CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES

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1 CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit, soit, soit a un réel fini ( a R ) Le plan est muni d un repère ( O; i ; j), et on note C f la courbe représentative de la fonction f dans ce repère. LIMITE et ORDRE.. Théorème de comparaison f et g sont deu fonctions définies sur le même intervalle I Si I f ( ) g( ) lim g ( ) α alors lim f( ) α Eemple Déterminer la limite en et en de la fonction f définie sur R par f ( ) sin On part de R sin, soit encore en ajoutant à chaque membre de l inégalité R sin Etude en On utilise l inégalité R sin et puisque lim ( ) d après le théorème de comparaison lim ( sin ) Etude en On utilise l inégalité R sin et puisque lim ( ) Gérard Hirsch Maths54

2 toujours d après le théorème de comparaison lim ( sin ).. Théorème des gendarmes L désigne un réel Si I g( ) f ( ) h( ) lim g ( ) L et lim h ( ) L α α alors lim f ( ) L α Corollaire Si I f ( ) L g( ) lim g ( ) 0 α alors lim f ( ) L α Eemple Déterminer la limite en 0 de la fonction f définie sur ] 0, [ par puisque u sinu R, alors ] [ f( ) sin 0, sin En multipliant chaque membre de la double inégalité par avec ] 0, [, on obtient ] 0, [ sin et puisque lim ( ) 0 et 0 alors d après le théorème des gendarmes lim ( sin ) 0 0 lim ( ) Conservation des inégalités larges par passage à la limite Si I g( ) f ( ) lim g( ) L et lim f ( ) L' α α alors L L' Gérard Hirsch Maths54

3 . ASYMPTOTES.. Asymptote horizontale ou asymptote parallèle à la droite des abscisses La droite d équation y lim f L Deu cas sont possibles L est asymptote à C au voisinage de si et seulement si Si lim f L Si lim f L La droite d équation y L est asymptote à C au voisinage de si et seulement si lim f L Si lim f L Si lim f L Gérard Hirsch Maths54 3

4 .. Asymptote verticale ou asymptote parallèle à la droite des ordonnées. La droite d équation Quatre cas sont possibles a est asymptote à C si et seulement si lim f ± a Si lim f Si lim f a a Si lim f Si lim f a a Gérard Hirsch Maths54 4

5 .3. Asymptote oblique La droite d équation y a b ( a 0) est asymptote oblique à C au voisinage de si et seulement si [ f a b ] lim ( ) ( ) 0 Deu cas possibles Si [ f a b ] lim ( ) ( ) 0 Si [ f a b ] lim ( ) ( ) 0 La droite d équation y a b ( a 0) est asymptote oblique à C au voisinage de si et seulement si [ f a b ] lim ( ) ( ) 0 Gérard Hirsch Maths54 5

6 Deu cas possibles Si [ f a b ] lim ( ) ( ) 0 Si [ f a b ] lim ( ) ( ) 0 Remarque Il est facile de voir que [ f a b ] ) tout d abord [ ] lim ( ) ( ) 0 implique deu choses : [ f( ) ( a b) ] lim 0 mais, f( ) ( a b) f ( ) a b lim lim lim ) et comme lim a b f( ) a, nous avons lim a Gérard Hirsch Maths54 6

7 De plus lim [ f( ) ( a b) ] 0 est équivalent à lim [ ( ) ] f a b Ces deu remarques nous permettent d avoir une méthode de détermination des caractéristiques d une asymptote oblique en, en deu étapes :. le coefficient a est donné par lim f( ) a. Si a eiste et est déterminé, l ordonnée à l origine b est donnée par lim [ ( ) ] f a b Si une de ces étapes ne débouche pas (limite infinie ou ineistante), il n y a pas d asymptote en Bien sûr, en remplaçant par dans la méthode, nous obtenons un moyen de déterminer l asymptote oblique en Remarque. Il se peut qu une fonction possède une asymptote en un infini mais pas en l autre. Il se peut que a infinie; il n y a alors pas d asymptote f ( ) lim eiste et soit fini mais que lim [ f ( ) a] n eiste pas ou soit Eemple Soit f la fonction numérique définie sur R { } par f( ) 5 c. Déterminer les réels a, b, c tels que, pour tout, on ait f( ) a b. Soit C la courbe représentative de f dans le repère ( O, i, j ) Montrer que C admet une asymptote verticale D et une asymptote oblique 3. Soit I le point d intersection des asymptotes D et. Montrer que I est centre de symétrie de C.. On réduit au même dénominateur f() ( a b)( ) c R { } f( ) On développe et on ordonne le numérateur Gérard Hirsch Maths54 7

8 { } R f( ) a ( a b) b c Les dénominateurs de f() étant les mêmes, on identifie les coefficients des termes de même degré des numérateurs { } R 5 a ( a b) b c a a a b b 3 b c 5 c f( ) 3 et donc R { }. lim ( 5) et lim ( ) 0 Pour < alors < 0 et lim et pour > alors > 0 et lim La droite D d équation est asymptote verticale à C La nouvelle écriture de f ( ) obtenue à la question, a pour intérêt de fournir immédiatement l équation de l asymptote oblique lim [ f( ) ( 3) ] lim 0 lim [ f( ) ( 3) ] lim 0 La droite d équation y 3 est asymptote oblique à C ], [ ], [, la courbe C est en dessous de, la courbe C est au dessus de 3. Les coordonnées du point I vérifient : I I yi I 3 yi 5 Formons l équation de C dans le repère ( I, i, j) Gérard Hirsch Maths54 8

9 Etant donné un point M, soit ( y, ) ses coordonnées dans le repère ( O, i, j ) et ( X, Y ) ses coordonnées dans le repère ( I, i, j) De OM OI IM on déduit et X y 5 Y M C y 3 Y 5 X 3 Y X X X Une équation de C dans le repère ( I, i, j ) est Y X X La fonction F : X a X est impaire, et la courbe C est symétrique par rapport à la nouvelle X origine I Eemple Soit f la fonction définie sur { } R par f( ). Déterminer les limites à gauche et à droite de. Interpréter graphiquement le résultat. Calculer pour tout de { } R : f( ) ( 3) En déduire que la courbe C admet en et en une droite asymptote dont on précisera une équation Etudier la position de C par rapport à : f( ). R { } lim ( ) 5 et lim( ) 0 avec donc lim f( ) et lim f( ) < 0 si < > 0 si > La droite d équation est asymptote verticale à la courbe représentative C de f. R formons l epression f( ) ( 3). { } Gérard Hirsch Maths54 9

10 ( 3)( ) 5 R { } f( ) ( 3) ( 3) 5 5 puisque lim 0 et lim 0 la droite d équation y 3 est asymptote oblique à la courbe C lorsque tend vers et lorsque tend vers { } R, le signe de f( ) ( 3) est celui de la courbe C est au-dessous de si < au-dessus de si > 5 Eemple Déterminer les asymptotes de f : a Le domaine de définition de la fonction est D ], [ ], [ Etude en Puisque lim ( ) et lim ( ) alors d après le théorème donnant la somme des limites : Déterminons f lim ( ) lim lim f ( ) lim ( ) f( ) lim et puisque si > 0 alors f( ) alors lim lim 3 puis déterminons lim [ f ( ) 3] et donc a 3 ( ) [ f ] lim ( ) 3 lim lim lim 0 et donc b 0 Gérard Hirsch Maths54 0

11 la droite d équation y 3 est asymptote oblique à la courbe C lorsque tend vers La différence f ( ) 3 est négative pour >, la courbe C est au-dessous de l asymptote pour ], [ Etude en si < 0 alors lim f( ) lim Déterminons lim f ( ) f( ) lim lim Déterminons lim [ f ( ) ] et donc a lim [ f( ) ] lim lim 0 la droite ' d équation y La différence f ( ) pour ], [ et donc b 0 est asymptote oblique à la courbe C lorsque tend vers est négative pour <, la courbe C est en-dessous de l asymptote ' Gérard Hirsch Maths54