Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

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1 Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même milieu Le point M est unique, il est l image de M par la translation. Le point M est l antécédent de M par cette translation. Par une translation tout point du plan a un unique antécédent. ABM M est un parallélogramme. Cas particulier : Si les points A, B et M sont alignés, le parallélogramme est aplati. 2. Caractéristiques d une translation : La translation qui transforme A en B est caractérisée (définie) par trois renseignements : La direction donnée par la droite (AB). La droite (MM ) a la même direction que (est parallèle à) la droite (AB) Le sens de A vers B. On va de M vers M dans le même sens que de A vers B. La longueur AB. MM = AB. 3. Image d un polygone par une translation : Image du polygone ABCD par la translation qui transforme A en A. 1

2 II Vecteurs Un couple (A, B) de deux points distinct du plan définit un vecteur noté AB caractérisé par : Une direction celle de la droite (AB) Un sens de A vers B Une longueur (ou norme) AB. A est l origine et B l extrémité du vecteur. Par convention le vecteur AA est le vecteur nul, il est noté AA = 0. Il a une longueur nulle pas de direction ni de sens. On peut appeler la translation qui transforme A en B, translation de vecteur u = AB et on peut la note t!". La translation de vecteur nul est appelée identité, Tout point du plan a lui-même pour image, les points sont invariants. 2. Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs AB et CD sont égaux s ils définissent la même translation. Ils ont même direction, même sens et même norme ou longueur. On pourra noter AB = CD = U AB = CD = U (seule écriture possible pour la norme d un vecteur nommé par une lettre. 3. Propriétés : Propriété 1 : AB = CD équivaut à «[AD] et [CB] on le même milieu. Propriété 2 : AB = CD équivaut à «ABDC est un parallélogramme. Propriété 3 : Si AB = CD alors (AB)//(CD) et AB = CD. (pourquoi pas équivaut à?) Propriété 4 : Soit U un vecteur, donné du plan, pour tout point M du plan il existe un point unique N tel que OM = U 2

3 III Composée de deux translations. Somme de vecteurs La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur w qui caractérise la translation résultant la composition de la translations de vecteur u suivi de la translation de vecteur v, noté w = u +v. 2. Construction : Relation de Chasles AB = u et BC = v AB +BC = AC AC = w w = u + v Règle du parallélogramme AB = u et AD = v AB + AD = AC C étant le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. AC = w w = u + v 4. Propriétés : Pour tous vecteurs u, v, w du plan on a : u + v = v+ u u + 0 = 0 + u = u (u+ v) + w = u+ (v+ w) = u+ v+ w. 3

4 5. Vecteurs opposés : On appelle vecteurs opposés deux vecteurs dont la somme est le vecteur nul. Ils ont donc la même direction, la même longueur et un sens contraire. Notation u+ v = 0 u = v. Soustraire un vecteur c est ajouter son opposé. IV Multiplication d un vecteur par un nombre réel Soit u = AB un vecteur et k un nombre réel, le produit du vecteur u par le nombre réel k est le vecteur v = CD avec CD = k AB, ou v = k u, tel que : Si u= 0 ou k =0 alors v = 0. Si u 0 et k 0 alors u et v ont : la même direction si k > 0 le même sens et CD = k AB. v = k u si k < 0 un sens contraire et CD = k AB. v = k u 2. Propriétés admises: Le produit du vecteur u par un nombre réel k est le vecteur 0 si et seulement si u = 0 ou k = 0 donc k u = 0 k = 0 ou u = 0 pour tous vecteurs u et v et tous nombres réels a et b : a(u + v) = a u + a v et (a+b) u = k u + b u. 4

5 V Vecteurs colinéaires Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires si et seulement ils ont la même direction. Par convention le vecteur nul, 0, est colinéaire à tous les vecteurs. 2. Propriété : deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que v = k u. 3. Vecteur directeur d une droite : Soit une droite (d), un vecteur u non nul. Le vecteur u est un vecteur directeur de la droite (d) si et seulement si pour tous points A et B distincts de (d), les vecteurs AB et u sont colinéaires. 4. Parallélisme et alignement : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc il existe un réel k tel que CD = k AB. Trois points A, B, distincts, et M sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AM sont colinéaires donc il existe un réel k tel que AM = k AB. 5