Les diviseurs et multiples.

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2 Les diviseurs et multiples. I. Diviseurs et multiples : 1. Définition, vocabulaire et notation : diviseurs et multiples : Le naturel a est un diviseur du naturel b, si on peut trouver un naturel c tel que b = c.a. L ensemble des multiples du naturel non nul a est noté a. Un naturel pair est un naturel divisible par 2. Un naturel impair est un naturel qui n est pas divisible par Propriétés des diviseurs : Le nombre un divise tout nombre naturel. 1 divise 8 car 8 = 1.8. Tout nombre naturel non nul n est son plus grand diviseur. 9 est le plus grand diviseur de 9 car 9 = ne divise aucun naturel différent de lui-même. si 0 divise 12, alors 12 = 0.? mais ce naturel n existe pas. 0 est multiple de tous les naturels. Exemples : 0.1 = 0 ; 0.2 = 0 ; Si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur somme. Formulation mathématique : a, b et c étant des nombres naturels : si a b et a c, alors a b+c. Si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur différence. Formulation mathématique : a, b et c étant des nombres naturels : si a b et a c, alors a b-c. Si un nombre en divise un autre, alors il divise tous les multiples de cet autre. Formulation mathématique : a, b et c étant des nombres naturels : si a b, alors a b.n. 3. Caractères de divisibilité : Un naturel est divisible par : 2 si le dernier chiffre est pair. 5 si le dernier chiffre est 0 ou si le dernier chiffre est 0. 4 si les deux derniers chiffres forment un multiple de si les deux derniers chiffres forment un multiple de si les deux derniers chiffres sont si les trois derniers chiffres forment un multiple de si les trois derniers chiffres forment un multiple de si les trois derniers chiffres sont si la somme des chiffres est un multiple de 3. 9 si la somme des chiffres est un multiple de 9.

3 II. Nombres premiers et premiers entre eux : 1. Définitions : Un nombre premier est un nombre naturel qui n admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. 5 est un nombre premier car il ne possède que deux diviseurs distincts : 1 et 5. Contre-exemple : 8 n est pas un nombre premier car 8 est divisible par 1, 2, 4 et 8. Des nombres sont premiers entre eux s ils n admettent que 1 comme diviseur commun. 25 et 12 sont des nombres premiers entre eux car ils ne possèdent que 1 comme diviseur commun. Contre-exemple : 16 et 12 ne sont pas des nombres premiers entre eux car ils possèdent que 1 et 4 comme diviseurs communs. 2. Propriété : Si un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit. 740 est divisible par 4 et par 5 ; or 4 et 5 sont premiers entre eux, donc 740 est divisible par 4.5, c est-à-dire par 20. III. PGCD et PPCM : 1. Méthode de calcul du PGCD : Décomposition des nombres en facteurs 1ers. Multiplication des facteurs communs munis de leur plus petit exposant. 2. Méthode de calcul du PPCM : Décomposition des nombres en facteurs 1ers. Multiplication de TOUS les facteurs munis de leur plus grand exposant. 3. Lien entre le PGCD et le PPCM : Le produit de 2 nombres est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM. IV. La division euclidienne : 1. Relation générale : Si on divise un nombre naturel D par un nombre naturel d non nul, alors il existe deux nombres naturels q et r tels que : D = d. q + r avec r < d Dividende. Quotient. Diviseur. Reste. Si on divise 72 par 5, alors il existe 14 et 2 tels que 72 = Cas particulier : Si le reste de la division euclidienne est nul, alors la relation D = d. q + r devient D = d. q ce qui signifie que D est un multiple de d ou que d est un diviseur de D. 70 = devient 70 = ce qui signifie que 70 est un multiple de 5 ou que 5 est un diviseur de 70.

4 Les puissances de nombres entiers. I. Rappel de la notion de puissance : 1. Définition d une puissance : Une puissance d'un nombre à exposant naturel supérieur à 1 est un produit de facteurs tous égaux à ce nombre. n L'exposant indique le nombre de facteurs de ce produit. a = a.a.....a La base est le facteur que l'on répète. Remarque : a 0 = 1 et a 1 = a. 2. Notation et appellation : n facteurs II. La règle de signes des puissances : 1. Règle de signes des puissances : Toute puissance d un nombre positif est toujours positive. Ex : 6² = 36 et 6³ = 216. Toute puissance paire d un nombre négatif est positive. Ex : (-4)² = 16. Toute puissance impaire d un nombre négatif est négative. Ex : (-4)³ = -64. III. Propriétés des puissances à exposants naturels : 1. Le produit de puissances de même base : Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants. si a et si m, n, alors a. a a n m n m a. a a La puissance d une puissance : Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants. m n. n m si a et si m, n, alors a a. 3 a a 2 6

5 3. La puissance d un produit : Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance. si a, b et si n, alors a. b a. b a. b a. b. n n n 4. La puissance d un quotient : Pour élever un quotient de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance. a a si a, b et si n, alors b b 5 5 a a b b 5. n n n. 5. Le quotient de puissances de même base : Pour diviser des puissances de même base, on conserve la base et on soustrait les exposants. n a n m si a et si m, n, alors a si n m m a 1 si n m m n a 5 3 a 2 a 1 Exemples : a a a a IV. Les puissances de 10 et la notation scientifique : Ecrire un nombre décimal en notation scientifique, c'est l'écrire sous la forme d'un produit dont un facteur est un nombre décimal et l autre facteur une puissance de 10. La partie entière doit être comprise entre 0 et 10. Exemples : La notation scientifique de est 2, La notation scientifique de 0, est 9,8.10-8

6 Le calcul littéral. I. Produit algébrique : Pour réduire un produit algébrique, il faut : - Multiplier les facteurs numériques entre eux. - Ecrire les facteurs littéraux dans l ordre alphabétique. 4 a.2 a.3b 24 2 a b II. Somme algébrique : On appelle termes semblables des termes qui ont la même partie littérale. Pour réduire une somme algébrique de termes semblables, il faut : - Conserver la partie littérale. - Additionner les parties numériques (coefficients) a b a a b III. La distributivité simple : Pour multiplier une somme par un nombre, il faut multiplier chaque terme de la somme par ce nombre et additionner les résultats obtenus. 2 a. 3y z 2 a.3y 2 a. z 6ay 2az IV. La double distributivité : Pour multiplier une somme par une autre somme, il faut multiplier chaque terme de la première somme par chaque terme de la deuxième somme et additionner les résultats. 2a 5 b. 3a 2b 2 a.3a 2 a. 2b 5 b.3a 5 b. 2b 6a 4ab 15ab 10b 6a 11ab 10b V. La mise en évidence : Lorsque tous les termes d une somme possèdent un (des) facteur(s) commun(s), on peut transformer cette somme en un produit de facteurs en mettant ce(s) facteur(s) commun(s) en évidence. On dit qu on a factorisé par la mise en évidence. 25 a a a 7

7 VI. Suppression des parenthèses : Dans une somme algébrique, on peut supprimer des parenthèses et le signe + qui les précède sans rien changer. 4a 2b 3c 4a 2b 3c Dans une somme algébrique, on peut supprimer des parenthèses et le signe - qui les précède à condition de changer le signe de tous les termes compris dans les parenthèses. 5x 4y 2z 5x 4y 2z 5x 4y 2z

8 Les fractions. I. Notation, définition : Une fraction représente un partage et un quotient. La forme générale d'une fraction est a b où a est le numérateur et b est le dénominateur. Le dénominateur détermine le nombre de parts égales par lequel l unité choisie est partagée. Le numérateur détermine le nombre de parts égales prélevées. Une fraction est le quotient d un entier par un entier non nul. 4 est une fraction dont le numérateur est -4 et dont le dénominateur est et 11 sont les termes de la fraction. II. Représentation de fractions : Une fraction est un nombre représentant l abscisse d'un point d'une droite. III. Signe d une fraction : Une fraction est positive si ses deux termes sont de même signe. 3 et Une fraction est négative si ses deux termes sont de signes différents. 3 2 et 4 5 IV. Encadrement de fractions : Une fraction peut être encadrée par des valeurs approchées (V.A.). On distingue : Les valeurs approchées par défaut (V.A.D.) plus petites que la fraction. Les valeurs approchées par excès (V.A.E.) plus grandes que la fraction.

9 V. Comparaison de fractions : 1. Les fractions positives : Si deux fractions positives ont le même numérateur, la plus petite est celle qui a le plus grand dénominateur Si deux fractions positives ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur Si deux fractions positives ont des numérateurs et des dénominateurs différents, il faut les réduire au même dénominateur. La fraction qui a le plus grand numérateur est alors la fraction la plus grande > 2 3 car et Les fractions négatives : Si deux fractions négatives ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus grand dénominateur Si deux fractions négatives ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus petit numérateur Si deux fractions négatives ont des numérateurs et des dénominateurs différents, il faut les réduire au même dénominateur. La fraction qui a le plus grand numérateur est alors la fraction la plus petite > car et Fractions positives et négatives : Si deux fractions ont des signes différents, la plus petite est la fraction négative

10 VI. Fractions égales : Pour trouver une fraction égale à une autre fraction donnée, il suffit de diviser (ou de multiplier) le numérateur et le dénominateur de la fraction par un même nombre non nul (différent de 0). a a. n Si a et sib, n 0, alors. b b. n Une fraction est nulle si le numérateur est nul Une fraction est égale à 1 si ses deux termes sont identiques. Exemples : Une fraction est égale à -1 si ses deux termes sont opposés. Exemples : Une fraction est égale à son numérateur si son dénominateur est Une fraction n existe pas si son dénominateur est nul. 6 0 VII. Simplification de fractions : Pour simplifier une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par un même nombre non nul Une fraction qui ne peut pas (plus) être simplifiée est dite irréductible. VIII. Les fractions décimales : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Exemples : 0, /100 63, /1000

11 IX. Opérations sur les fractions : 1. L'addition et la soustraction de fractions : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut : - Les simplifier si possible. - Les réduire au même dénominateur. - Additionner (ou soustraire) les nouveaux numérateurs en conservant le dénominateur. - Simplifier, si possible, la fraction ainsi obtenue. Quels que soient les nombres a, b et d ( d 0 ) on a : a b a b et a b a b d d d d d d La multiplication de fractions : Pour multiplier deux fractions, il faut : - Multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux. - Simplifier, si possible, avant d effectuer les produits. Quels que soient les nombres a, b, c et d ( b 0 d 0 ) on a : Symétrique d un nombre : a c a. c b d b. d Une somme de deux termes est nulle si les deux termes sont opposés et réciproquement Un produit de deux facteurs est égal à 1 si les deux facteurs sont inverses et réciproquement Un produit de deux facteurs est nul si au moins un des deux facteurs est nul et réciproquement

12 4. La division de fractions : Pour diviser un nombre par un autre nombre non nul, on multiplie le premier par l'inverse du second. Quels que soient les nombres a, b, c et d ( b 0 c 0 ) on a : a : c a. d ad b d b c bc :

13 Les équations. Une équation est une égalité qui peut être soit vraie soit fausse en fonction de la valeur donnée à l inconnue. Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs s'appellent les solutions de l'équation. Une équation du premier degré est une équation dans laquelle les puissances de l'inconnue sont de degré 0 et 1 uniquement. Pour résoudre un problème par mise en équation, il faut : - Poser l inconnue. - Coder le problème par une équation. - Résoudre l équation. - Répondre en français à la question posée.

14 Les produits remarquables. I. Le carré d'une somme de deux nombres : Formule : a b a 2 ab b. Le carré d une somme de deux termes est égal : - Au carré du premier terme, - Augmenté du double produit des deux termes, - Augmenté du carré du deuxième terme. 2a 3b 2a 2. 2 a. 3b 3b le carré du premier terme le double du produit desdeux termes le carré du second terme 4a 12ab 9b 2 2 II. Le carré d'une différence de deux nombres : Formule : a b a 2ab b. Le carré de la différence de deux termes est égal : - Au carré du premier terme, - Diminué du double produit des deux termes, - Augmenté du carré du deuxième terme a ab a 2. a. ab ab le carré du premier terme le double du produit desdeux termes le carré du second terme a 2a b a b III. Le produit de binômes conjugués : a b. a b a b. Formule : 2 2 Le produit de deux binômes conjugués (produit de la différence de deux nombres et de leur somme) est égal à la différence des carrés des deux termes. 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2 2 le carré du premier terme le carré du second terme 4x 9y 2 2

15 Les proportions. I. Les homothéties : Une homothétie est une transformation du plan qui agrandit ou rétrécit les figures en conservant le rapport qui existe entre la longueur et la largeur de cette figure. On dit que les mesures de la figure agrandie ou rétrécie sont proportionnelles aux mesures de la figure initiale. Lors d un agrandissement, la mesure du côté va être multipliée par le coefficient de proportionnalité. Lors d une réduction, la mesure du côté va être divisée par le coefficient de proportionnalité. Pour trouver le périmètre d une figure agrandie ou rétrécie, on multiplie le périmètre de la figure de base par le coefficient de proportionnalité. Pour trouver l aire d une figure agrandie ou rétrécie, on multiplie l aire de la figure de base par le carré du coefficient de proportionnalité. Lors d un agrandissement ou d une réduction, les amplitudes des angles ne changent pas. II. Propriété fondamentale des proportions : Une proportion est une égalité entre deux rapports qui se note a c. b d Dans cette proportion : a, b, c et d sont les termes. a et d sont les extrêmes. b et c sont les moyens. Propriété fondamentale : Dans toute proportion, le produit des moyens est égal au produit des extrêmes. a c a. d c. b b d

16 III. Tableaux et graphiques de proportionnalité : Deux grandeurs directement proportionnelles (x et y) sont deux grandeurs telles que le quotient d une valeur de y par la valeur correspondante de x est constant ; ce nombre est le coefficient de y proportionnalité ( k ou y x. k ). x Lorsque deux grandeurs (x et y) sont directement proportionnelles, si l une d elle est multipliée (divisée) par un nombre, alors l autre est multipliée (divisée) par le même nombre. Une valeur de la deuxième grandeur (y) peut être calculée en multipliant la valeur correspondante de la première grandeur (x) par le coefficient de proportionnalité ou en utilisant un rapport interne. Une valeur de la première grandeur (x) peut être calculée en divisant la valeur correspondante de la deuxième grandeur (y) par le coefficient de proportionnalité ou en utilisant un rapport interne. Les points du graphique qui représentent une relation de proportionnalité directe sont sur une droite passant par l origine.

17 Le traitement de données. Rassembler, organiser, interpréter des données numériques, c est faire des statistiques. L ensemble des éléments sur lesquels porte une étude statistique s appelle la population. Les données qu'on obtient par sondage sont des données brutes ou des données statistiques. L'ensemble des données statistiques forme une série statistique. Pour mieux analyser la situation, on va organiser les données brutes en faisant un tableau brut. Quand on regarde ce tableau, on ne sait pas très bien analyser la situation. On va donc faire un tableau groupé. Dans ce tableau, on voit les répétitions des données. La répétition d'une donnée est le nombre de fois que cette donnée apparait dans le tableau brut. La donnée la plus souvent répétée est le mode d'une série statistique. L'effectif d'une série est le nombre de données recensées (recueillies). Pour déterminer l'effectif d'une série lorsqu'on a un tableau groupé, on calcule la somme des répétitions de chaque donnée. A partir de ce tableau on peut également déterminer la fréquence de chaque donnée. La fréquence d'une donnée est le rapport entre la répétition d'une donnée et l'effectif de la série. La fréquence s'exprime souvent en pourcents. On peut donc réaliser un nouveau tableau en ajoutant les fréquences. Dans ce tableau, on voit : - Les répétitions des différentes données. - L'effectif de la série. - La fréquence des différentes données. Pour calculer la moyenne arithmétique, on multiplie chaque donnée par sa répétition, on additionne les produits obtenus et on divise le résultat par l'effectif de la série. La médiane d une série statistique est (résultat dans l ordre croissant) : - La donnée située au milieu de la série s il y a un nombre impair de données. - La moyenne des deux données situées au milieu de la série s il y a un nombre pair de données. L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. Pour finir l'analyse du sondage, on représente les données par un diagramme circulaire ou par un diagramme en bâtonnets.

18 Le repérage. 1. Lire les coordonnées d un point : Pour repérer un point dans le plan, il faut : - Tracer deux droites sécantes (souvent perpendiculaires). - Les repérer à partir de leur point d intersection : l origine O(0 ;0). Les deux droites ainsi graduées forment un repère cartésien du plan. La position d un point est connue grâce à un couple de nombres. Ces deux nombres sont appelés les coordonnées du point. La première coordonnée est appelée l abscisse du point ; elle se repère sur l axe horizontal (x). La seconde coordonnée est appelée l ordonnée du point ; elle se repère sur l autre axe (y). 2. Effets des transformations du plan sur les coordonnées d un point : La symétrie orthogonale d axe x remplace l ordonnée de tout point par son opposé. La symétrie orthogonale d axe y remplace l abscisse de tout point par son opposé. La symétrie centrale de centre O remplace les cordonnées de tout point par leurs opposés. La translation ajoute (retire) un même nombre à (de) l abscisse et un même nombre à (de) l ordonnée de tout point. 3. Milieu d un segment : Les coordonnées du milieu d un segment s obtiennent en calculant la moyenne arithmétique des abscisses et la moyenne arithmétique des ordonnées des extrémités du segment. xa xb ya yb Si A(X A ; Y A ) et B(X B ; Y B ) et M le milieu du segment [AB], alors M ; 2 2.