Cours de mathématiques (Terminale S)

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1 Cours de mathématiques (Terminale S) II. Chapitre 00 : La trigonométrie. Les angles orientés A. Les radians DÉFINITION Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad définie par : REMARQUE A partir de ce chapitre, tous les angles sont exprimés par défaut en radians. ASTUCE Les mesures remarquables suivantes sont à connaître : La longueur de l'arc de cercle de rayon d'angle est égale à : B. Le cercle trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ). On désigne les points. DÉFINITION On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre direct (sens inverse des aiguilles d'une montre)., de rayon, dont le sens positif est le sens Chaque point du cercle est associé à un réel de l'axe formé par la tangente au cercle en. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page sur 0

2 Deux réels a b peuvent être associés au même point du cercle, si seulement s'il existe un entier k tel que :. Le réel a est alors égal au réel modulo on note :. Le sens indirect correspond au sens négatif. C. L angle orienté de deux vecteurs DÉFINITION Soient deux vecteurs non nuls. On appelle angle orienté ( ) l'angle formé par les vecteurs, dont la mesure est affectée du signe correspondant à son sens (positive si direct, négative si indirect). DÉFINITION Soient deux vecteurs non nuls. On appelle mesure principale de l'angle ( ; ) son unique mesure comprise dans l'intervalle (d'amplitude ) : REMARQUE Un angle orienté adm une infinité de mesures, toutes égales modulo. EXEMPLE Soit l'angle orienté Le réel 7π étant supérieur à π, il ne s'agit pas de la mesure principale de l'angle ( ; ). Pour la déterminer, on soustrait une première fois la valeur : Le réel étant aussi supérieur à π, on soustrait une nouvelle fois la valeur : La mesure principale de l'angle ( ; ) est donc : Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page sur 0

3 THÉORÈME Soient trois vecteurs non nuls,. D'après la relation de Chasles pour les angles orientés :. Le cosinus sinus A. Caractérisation sur le cercle trigonométrique THÉORÈME Soient un réel le point du cercle trigonométrique associé à. Les coordonnées de dans le repère sont : on a : Pour tout réel Pour tout réel Pour tout réel Pour tout réel tout entier : Pour tout réel tout entier : B. Les valeurs remarquables C. Les formules des angles associés Pour tout réel : Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 3 sur 0

4 D. Les formules d addition de duplication Pour tous réels : 3. Les équations trigonométriques A. THÉORÈME Soit un réel a. L'équation, d'inconnue, a pour solutions réelles : c'est-à-dire : B. THÉORÈME Soit un réel a. L'équation, d'inconnue, a pour solutions réelles : c'est-à-dire : Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 4 sur 0

5 QUIZ Enoncé Quel est le sens direct dans le cercle trigonométrique? Dans le cercle trigonométrique, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Quelle est la mesure en degré d'un angle de radians? 3 A quelle condition deux points ont-ils la même image sur le cercle trigonométrique? Un angle de radians fait. Deux points on la même image sur le cercle trigonométrique si seulement si. 4 Quelle est la mesure principale d'un angle? La mesure principale d'un angle est l'unique mesure de l'angle qui appartient à l'intervalle 5 D'après la relation de Chasles, que vaut? D'après le relation de Chasles,. 6 Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un angle se lit-il en abscisses ou en ordonnées? Sur le cercle trigonométrique, le cosinus d'un angle se lit en abscisses le sinus d'un angle se lit en ordonnées. 7 A quel intervalle appartiennent pour tout Pour tout réel,. réel? 8 Pour tout réel, combien vaut? Pour tout réel,. 9 Combien vaut???? ;. 0 Combien valent en fonction de? Combien valent en fonction de? Combien valent en fonction de? 3 Combien valent en.... fonction de? 4 Vrai ou faux?? 5 Combien vaut?? Faux, 6 Combien vaut? 7 Quelles sont les solutions de l'équation? ou 8 Quelles sont les solutions de l'équation? ou Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 5 sur 0

6 Méthode Méthode 0 : Déterminer la mesure principale d un angle Méthode Description La mesure principale d'un angle est la mesure qui appartient à l'intervalle. Etape Chercher tel que On cherche à déterminer la mesure principale de l'angle. Exemple Déterminer la mesure principale de. On cherche l'entier relatif tel que : On écrit que l'on recherche tel que :. On résout cte inéquation pour obtenir un encadrement de : On calcule ensuite une valeur approchée de, on choisit la valeur de vérifiant l'inégalité. Etape Déterminer la mesure principale Pour la valeur de déterminée précédemment, on calcule.. Or. On choisit donc. La mesure principale de est donc : La valeur trouvée est la mesure principale de l'angle. Le cherché est un entier relatif (un entier positif ou négatif). On doit donc trouver le seul entier qui appartient à l'intervalle considéré. a donc pour mesure principale. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 6 sur 0

7 Méthode 0 : Déterminer le cosinus le sinus des angles associés Description Méthode A partir de la valeur de de, on sait déterminer le cosinus le sinus des angles associés : Etape Reconnaître l'angle associé Si l'on cherche ou, on exprime α en fonction d'un angle dont on connait le cosinus le sinus.. Donner la valeur : Exemple de de. On reconnait que : En particulier, si l'énoncé ne donne pas la valeur de ou., on choisira On écrit ainsi ou. On peut aussi avoir ou avec. Etape Réciter la formule du cours Or D'après le cours, on sait que :. Etape 3 Donner /ou On donne alors la valeur de /ou de, qui est soit une des valeurs de cours, soit donnée dans l'énoncé. Etape 4 Conclure On peut alors donner la valeur du cosinus ou du sinus cherché. On sait que On obtient donc : CONSEILS Pour déterminer la valeur du cosinus du sinus des angles ennoncés, il faut connaître deux choses : les valeurs de cosinus de sinus des angles classiques ainsi que les formules du cosinus du sinus des angles associés. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 7 sur 0

8 Exercices Exercice 0 : Repérage sur le cercle trigonométrique Placer sur le cercle trigonométrique les angles suivants : Exercice 0 : Donner le sinus d un angle dont on connaît le cosinus Soit. On sait que. Calculer. Exercice 03 : Déterminer la mesure principale d un angle Enoncé Déterminer la mesure principale des angles suivants. Exercice 04 : Réduire une expression trigonométrique à l aide des propriétés élémentaires Simplifier les expressions suivantes. 3 Exercice 05 : Cosinus sinus des angles associés Calculer les cosinus sinus des angles associés suivants : Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 8 sur 0

9 Exercice 06 : Transformer une expression trigonométrique à l aide des propriétés élémentaires A l'aide des formules de duplication, montrer les égalités suivantes :.. Exercice 07 : Résolution d équations trigonométriques Résoudre les équations trigonométriques suivantes sur puis sur. 3 Exercice 08 : Un algorithme de calcul de la mesure principale d un angle Ecrire un algorithme qui calcule la mesure principale de l'angle saisi. Exercice 09 : Angle orientés relation de Chasles dans un triangle Soit le triangle tel que : Soit le milieu de le pied de la hauteur issue du somm. Calculer la mesures principale de chacun des angles orientés suivants : 3 4 Exercice 0 : Formules d addition du sinus du cosinus En utilisant les formules d'addition ainsi que des valeurs trigonométriques remarquables, calculer : Exercice : Inéquation trigonométrique intervalles de solutions Résoudre l inéquation suivante : Dans R. Dans l intervalle. 3 Dans l intervalle des mesures principales. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 9 sur 0

10 Exercice : Résolution d équations trigonométriques Résoudre dans R les équations suivantes : 3 Exercice 3 : Inéquation cercle trigonométrique Résoudre, dans l intervalle, l inéquation : Problèmes Problème 0 : De la tangente aux cosinus sinus Enoncé Sachant que, déduire : Problème 0 : Coordonnées polaires angles orientés Indication : les coordonnées polaires de dans le repère sont définies par : est le point de coordonnées polaires dans le repère. Déterminer les coordonnées polaires du point, milieu du segment. Déterminer les coordonnées polaires puis les coordonnées cartésiennes du point, tel que le triangle soit rectangle isocèle direct en. Par M. Mohamadou SINGARÉ (mohamadou.singare@gmail.com ) Page 0 sur 0