Mathématiques II. Session de rattrapage

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1 NOM :... FIPA BTP Prénom :... Date :... Mathématiques II Session de rattrapage Thème: Opérateurs vectoriels, potentiels scalaires, circulations vectorielles, intégrales doubles Durée: 1H00 Outils autorisés: Aucun (ni formulaire, ni calculatrice). Tous les exercices sont indépendants. (Le sujet contient 6 pages à rendre avec la copie) Notes à l'attention des candidats: La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les détails de calculs doivent clairement apparaître sur la copie. M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_2 Rattrapage Page n 1/6

2 EXERCICE n 1: (6 points) Opérateurs vectoriels (source GC 4.2 a et c). Partie A. Opérateurs vectoriels à deux variables. Soient le champ scalaire f et le champ vectoriel A définis dans le repère orthonormé O, i, j, k par : f x, y = ye x x cos y et A P, Q = 4 x 3 y 2 i 2 x 4 y y j Compléter le tableau ci-dessous. Grandeur grad f Expression associée f d i v A rot A Partie B. Opérateurs vectoriels à trois variables. Soient le champ scalaire f et le champ vectoriel A définis dans le repère orthonormé O, i, j, k par : f x, y, z = y 2 sin x z et A P,Q, R = 2 xsin z i z e y j x 2 cos z e y k Compléter le tableau ci-dessous. Grandeur grad f Expression associée f d i v A rot A M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_2 Rattrapage Page n 2/6

3 EXERCICE n 2: (4 points) Potentiels scalaires (source GC 4.2 a et c). Partie A. Potentiel scalaire dans le plan. Soit V P,Q le champ vectoriel de l' EXERCICE n 1 Partie A défini par P x, y = 4 x 3 y 2 et Q x, y = 2 x 4 y y 1. Rappeler l'expression de rot V. 2. Trouver un potentiel scalaire f tel que grad f = V. Indication: On pourra commencer par chercher une primitive de P par rapport à la variable x. 3. Soient A et B les points de coordonnées respectives ( 1 ; 1 ) et ( 2 ; 2 ). Soient f A et f B les valeurs prises par la fonction f aux points A et B. a) Déterminer les valeurs de f A et f B. b) En déduire la valeur de f B f A. Partie B. Potentiel scalaire dans l'espace. Soit V P,Q, R le champ vectoriel de l' EXERCICE n 1 Partie B défini par : P x, y, z = 2 xsin z ; Q x, y, z = ze y et R x, y, z = x 2 cos z e y 1. Rappeler l'expression de rot V. 2. Trouver un potentiel scalaire f tel que grad f = V. Indication: On pourra commencer par chercher une primitive de R par rapport à la variable z. 3. Soient A et B les points de coordonnées respectives ( 1 ; 0 ; π) et ( 1 ; 0 ; ½ π). Soient f A et f B les valeurs prises par la fonction f aux points A et B. a) Déterminer les valeurs de f A et f B. b) En déduire la valeur de f B f A. M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_2 Rattrapage Page n 3/6

4 EXERCICE n 3: (5 points) Circulations vectorielles (source GC b et ). Partie A. Circulation vectorielle dans le plan. Soit V P,Q le champ vectoriel défini par : P x, y = x y et Q x, y = y 2 x et Γ la courbe paramétrée définie par : x t =t avec t [0 ;1] y t =e t} { 1. Soit M le point de la courbe Γ au paramètre t et V M le champ de vecteur au point M. Compléter le tableau ci-dessous en donnant les coordonnées de M et de V M. t 0 ½ 1 M V M 2. Déterminer les expressions des dérivées x' (t) et y' (t) des fonctions x et y. 3. En déduire la valeur de T V : circulation vectorielle du champ de vecteur V le long de Γ. Rappel(s) : e a b = e a b Partie B. Circulation vectorielle dans l'espace. Soit V P,Q, R le champ vectoriel défini par : P x, y, z = y z 1 ; Q x, y, z = 3 x et R x, y, z = 3z y et Γ la courbe paramétrée définie par : { x t =t } y t =1 t avec t [0;1] z t =t 2 1. Déterminer les expressions des dérivées x' (t), y' (t) et z' (t) des fonctions x et y et z. 2. En déduire la valeur de T V : circulation vectorielle du champ de vecteur V le long de Γ. Rappel(s) : La dérivée de t est t 1. La primitive de t est La fonction t est aussi la fonction t 1/ t 1. M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_2 Rattrapage Page n 4/6

5 EXERCICE n 4: (5 points) Intégrales doubles (source Exo 7 1.). Partie A. Intégrales doubles avec bornes constantes. Soit le domaine D défini par D={ x, y R 2 ; 0 x 1 et 0 y 1}. Soit la fonction f x, y =x e y 1. Compléter le tableau en bas de page en représentant le domaine D. 2. Déterminer la valeur de l'intégrale double I = D f x, y dx dy Partie B. Intégrales doubles avec bornes variables. Soit le domaine D délimité par la variable x variant de 1 à 0 et la variable y variant de 0 à x + 1. Soit la fonction f x, y =x 2 y 1. Compléter le tableau en bas de page en représentant le domaine D. 2. Déterminer la valeur de l'intégrale double I = x 1 x 2 y dy dx Partie A. B. Domaine D Intégrale I M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_2 Rattrapage Page n 5/6

6 FORMULAIRE Opérateurs vectoriels Entrée(s) Opérateur et notation Sortie Résultat Nabla noté ou x, y, z Un scalaire f ( x, y, z ) V P,Q, R V P,Q, R Scalaire f ( x, y, z ) V P,Q, R Gradient noté grad Rotationnel noté Divergence noté d i v rot Laplacien scalaire noté noté grad f noté rot V Un scalaire notée d i v V Un scalaire noté f f V V d i v grad f ou f Laplacien vectoriel noté noté V V P, Q, R Circulation vectorielle Entrée(s) Opérateur et notation Sortie Résultat V, une courbe paramétrée et un paramètre t variant de t I à t F. V P Q y t z t R et x t Cas particulier 1 : grad f = V Circulation vectorielle du point I vers le point F du champ V, notée T V ou T IF V Un nombre réel t F {P x' t Q y' t R z ' t } dt t I f F f I = f x F, y F, z F f x I, y I, z I Intégrale double Entrée(s) Opérateur et notation Sortie Résultat Un scalaire f ( x, y ) et un domaine D du plan en coordonnées cartésiennes. Cas particulier 2 : domaine associé à D en coordonnées polaires Intégrale double de f sur le domaine D, notée I = D f x, y dx dy x b x a Un nombre réel (Théorème de Fubini) 2 x 1 x y d f x, y dy dx= y c 2 y 1 y f x, y dx dy (Changement de variable en polaires) I = f r cos, rsin r dr d 1 Lorsque le champ de vecteur dérive d'un potentiel, c'est à dire lorsque rot V = 0. 2 Attention : Le domaine est le domaine associé à D mais exprimé à l'aide des coordonnées polaires r et θ. M. Basnary S. FIPA BTP 12_15_M_2 Rattrapage Page n 6/6