Exercices corrigés sur la dérivation dans R

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1 Exercices corrigés sur la dérivation dans R Exercice : déterminer le nombre dérivé d une fonction Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x +x.. En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que f est dérivable en et déterminer f ().. Vérifier le résultat sur la calculatrice.. Pour tout réel non nul,n le taux d accroissement de f entre et + est : τ() = f(+) f() = (+) +(+) ( +) Or, lim 0 (3+) = 3. Donc f est dérivable en et f () = 3. = 3+ = 3+ Pourtrouverla limitede τ() lorsquetendvers 0,onpeut souvent remplacerpar0aprèsavoirsimplifiél expression (plus de au dénominateur). TI Casio Appuyer sur la touce MATH puis 8 (nbredérivé) : En mode RUN-MATH, utiliser les instructions F4. nbredérivé = (X +X,X,) (MATH) puis F4 (d/dx) : d dx (X +X,) Exercice : la même cose, plein de fois Pour cacune des fonctions suivantes, déterminer le nombre dérivé en a (en utilisant la définition) :. f (x) = 5x 3 et a =. f (x) = 3x +x et a = 3. f 3 (x) = x+3 et a = 4. f 4 (x) = x et a = x+. Pour tout 0, le taux d accroissement de f entre et + est : τ () = f (+) f () ( ) τ () = 5(+) 3 (5 3) ( ) τ () = 5 ( ) τ () = 5 Or, lim 5 = 5, donc f est dérivable en a = et f () = Pour tout 0, le taux d accroissement de f entre et + est : τ () = f (+) f () ( ) τ () = 3(+) +(+) (3 + ) ( ) τ () = 3 +4 ( ) τ () = 3+4 Or, lim 3+4 = 4, donc f est dérivable en a = et f () = Pour tout 0, le taux d accroissement de f 3 entre et + est : τ 3 () = f 3( +) f 3 ( ) ( +)+3 +3 ( ) τ 3 () = ( )( ) + ++ ( ) τ 3 () = ( ++ )

2 + ( ) τ 3 () = ( ++ ) ( ) τ 3 () = ( ++ ) ( ) τ 3 () = ++ Or, lim ++ = + =, donc lim τ 3 () = 0 0. Par conséquent, f 3 est dérivable en a = et f 3 ( ) =. 4. Pour tout 0, le taux d accroissement de f 4 entre et + est : τ 4 () = f 4( +) f 4 ( ) + ( ) τ 4 () = ( ) τ 4 () = + ( ) τ 4 () = ( ) τ 4 () = + ( ) ( ) τ 4 () = ( ) τ 4 () = Or, lim =, donc lim τ 4 () = 0 0 =. Par conséquent, f 4 est dérivable en a = et f 4( ) =. Exercice 3 : tangente par le nombre dérivé Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x x.. Déterminer une équation de la tangente (T) à C f au point A d abscisse.. Vérifier le résultat sur calculatrice.. Afin de déterminer une équation de la tangente à C f au point A d abscisse, déterminons tout d abord si f est dérivable en. Métode : Calculons la limite du taux d accroissement τ de f entre et +. Pour tout 0 : τ() = f(+) f() = (+) (+) ( ) = +3 = +3 Or, lim 0 (+3) = 3, donc f est dérivable en et f () = 3. Métode : La fonction f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition et, pour tou x réel, on a f (x) = x = 4x En particulier, f est dérivable en et f () = 4 = 3. Nous avons donc montré que f est dérivable en et que f () = 3. Par conséquent, la courbe C f admet une tangente non verticale, de coefficient directeur f () = 3. Donc (T) a une équation de la forme : y = 3x+p. Or, A( ; f()) (T), donc y A = 3x A +p ( ). ( ) f() = 3 +p ( ) = 3+p ( ) 3 = p ( ) p = La tangente (T) à C f au point A( ; f()) a donc pour équation y = 3x.

3 TI (a) Saisir l expression de f(x) en Y grape (b) Appuyer sur la touce et coisir l instruction dessin ( nde PRGM ) puis (c) Régler la fenêtre d afficage 5 (Tangente) (d) Préciser la valeur de x en appuyant sur. Valider par ENTER. La tangente s affice ainsi qu une équation (éventuellement approcée). Casio (a) Coisir l instruction SET UP ( SHIFTMENU ). Activer le mode Derivative : coisir ON ( F ), suivi de EXE (b) Saisir la fonction en Y et tracer la courbe (c) Coisir l instruction Sketc ( SHIFT F4 ). Sélectionner Tang ( F ) (d) Appuyer sur pour sélectionner la valeur de x, puis taper deux fois sur la touce EXE. La tangente s affice ainsi qu une équation (éventuellement approcée). Exercice 4 : Calculer des nombres dérivés à l aide des formules Pour les fonctions suivantes, déterminer le nombre dérivé en x = puis en x = :. f(x) = x. g(x) = x 3 3. (x) = x 4. i(x) = x 5 5. j(x) = x. La fonction f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition. Pour tout x D f, on a : f (x) = x ( ) Par conséquent, f () = = 4 et f = =.. La fonction g est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition. Pour tout x D g, on a : g (x) = 3x ( ) Par conséquent, g () = 3 = 6 et g = 3 = La fonction est une fonction rationnelle, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition. Pour tout x D, on a : (x) = x Par conséquent, () = ( ) = 4 et = ( ) = La fonction i est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition. Pour tout x D i, on a : i (x) = 5x 4 ( ) Par conséquent, i () = 5 4 = 80 et i = 5 ( ) 4 =

4 5. La fonction j est dérivable sur ]0 ; + [. Pour tout x > 0, on a : Par conséquent, j () = = et i 4 ( ) j (x) = x = =. Exercice 5 : Tangente en utilisant les formules de dérivation Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x. Soit C f sa courbe représentative.. Déterminer une équation de la tangente (T) à C f au point A d abscisse.. Existe-t-il une tangente à C f parallèle à la droite (d) d équationy = 3x 4? Si oui, déterminer les coordonnées du point de contact.. La fonction f est une fon,ction polynôme, elle est donc dérivable sur R. Pour tout réel x, f (x) = x. Par conséquent, la tangente (T) à C f au point A d abscisse a pour coefficient directeur f () =. Son équation est donc y = x+p avec p R De plus, A( ; f()) (T), donc y A = x A +p, c est-à-dire f() = +p, d où p = =. Donc (T) : y = x. La fonction f étant dérivable sur R, le coefficient directeur de la tangente à C f au point d abscisse x est f (x) = x. S il existe une tangente parallèle à la droite (d) alors son coefficient directeur est le même que (d), c est-à-dire 3. On cerce donc un réel x tel que f (x) = 3 ( ) ( ) x = 3 ( ) x = 3 Donc C f admet une tangente parallèle à (d) au point M ( 3 ; f ( )) ( ) 3 3 soit M ; 9. 4 Exercice 6 : encore une tangente avec un joli calcul de dérivée Soit f la fonction définie par f(x) = x 3 x +. On note C f la courbe représentative de f.. Quel est l ensemble de définition de f?. Déterminer une équation de la tangente T à C f au point A d abscisse. 3. Vérifier le résultat sur calculatrice.. Pour tout réel x, x + 0, donc f est définie sur R.. La fonction f est de la forme u v avec u(x) = x 3 et v(x) = x +. Les fonction su et v sont des fonctions polynômes, elles sont donc dérivables sur leur ensemble de définition R. On a alors, pour tout réel x : u (x) = et v (x) = x. De plus, la fonction v ne s annule pas sur R, donc f est dérivable sur R. Pour tout réel x : f (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) v (x) = (x +) (x 3) x (x +) = x +6x+ (x +) La fonction f est donc dérivable en a = et f () = +6 + ( +) = 3. Le coefficient directeur de la tangente T à C f au point A d abscisse est donc f () = 3. Donc T a pour équation y = 3 x+p où p R. De plus, A( ; f()) T, donc y A = 3 x A +p, soit = 3 +p, donc p =. D où T : y = 3 x 4

5 3. Voir l exercice sur la tangente via le nombre dérivé (exercice 3). Exercice 7 : tangente sans l expression de la fonction Soit C la courbe représentative d une fonction f dérivable en 3. On sait que f(3) = et f (3) = 0,5. Déterminer une équation de la tangente à C au point d abscisse 3. La fonction f est dérivable en 3, donc la tangente (T) à C au point d abscisse 3 a pour équation y = f (3)x+p = 0,5x+p, avec p R. Or, f(3) =, donc la tangente passe par le point A(3 ; ). Par conséquent, y A = 0,5x A +p, soit = 0,5 3+p, d ù p = 7. La tangente (T) a donc pour équation y = x 7. Exercice 8 : autour du nombre dérivé Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par f(x) = x.. Calculer f (9) et f (3).. Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles f (x) =? 3. Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles f (x) =?. La fonction f est dérivable sur ]0 ; + [ et pour tout x > 0, f (x) = x. Par conséquent, f (9) = 9 = 6 et f (3) = 3 3 = 6.. Pour tout x > O, f (x) = x = x = 4 x = 6. Il existe donc un unique réel tel que f (x) = : x = Pour tout x > O, f (x) = x =. Or, pour tout x > 0, > 0. Par conséquent, il n existe pas de réel x x tel que f (x) =. Exercice 9 : Tangente et second degré (que du boneur!) Soit f la fonction trinôme définie par f(x) = ax +bx+c. On note P sa courbe représentative. On sait que f(0) = ; f( ) = 5 et f ( ) =.. Monter que les réels a, b et c sont solution d un système de trois équations à trois inconnies. Résoudre ce système.. Déterminer une équation de la tangente à P au point d abscisse.. f(0) = a 0 +b 0+c = c =. f( ) = 5 a b+c = 5 a b = 5 c a b = 3. La fonction f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur R et, pour tout réel x, f (x) = ax+b. Donc : f ( ) = a( )+b = a+b =. Nous devons alors résoudre le système suivant : { a b = 3 a+b = Ce système est équivalent à { a = 3+b (3+b)+b = c est-à-dire { a = 3+b b = 8 Par conséquent, f est définie sur R par f(x) = 5x 8x+. Vérifications : 5

6 (a) f(0) = (b) f( ) = 5+8+ = 5 (c) f ( ) = 0 ( ) 8 =. f est dérivable en et f( ) =. Donc la tangente à P au point d abscisse a pour équation y = x+p, avec p R. De plus, cette tangente passe par le point A( ; f()), donc f() = +p, soit 5 8+ = +p, d où p = 3. La tangente à P au point d abscisse a donc pour équation y = x 3. Et le livre dans tout ça? Exercices corrigés :. page 7 : nombre dérivé. page 73 : tangente 3. page 75 : calculs de dérivées via les formules 6

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