ENTRÉE EN TS. Exercice 1 Second degré - les aspects élémentaires.

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1 1 ENTREE EN CLASSE DE TERMINALE S. FEUILLE D EXERCICES Pour qui est ce document. Ce document est destiné à tous les élèves entrant en Terminale S, quelle qu ait été leur moyenne dans la discipline au terme de l année de première S. Il est constitué de divers exercices portant sur l ensemble des points au programme. Ces exercices NE sont PAS à faire dans leur totalité pendant les vacances scolaires d été, même s ils seront corrigés et utilisés en tête de chaque chapitre de l année de terminale. Celle-ci commence en réalité dès la fin des cours de première. Il est essentiel de comprendre que les objectifs globaux de l année ne procèdent pas tous de la même temporalité. On distinguera le temps de l examen qui aura lieu à la mi-juin et le temps des dossiers A.P.B. (Admission Post Bac) qui s appuie sur le dossier scolaire constitué des deux premiers trimestres de terminale (Septembre - Mars), il est donc capital de bien commencer son année et pour cela rien ne vaut un travail régulier même s il est d ampleur modérée. 2. Quelques rappels pour bien débuter son année de Terminale. De façon générale, les travaux demandés hors du temps scolaire ont une importance capitale ; leurs fonctions sont diverses et multiples : L étude du cours joue un rôle central, son objectif est triple : connaître les concepts et les résultats essentiels, acquérir la maîtrise des méthodes et techniques d étude des problèmes, savoir analyser la portée des hypothèses et des résultats. Les démonstrations des théorèmes vus en cours sont donc à travailler avec beaucoup de soin car elles permettent le plus souvent de remplir ces trois objectifs. La résolution d exercices d entraînement, combinée avec l étude du cours a pour fonction, pour l élève, d affermir ses connaissances et d évaluer sa capacité à les mettre en œuvre. La résolution de tels exercices ne constitue donc pas un objectif en soi. L étude de questions plus complexes alimente le travail de recherche et d argumentation et permet à l élève d affirmer son goût pour la discipline et de mesurer sa capacité à mobiliser ses connaissances de façon synthétique et coordonnée. 3. À propos de ce document. On trouvera dans cette feuille, un florilège d exercices portant, on l a dit, sur la totalité du programme de première. Certains des exercices sont des applications directes du cours et sont marqués du symbole (à faire), d autres, plus synthétiques demandent des connaissances solides et des techniques de calcul éprouvées, ils sont marqués du symbole (peuvent être cherchés pour ceux qui maîtrisent suffisamment les concepts vus en première). On a essayé d éviter les redondances et pris le soin de couvrir l ensemble des aspects exigibles par l institution ; l objectif est la plus grande maîtrise possible des concepts de première afin de préparer au mieux l année de terminale et les années suivantes. Pour illustrer notre propos, nous souhaitons attirer l attention sur le fait qu en 2013, l épreuve du baccalauréat de mathématiques contenait de nombreuses questions issues du programme de première : la loi binomiale, la détermination graphique d un nombre dérivé, le terme général et la limite d une suite géométrique de raison q ] 1; 1[, les sommes de termes consécutifs en progression géométrique et arithmétique. C est un peu moins vrai pour les sessions 2014 et 2015, notez toutefois que la connaissance des lignes trigonométriques et notamment les valeurs remarquables des sinus et cosinus étaient indispensables ainsi qu un bonne maîtrise des éléments d algorithmique.

2 2 Exercice 1 Second degré - les aspects élémentaires. Ces calculs n ont pas d intérêt particulier mais il est nécessaire de les mener à bien sans effort. 1. Résoudre dans R les équations suivantes : (a) x 2 4x 77 = 0 (b) 6x 2 x 15 = 0 (c) x 2 2 3x+2 = 0 1 (d) x x+4 = 3 x 2. Résoudre dans R les inéquations suivantes : (a) 4x 2 5x+2 > 0 (b) (x 2 +x 2)(x 2 x 2) < 0 (c) (6x2 +7x 5)(2x 2 5x 3) x 2 9x 20 0 Exercice 2 Second degré - quelques aspects un peu moins élémentaires. Si les notions de discriminant et de racine(s) d un polynôme du second degré sont comprises, les exercices suivants sont plutôt simples. 1. Déterminer les réels α et β pour qu ils soient solutions de l équation x 2 +αx+β = 0 2. Soit m un réel quelconque. On pose pour chaque valeur de m l équation (E m ) : mx 2 2(m+1)x+6m 2 = 0. Discuter selon les valeurs de m du nombre de solution de (E m ). 3. On considère l équation du second degré suivante : ax 2 +bx+c = 0 avec a 0. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a, b et c pour que 1 soit solution de l équation, quelle est alors la seconde solution? Quelle est la valeur du discriminant? Exercice 3 Second degré - autour de la parabole. Crible de Matiiassevitch. (Yuri Matiiassevitch, mathématicien russe, né en 1947.)

3 3 1. (a) À l aide d un logiciel de géométrie, représenter dans un repère orthonormé la parabole P d équation y = x 2 (b) Placer tous les points de P d abscisse entière n où 5 n 5 et n 0 et n 1. (c) Relier par un segment les points de la parabole d abscisse entière positive aux points de la parabole d abscisse entière négative. (d) Sur l axe des ordonnées, donner la liste des ordonnées des points vérifiant les conditions suivantes : l ordonnée est supérieure ou égale à 2 ; l ordonnée est inférieure ou égale à 25 ; qui ne sont pas point d intersection d un segment tracé à la question précédente et de l axe des ordonnées. Quelle conjecture peut-on formuler? 2. Soient n et m deux entiers naturels. On considère les points M(m; m 2 ) et N( n; n 2 ) de P. (a) Donner l équation réduite de la droite (MN). (b) Démontrer la conjecture émise à la question précédente. Exercice 4 Second degré - questions diverses et connexes. 1. Un rectangle a pour aire 11891m 2. Cette aire diminue de 425m 2 si on augmente une des dimensions de 20m et l on diminue l autre de 5m. Trouver les dimensions du rectangle. 2. Déterminer la nature du rectangle de périmètre 2p dont l aire est maximale. 3. Existe-t-il un réel x tel que la somme de son carré et de l inverse de son carré soit égale à 6? 4. Résoudre dans R x 4 7x = 0 5. Résoudre dans R x 4 5x Résoudre dans R 2x 1 = 1 2x 7. Résoudre dans R x 2 x 1 = 2x 2 +x 1 Exercice 5 Étude de fonctions. Dérivabilité ponctuelle, dérivabilité sur un intervalle. et pour 4. et 6.

4 4 1. Sens de variation. Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes : (a) f : x x 2 x 20 (b) f : x x 2 5x+6 1 (c) f : x x 2 +3x 10 (d) f : x 1 1 x 2 ( 2. Dérivabilité ponctuelle. On donne f telle que la courbe représentative passe par C 2; 5 ), la tangente à la courbe en C passe par 3 A(3;3) et B(0; 1) et g dont la courbe passe par D(2;3) et la tangente en D passe par E(3;0). On veut h (2) pour : (a) h(x) = xf(x) (b) h(x) = x f(x) (c) h(x) = f(x) x (d) h(x) = x f(x) (e) h(x) = (f(x)) 2 (f) h(x) = 1 f(x) (g) h(x) = 2f(x) 3g(x) (h) h(x) = f(x) g(x) (i) h(x) = f(x) g(x) 3. Lectures graphiques. On considère une fonction f dérivable sur ]0 ; + [ dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est tracée ci-dessous.

5 O Parmi les trois courbes ci-dessous, laquelle est la courbe représentative de la fonction f? a. b. c O O O

6 6 4. Sens de variation et obtention d inégalités. (a) Étude du sens de variation de f : x x+ 1 x sur R+. En déduire que quels que soient les réels a, b et c strictement positifs, on a : a b + b c + c a + a c + c b + b a 6. (b) Montrer que quels que soient les réels positifs a, b et c tels que a b+c, on a : a 1+a b 1+b + c 1+c. 5. Sens de variation. Étudier les variations de la fonction f et tracer avec un logiciel de géométrie la courbe représentative C f dans les cas suivants : (a) f(x) = 3x2 12x+16 x 2 4x+5 (b) f(x) = 4x 6 x 2 +x+1 (c) f(x) = 2(2x2 x 1) (2x 1) 2 (d) f(x) = x 1+ 9 x 1 (e) f(x) = x 1+ 4 x 2 6. Optimisation. Pour la fabrication d un livre on doit respecter sur chaque page des marges de 2cm à droite et à gauche et de 3cm en haut et en bas. Soient x et y les deux dimensions d une page. On désire que l aire de la partie disponible pour l impression soit de 600cm 2. (a) Déterminer y en fonction de x. Calculer l aire totale de la page. (b) Déterminer x et y pour que la consommation de papier soit minimale.

7 7 Exercice 6 Suites numériques. Autour des suites géométriques. 1. Résoudre dans R l équation 3x 2 8x+4 = 0 2. Soit (u n ) n 1 la suite géométrique strictement décroissante telle que les termes u 3 et u 4 de cette suite soient les solutions de l équation précédente. (a) Calculer le premier terme u 1 de la suite. (b) Exprimer u n en fonction de n. (c) Écrire un algorithme donnant le plus petit entier naturel N tel que n N entraîne u n 0,003. Exercice 7 Suites numériques. Autour des suites géométriques. Montrer que si trois nombres a, b et c sont trois termes consécutifs d une suite géométrique, ils vérifient la relation : (a+b+c)(a b+c) = a 2 +b 2 +c 2 Trouver trois nombres en progression géométrique connaissant leur somme 57 et la somme de leurs carrés Exercice 8 Suites numériques. Suites auxiliaires. On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, u n+1 = 1 3 u n Représenter graphiquement les termes de cette suite sur un axe, après avoir construit dans un repère orthogonal les droites d équations y = x +4 et y = x. On laissera apparents les traits de construction Écrire un algorithme permettant le calcul de N termes de la suite, N étant un entier naturel quelconque non nul et la somme de ces N termes. 3. On pose, pour tout nombre entier naturel n, v n = u n 6. (a) Pour tout nombre entier naturel n, calculer v n+1 en fonction de v n. Quelle est la nature de la suite (v n )?

8 8 (b) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, (c) Étudier la convergence de la suite (u n ). ( ) 1 n u n = (d) Écrire un algorithme donnant pour un entier P fixé, le plus petit entier naturel N tel que quel que soit n N, n N entraîne u n 6 10 P. Exercice 9 Suites numériques. Suites auxiliaires. Soit (u n ) la suite définie sur N par u 0 = 2 et u n 2u n+1 = 2n Construire un algorithme donnant pour N fixé, l ensemble des termes u 1 ; u 2 ; ;u N. 2. Soit (v n ) la suite définie sur N par v n = u n +2n 1. Montrer que la suite (v n ) est géométrique. En déduire l expression de v n en fonction de n. n 3. Donner l expression de u n en fonction de n et calculer, toujours en fonction de n, la somme S n = u k. Exercice 10 Suites numériques. Suites auxiliaires. On considère la suite numérique (u n ) définie par : u 0 = 8 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,4u n Calculer u 1 et u 2. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite. Une copie d écran sur laquelle les termes u 1 et u 2 ont été effacés est donnée ci-dessous. k=0

9 9 A B 1 n u(n) , , , , , , , , , , , , , , , , Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas? 3. En utilisant cette copie d écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite (u n )? 4. On considère l algorithme suivant :

10 10 Les variables sont l entier naturel N et le réel U. Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 8 Traitement : TANT QUE U 5 > 0, 01 Affecter à N la valeur N + 1 Affecter à U la valeur 0,4U+3 Fin TANT QUE Sortie : Afficher N Par rapport à la suite (u n ), quelle est la signification de l entier N affiché? 5. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n, par v n = u n 5. Montrer que la suite (v n ) est géométrique de premier terme v 0 = 3 et de raison 0,4. (a) Exprimer v n en fonction de n. (b) Déterminer la limite de la suite (v n ). (c) Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3? Pourquoi? Exercice 11 La droite en géométrie analytique. Dans ce qui suit, le plan est muni d un repère. 1. Dans les cas suivants donner une équation de la droite D dont on donne un point A et un vecteur directeur u. ( ) 4 (a) A(1;2) et u 3 ( ) 1 (b) A(3;7) et u 0 ( ) 0 (c) A( 1;5) et u 3

11 11 2. D est la droite d équation 2x y 1 = 0. Trouver une équation de la droite D parallèle à D et qui passe par le point A( 1;2). 3. D et D sont les droites d équations respectives 5x 2y 4 = 0 et x+2y = 8. Montrer que D et D ne sont pas parallèles et trouver les coordonnées de leur point d intersection. 4. Les points A(2; 3), B(5; 7) et C( 7; 9) sont-ils alignés? Exercice 12 Géométrie plane : préciser la position d un point. ABCD est un parallélogramme tel que AB = 3 et AD = 2. On construit les points E, F et G tels que : DE = 2 DB, CF = 5CA et BG = 3AB H est le point d intersection des droites (BF) et (CG). Le but du problème est de préciser la position de H sur (CG). 1. Première méthode : sans coordonnées. (a) Exprimer BF, BE et BG uniquement à l aide des vecteurs BA et BC. (b) Montrer que les points G, E et F sont alignés. (c) Montrer que 5 BG+12BC +3BF = 0. Que peut on déduire pour le point B? (d) Montrer que CH = 5 CG 17 ( 2. Deuxième méthode : avec les coordonnées. On choisit le repère B; BA, BC ). (a) Déduire de la question 1.(a) les coordonnées de E, F et G dans ce repère et en déduire l alignement de ces trois points. (b) Donner les équations des droites (BF) et (CG). En déduire les coordonnées de H. (c) Calculer les coordonnées des vecteurs CH et CG et vérifier les résultats de la question 1.(d) Exercice 13 Trigonométrie. Aspects élémentaires.

12 12 1. Résoudre dans R puis dans ] π; π] les équations suivantes : ( (a) cos 2x π ) ( π ) = cos 3 4 2x. ( (b) cos 2x+ 2π ) ( π ) = sin 3 4 2x. (c) 2cos 2 x+sinx+1 = 0 [ 2. Les réels α et β étant dans 0; π ], calculer α+β sachant que cosα = et cosβ = 3 5. Exercice 14 Trigonométrie. Construction à la règle et au compas d un pentagone régulier. 1. Détermination des valeurs exactes de cos 2π 5 et cos 4π 5. (a) En utilisant le fait que pour tout x R, cos2x = 2cos 2 x 1 et sin2x = 2sinxcosx, montrer que cos4x = 8cos 4 x 8cos 2 x+1 et que sin4x = 4sinxcosx(2cos 2 x 1). (b) En utilisant le fait que cos5x = cos(4x+x) et ce qui précède, montrer que cos5x = cosx(16cos 4 x 20cos 2 x+5) (c) En prenant x = cos 2π 5, on obtient cos5x = 1, on est donc naturellement conduit à considérer l équation 16t5 20t 3 +5t 1 = 0. En utilisant la question précédente, montrer que cos 2π 5, cos 4π 5, cos 6π 5, cos 8π 10π et cos = 1 sont solutions de cette équation. 5 5 (d) Montrer que cos 2π 5 = cos 8π 5 et que cos 4π 5 = cos 6π 5. (e) Montrer que quel que soit t R, 16t 5 20t 3 +5t 1 = (t 1)(4t 2 +2t 1) 2, en déduire que cos 2π = et cos 4π = 4 2. Construction à la règle et au compas d un pentagone régulier. Il s agit de construire dans le cercle trigonométrique C de centre O un pentagone régulier ABCDE. On place le point A de coordonnées (1;0), on veut construire sans rapporteur, à la règle et au compas ( ) seuls, les points de C B et C tels que OA; OB = 2π ( 5 et ) OA; OC = 4π 5. (a) Soient I et J les points de coordonnées (cos 2π5 ) ; 0 et (cos 4π5 ) ; 0. Calculer les coordonnées de P milieu de [IJ].

13 13 ( (b) Calculer la longueur du segment PI. Montrer que le point Q de coordonnées 0; 1 ) appartient au cercle de diamètre [IJ]. 2 (c) Construire les points I et J, puis les points B et C puis les points D et E. Exercice 15 Produit scalaire. Aspects élémentaires. 1. Les vecteurs u et v ont pour normes respectives 4 et 6 et u v = 8, calculer : (a) u ( u v) (b) 2 u 4 v (c) ( u v) ( u+ v) (d) u+ v 2. ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 4 et AB AC = (a) Calculer BC (b) Donner la mesure de l angle BAC. 3. Démontrer qu un parallélogramme possède : (a) deux côtés consécutifs égaux (et donc les quatre côtés) si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires. (b) un angle droit (et donc quatre) si et seulement si ses diagonales sont de même longueur. 4. ABCD est un parallélogramme. Démontrer que 2AB 2 +2BC 2 = AC 2 +BD ABCD est un carré, M est point de [BD]. Le point P est le projeté orthogonal de M sur (AB) et le point Q est le projeté orthogonal de M sur (AD). (a) Montrer que CM PA = PA PB. (b) Montrer que CM AQ = PA PB. (c) Conclure. 6. ABCD est un carré. I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [CD]. Calculer cosα.

14 14 D A α Exercice 16 Produit scalaire : géométrie analytique, droites et cercles. Dans l exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé. 1. D est la droite d équation x+2y = 1. A est le point de coordonnées (1;4). Donner une équation de la droite D perpendiculaire à D passant par A. 2. On considère les points A(0;3) et B(4;1). Donner une équation de la médiatrice de [AB]. 3. Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB], les points A et B étant ceux de la question précédente. 4. Donner une équation cartésienne du cercle de centre I(1;3) et qui passe par A(2;4). 5. On considère un point F de coordonnées (a; b) avec b 0 et un point M(x; 0) où x est un réel quelconque. Montrer que le lieu des centres des cercles tangents à l axe des abscisses en M et passant par F est la parabole d équation y = (x a)2 + b 2b 2. Exercice 17 Géométrie : avec le théorème de la médiane. J ABC est un triangle dont deux médianes sont (BK) et (CJ) qui se coupent en G. Montrer que (BK) et (CJ) sont perpendiculaires si, et seulement si AB 2 +AC 2 = 5BC 2. C I B

15 15 Exercice 18 Probabilités. Probabilités classiques et loi binomiale. 1. On lance un dé à 6 faces. On suppose que la probabilité d apparition de chaque face est proportionnelle au numéro inscrit sur celle-ci. Calculer la probabilité d apparition de chaque face. Calculer la probabilité d obtenir un nombre pair. 2. On lance un dé à 6 faces. On suppose que la probabilité d apparition de chaque face est proportionnelle au carré du numéro inscrit sur celle-ci. Calculer la probabilité d apparition de chaque face. Calculer la probabilité d obtenir un nombre pair. 3. Un tireur sur cible s entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30 centimètres. On admet que la probabilité d atteindre une zone est proportionnelle à l aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. Quelle est la probabilité d atteindre la zone la plus éloignée du centre. 4. Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. On tire au hasard une boule dans l urne, on note sa couleur, on la remet dans l urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants. (a) Quelle est la probabilité d obtenir 5 fois une boule noire? (b) Quelle est la probabilité d obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges? 5. Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique a permis d établir que, chaque fois qu il rencontre un client, la probabilité qu il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. Quelle est la probabilité qu il ait vendu exactement deux produits dans une matinée. Exercice 19 Probabilités. Variables aléatoires. Loi géométrique tronquée. On lance 10 fois un dé à 6 faces classique. On note X la variable aléatoire égale à 0 si l as ne sort pas et au rang de sortie de l as sinon. Quelles sont les valeurs prises par X? Quelle est la loi de X? Exercice 20 Probabilités. Variables aléatoires. Loi binomiale.

16 16 Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l entreprise est soumis à deux contrôles : d une part l aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu il ne présente pas de défaut de finition, d autre part sa solidité est testée. On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : F l évènement : «le jouet est sans défaut de finition» ; S l évènement : «le jouet réussit le test de solidité». On sait que : P(F) = 0,92 P(S) = 0,934 P(F S) = 0,874 P(F S) = 0, Étude d une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10e, ceux qui n ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5e. On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. (a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B. (b) Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire B. 2. Étude d une nouvelle variable aléatoire. On prélève au hasard dans la production de l entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité. Exercice 21 Probabilités. Variables aléatoires. Loi binomiale. Une compagnie aérienne possède des avions quadrimoteurs et des avions bimoteurs. Tous les moteurs ont la même probabilité p de tomber en panne, indépendamment les uns des autres. L avion peut se poser si moins de la moitié (au sens large) des moteurs tombent en panne. Sur quel type d avion vaut-il mieux voler?

17 17 Exercice 22 Probabilités. Variables aléatoires. Loi binomiale. Intervalle de fluctuation. Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l industrie. L objectif de cet exercice est d étudier l exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production. A. Loi binomiale. Les pièces produites par l entreprise sont livrées par lots de 20. On note D l événement : «une pièce prélevée au hasard dans la production n est pas conforme». On suppose que P(D) = 0,02. On prélève au hasard 20 pièces dans la production. La production est assez importante pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire X qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu il contient. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale ; donner ses paramètres. 2. Calculer la probabilité P(X = 0). 3. Calculer la probabilité qu il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20 pièces. 4. Calculer l espérance mathématiques, E(X), de cette variable aléatoire et interpréter le résultat. B. Intervalle de fluctuation. Le cahier des charges établit que la proportion de 2% de pièces non conformes dans la production est acceptable. 1. Donner un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80. On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes. 2. Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l échantillon prélevé? 3. La machine de production doit-elle être révisée? Justifier votre réponse.