Plan. Formulations. Écriture matricielle Plaque, coque. Interpolation de Lagrange et Hermite Élément quadrangulaire. Éléments tridimensionnels

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1 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D Méthode des Éléments Finis : Éléments 2D et 3D Plan Formulations Élasticité 3D Écriture matricielle Plaque, coque Élément Finis de membrane Éléments isoparamétriques Intégration numérique Interpolation de Lagrange et Hermite Élément triangulaire Élément quadrangulaire Contrôle des éléments Éléments tridimensionnels

2 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 2 Rappels d élasticité [repère cartésien de référence - petites perturbations] Déplacement : vecteur u u i Déformations : tenseur ε = ε i j = 2 (u i, j + u j,i ) Contraintes : tenseur σ σ i j Loi de comportement : relation σ ε σ = Eε σ i j = E i jkl ε kl E est le tenseur d élasticité, dépend de E et ν (élasticité linéaire, isotrope, homogène). Énergies : Travail des forces extérieurs : U = ε i j σ i j dd = ε i j E i jkl ε kl dd 2 D 2 D T = ρ u i u i dd 2 D W ext = fi d u i dd Fi d u i ds D D

3 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 3 Écriture matricielle Comportement : σ xx ε xx {σ} = [E]{ε} {σ} = σ yy σ zz σ xy {ε} = ε yy ε zz ε xy σ xz σ yz ε xz ε yz Matrice d élasticité : [E] = E( ν) ( + ν)( 2ν) ν +ν ν +ν ν ν +ν ν ν +ν ν ν ( 2ν) ( ν) ( 2ν) 0 2( ν) ( 2ν) 2( ν) Élasticité bidimensionnelle : σ xx σ yy = σ xy ν +ν 0 ν +ν ( 2ν) 2( ν) ε xx ε yy ε xy

4 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 4 Écriture matricielle Déplacement : Déformations : u {u} = v w {ε} = [D]{u} [D] = x y y 0 z x 0 y z z 0 x Élasticité bidimensionnelle : ε xx ε yy ε xy = x 0 0 y y x u v

5 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 5 Plaques - coques Plaque : w v u Coque : w v u Cinématique : Tension (Membrane) : u et v mouvement dans le plan de la plaque (idem problème bidimensionnel) Flexion : w mouvement hors plan

6 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 6 problèmes 2D : maillage Couverture du domaine D par des éléments bidimensionnels (triangles, quadrangles,... ). Approximation de la géométrie. Possibilité d utiliser des éléments à bords courbes. Maillage automatique. Approximations en 2D et en 3D : de la géométrie (maillage), de la solution u(x, y,t) = n i= q i (t)ϕ i (x,y), de la répartition des masses (matrice de masse diagonale).

7 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 7 Élément de membrane triangulaire y 3 2 x Continuité : du déplacement aux nœuds mais surtout au travers des arêtes. Interpolation polynomiale de degré : u(x,y) = a 0 + a x + a 2 y v(x,y) = b 0 + b x + b 2 y u(x i,y i ) = a 0 + a x i + a 2 y i = u i (6eq. - 6inc.) v(x i,y i ) = b 0 + b x i + b 2 y i = v i u(x,y) = ϕ (x,y)u + ϕ 2 (x,y)u 2 + ϕ 2 (x,y)u 3 v(x,y) = ϕ i (x,y)v i u u v = ϕ 0 ϕ 2 0 ϕ ϕ 0 ϕ 2 0 ϕ 3 v u 2 v 2 = [ϕ(x,y)]{q e } u 3 v 3

8 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 8 Élément de membrane triangulaire Interpolation : Les fonctions de base ϕ i sont bilinéaires en x et y : ϕ 3 3 ϕ 2 3 ϕ Énergies élémentaires : élément d épaisseur h (cste) U e = 2 {q e} [h T D T e = 2 { q e} [ρ T Travaux élémentaires : ] [ϕ(x,y)] T [D] T [E][D][ϕ(x,y)]dxdy {q e } D ] [ϕ(x,y)] T [ϕ(x,y)]dxdy { q e } force volumique { f d (x,y)} : W e = {q e } {h T D } [ϕ(x,y)] T { f d (x,y)}dxdy force linéique {F d (x,y)} sur l arête 2 : } W e = {q e } {h T [ϕ(x,y)] T {F d (x,y)}ds 2

9 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 9 Élément de membrane triangulaire Interpolation bilinéaire du déplacement : déformations constantes contraintes constantes Discontinuité des contraintes d un élément à l autre Déséquilibre local. Élément C 0. Éléments d ordre supérieur (biquadratiques ou bicubiques) et surtout C Les fonctions de base utilisées sont propres à chaque élément : elles dépendent de : la taille, de la forme de l élément Éléments isoparamétriques Les intégrations sur l élément et sur ses arêtes peuvent être délicates. Intégration numérique Éléments isoparamétriques Mêmes difficultés en 3D

10 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 0 Éléments isoparamétriques Élément de référence commun à tous les éléments du même type : η T y 2 T 2 x Espace de référence (,η) Transformation géométrique : x(,η) = φ (,η)x + φ 2 (,η)x 2 + φ 3 (,η)x 3 y(,η) = φ i (,η)y i φ i bilinéaires : éléments réels droits φ i biquadratiques : éléments réels courbes Choix des fonctions de forme : φ i degré φ i = degré ϕ i : éléments isoparamétriques φ i = ϕ i degré φ i degré ϕ i : éléments sous-paramétriques degré φ i degré ϕ i : éléments sur-paramétriques

11 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D Éléments isoparamétriques Fonctions de base dans l espace de référence : ϕ i (,η) Calcul des déformations : η = x x η y y η x y = [J] x y [J] est la matrice jacobienne de la transformation dépend des positions des nœuds et des dérivées des fonctions de forme. Son inverse existe pour des géométries standards : x y = [J] η et dxdy = det[j] ddη D réel D réf permet le calcul des déformations en tout point de l élément de référence : {ε} = [B(,η)]{q e } Énergies élémentaires : élément d épaisseur h (cste) ] U e = 2 {q e} [h T [B] T [E][B]dxdy {q e } D réel ] = 2 {q e} [h T [B] T [E][B]det[J]ddη {q e } D réf T e =...

12 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 2 Éléments isoparamétriques : généralisation y η T 2 T 2 x y T 2 - T 2 x y η T ζ z x

13 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 3 Intégration numérique Intégration numérique = somme pondérée des valeurs prises par la fonction en un certain nombre de points particuliers. D réf f (,η)ddη = r i= w i f ( i,η i ) Méthode de Gauss : La plus utilisée en éléments finis D f ()d = r i= w i f ( i ) les points ( i ) de Gauss et les poids (w i ) sont calculés pour intégrer de manière exacte les polynômes de degré m le plus élevé possible : 2D méthode directe (triangles) D réf 2D méthode produit (quadrangle) m = 2r f (,η)ddη = r i= w i f ( i,η i ) f (,η)ddη = r i= r 2 w i w j f ( i,η j ) j= 3D idem... formulaires

14 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 4 Éléments triangulaires de Lagrange Élément de Lagrange à 3 nœuds 3 η ϕ (,η) = η ϕ 2 (,η) = ϕ 3 (,η) = η 2 = λ (,η) = λ 2 (,η) = λ 3 (,η) élément de classe C 0, premier degré, polynômes complets les λ i sont les coordonnées barycentriques. Élément de Lagrange à 6 nœuds 3 η ϕ i (,η) = λ i (2λ i ), i =,...,3 ϕ 4 (,η) = 4λ λ 2 ϕ 5 (,η) = 4λ 2 λ 3 ϕ 6 (,η) = 4λ 3 λ élément de classe C 0, deuxième degré, polynômes complets

15 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 5 Élément triangulaire de Hermite Élément de Hermite à 4 nœuds 3 η 4 2 Les 0 fonctions de base sont les polynômes de Hermite : les 4 polynômes P i qui valent au nœud i et 0 aux autres (i =...4). les 3 polynômes P j, qui valent 0 en tous nœuds et dont la dérivée par rapport à vaut au nœud j (j =,2,3). les 3 polynômes P j,η qui valent 0 en tous nœuds et dont la dérivée par rapport à η vaut au nœud j (j =,2,3). Troisième degré, polynômes complets Élément de classe C 0 seulement Nbre de ddl différent sur le nœud milieu Nœud interne éliminé par condensation Trop compliqué...

16 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 6 Éléments quadrangulaires de Lagrange Élément de Lagrange à 4 nœuds 4 η 3 ϕ (,η) = ( )( η) ϕ 2 (,η) = ( η) ϕ 3 (,η) = η ϕ 4 (,η) = ( )η 2 Élément de classe C 0, premier degré, polynômes complets Élément de Lagrange à 9 nœuds 4 η η élément de classe C 0, deuxième degré, polynômes complets Nœud interne éliminé par condensation Élément de Lagrange à 8 nœuds ( Serendipity )

17 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 7 Convergence des éléments Approximation (Ritz) : des fréquences et des modes en excès par rapport aux valeurs réelles (si les conditions de continuité et les CL géométriques sont assurées). Convergence de la solution EF vers la solution réelle lorsque la taille des éléments tend vers 0 : conditions complémentaires à remplir (état de déformation constant, inf-sup, HBB,... ) Patch Test donne une condition suffisante de convergence : un élément est soumis à un état de déformation uniforme, le test vérifie que cet état se retrouve dans la solution. Tests standards publiés par les organismes de contrôle. La non convergence ne vient pas forcément des éléments : Éléments non conformes (pas de continuité aux interfaces), Intégration réduite : les polynômes ne sont pas intégrés exactement. Calcul d erreur a posteriori. Adaptativité. Maillage 2. Calcul d une solution 3. Calcul de l erreur locale (et des tailles optimales) 4. R lage

18 Méthode des Éléments Finis : éléments 2D et 3D 8 Éléments tridimensionnels Tétraèdres : 4 et 0 nœuds Pyramides : 5 et 3 nœuds Prismes : 6 et 5 nœuds Cubes : 8 et 20 nœuds