, le point I a pour nouvelle abscisse m p n. En procédant comme précédemment, on obtient vn 1 m p UTBM printemps 215 page 3

4 SQ2 TD1 : espaces probabilisés Donc vn 1 (p n) p n p Notons Cn l'événement : le jeu ne s'arrête jamais. Les événements An, Bn et Cn sont deux à deux incompatibles et leur réunion est égale à l'univers Ω. Alors P (An) + P (Bn) ( + P (Cn) ) 1. D'où P (Cn) 1 P (An) P (Bn) 1 un vn 1 1 n p n p. Ainsi P (C n) Partie C L'expérience aléatoire de cette partie est diérente de celle de la partie B. On garde cependant le même modèle : le jeu peut en eet être représenté par le mouvement d'une particule sur l'axe gradué précédent, obéissant aux mêmes règles de déplacement. La cagnotte du joueur à chaque instant correspond à l'abscisse de la particule sur l'axe. La probabilité que le joueur nisse ruiné est la probabilité pour que la particule arrête sa marche au point A (le point de cagnotte nulle). Cette probabilité est un 1 p n UTBM printemps 215 page 4

5 SQ2 TD2 : variables aléatoires discrètes TD2 : variables aléatoires discrètes 1 Énoncés Exercice 1. Un restaurant propose 3 menus diérents X, Y, Z et on suppose que chaque client choisit au hasard l'un quelconque des trois menus, les choix des diérents clients étant indépendants les uns des autres. Chaque client ne choisit qu'un seul menu. Soit n est un entier tel que n 3. Un jour donné, n clients se présentent au restaurant et on note X n (respectivement Y n, Z n ) le nombre aléatoire de clients choisissant le menu X (respectivement Y, Z). 1. Quelle est la loi de X n ( respectivement de Y n, Z n )? Donner son espérance et sa variance. 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire n X n. Exprimer l'espérance (resp. la variance) de n X n en fonction de n. 3. Que vaut X n + Y n + Z n? En déduire la loi de Y n + Z n. 4. Quelle est la probabilité que tous les clients choisissent le même menu? 5. Calculer la probabilité P ([X n ] [Y n ] [Z n ]). En déduire la probabilité que le restaurateur soit obligé de préparer au moins une fois chacun des trois menus. 6. On suppose dans cette question que n est un multiple de 3. Déterminer la probabilité pour que les trois menus soient choisis par le même nombre de clients. Exercice 2. On dispose d'une urne U contentant initialement quatre boules indiscernables au toucher : 2 boules noires et 2 boules blanches. On considère l'expérience aléatoire suivante : On tire au hasard et simultanément deux boules dans l'urne U. Si les deux boules sont de même couleur, on enlève ces deux boules de l'urne U. Si elles ont des couleurs diérentes, on repose les deux boules dans l'urne U puis on recommence l'expérience jusqu'à ce que l'urne U soit vide. On note X le nombre de tirages nécessaires pour que l'urne U soit vide. On désigne par A 1 l'évènement : au premier tirage dans l'urne U, les deux boules sont de même couleur et on note a sa probabilité, c'est-à-dire a P (A 1 ). 1. Déterminer a. 2. Calculer P (X 1), P (X 2) et P (X 3). 3. Montrer que, pour tout entier n 2, P (X n) a(1 a) n Établir que la variable aléatoire Z X 1 suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. 5. Donner l'espérance et la variance de Z puis l'espérance et la variance de X. UTBM printemps 215 page 5

6 SQ2 TD2 : variables aléatoires discrètes Exercice 3. Médian 214. Une machine fabrique en série des balles de ping-pong. Certaines balles fabriquées présentent un défaut. C'est le cas pour 12% des balles. On suppose que le nombre de balles produites en 5 minutes par la machine est une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson de paramètre λ 2. On désigne par T la variable aléatoire qui compte le nombre de balles défectueuses produites par la machine en 5 minutes. 1. Quel est le nombre moyen de balles fabriquées par la machine A en une heure? 2. Soit k et n deux entiers naturels. En distinguant les cas k n et k > n, déterminer la probabilité conditionnelle P [Y n] ([T k]). 3. En utilisant le système complet d'événements {[Y n] n N }, reconnaître la loi de probabilité de T. UTBM printemps 215 page 6

7 SQ2 TD2 : variables aléatoires discrètes 2 Corrigés Exercice Les trois variables suivent la même loi car tous les menus ont la même probabilité d'être choisis et si l'on échange deux menus quelconques, la situation est en tout point similaire. Nous explicitons donc la loi de Xn. On répète n fois, dans des conditions identiques et indépendantes, la même épreuve de Bernoulli qui consiste, pour un client donné, à choisir l'un des 3 menus. Les issues contraires de cette épreuve sont : le client choisit le menu X (de probabilité p 1/3) et le client choisit le menu Y ou le menu Z (de probabilité q 1 p 2/3). La variable aléatoire Xn compte le nombre de menus X choisis au cours de ces n épreuves. On sait alors que Xn suit la loi binomiale B(n, 1/3) Xn(Ω) {,.., n} et P (Xn k) ( n k ) ( 1 3 ) k ( 2 3 ) n k E(Xn) n 3 et V (X n) 2n 9 2. Les valeurs possibles pour n Xn sont tous les nombres entiers entre n et n n donc (n Zn)(Ω) {,.., n} Soit k {,.., n}. P (n Xn k) P (Xn n k) ( n n k ) 1 3 n k ( 2 3 ) k ( n k ) ( 2 3 ) k 1 3 n k Donc n Xn suit la loi binomiale B(n, 2/3) E(n Xn) n E(Xn) 2n 3 et V (n Xn) V (Xn) 2n 9 3. (a) Chaque client choisit un et un seul menu donc Xn + Yn + Zn n Donc Yn + Zn n Xn suit la loi binomiale B(n, 2/3). (b) Les évènements [Xn n] et [Yn n] sont incompatibles, donc P ([Xn n] [Yn n]) Cependant P (Xn n) P (Yn n). En conséquence les v.a. Xn et Yn ne sont pas indépendantes 4. Il s'agit de l'évènement [(Xn n) (Yn n) (Zn n)]. Puisque les évènements [Xn n], [Yn n] et [Zn n] sont deux à deux incompatibles, on a : P [(Xn n) (Yn n) (Zn n)] P (Xn n) + P (Yn n) + P (Zn n) ( ) n n 1 5. Pour tous évènements A, B et C, P (A B C) P ([A B] C) P (A B) + P (C) P ([A B] C) P (A) + P (B) P (A B) + P (C) P ([A C] [B C]) En posant A [Xn ], B [Yn ] et C [Zn ], on obtient : A B [Zn n], A C [Yn n] et aussi B C [Xn n] Par conséquent P ([Xn ] [Yn ] [Zn ] P (Xn )+P (Yn ) P (Zn ( n)+p ) (Zn ) P ([Yn n] [Xn n]) n ( ) n P (Xn ) 3 P (Xn n) L'évènement [Xn ] [Yn ] [Zn ] correspond à ce qu'au moins un menu ne soit pas choisi. Donc l'évènement contraire est que chaque menu est choisi au moins une fois. La probabilité recherchée est 1 (2n 1) 3 n 1 6. Puique n est un multiple de 3, il existe m N tel que n 3m. Modélisons l'expérience aléatoire en lui associant un univers Ω et en choisissant une probabilité P sur Ω. Un évènement élémentaire peut être codé par un mot (ordonné) de 3m lettres, formé uniquement des lettres X, Y et Z. Au vu des hypothèses de l'énoncé, on choisit la probabilité uniforme sur Ω. Card(Ω) n 3 3m Notons E l'évènement : les trois menus sont choisis par le même nombre de clients. Pour dénombrer les cas favorables à E, on procède en 3 étapes. 1ère ( étape ) : on positionne les m lettres X dans le mot de n lettres. 3m Il y a possibilités. m 2ème étape : on positionne ( les m ) lettres Y dans les n m 2m emplacements vides du mot. Il y a 2m m possibilités. 3ème étape : on remplit les emplacements restants par m lettres Z. UTBM printemps 215 page 7

8 SQ2 TD2 : variables aléatoires discrètes Il y a 1 seule possibilité. ( ) ( ) 3m 2m Au total, selon le principe multiplicatif, on dénombre 1 m m cas favorables à E. Ainsi Card(E) (3m)! (m!) 3 Finalement P (E) Card(E) Card(Ω) P (E) (3m)! 3 3m (m!) 3 Variante : On peut remarquer que E [Xn m] [Yn m] et d'après la formule des probabilités composées, P (E) P (Xn m) P [Xnm] (Yn m)... Exercice Pour cette première question, l'univers associé Ω1 est l'ensemble des combinaisons de 2 boules prises dans l'ensemble des 4 boules {B1, B2, N1, N2}. Les ( 4 2 ) 4 3 2! 6 issues possibles étant équiprobables, a P (A1) card(a 1) card(ω1) 2 6 d'où a On notera pour tout entier k 1, Ak l'évènement : au k ième tirage, les 2 boules sont de même couleur. Puisque l'urne U contient 4 boules, l'évènement [X 1] est impossible : [X 1] et P (X 1). L'évènement [X 2] se réalise si, et seulement si, on a pioché 2 boules de même couleur au premier tirage (l'urne U est vidée forcément à l'issue du second tirage : A1 A2). Donc [X 2] A1 A2 A1 puis P (X 2) a 1 3. L'évènement [X 3] se réalise si, et seulement si, on a pioché 2 boules de couleurs diérentes au premier tirage et deux boules de même couleur au deuxième tirage (au troisième tirage les deux boules restantes étant nécessairement de couleur identique : A2 A3). Donc [X 3] A1 A2 A3 A1 A2 puis P (X 3) P (A1) P A1 (A2) (1 a) a Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On a encore An 1 An. L'évènement [X n] se réalise si, et seulement si, les deux boules de même couleur sont piochées au (n 1)-ième tirage et pas lors des tirages précédents (sinon l'urne serait vidée avant le n-ième tirage). Donc [X n] A1 A2... An 2 An 1 An A1 A2... An 2 An 1 puis en appliquant la formule des probabilités composées : P (X n) P ( ) A1 A2... An 2 An 1 P (A1) P A1 (A2) P A1 A2 (A3) P A1 A2... An 3 (An 2) P A1 A2... An 2 (An 1) (1 a)(1 a)(1 a)... (1 a) } {{ } (n 2) facteurs a (1 a) n 2 a Ainsi n 2, P (X n) a(1 a) n 2 4. D'après les questions précédentes, X(Ω) N \ {, 1} donc Z(Ω) N et pour tout entier k 1, P (Z k) P (X 1 k) P (X k + 1) a(1 a) k 1 On reconnaît la loi géométrique de paramètre a : Z G (a). 5. On sait que E(Z) 1 a 1 a et V (Z) a 2. On en déduit que E(X) E(Z +1) E(Z)+1 1 a 2/3 +1 et V (X) V (Z +1) V (Z) 1/9 Finalement E(X) 4 et V (X) 6 UTBM printemps 215 page 8

9 SQ2 TD2 : variables aléatoires discrètes Exercice Le nombre moyen de balles fabriquées par la machine en 5 minutes est l'espérance E(Y ) du nombre Y de balles produites en 5 minutes, c'est-à-dire 2 balles. Or 6 minutes 12 5 minutes. Donc la machine fabrique en moyenne 24 balles par heure. 2. La variable aléatoire T représente le nombre de balles défectueuses produites par la machine en 5 minutes. Soit (k, n) N 2. Premier cas : supposons k n. La probabilité conditionnelle P [Y n] ([T k]) est la probabilité d'obtenir k balles défectueuses parmi n balles produites par la machine. On est en présence d'un schéma de Bernoulli à n épreuves identiques et indépendantes. ( ) n P [Y n] ([T k]) a k (1 a) n k avec a 12%, 12 k Second cas : supposons k > n. Il est alors impossible d'obtenir k balles défectueuses parmi n balles. D'où : P [Y n] ([T k]). 3. T (Ω) N. Soit k un entier naturel quelconque xé. {[Y n] / n N } est un système complet d'événements tel que n N, P ([Y n]). Alors, d'après la formule des probabilités totales, P ( [T k] ) + n + nk + nk P ([Y n] [T k]) P ([Y n]) P [Y n] ([T k]) e λ λn n! e λ a k + nk e λ a k + nk e λ a k + nk λ n ( n k n! λ n ) a k (1 a) n k ( n k ) n! n! (n k)! λ n (n k)! (1 a) n k (1 a)n k (1 a)n k On procède maintenant à un changement d'indice dans le symbole de sommation discrète, en posant i n k. On en déduit que n i + k et que P ( [T k] ) e λ a k e λ a k e λ a k + i + i e λ (λ a) k λ i+k i! λ k + i λ i λ k i! + n (1 a) i (1 a) i [λ(1 a)] i i! [λ(1 a)] n n! Or on rappelle que pour tout réel x, + n x n n! exp(x). Donc P ( [T k] ) e λ (λ a) k exp(λ(1 a)) e λ+λ(1 a) (λ a) k e λ a (λ a)k On peut conclure que T suit une loi de Poisson de paramètre γ λ a 2, 12 2, 4. UTBM printemps 215 page 9

10 SQ2 TD3 : variables aléatoires à densité TD3 : variables aléatoires à densité 1 Énoncés Exercice 1. Médian 214. Soit Z une variable aléatoire réelle continue dont une densité est la fonction f dénie sur R par : f(t) 2 t 3 si t 1 si t < 1 Déterminer la fonction de répartition F de Z. En déduire la médiane de Z, c'est-à-dire le nombre réel m tel que P (Z m) P (Z > m). Exercice 2. Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire T dont une densité de probabilité est donnée par la fonction f dénie par : { t e t si t f(t) si t < 1. Rappeler la dénition d'une densité de probabilité d'une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ 1. Donner la valeur de l'espérance et de la variance de X. 2. Utiliser la question précédente pour vérier que f est bien une densité de probabilité, puis montrer que T admet une espérance que l'on déterminera. Quel est le temps moyen de passage en caisse? 3. (a) Démontrer que la fonction de répartition de T, notée F T est dénie par : { si x < F T (x) 1 (x + 1)e x si x (b) Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités(de temps) sachant qu'il est supérieur à une unité est égale à 2e 3. 2e UTBM printemps 215 page 1

11 SQ2 TD3 : variables aléatoires à densité Exercice 3. (médian 213) On désigne par λ un nombre réel strictement positif et on considère la fonction f dénie sur R par t R, f (t) λ t e λt2 1. (a) Vérier que f est une fonction paire. (b) Établir que l'intégrale généralisée f (t) dt converge et donner sa valeur. (c) Montrer que la fonction f peut être considérée comme densité d'une variable aléatoire X que l'on suppose, dans la suite, dénie sur un certain espace probabilisé (Ω, A, P ). 2. (a) Déterminer la fonction de répartition F de la variable aléatoire X. (b) En déduire P (X 1). 3. On admet la convergence de l'intégrale généralisée t f (t) dt. Prouver que la variable aléatoire X admet une espérance, notée E(X), et donner sa valeur. 4. On pose Y X 2 et on admet que Y est une variable aléatoire à densité, elle aussi dénie sur l'espace probabilisé (Ω, A, P ). (a) Donner l'expression de la fonction de répartition G de la variable aléatoire Y à l'aide de la fonction de répartition F de la variable aléatoire X. (b) Déterminer une densité g de Y, puis vérier que Y suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre. (c) En déduire sans calcul la valeur de la variance de X notée V (X). UTBM printemps 215 page 11

12 SQ2 TD3 : variables aléatoires à densité 2 Corrigés Exercice 1. L'énoncé ne demande pas de vérier que f est une densité de probabilité. Pour tout réel x < 1, F (x) P ([Z x]) Soit x un réel supérieur à 1. Alors F (x) [2 t ]tx t1 [ t 2] tx t1 x Donc F (x) 1 x 1 f(t) dt. f(t) dt 1 x 2 si x 1 1 si x < 1 2 t 3 dt 1 2 t 3 dt Pour que P (Z m) P (Z > m), il faut déjà que m > 1. P (Z m) P (Z > m) F (m) 1 F (m) F (m) 1/2 1 1 m m2 2 m 2 Exercice Une densité d'une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre 1 est la fonction g dénie sur R par : g(t) { si t < e t si t De plus on a E(X) 1 et V (X) La fonction f est nulle sur ], [ donc sur cet intervalle f est une fonction continue et positive. Sur ], + [ f est le produit de deux fonctions continues et positives sur ce même intervalle donc f est continue et positive sur ], + [. De plus lim f lim f f() donc f est continue en. + Ainsi f est une fonction continue et positive sur R. Il reste à étudier la convergence et la valeur de l'intégrale généralisée f(t) dt. Or on remarque que f(t) dt sait que X admet un espérance on peut armer que l'intégrale est convergente et vaut E(X) 1. Donc f est bien une densité de probabilité. t g(t) dt et comme on f(t) dt Sous réserve d'existence de E(T ), on a E(T ) tf(t) dt t 2 g(t) dt. Comme on sait que X admet une variance, on peut donc UTBM printemps 215 page 12

13 SQ2 TD3 : variables aléatoires à densité dire que X admet un moment d'ordre 2 et donc T admet une espérance. D'après la formule de K nig, E(T ) E(X 2 ) V (X) + E(X) 2 2 Ainsi le temps moyen de passage en caisse est de deux unités de temps. 3. (a) Par dénition de la fonction de répartition FT (x) Si x <, alors FT (x) dt Si x, alors FT (x) f(t) dt Donc par une intégration par parties, il vient FT (x) te t dt [ te t ] x + dt + f(t) dt. t e t dt. e t dt xe x e x + 1 On a donc bien FT (x) { si x < 1 (x + 1)e x si x (b) On veut calculer P [T 1] (T 2) P ([T 1] [T 2]) P (T 1) P (1 T 2) 1 P (T 1) F T (2) FT (1) 1 FT (1) 3e 2 + 2e 1 2e 1 2e 3 2e en multipliant en haut et en bas par e 2. Exercice (a) La fonction f est dénie sur R, intervalle qui est centré en zéro. De plus, pour tout t R, f ( t) λ t e λ( t)2 λ t e λ t2 f (t) La fonction f est paire. (b) Pour tout réel positif x, λ t e λt2 dt [ 1 λ t e λt2 dt 2 e λt 2 ] x Comme λ >, on a e λx2 (x + ) 1 2 e λx et lim x + Ceci prouve à la fois que l'intégrale généralisée et que λ t e λt2 dt 1 2 f (t) dt converge f (t) dt 1 2 (c) La fonction f est positive sur R car λ >, t R, t et e λt2 >. La fonction f est continue sur R en tant que produit de fonctions continues sur R. De plus la parité de f et la convergence de l'intégrale f (t) dt permettent de dire que l'intégrale généralisée et on a f (t) dt 2 f est une densité de probabilité. f (t) dt 1 f (t) dt est convergente 2. (a) On rappelle que par dénition, pour tout réel x, F (x) P (X x) f(t) dt f(t) dt + f(t) dt f(t) dt. D'après 1.(b), pour tout réel positif x, F (x) 1 ( e λx2 2 ) e λx2 UTBM printemps 215 page 13

14 SQ2 TD3 : variables aléatoires à densité Et enn, pour tout réel x <, F (x) x changement de variable u t. Donc x <, F (x) 1 x 2 1 F ( x) f(u) du 1 2 ( f( u) ( du) par le F ( x) 1 2 ) Ainsi pour tout x R, F (x) 1 2 e λ x2 (b) P (X 1) 1 P (X < 1) 1 P (X 1) 1 F (1) F ( 1) 1 2 e λ 3. Comme la fonction t t f (t) est impaire et comme l'intégrale généralisée également. t f (t) dt est convergente, alors l'intégrale La relation de Chasles prouve que t f (t) dt. t f (t) dt converge t f (t) dt est convergente et que Ainsi X admet une espérance mathématique et E (X) 4. On pose Y X 2 et on admet que Y est à densité. (a) Y (Ω) R + ce qui montre que x R, G(x). Pour tout x R +, [Y x] [ X 2 x ] [ x X x ] donc G (x) { si x < F ( x ) F ( x ) si x (b) La fonction F est de classe C 1 sur R a fortiori sur ], + [. La fonction racine carrée étant de classe C 1 sur ], + [, on obtient par composition et diérence que la fonction G est de classe C 1 sur ], + [. Comme G est nulle sur ], [, elle est aussi de classe C 1 sur ], [. On en déduit que G est de classe C 1 sur R. On obtient alors une densité g de Y en dérivant G, sauf en, puis en donnant une valeur arbitraire positive à g en. t R, g (t) G (t) et pour t > : ( ) 1 ( g (t) F t 2 t F t 1 ( ( ) ( 2 f t + f t t ) ( 1) )) 2 t 2 2 t f ( t ) 1 t λ t e λ( t) 2 car f est paire λ exp ( λt) En posant g() λ par exemple, on obtient : g (t) { si t < λ exp ( λt) si t On conclut que Y E (λ). (c) E ( X 2) E (Y ) 1 d'où V (X) E ( X 2) E(X) 2 1 λ λ E(X)2 Or d'après la question 3. E (X) et nalement V (X) 1 λ UTBM printemps 215 page 14

15 SQ2 TD4 : couples de variables aléatoires TD4 : couples de variables aléatoires 1 Énoncé Exercice 1. Un atome radioactif émet des particules α en nombre aléatoire : soit X ce nombre pendant un intervalle de temps donné. Un observateur ne peut voir toutes les particules émises, mais détecte une particule émise avec la probabilité p ( < p < 1). Soit Y le nombre de particules observées pendant l'intervalle de temps considéré. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre λ. 1. Quelle est la loi conditionnelle de Y sachant [X n]? 2. En déduire la loi du couple (X, Y ). 3. Montrer que Y suit une loi de Poisson de paramètre λ p. 4. Soit Z X Y. Que représente Z? Quelle est la loi de Z? 5. Les variables Y et Z sont-elles indépendantes? Et en ce qui concerne X et Y? Exercice 2. Final 214. Le fonctionnement d'une machine est perturbé par des pannes. On considère les variables aléatoires X et Y dénies comme suit : X est le temps, exprimé en années, écoulé entre la mise en route initiale de la machine et la première panne, Y est le temps, en années, écoulé entre la remise en route de la machine après la première panne et la panne suivante. Après la deuxième panne, l'utilisation de la machine est suspendue. On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes et suivent la même loi exponentielle de paramètre λ >. 1. (a) Donner une densité f de X ainsi que sa fonction de répartition F. (b) Quelle est la durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives? 2. Exprimer, en fonction de λ, la probabilité pour que chacune des 2 périodes de fonctionnement de la machine dure plus de 3 années. 3. Soit S la variable aléatoire égale à la durée totale de fonctionnement de la machine, exprimée en années. On a donc S X + Y. (a) Que valent E(S) et V (S)? (b) On note h la fonction densité de probabilité de la variable aléatoire S. Démontrer que { λ 2 t e λ t si t h(t) si t < (c) En déduire, en fonction de λ et de x, l'expression de P (S > x) pour tout réel positif x. 4. Application numérique : la durée moyenne de fonctionnement de la machine (entre la première mise en route et la deuxième panne) est de 4 ans. Calculer la probabilité pour que cette machine soit en service plus de 6 ans. UTBM printemps 215 page 15

16 SQ2 TD4 : couples de variables aléatoires 2 Corrigé Exercice ( Y [X n] ) B(n, p). 2. D'après la formule des probabilités composées, pour tous entiers n et k tels que k n, P ([X ( n] [Y k]) P [Xn] (Y k) P (X n) n )p k (1 p) n k λ λn e k n! Si k > n, alors P ([X n] [Y k]) car le nombre de particules détectées ne peut pas dépasser le nombre de particules émises. 3. La suite d'événements ([X n]) n N constitue un système complet d'événements tel que n N, P (X n). On en déduit, d'après la formule des probabilités totales, que pour k N, P (Y k) + n P ([X n] [Y k]) + nk P ([X n] [Y k]) + nk n! (n k)! pk (1 p) n k e λ λn n! pk λ k e λ [λ(1 p)] n k (n k)! n k pk λ k e λ + i [λ(1 p)] i par changement d'indice i! pk λ k e λ e λ(1 p) (λp)k Ainsi Y P(λp). e λp 4. La variable aléatoire Z X Y compte le nombre de particules non détectées. Z suit la loi de Poisson de paramètre λ(1 p). 5. Y et Z ne sont pas indépendantes et X, Y non plus. UTBM printemps 215 page 16

17 SQ2 TD4 : couples de variables aléatoires Exercice (a) Une densité est la fonction f dénie sur R par f(t) { λ t e λ si t si t < Sa fonction de répartition est F dénie sur R par F (x) si x < et F (x) λ e λ t dt [ e λ t] x 1 e λ x pour x (b) La durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives, est l'espérance mathématique de X (ou de Y ), à savoir : E(X) E(Y ) 1 λ 2. Notons A l'événement : chacune des 2 périodes de fonctionnement de la machine dure plus de 3 années. Alors A [X > 3] [Y > 3]. D'où P (A) P ( [X > 3] [Y > 3] ) P (X > 3) P (Y > 3) car X et Y sont indépendantes par hypothèse. Donc P (A) (1 F (3)) 2 ( 1 (1 e 3λ ) ) 2 ( e 3λ ) 2. Ainsi P (A) e 6 λ 3. On a posé S X + Y. (a) Par linéarité de l'espérance, E(S) E(X + Y ) E(X) + E(Y ) 2 E(X) 2 λ. Comme X et Y sont indépendantes, V (S) V (X + Y ) V (X) + V (Y ) 2 V (X) 2 λ 2 (b) Comme les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, leur somme S est une variable à densité, dont une densité est obtenue par convolution : x R, h(x) fx(t) fy (x t) dt f(t) f(x t) dt f(t) f(x t) dt Si x < alors t R +, f(x t) donc h(x). Supposons x. Alors pour tout réel t > x, x t < f(t). Donc h(x) f(t) f(x t) dt λ e λ t λ e λ (x t) dt λ 2 e λ x dt λ 2 e λ x λ 2 e λ x x λ 2 x e λ x dt (c) Soit x un réel positif xé. Calculons d'abord P (S x). P (S x) h(t) dt λ 2 t e λ t dt λ On eectue une intégration par parties en posant : { u(t) t v (t) λe λ t d'où { u (t) 1 v(t) e λ t t ( λe λ t) dt Comme les fonctions u et v sont de classe C 1 sur R, il vient P (S x) λ ( λ x e λ x ( [ t e λ t ] x u(t) v (t) dt λ e λ t dt [ e λ t ]x ) ) λ λ ( x e λ x e λ x λ + 1 λ ) UTBM printemps 215 page 17

18 SQ2 TD4 : couples de variables aléatoires 1 e λ x (1 + λ x). On en déduit que P (S > x) 1 P (S x) P (S > x) e λ x (1 + λ x) 4. Application numérique : la durée moyenne de fonctionnement de la machine est : E(S) 2 λ 4. D'où λ 1 2. L'énoncé demande la probabilité P (S > 6). D'après le résultat obtenu en 3.(c), P (S > 6) e 6λ (1 + 6λ) 4 e 3, 2 On pourra remarquer que ([X > 3] [Y > 3]) [S > 6] et que P ( [X > 3] [Y > 3] ) < P (S > 6) UTBM printemps 215 page 18