Barycentre. I. Barycentre de 2 points pondérés. Sommaire

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1 Barycentre Introduction : approche possible Le barycentre est un point qui résume d'autres points, de la même façon d'une moyenne est un nombre qui résume d'autre nombres, éventuellement affectés de coefficient. Il s'agit en physique du centre de gravité ou point d'équilibre. Sommaire I.Barycentre de 2 points pondérés...1 I.1.Propriétés du barycentre...1 I.2.Coordonnées du barycentre (dans le plan)...2 II.Barycentre de 3 points pondérés et plus...3 II.1.Propriétés (identiques à celle du barycentre de 2 points)...3 II.2.Associativité du barycentre...4 I. Barycentre de 2 points pondérés Soit 2 points A et B et 2 réels a et b tels que a+b 0. Il existe un unique point G vérifiant : a GA b GB= 0 Définition : Ce point G est appelé barycentre du système pondéré {(A, a); (B, b)}. On peut noter G = bar {(A, a); (B, b)} a et b sont appelés poids ou coefficients. En particulier, lorsque les poids sont égaux (a=b), G est appelé isobarycentre de A et B. Le barycentre modélise le centre de gravité (centre d'équilibre) de 2 points A et B sur lesquels s'applique une force d'intensité a pour A et une force d'intensité b pour B. (une force 'négative' peut être vu comme celle d'un ballon d'hélium) L'isobarycentre de A et B est le milieu de [AB]. a GA b GB= 0 a GA b GA AB = 0 a b GA b AB= 0 a b GA= b AB a b AG=b AB AG= b a b AB car a b 0 Ainsi chercher un point G tel que a GA b GB= 0, c'est chercher un point G tel que AG= b a b AB. On en déduit l'existence et l'unicité de ce point.

2 Pour la construction du barycentre, on utilise l'égalité AG= b a b AB. I.1. Propriétés du barycentre a) Homogénéité : (le barycentre reste inchangé lorsque tous les poids sont multipliés par une même constante) Pour tout réel k non nul, G = bar{(a, a); (B, b)} G = bar{(a, ka); (B, kb)} Pour tout réel k non nul, a GA b GB= 0 ka GA kb GB= 0 Le barycentre de {(A, 1); (B, 3)} est aussi le barycentre de {(A, 5); (B, 15)} et de {(A, -1); (B, -3)}... En physique, lorsque les poids sont 2 fois plus important (k fois plus important) le centre d'équilibre reste inchangé. Attention bar{(a, a); (B, b)} bar{(a, a + k); (B, b + k)} b) Position du barycentre: Le barycentre de 2 points A et B est situé sur la droite (AB) et réciproquement, tout point de la droite (AB) est le barycentre des points A et B affectés de coefficients bien déterminés. (la droite (AB) peut être définie comme l'ensemble des barycentres de A et de B.) Si a et b sont de même signe alors G [AB]. Si a et b sont de signe contraire alors G appartient à la droite (AB) privé du segment [AB]. Si a > b, alors G est «plus près» de A que de B. Si le coefficient de A est nul, alors G et B sont confondus. ( de même pour B ) c) Propriété fondamentale : réduction de la somme vectorielle a MA b MB Si G est le barycentre de {(A, a); (B, b)} alors pour tout point M, a MA b MB= a b MG a GA b GB= 0 a GM MA b GM MB = 0 a b GM a MA b MB= 0 a MA b MB= a b MG Réduire MA MB. On considère le barycentre I de {(A, 1); (B, 1)}. On obtient MA MB=2 MI (formule du parallélogramme) I.2. Coordonnées du barycentre (dans le plan) Soit G le barycentre de {(A, a); (B, b)}, avec A(x A, y A ) et B(x B, y B ). G a pour abscisse la moyenne pondérée des abscisses de A et B : x G = a x A b x B a b G a pour ordonnée la moyenne pondérée des ordonnées de A et B : y G = a y A b y B a b

3 On applique la propriété fondamentale avec le point O. II. Barycentre de 3 points pondérés et plus Soit 3 points A, B et C et 3 réels a, b et c tels que a+b+c 0 Il existe un unique point G vérifiant : a GA b GB c GC= 0 Définition : Ce point G est appelé barycentre du système pondéré {(A, a); (B, b); (C, c)}. En particulier, lorsque les poids sont égaux (a=b=c), G est appelé isobarycentre de A, B et C. L'isobarycentre de A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC. Pour la construction du barycentre, on peut utiliser l'égalité AG= b AB c AC. Mais dans la pratique a b c a b c on utilise l'associativité. II.1. Propriétés (identiques à celle du barycentre de 2 points) a) Homogénéité : Le barycentre reste inchangé lorsqu on multiplie les coefficients par un même nombre non nul. b) Position du barycentre : Le barycentre de 3 points A, B et C est situé sur le plan (ABC) et réciproquement, tout point du plan (ABC) est le barycentre des points A, B et C affectés de coefficients bien déterminés. (le plan (ABC) peut être défini comme l'ensemble des barycentres de A, B et C.) Lorsque les coefficients sont de même signe, le barycentre est situé à l'intérieur du triangle ABC. c) Propriété fondamentale : réduction de la somme vectorielle a MA b MB c MC Pour tout point M du plan, a MA b MB c MC = a b c MG

4 d) Coordonnées : G a pour abscisse la moyenne pondérée des abscisses de A, B et C : G a pour ordonnée la moyenne pondérée des ordonnées de A, B et C : II.2. Associativité du barycentre (barycentre partiel) Soit G le barycentre de {(A, a); (B, b); (C, c)}. Si a+b 0, en note H le barycentre de {(A, a); (B, b)} et G est alors le barycentre de {(H, a+b); (C, c)} H est parfois appelé barycentre partiel. x G = a x A b x B c x C a b c y G = a y A b y B c y C a b c En physique, le centre de gravité d'un système comportant plusieurs éléments est le centre de gravité des centres de gravité de chacun de ces éléments affectés du poids de l'élément. En statistique, la moyenne d'une série qui est divisée en paquet est la moyenne des moyennes de chaque paquet affectées du coefficient représentant la taille du paquet. Cette propriété permet de construire le barycentre de n points en ne construisant que des barycentres de 2 points. On utilise la relation de Chasles en «insérant» le point H dans les termes GA et GB dans l'expression a GA b GB c GC= 0. Placer 3 points A, B et C et construire le barycentre G de {(A, 3); (B, 2); (C, 1)}. 1. en prenant le barycentre partiel H de A et B, puis le barycentre de H et de C. 2. en prenant le barycentre partiel H de A et C, puis le barycentre de H et de B. 3. en prenant le barycentre partiel H de B et C, puis le barycentre de H et de A. Utilisation des propriétés : Dans un système pondéré de n points, on peut : remplacer un groupe de points par leur barycentre partiel. remplacer un barycentre partiel par le système de points dont il est le barycentre. découper un point (A, a) en plusieurs points (A, a 1 ), (A, a 2 ),..., (A, a p ), avec a 1 + a a p = a. regrouper les points relatifs à un même point. G est le barycentre de {(A, 1); (B, 2); (C, 2)}. G 1 est le barycentre de {(A, -1); (B, 2); (C, 2)}. G 2 est le barycentre de {(A, 1); (B, -2); (C, 2)}. G 3 est le barycentre de {(A, 1); (B, 2); (C, -2)}. 1. Démontrer que G 1, G 2 et C sont alignés. 2. Démontrer que les droites (AG 1 ), (BG 2 ) et (CG 3 ) sont concourantes en G. ABCD est un tétraèdre. K est le barycentre de {(A, 2); (D, 1)}. G est le barycentre de {(B, 2); (C, 2); (D, -1)}.

5 I est le milieu de [GK]. Démontrer que I, A, B et C sont coplanaires. (Démontrons pour cela que I est barycentre de A, B et C)