COLLÈGE LA PRÉSENTATION. Présentation et orthographe : 4 points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.

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1 COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Mai 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : 4 points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin. EXERCICE 1 (4 points) 1) Calculer A et donner un arrondi à 0,01 près. 927 A= = = ,43 2) Donner l'écriture scientifique de B. B= = = = =9, = ) Calculer C. C= 442,5 72 2,5 5 4) Comparer les nombres D et E. = 442,5 122,5 = = 64=8 E= = = = = 6 5=D EXERCICE 2 (4 points) On cherche à résoudre l'équation (4 x 3) 2 9=0. 1) Le nombre 3 4 On remplace x par 3 4 est-il solution de cette équation? et le nombre 0? dans cette équation, et on vérifie si l'égalité est vraie : ( ) 2 9=(3 3) 2 9=0 2 9= 9 0. Donc 3 4 2) Prouver que, pour tout nombre x, (4 x 3) 2 9=4 x(4 x 6). n'est pas solution de cette équation. On développe le membre de gauche de cette égalité, puis on factorise l'expression obtenue : (4 x 3) 2 9=16 x 2 24 x+9 9=16 x 2 24 x=4 x(4 x 6) 3) Déterminer les solutions de l'équation (4 x 3) 2 9=0. On vu au 2) que (4 x 3) 2 9=4 x(4 x 6). Donc résoudre (4 x 3) 2 9=0 revient à résoudre 4 x(4 x 6)=0. Or, si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. Donc 4 x=0 ou bien 4 x 6=0, soit x=0 ou bien x= 3 2. Cette équation a deux solutions : 0 et 3 2. Page 1 sur 5

2 EXERCICE 3 (3 points) v représente la vitesse moyenne, d la distance parcourue et t la durée du parcours. Les trois grandeurs vérifient la relation : v= d. t Recopier et compléter le tableau suivant. Les réponses seront inscrites avec leurs unités. v d t a 70 km/h 350 km 5h b 9 m/s 450 m 50 s c 25 m/s m 2 min EXERCICE 4 (5 points) Calcul de la longueur BC : ABC est un triangle rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² BC² = 300² + 400² BC² = BC² = BC = 500 m Calcul des longueurs CD et DE : Les droites (AE) et (BD) se coupent en C et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : CA CE = CB CD = AB ED, soit avec les valeurs numériques : =500 CD = 300 DE. On a alors : CD= =1250 et DE= = Longueur totale du trajet : On en déduit la longueur totale du trajet ABCDE : AB + BC + CD + DE = = m. Page 2 sur 5

3 EXERCICE 5 (7 points) On donne BD = 4 cm ; BA = 6 cm et DBC = 60. Il n'est pas demandé de faire une figure en vraie grandeur. 1) Montrer que BC = 8 cm. Dans le triangle BCD rectangle en D : cos ĈBD = BD BC, soit cos 60 = 4 BC d'où BC = 4 cos60 = 8 cm. 2) Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. Dans le triangle BCD rectangle en D : tan ĈBD = CD BD soit tan 60 = CD 4 3) Calculer AC. Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC² d'où AC² = 6² + 8² = = 100 ; donc AC = 10 cm. 4) Quelle est la valeur de tan BAC. Dans le triangle ABC rectangle en B : tan BAC = BC BA = 8 6 = ) En déduire la valeur arrondie au degré de BAC. On en déduit que BAC = arctan ( 4 3 ) 53 d'où CD = 4 tan 60 6,9 cm. EXERCICE 6 (9,5 points) M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis. 1) L'entreprise A lui a communiqué le graphique présent en annexe. Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter. a) Quel serait le coût pour un volume de 20 m 3? Vous laisserez vos tracés apparents. Pour un volume de 20 m 3, le coût serait de 600 euros. b) Le coût est-il proportionnel au volume transporté? Justifier. La représentation graphique du coût du déménagement en fonction du volume à transporter est une droite passant par l'origine du repère, c'est donc la représentation graphique d'une situation de proportionnalité. c) Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m 3, associe le coût du déménagement avec cette entreprise. Exprimer g(x) en fonction de x. g ( x)=30 x Page 3 sur 5

4 2) L'entreprise B lui a communiqué une formule : f (x)=10 x+800 où x est le volume (en m 3 ) à transporter et f (x) le prix à payer (en ). a) Calculer f (80). Que signifie le résultat obtenu? f (80)= = =1600. Cela signifie que pour un volume de 80 m 3 transporté par l'entreprise B, le coût du déménagement serait de 1600 euros. b) Déterminer par le calcul l'antécédent de par la fonction f. On résout l'équation 10 x +800= x= ; 10 x=2700 ; x= ; x=270. Cela signifie que pour 3500 euros, l'entreprise B peut transporter un volume de 270 m 3. c) Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique présent en annexe. 3) M. Dubois estime à 60 m 3 le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir? Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents. On trace une droite verticale à l'abscisse 60, et on regarde quelle représentation graphique cette droite coupe en premier. Il s'agit de la représentation graphique de la fonction f, donc M. Dubois a intérêt à choisir l'entreprise B pour son déménagement, car cela lui coûtera moins cher. EXERCICE 7 (3,5 points) Une classe de 3 e est composée de 25 élèves. Certains sont externes, les autres sont demi-pensionnaires. Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe. Garçon Fille Total Externe Demi-pensionnaire Total ) Recopier et compléter le tableau. 2) On choisit au hasard un élève de cette classe. a) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille? p (F) = b) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit externe? p (E) = 5 25 c) Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon? p D (G)= 9 20 Page 4 sur 5

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