PHY 2711 Automne 2015

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1 PHY 2711 Automne 2015 Optique géométrique: formation d image avec éléments sphériques Notes partielles accompagnant le cours.

2 Réfraction par une interface sphérique Surfaces asphériques focalisent parfaitement, mais difficiles à créer et coûteuses. Surfaces sphériques : plus simples, mais introduisent aberrations. Approximatif, mais néanmoins on peut arriver à de très bons résultats. On cherche la relation entre rayon de courbure R, position de l objet s o et de l image s i qui fait que la lumière fait le trajet dans le même temps peu importe l endroit A où elle croise l interface (principe de Fermat). OPL = n 1l o +n 2l i, et la position A est repérée par l angle φ. On veut donc d dφ OPL = d (n1lo +n2li) = 0. dφ

3 Géométrie : des triangles... l o en fonction de φ : l 2 o = (s o +R) 2 +R 2 2(s o +R)Rcosφ l 2 o = [ (s o +R) 2 +R 2] [2(s o +R)R]cosφ l i en fonction de φ : l 2 i = (s i R) 2 +R 2 2(s i R)Rcos(π φ) cos(π φ) = cosφ l 2 i = [ (s i R) 2 +R 2] +[2(s i R)R]cosφ On définit des constantes pour simplifier l écriture : A (s o +R) 2 +R 2, B 2(s o +R)R, C (s i R) 2 +R 2, D 2(s i R)R Le chemin optique a donc la forme OPL = n 1l o +n 2l i = n 1 A B cosφ+n2 C +D cosφ d ) (n 1 A B cosφ+n2 C +D cosφ = 0 dφ

4 On applique le principe de Fermat... On trouve la dérivée par rapport à φ n 1(s o +R)Rsinφ n2(si R)Rsinφ = 0 A B cosφ C +D cosφ Bien sûr, l angle φ n est pas nul. De plus, on reconnaît l o et l i aux dénominateurs. On simplifie : qu on réécrit n 1(s o +R) l o n2(si R) l i = 0, n 1 + n2 = 1 ( ) n2s i n1so l o l i R l i l o. Cette relation entre les paramètres du système n 1, n 2, R et les distances s o, l o, s i, l i est exacte mais n est pas pratique car on a encore les trajets l o et l i dans l équation! C est à ce point qu il faut faire une approximation pour obtenir quelque chose de pratique.

5 Aproximation paraxiale On fait l approximation que la direction de la lumière est proche de l axe optique : φ 1, donc À ce moment, cosφ = 1 φ2 2! + φ4 4! φ6 6! l o [(s o +R) 2 +R 2 ] [2(s o +R)R]cosφ = s 2 o On trouve quelque chose de similaire pour l i. On approxime donc l o s o et l i s i et l équation pour l interface devient n 1 + n2 = 1 (n2 n1). s o s i R Convention de signes : Si la lumière se propage de gauche à droite, s o : (+) si à gauche de V s i : (+) si à droite de V R : (+) si C à droite de V

6 Exemple : lentille sphérique On assemble une lentille à partir de deux surfaces sphériques faite de verre d indice n l dans un milieu d indice n m < n l. Dans l exemple, s o1 est choisi petit de façon à ce que s i1 soit négatif. Le résultat sera quand même général. L image due à la 1ière est l objet pour la 2ième : n m s o1 + n l s i1 = 1 R 1 (n l n m) n l s o2 + nm s i2 = 1 R 2 (n m n l ) n l d s i1 + nm s i2 = 1 R 2 (n m n l ) On additionne les deux équations et réarrange : ( n m + nm 1 = 1 ) n l d (n l n m) s o1 s i2 R 1 R 2 s i1(d s i1) Si d petit, équation pour lentille mince (dans l air n m = 1.0) : ( n m + nm 1 = 1 ) (n l n m) 1 s o s i R 1 R 2 f

7 Exemple : télé-objectif Formé d une lentille mince convergente L 1 (f 1 = +50 mm, D 1 = 60 mm) et d une autre divergente L 2 (f 2 = -40 mm, D 2 = 30 mm) séparées par une distance d = 25 mm : D 1 = 60 mm D 2 = 30 mm so1 = d = 25 mm

8 Exemple : télé-objectif Formé d une lentille mince convergente L 1 (f 1 = +50 mm, D 1 = 60 mm) et d une autre divergente L 2 (f 2 = -40 mm, D 2 = 30 mm) séparées par une distance d = 25 mm : s i1 = 1 50 : si1 = 50 mm. so1 = d = 25 mm si1 = 50 mm

9 Exemple : télé-objectif Formé d une lentille mince convergente L 1 (f 1 = +50 mm, D 1 = 60 mm) et d une autre divergente L 2 (f 2 = -40 mm, D 2 = 30 mm) séparées par une distance d = 25 mm : s o2 = -25 mm s i2 = +66,7 mm s o2 = (50 25) = s i2 = 1 40 : si2 = 66,7 mm.

10 Exemple : télé-objectif Formé d une lentille mince convergente L 1 (f 1 = +50 mm, D 1 = 60 mm) et d une autre divergente L 2 (f 2 = -40 mm, D 2 = 30 mm) séparées par une distance d = 25 mm : f 133 mm La combinaison est équivalente à une lentille simple de longueur focale beacoup plus longue, mais est plus compacte.

11 Grossissement transversal dû à une lentille mince Pour lentille mince, les rayons passant par le centre ne sont pas déviés, et ceux parallèles à l axe sont déviés vers le foyer.

12 Grossissement transversal dû à une lentille mince Pour lentille mince, les rayons passant par le centre ne sont pas déviés, et ceux parallèles à l axe sont déviés vers le foyer. Des triangles semblables on déduit que le grossissement transversal M est M yi y o = si s o.

13 Grossissement transversal dû à une lentille mince Pour lentille mince, les rayons passant par le centre ne sont pas déviés, et ceux parallèles à l axe sont déviés vers le foyer. Des triangles semblables on déduit que le grossissement transversal M est M yi y o = si s o. Pour un objet loin de la lentille, s o f, et s i f : le grossissement est proportionnel à la longueur focale f.

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