XII. ASSOCIATIONS DE LENTILLES SPHERIQUES MINCES

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1 page XII- XII. ASSOCIATIONS DE LENTILLES SPHERIQUES MINCES Le but de ce chapitre est de rencontrer quelques-unes des nombreuses associations de lentilles sphériques minces tout en manipulant les connaissances acquises dans les chapitres précédents. A. Lentilles sphériques minces accolées. Définition, schéma Nous considérons deux lentilles sphériques minces accolées ; leurs centres optiques O et O sont donc pratiquement confondus, nous notons O ce point. O Pour permettre au schéma d être lisible, la distance entre les deux lentilles a été agrandie. De plus, la figure. montre une association de lentilles convergentes mais nous pouvons aussi bien associer une convergente et une divergente ou deux divergentes. fig.. : lentilles accolées. Equivalence à une lentille sphérique mince Un rayon lumineux frappe d abord la première lentille (L ) qui donne d un objet, réel ou virtuel, une image A B, réelle ou virtuelle. La position de cette image est donnée par la relation de conjugaison de Descartes qui traduit le ( L ) diagramme A A : OA OA OF V Le rayon lumineux frappe ensuite la deuxième lentille : l image A B sert d objet, éventuellement virtuel, pour la lentille (L ) qui donne l image finale A B. La position de cette image est donnée par la relation de conjugaison de Descartes qui traduit le ( L ) diagramme A A : OA OA OF V

2 page XII- En additionnant, membre à membre, ces deux relations, nous obtenons la relation suivante : OA OA OF OF V V Nous constatons qu elle donne la position de l image finale en fonction de l objet initial et que le lien ainsi établi est le même que celui d une relation de conjugaison de Descartes écrite pour une lentille sphérique mince de centre optique O et de vergence V + V. Une association de lentilles sphériques minces accolées de centre optique commun O est donc équivalente à une lentille sphérique mince de centre optique O et dont la vergence est la somme des vergences accolées : V = V + V. 3. Exemple On dispose au laboratoire d une série de lentilles sphériques minces de vergence : 6, 3, +3, +6, +8. Comment disposer d une lentille de vergence +? +5? 9? B. Doublet de lentilles. Définition Un doublet est une association de deux lentilles séparées par une distance e non nulle. e F O F F O F fig.. : un doublet de lentilles Contrairement { un système de lentilles accolées, un doublet n est pas équivalent { une lentille mince, c est un système épais. Cependant, c est un système centré dont nous pouvons chercher les foyers.. Foyers d un doublet a) Rappel des définitions des foyers d un système centré La définition des foyers d un système centré est toujours la même. Pour le foyer image : ( Doublet ) A F et pour le foyer objet : ( Doublet ) F A Remarque : Il n y a aucune raison pour que ces foyers soient a priori confondus avec F et F.

3 page XII-3 b) Foyer image La première lentille donne d un point objet situé { l infini sur l axe optique un point image situé L en son foyer image : A ( ) F La deuxième lentille donne donc du point objet F un point image situé en F, ce qui permet de préciser le diagramme de définition du foyer image du doublet : A F F ( L) ( L) La relation de conjugaison de Descartes, appliquée à la deuxième lentille, permet de situer le foyer image F du doublet : O F O F O F O F O F O F avec : OF OO O F O F OO f e c) Foyer objet Le diagramme complet de définition du foyer objet du doublet se présente maintenant de cette façon : ( L) ( L) F A? La deuxième lentille donne d un point objet situé en son foyer objet un point image situé { l infini sur l axe. Donc, le point d interrogation est en fait le foyer objet de la deuxième lentille : F F A ( L) ( L) La relation de conjugaison de Descartes, appliquée à la première lentille, permet de situer le foyer objet F du doublet : O F O F O F O F O F O F avec : O F OO OF OO OF e f

4 page XII-4 d) Utilisation Les oculaires de lunettes astronomiques ou de télescopes sont en général constitués de doublets. Par exemple, l oculaire de Huygens est formé de deux lentilles convergentes (planconvexes de même verre), la première de distance focale image f = 3 u, la deuxième de distance focale image f = u, séparées par une distance e = u. (u est une longueur arbitraire prise comme unité ; lorsque u varie les propriétés du doublet ne changent pas ; u est uniquement un facteur d échelle, une question de taille du doublet.) Une étude plus approfondie des doublets montre que l association de deux lentilles de même verre est pratiquement achromatique lorsque e = ½ (f +f ). L oculaire de Huygens vérifie cette relation et permet donc de corriger partiellement les aberrations chromatiques. 3. Doublet afocal a) Définition, conséquence Lorsque les foyers sont rejetés { l infini, le doublet est dit afocal. Le diagramme de définition du foyer image devient : A F A ( L) ( L) tandis que le diagramme de définition du foyer objet devient : A F A ( L) ( L) La comparaison de ces deux diagrammes permet de conclure que F et F doivent être confondus. b) Utilisation Un laser fournit un fin pinceau lumineux cylindrique qu on peut vouloir élargir. Un doublet afocal peut être utilisé comme élargisseur de faisceau (voir figure.3). F F O F O F fig..3 : doublet afocal élargisseur de faisceau Voir paragraphe C..a. Voir les exercices sur le chapitre XIII, Les miroirs sphériques.

5 page XII-5 C. Quelques instruments d optique. Loupe a) Utilisation d une loupe La loupe est formée d une seule lentille et n en est donc pas une association mais elle va nous permettre d introduire les notions de confort de la vision et de grossissement. B B A O F A d fig..4 : utilisation dune loupe fig..5 : vision à loeil nu La vision prolongée ne fatigue pas l œil lorsque celui-ci n accommode 3 pas, c est { dire lorsqu il regarde au punctum remotum 4 { l infini pour un œil normal. Lorsque vous utilisez une loupe, vous avez donc intérêt { placer l objet dans le plan focal objet de la loupe. Ainsi son image est rejetée { l infini et vous n accommodez pas pour la regarder. D après la figure.4, l image est alors vue sous un angle avec : tan. f Tandis qu { l œil nu, l objet est vu sous un angle avec : tan (voir la figure.5). d Vous distinguez d autant mieux les détails de l objet que vous êtes proche de lui. La meilleure vision est donc obtenue lorsque l objet est au punctum proximum 5 ; alors la distance d est égale à la distance minimale de vision distincte d m, soit 5 cm pour un œil moyen. 3 Voir chapitre XI Quelques notions sur l œil, paragraphe D. 4 Voir chapitre XI, paragraphe B. 5 Voir chapitre XI, paragraphe B.

6 page XII-6 b) rossissement Le grossissement d un instrument est par définition la valeur absolue du quotient de l angle sous lequel on voit l objet { l aide de l instrument par l angle sous lequel on voit { l œil nu l objet placé au punctum proximum : Lorsque les angles et sont petits, nous pouvons écrire : tan tan f d Le grossissement de la loupe devient donc : m dm dm f f. Lunette astronomique a) Description objectif oculaire O F F O fig..6 : schéma dune lunette Une lunette astronomique est formée d un objectif (dirigé vers l objet observé) et d un oculaire (proche de l œil). L objectif est un système convergent de grande distance focale (par exemple 600 mm pour une lunette d amateur) que nous modéliserons par une lentille sphérique mince. L objectif forme de l objet étudié, situé { l infini (étoile, planète ), une image située dans son plan focal image. L oculaire sert de loupe pour regarder cette image. Il est en général constitué d un doublet de lentilles mais pour simplifier nous le modéliserons par une lentille sphérique mince. On règle la position de l oculaire pour que l image donnée par l objectif soit dans le plan focal objet de

7 8B 8B Chapitre XII page XII-7 l oculaire : l image finale donnée par la lunette est ainsi rejetée { l infini et l œil n a donc pas besoin d accommoder. Alors le plan focal objet de l oculaire coïncide avec le plan focal image de l objectif. Dans ces conditions, la lunette donne d un objet situé { l infini, une image située { l infini : c est un système afocal. b) Construction des images objectif oculaire O F F J O B I fig..7 : tracé des rayons lumineux traversant une lunette Le rayon émis par B et passant par le centre optique O de l objectif émerge sans être dévié (en trait épais sur la figure.7). Son intersection avec le plan focal image de l objectif est B car l image A B se forme dans ce plan. Le rayon lumineux issu de B et passant par le centre optique O de l oculaire émerge sans être dévié (en pointillé sur la figure.7). L image donnée par la lunette se formant { l infini, tous les rayons issus de B émergent en formant un faisceau de rayons parallèles. Ceci permet de poursuivre le tracé du rayon précédent B O IJ avec IJ parallèle à B O. Les tracés précédents permettent de connaître le cheminement de tout rayon lumineux issu de B, par exemple le rayon en trait fin sur la figure.7. c) rossissement L angle sous lequel on voit l objet { l œil nu est ici égal { l angle qui détermine la taille angulaire de l objet. En effet tous les objets sont { l infini et il n est donc pas question de les mettre au punctum proximum. Tous les angles sont petits ; rappelons que le diamètre angulaire du Soleil est d environ un demidegré.

8 page XII-8 Sur la figure.7, la taille 6 de l image intermédiaire A B F B est donnée par : A B f tan f (l objet est droit donc est positif) De même, l angle est donné par : tan Donc le grossissement vaut : f (l image finale est renversée donc est négatif) A B f f f f f Pour une lunette d amateur, f = 600 mm et f = mm donnent Microscope a) Description Un microscope permet d obtenir d un petit objet à observer, une première image A B, très agrandie, { l aide d un objectif. Cette image est regardée { l aide d un oculaire positionné pour que l image finale se forme { l infini. L observation se fait ainsi sans fatigue car l œil n a pas besoin d accommoder. Les microscopes possèdent des objectifs formés d une association de lentilles parfois épaisses et des oculaires formés de doublets. Pour cette étude nous allons simplifier en modélisant l objectif et l oculaire par deux lentilles sphériques minces convergentes. La distance focale d un objectif de microscope est de l ordre du millimètre, celle de l oculaire de l ordre du centimètre. Pour obtenir une première image réelle et très agrandie, il faut que l objet soit d une part avant le foyer objet de l objectif et d autre part proche de celui-ci. En effet, d après le grandissement de Newton : FO f FA FA 6 Voir chapitre IX Image d un objet par une lentille sphérique mince convergente, paragraphe B..c.

9 8B Chapitre XII page XII-9 Le grandissement est grand lorsque FA << f, donc l objet doit être proche du foyer objet de l objectif. Pour obtenir l image finale { l infini il faut que la première image, qui sert maintenant d objet, soit dans le plan focal objet de l oculaire. Le réglage du microscope consiste donc à déplacer l oculaire pour que cette condition soit réalisée. b) Construction des images objectif oculaire B A F O F A F O J B I fig..8 : schéma dun microscope et tracé des rayons lumineux Le rayon lumineux émis par B et passant par O n est pas dévié. Le microscope est réglé donc l image se forme dans le plan focal objet de l oculaire. Le rayon émis par B et passant par O n est pas dévié. L image finale se forme { l infini donc le rayon B IJ émerge parallèlement à O B. c) rossissement Ici encore, tous les angles sont petits car l objet est très petit par rapport aux distances caractéristiques du microscope (le schéma n est pas { l échelle). L angle sous lequel on voit l objet { l œil nu au punctum proximum est : tan (voir le paragraphe C..a sur la loupe) d m Nous avons besoin aussi de l angle. Dans le triangle O A B rectangle en A : tan f Nous connaissons f, il faut donc trouver A B. Considérons le triangle O A B rectangle en A : tan f L usage veut que la position de l oculaire soit caractérisée par «l intervalle optique» = F F. De plus, la distance focale image de l objectif est de l ordre du millimètre tandis que l intervalle optique vaut environ 6 cm ; f est donc négligeable devant.

10 page XII-0 Nous en tirons A B : A B Il nous faut donc encore calculer l angle. Dans le triangle O rectangle en A : tan f D où finalement le grossissement : A B dm dm dm f f f f f d m f Avec f = mm, f = 0 mm, = 60 mm et d m= 50 mm, nous obtenons : = 000. Nous avons rencontré dans ce chapitre deux types d association : les lentilles sphériques minces accolées et les doublets. Ce qui nous a conduits à l étude de deux instruments d optique en application des doublets : la lunette astronomique et le microscope dont nous avons établi les grossissements.

11 page XII- Résumé Lentilles sphériques minces accolées Une association de lentilles sphériques minces accolées de centre optique commun O est équivalente à une lentille sphérique mince de centre optique O et dont la vergence est la somme des vergences accolées : V = V + V. Doublet de lentilles Un doublet n est pas équivalent { une lentille mince, c est un système épais. La définition des foyers d un système centré est toujours la même : Pour le foyer image : Pour le foyer objet : ( Doublet ) A F c est { dire : ( L ) ( L ) A F F ( Doublet ) ( L) ( L) F A c est { dire : F F A Instruments La vision prolongée ne fatigue pas l œil lorsque celui-ci n accommode pas, c est { dire lorsqu il regarde au punctum remotum { l infini pour un œil normal. Le grossissement d un instrument est par définition la valeur absolue du quotient de l angle sous lequel on voit l objet { l aide de l instrument par l angle sous lequel on voit { l œil nu l objet placé au punctum proximum : Une lunette astronomique est formée d un objectif et d un oculaire. L objectif forme de l objet étudié, situé { l infini, une image située dans son plan focal image. L oculaire sert de loupe pour regarder cette image. On règle la position de l oculaire pour que l image finale donnée par la lunette soit rejetée { l infini et que l œil n ait donc pas besoin d accommoder. C est un système afocal. Un microscope permet d obtenir d un petit objet, une première image très agrandie, { l aide d un objectif. Cette image est regardée { l aide d un oculaire positionné pour que l image finale se forme { l infini et que l œil n ait pas besoin d accommoder.

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