Théorie sur le récupérateur de chaleur de douche.(rcd)

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1 Théorie sur le récupérateur de chaleur de douche.(rcd Par. A] Etude de l échangeur seul : On suppose que l échangeur se comporte comme un échangeur à contre-courant (counter-flow. Appelons ds la surface élémentaire et K le coefficient d échange linéique. Unités : K, en W/(m 2.K P, en m TC(x : température du fluide chaude à la position x. TF(x : température du fluide froid à la position x. qc, qf : débits respectifs des fluides chaud et froid (en kg/s cc, cf : chaleur massique respective des fluides chaud et froid (en J/(kg.K L : longueur totale de l échange. S : surface totale de l échangeur en m 2. φ, en W. Bilan thermique sur une surface élémentaire ds : Pour le fluide chaud : qccc(t C(x TC (x+ dx = K.P.dx.(TC(x TF (x La chaleur cédée par le fluide chaud au fluide froid est proportionnel à la différence de température entre les 2 fluides. dtc = (T (x T (x dx q K. c P C F C C Pour le fluide froid : qfcf(t F(x+ dx TF (x = K.P.dx.(TC(x TF (x La chaleur reçue par le fluide froid par le fluide chaud est proportionnel à la différence de température entre les 2 fluides. Le signe représente la chaleur reçue. dtf = (T (x T (x dx q K. c P C F F F Equations : θ ( x = TC(x TF (x d θ = KP 1 1 θ dx q c q c. F F C c On obtient :

2 θ ( x = A.exp(M.x avec M= KP. q 1 1 FcF qcc c, qui est un coefficient en m-1. Conditions aux limites en x= et en x=l : θ( = A= TCE TFS = Ta θ ( L = A.exp(ML = TCS TFE = Tb Température T a T CE T FS ds chaud froid q C chaud T C (x θ(x T F (x T CS T FE T b q F froid dx P L x Calcul du flux échangée φ : L [ exp(ml 1] φ= KP. θ(x.dx= K. T M P. a Exprimons cette relation mais en avec la valeur enne de θ : L θ = 1 T θ = a (x.dx.(exp(ml 1 L ML or Tb = T a.exp(ml T ainsi ML = ln b Ta La valeur enne s exprime donc par : θ T = b Ta T ln b Ta Cette relation est aussi appelée enne logarithmique T LN, bien qu elle représente la valeur enne tout court de θ. φ =KPL. θ avec PL=S

3 et KS=UA UA : coefficient d échange thermique du RCD en W/K. φ = UA. θ = UA. T LN B] Application au RCD : Glossaire : X : fraction de débit d eau chaude à 6 C par rapport au débit de la douche. : débit douche en L/mn TD : température de douche (en général vers 4 C TB : température récupérée par le RCD TDB : pertes de température entre le pommeau et le bac à douche (environ 5 C T : température d eau froide d arrivé du réseau. T D X. ECS Eau chaude à 6 C T DB (1-X. Bac à douche T B T CE T FS T FE T CS Réseau Égout T RCD Mise en équation : Appelons R, le rapport : q c q R= F F et R=1-X C c C Hypothèse : cc = cf= c q= q C

4 q C c C = qc q F c F = R.qc qc= 7. Notons que M est positif, ce qui donne l allure des températures sur le graphique. Relations obtenues : φ =φmax. ε avec φ MAX= qc.r.(tce TFE L efficacité de l échangeur est donnée par [ 1 ] 1 exp( R R qc UA ε= 1 R.exp( [ ] qc UA 1 R R TFS = TFE + (TCE TFE. ε TCS= TCE (TCE TFE.R. ε ( 6 4 R= ( 6 TFS 1 exp( ML ε= 1 R.exp( ML Attention : le calcul est itératif mais au bout de 3 itérations le résultat converge. C] Economie réalisée : Appelons W la puissance utilisé pour chauffer l eau à 4 C sans RCD. Appelons W= qc( 4 TFE = X.qc( 6 TFE avec X la fraction d eau chaude sans utiliser le RCD. φ / W l économie réalisée en %. φ= ( X X.qc( 6 TFE (T T φ /W= R. CE FE. ε ( 4 T Remarque : si en plus, on modifie le débit q, la relation devient : FE (T T φ /W=λR. CE FE. ε ( 4 T FE avec [ 1 ] 1 exp( UA R R λqc ε= 1 R.exp( UA[ 1 ] λqc R R

5 D] Comment connaître UA? C est simple, on suppose connues les valeurs de : TFS, TCE et. ( 6 4 R= et ( 6 TFS On en déduit qc= 7. T T ε = FS FE, ce qui donne UA par : T CE T FE UA = qc. R.ln 1 R ( 1.R 1 ε ε E] Variante plus intéressante d un point de vue énergétique. On suppose que les débits de froid et de chaud dans le récupérateur sont identiques. R tend vers 1. Ce cas permet d obtenir plus de puissance récupérée φ. (Voir exercice donné par Vincent R.B. Autier. La figure ci-dessous donnée pour une température TFE=1 C et une température TCE=35 C, un débit de =9L/mn, et un coefficient UA=2W/ K. Puissance récupérée (W φ (W,2,4,6,8 1 1,2 R Sur le graphique, nous donnons la valeur de UA/qc pour des débits de douche allant de 7 à 12L/mn selon 3 valeurs du coefficient d échange UA. Cette solution permet de récupérer plus d énergie.

6 T D X. ECS Eau chaude à 6 C T DB (1-X. Bac à douche T B T CE T FS T FE T CS Réseau Égout T RCD Valeur de UA/qc en fonction du débit de Douche 2,9 2,4 UA/qc 1,9 1,4,9,4 7 7,5 8 8,5 9 9,5 1 1, ,5 12 Débit (L/mn UA=5 UA=1 UA=15

7 La puissance récupérée φ est donnée pour une température TFE=1 C et une température TCE=35 C en fonction de la valeur de UA/qc obtenue. 14 TFE=1 C; TCE=35 C 12 Puissance récupérée (W ,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 UA/qc Exemple : Exploitons un document de constructeur. On lit TFS=27 C, TFE=1 C, et =9L/mn. A partir de ces données, il est possible de connaître la valeur de UA. qc = 7. = φ = 63 qc.( TFS TFE = 171W Le graphique nous donne pour cette puissance une valeur de UA/qc environ de 1,9. Ce qui donne alors une valeur de UA=1197W/ K.