A MON PÈRE A MON FILS

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1 A MON PÈRE A MON FILS

2 Le passage en courbes de véhicules de chemin de fer, dont les essieux fournissent un effort de traction continu THÈSE présentée à l'ecole Polytechnique Fédérale, Zurich pour l'obtention du grade de Docteur es Sciences techniques par Gaston Borgeaud ing dipl, de Penthalaz (Suisse) Rapporteur: M le prof K Wiesinger Corapporteur : M le priv-doc Dr K Sachs ZURICH 1937 ART INSTITUT ORELI FtîSSLI

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4 Avant-propos Le sujet traité dans cette étude a déjà fait l'objet de nombreux articles dans divers périodiques Toutefois les auteurs n'ont abordé, pour la plu part, qu'un seul ou que quelques-uns seulement des problèmes parmi ceux qui intéressent l'inscription en courbe d'un véhicule de chemin de fer En outre, fréquemment, les auteurs n'ont considéré que des cas particuliers et le plus souvent ont simplifié le problème en faisant, dès le début, des hypo thèses plus ou moins approximatives Pour ces raisons, l'étude du problème dans ses détails est parti culièrement ardue à l'ingénieur qui l'aborde pour la première fois, ou même à celui qui ne le traite que rarement Les difficultés sont souvent encore accrues par les divergences d'opinion et de méthode qui se présentent parfois entre certains auteurs Le but que nous nous sommes proposé, est de présenter une étude s'éten dant sur le problème entier de l'inscription, et traitant, aussi exactement que possible et d'une manière approfondie, chacun des problèmes dans le cas le plus général, ceci pour permettre d'en déduire immédiatement tous les cas particuliers qui peuvent se présenter 3

5 Abréviations R G Revue Générale des Chemins de Fer S I C Mémoires de la Société des ingénieurs civils Organ Organ fur die Fortschritte des Eisenbahnwesens Gl A Glasers Annalen E B Elektrische Bahnen V D I Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure V D E Verein deutscher Eisenbabnverwaltungen V M E Zeitschrift des Vereines mitteleuropâischer Eisenbahnverwaltungen Z a M M Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik S B Z Schweizerische Bauzeitung Ry E The Railway Engineer

6 Table des matières Page Avant propos 3 Introduction 7 Chapitre I Problème et procèdes d étude de l'inscription géométrique 9 Y Considérations générales 9 B Détermination du jeu z entre boudin et rail 11 1 Détermination du jeu fictif F 11 2 Détermination de A 12 3 Application aux profils des C F F 15 4 Le jeu réel z 16 C Conditions d'inscription pour véhicules sans essieux rayonnants 17 D Généralisation au cas des véhicules a essieux rayonnants 18 E Méthodes d'étude 18 1 Procède de Roy 19 2 Anamorphose de l'épure (Procède de Vogel) 21 3 Procède pratique 25 a) Inscription dans une courbe ordinaire 25 b) Simplification de 1 étude 27 c) Inscription géométrique dans les appareils de voie 28 4 Procède de Billet et Wantz 28 Chapitre II Etude du contact entre roue et rail 32 A Considérations géométriques fondamentales 32 1 Procède a 35 2 Procède/i 44 3 Recapitulation 48 B Ligne de contact Ligne longitudinale de contact 48 C Enveloppe dans le cas de profils a courbes continues 50 1 Points de rebroussement 50 a) Position du point de rebroussement primaire 52 b) Position du point de rebroussement secondaire 53 2 Point double 53 3 Contour apparent 54 4 L'hyperboloïde a une nappe, surface particulière dont le contour apparent se réduit a un point Hyperboles limites de contact et de sureoupage 54 D Enveloppe dans le cas de profils présentant des arêtes 56 1 Arête convexe 56 2 Arête concave 57 E Applications 57 1 Application aux parties rectilignes du profil 57 2 Application aux parties en arcs de cercles 59 3 Généralisation du cas particulier précèdent 61 F Points de contact avec le rail 61 G Application au bandage des C F F Recouvrement g du point de contact latéral 67 H Procède approximatif de Heumann pour construire le contour apparent 69 Chapitre III Mouvement en courbe d'un essieu solidaire d'un châssis 70 A Généralités 70 B Cône de roulement Sa définition, son mouvement 71 C Centre instantané de pivotement Centre de ripage 77 1 Les plans de glissement sont horizontaux 78 2 Les plans de glissement sont quelconques 79 D Cas ou l'application du centre de ripage est permise 80 5

7 E Vitesse absolue instantanée d'un point 31 situe dans k plan d un < > rcle quelcon que de l'essieu 80 1 Composantes de A) suivant le système x, y z 80 2 Composantes de A) suivant le système n t, h 82 3 Composantes de AO suivant le système g, r/, *, 83 F Moyen expérimental de prouv er l'existence du centre de ripage 84 Chapitre IV Forces aqiisant sur un cssku 86 A Considérations générales 86 B Cas d'un essieu non guidant 87 1 Cas idéal d'un essieu roulant sur un plan Définition de ) et de </ 87 a) Trajectoires q 90 b) Particularités des trajectoires </ 91 a) Asymptotes 91 (S) Allure des trajectoires au voisinage de l'essieu 91 c) Définition du coefficient \p Courbes ip 93 d) Trajectoires tp 93 e) Réduction des forces de frottement Définition de u 94 f) Considérations sur les courbes u et xp 98 a) Allure a de très grandes distances de l'essieu Asymptotes 98 j8) Allure au voisinage de l'essieu 98 2 Cas réel d'un essieu, non guidant, a bandages coniques Relation entre l'effort de traction développe U et le couple moteur Ma agissant sur l'essieu Trajectoires y Puissance reçue par l'essieu Puissance fournie par l'essieu Rendement de l'essieu C Cas d'un essieu guidant Considérations d'ordre gênerai Contact de la roue d'attaque en un point 106 a) La roue d'attaque est la roue extérieure 106 b) Application 111 c) La roue d'attaque est la roue intérieure Contact de la roue d'attaque en deux points 117 D Cas d'un essieu avec jeu latéral non limite par les paliers 122 E Quelques considérations relatives aux cas C et D Cottrbes /i et / Puissance reçue par l'essieu Puissance effective de l'essieu Rendement de l'essieu 123 F Quelques remarques au sujet du coefficient de frottement 124 Chapitre V Position d inscription d'un véhicule en courbe 125 A Remarques préliminaires 125 B Cas simple d un véhicule, dont tous les essieux sont solidaires du châssis principal Cas idéal Théorème de Heumann Procède graphique exact pour le cas du véhicule réel de chemin de fer 131 a) Le véhicule n'est guide que par un seul essieu Etablissement de la fonc tion B (x) 131 Application 133 b) Considérations sur la courbe S (x) 140 c) Le véhicule est en position forcée, et est guide par deux essieux 141 d) Le véhicule est en position libre, et est guide par deux essieux 143 c) "Vutres cas 143 C Cas d'un véhicule possédant des châssis secondaires tels que bogies, Bissels, essieux Adam, etc 144 Chapitre VI Essais personnels 145 Chapitre VII Considérations sur le contact et le frottement entre roue et rail 152 Table des ordonnées 157 Récapitulation

8 Introduction Le problème de l'inscription en courbes d'un véhicule de chemin de fer a pour tâche essentielle de résoudre la question de savoir si ce véhicule peut, sous certaines conditions, passer une courbe déterminée sans dérailler Il peut être aussi posé pour des questions secondaires, telles que par exemple celle de savoir si le véhicule considéré reste tout entier dans l'espace permis par le gabarit La première condition fondamentale, qui est nécessaire pour le nondéraillement, est que le véhicule puisse matériellement s'inscrire dans la voie Le problème qui résout cette condition est un problème géométrique, faisant l'objet de notre premier chapitre Si cette condition d'inscription géométrique est remplie, le véhicule effectue sur la voie un mouvement de lacets plus ou moins prononcé de part et d'autre d'une position moyenne, déterminée par l'équilibre statique de toutes les forces agissant sur lui L'étude très compliquée de ces mouve ments secondaires de lacets n'entre pas dans le cadre du présent travail, c'est pourquoi nous ne nous arrêterons ici que sur les différents problèmes nécessaires à la détermination de la position moyenne citée ci-dessus, po sition que, dorénavant, nous appellerons simplement position d'inscription Ces différents problèmes font l'objet des chapitres II et suivants 7

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10 CHAPITRE I Problème et procédés d'étude de l'inscription géométrique Bibliographie: 1 Garbe : Die Dampflokomotive der Gegenwart 2 Bauer-Stûrzer : Die Berechnung und Konstruktion von Dampflokomotiven 3 Sachs: Elektrische Vollbahnlokomotiven 4 Simon : Stellung von Eisenbahn-Fahrzeugen in Bogengeleisen 5 Billet et Wantz, R G 1919: Inscription des locomotives dans les courbes 6 Vogel, Organ 1926: Neues Kurvenverfahren 7 Agenda Dunod des Chemins de fer 1930 A Considérations générales Soit à étudier l'inscription géométrique d'un véhicule possédant un certain nombre d'essieux rayonnants et non rayonnants, ces derniers étant avec ou sans jeu latéral Un essieu non rayonnant étant caractérisé par le fait que son axe reste toujours perpendiculaire à l'axe longitudinal du véhicule, tous les essieux non rayonnants d'un même véhicule ont leurs axes parallèles entre eux Il est donc facile de fixer leurs positions par rapport au moyen d'un système à la voie de coor données Choisissons ce dernier tel que son origine soit en J sur le cercle marquant le milieu de la voie, et que l'axe des x soit parallèle et l'axe des y perpendiculaire à l'axe longitudi nal du véhicule Fig i Considérons sur la figure 1 l'essieu non rayonnant de l'ordre n Soient définis Em le rayon moyen de la voie, c'est-à-dire le rayon du cercle marquant le milieu de la voie Zn le point du cercle de rayon Bm, l'essieu situé sous l'axe de Nn le point de l'axe longitudinal du véhicule situé au-dessus de l'axe de l'essieu 9

11 Cn le point central de l'essieu, c'est-à-dire le point de l'axe de l'essieu qui se trouve dans le plan de symétrie dernier an le déplacement latéral de l'essieu de ce jn le jeu entre coussinet et fusée hn demi-jeu latéral de la boîte d'essieu par rapport au châssis zn le jeu, en position réelle de l'essieu, entre le boudin et le rail sn le jeu, en position radiale de l'essieu, entre le boudin et le rail 2an distance suivant l'axe de l'essieu, des boudins de l'essieu Re,R{ les rayons des cercles extérieur et intérieur du contact latéral entre boudins et rails 2e 2an-{-2sn l'écartement radial entre les deux cercles de contact latéral de la voie 2 e écartement des deux cercles de contact latéral mesuré suivant l'axe de l'essieu txm l'angle d'attaque de l'essieu, c'est-à-dire l'angle compris entre le rayon OZn et l'axe de l'essieu Convenons en outre de désigner au moyen des indices /; et ' tout ce qui a rapport à l'extérieur, ou plutôt à l'intérieur du cercle moyen Le point central Gn de chaque essieu peut se déplacer de chaque côté de sa position médiane Nn de <rn?n + K (!) Le point Nn par contre, peut se déplacer du milieu Zn de la voie de A"n^an-\-z"n vers l'extérieur, et de ^'nz njvz'n vers l'intérieur Dans ces deux relations, les jeux z' et z" sont différents parce que les deux files de rails ne présentent pas la même courbure Ils dépendent d'une part de l'angle d'attaque et de la courbure de la voie, parce que l'écartement 2 e de la voie augmente avec l'angle d'attaque, et cela d'autant plus rapidement que la courbure est plus grande Ils dépendent d'autre part du profil du bandage, du diamètre de roulement des roues, et de l'angle d'attaque En effet, la position en attaque de la roue a pour conséquence que le point de contact latéral de celle-ci avec le rail est décalé par rapport au plan vertical du méridien de l'essieu Ceci, à son tour, a pour effet de diminuer le jeu quantité que nous appellerons A entre boudin et rail d'une 10

12 _,, 4 B Détermination des jeux Z entre boudin et rail Pour déterminer le jeu réel zn, il est avantageux de partir des deux jeux fictifs A et r, définis sur la figure 2, et répondant à la relation zn ra (3) 1 Détermination du jeu fictif r Désignons par 2an l'écartement des points E de contact latéral des boudins de l'essieu considéré La figure 1 nous montre que et r'n -e'-an Ul-xl-U\ (4) x^ Si nous développons en série et introduisons les expressions suivantes pour Re et R,: nous obtenons < l e \ {Rm+ef-Rl Nous pouvons pratiquement négliger au deuxième membre les termes à partir du troisième, ce qui nous donne plus simplement, Dans cette relation le premier terme est égal au jeu sn Dans le deuxième terme, le second facteur est de l'ordre de grandeur d'un centième tout au plus; ceci nous permet de remplacer le premier facteur par l'or donnée yn du point Zn, et de poser ainsi ^ '«-»(]^) (6a Nous obtenons de même en procédant de façon analogue, -» n Sn ~\~ Vn I "5 I - («b) Pour ne pas trop compliquer le problème, on peut, pour des valeurs suffisamment élevées de Rm, négliger au dénominateur le terme e par rapport à Rm, ce qui nous donne pour J" et r" la même valeur suivante: rn e sn + -yn Rm (6C) 11

13 2 Détermination de A Nous verrons plus loin au chapitre II que, si la question du contact latéral de la roue est assez complexe, il est cependant possible de trouver la solution exacte du problème Celle-ci dépend toutefois de plusieurs fac teurs et appelle de ce fait une étude particulière à chaque cas, c'est pourquoi, afin d'obtenir une solution plus simple et plus étendue du problème, nous voulons procéder ici différemment On pourra du reste toujours appliquer les résultats obtenus plus tard, si l'on veut une solution exacte Le contact entre la roue et le rail peut, suivant les formes du bandage et du rail, se faire en un ou en deux points S'il se fait en deux points, ces derniers sont déterminés géométriquement tout à fait indépendamment des différentes forces agissant sur l'essieu; par contre, si nous n'avons qu'un seul point de contact, celui-ci sera déterminé par l'état d'équilibre de l'essieu, et il ne sera alors pas possible de prévoir quoi que côté dynamique du problème ce soit, sans résoudre le Les profils de bandage qui fournissent le contact en un seul point sont pratiquement très rares, c'est pourquoi nous ne occuperons, dans ce chapitre, que du cas où le contact des roues se fait suivant deux points (profils nor maux des CFF, par exemple) Nous verrons plus loin que, lorsque le boudin comprend une surface conique se raccordant directement au tore de gorge, le point de contact latéral se trouve généralement sur cette surface conique, à la condition toutefois que l'angle d'attaque «ne soit pas trop élevé Considérons dans la figure 2 le bandage d'une roue attaquant le rail avec un angle oc Soient A et B les points, en contact latéral, du boudin et du rail Lorsque l'essieu est en position radiale, le point A du boudin est en E, c'est-à-dire dans le plan vertical du méridien de la roue, tandis qu'il en est décalé lorsque la roue présente un angle d'attaque La position du point de contact B sur l'arrondi du rail est déterminée par l'inclinaison ô de la surface du boudin en A Cet angle ô varie avec l'angle d'attaque oc, d'où il résulte que la position du point B dépend Fig 2 aussi de ce dernier Cependant la variation de ô avec oc, et le rayon de l'arrondi du rail sont suffisamment faibles pourque l'on puisse pratiquement 12

14 tg2yi) tgn) ' admettre une position invariable de B, à savoir celle qu'il prend lorsque l'essieu est radial (<% 0) Si nous faisons glisser latéralement un essieu, chacune de ses roues effectue un mouvement de translation parallèlement à la génératrice la plus basse de son cône de roulement, et un léger changement d'inclinaison prove nant de ce que les cônes de roulement des deux roues de l'essieu sont inver sés Ce dernier mouvement est négligeable par rapport au premier Il en résulte que le point de contact A du boudin doit se trouver dans le plan qui passe par B et qui est parallèle à la fois à l'axe du rail et à la génératrice mentionnée plus haut; en d'autres termes, il doit se trouver sur la courbe d'intersection de ce plan avec le cône d'appui du boudin Cette courbe d'intersection est une hyper bole En effet, nous avons dans la figure 3 0,2 + Z2 f2 (7) OÙ z n + 2/tgyi (8) et r r, + ytgyj (9) 3 équations nous donne après simplifications L'élimination de z et de r entre ces Posons x2 a y2vë2yj fr tgya + tgn + 2yrr(tgyJ et 62 rstgy3 tgy, r tgy, + tgyi (10) L'équation 10 devient alors ( Tf)'-(ï), 1 <10t-' ce qui est bien l'équation d'une hyperbole Le point de contact A devant se trouver sur cette hyperbole n'est donc pas autre chose que le point de tangence de celle-ci avec le cercle de la voie passant par le point B du rail Pratiquement, l'angle d'attaque oc n'a qu'une très petite valeur, de sorte que le point A n'est pas très éloigné du sommet E de l'hyperbole Ceci nous permet de remplacer l'arc de cercle ËB' (fig 2) 13

15 a par la tangente BB' à l'hyperbole au point A, et de poser pour l'inclinaison de cette tangente \dxja tgoc Nous recherchons la valeur A du segment E'B', c'est-à-dire la valeur dont le jeu entre boudin et rail est diminué du fait que le contact ne se fait pas en E, mais en A L'équation de la tangente au point A est, {y + a) (VA + a) xxa a2 62 ^ 1 L'ordonnée du point B' est donnée, pour x 0, a "Vb' -, : (VA+a) Cette ordonnée n'est autre chose, en valeur absolue, que A Nous avons donc, ( - a \ a-va Aa 1 \ Va + aj VA + a Si nous dérivons l'équation de l'hyperbole par rapport à x, nous obtenons b2 dy ly -\- a\ a dx Introduisons cette valeur de x dans l'équation première ; celle-ci devient a y + a d'où ya + a - ï1 a2\dx) V a*'\dx) De cette relation nous tirons, Pratiquement, la valeur de tgyt est beaucoup plus faible que celle de tgy -, de sorte que nous pouvons, sans erreur appréciable, négliger sous le radical tg2y1 par rapport à tg2yj Nous obtenons ainsi plus simplement a -%- (i_yr_tg*yttgi^\ (13) 14

16 Cette dernière relation peut encore être simplifiée si l'on considère que, sous le radical, le second terme est beaucoup plus petit que 1, permet de poser ce qui nous yr-tg^tg^^i-*^^ (14) d'où nous obtenons enfin pour A l'expression très simple suivante, A r,(tgay,tg*«) 2(tgy3+tgy1 (15) Cette équation simplifiée donne, pour les valeurs qui se présentent pra tiquement pour les angles oc, y_, et ylt une exactitude amplement suffisante 3 Application aux profils des CFF Les profils normaux des CFF de bandage et de rail présentent les différentes valeurs suivantes, y} m \\' 51,52", tgy, 1,74593, tgyi 0,05, et r, - -+9,0 mm A Ces valeurs nous fournissent la relation suivante entre le rapport fr et l'angle d'attaque a sin oc 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 0,10 410» 0,849 3,395 7,642 13,61 21,27 30,65 54,65 85,7 La figure 4 nous montre, pour différentes valeurs du diamètre de roule ment, les courbes A /(sina) Remarque relative à Vapplication ci dessus Nous avons dit plus haut que dans le cas étudie (tore de gorge raccordé directement au cône d'appui du boudin), le point de contact latéral se trouve généralement sur la surface conique du boudin, à la condition toutefois, que l'angle d'attaque ne soit pas trop élevé Il se peut en effet, pour des valeurs suffisamment élevées de a, que le point de contact A n'appartienne plus à cette surface conique, mais au tore de tête du boudin surfaces sont limitées entre elles par un cercle dont le rayon est Ces deux dernières D Hun y + 21>71 mm (16) Pour que les résultats obtenus soient applicables, il faut donc que r^y + 21,71 Des diverses relations, que nous avons trouvées au cours de notre étude relative à A, nous tirons par la surface conique du boudin, 15

17 _ (t z r,+ (tgyj tg " (r rr)ip^et 2000 *" V'i rr (tg /, yx) tg a tg2r!)tg2a (17, 18) Ces deux grandeurs sont liées par la relation 7 qui devient à la limite, c'est-à-dire pour D Him 21,71 (I )2- (t + 9'364)2 + 9' ) l (tg yj tgyi)2tg2</ (tgtyjtg'yi)tg*0 (19) Cette équation nous permet de dé terminer la valeur limite de l'angle d'attaque au delà de laquelle le con tact latéral se fait sur le tore de tête du boudin Nous obtenons pour les trois diamètres suivants, D ,04 Q sm alun 0,1900 0,1264 0,1013 Fig 4 Valeurs du jeu fictif A Nous pouvons admettre que pratiquement l'angle d'attaque a reste toujours bien inférieur aux valeurs limites ci-dessus, et pouvons ainsi employer sans restriction les courbes de la figure 4 4 Le jeu réel # Le jeu réel zn entre boudin et rail nous est donné par la relation 3 zn ra Cette relation devient, si nous introduisons les expressions pour T et A, tg2y3tg2«f2(tgy)+tgy1) 6 c et 15 trouvées On peut se demander dans quelles conditions ce jeu réel zn reste égal au jeu nominal sn Il faut pour cela que les deux derniers termes de la rela tion ci-dessus s'annulent, c'est-à-dire que 16 -R Vn r2(tgy3+tgri) tg2yatg2oc

18 Si nous introduisons dans cette égalité les approximations yn' 2B et tg2 oc çç sin2 a (trnous obtenons après transformations '/lim tgy3 + tgyi, tg27, Si nous négligeons une légère erreur provenant des diverses simpli fications introduites, cette condition nous montre que, tout à fait indépendemment de l'angle d'attaque et du rayon de courbure de la voie, le jeu réel zn est plus petit ou plus grand que le jeu nominal sn, suivant que rr est plus grand ou plus petit que c tgy, + tgri tg2y, Dans le cas des CFF par exemple, nous avons * rlim , ,05 1, mm, d'où Aim &S 830 mm C Conditions d'inscription pour véhicules sans essieux rayonnants D'après ce que nous venons de voir, nous avons zn-^n An, et Znln Au ) où z' et z" sont différents parce que les deux roues n'ont pas le même angle d'attaque Cette différence est cependant si faible, que nous pouvons opérer avec un angle d'attaque moyen, à savoir l'angle xm compris entre le rayon OZn et l'axe de l'essieu (voir fig 1) 2) Le point Nn peut, ainsi que nous l'avons vu précédemment, se déplacer du milieu Zn de la voie de A "n an + zl în K (21a) vers l'extérieur, et de Fig 5 vers KJn + *'»+K l'intérieur (21b) 1) Pour plus de clarté nous rappelons que les valeurs de l'sont données par les relations 6, et celles de A par la relation 15, ainsi que, pour les bandages normaux des CFF, par les courbes de la figure 4 2) Cette simplification n'est cependant admissible que pour des rayons de courbure suffisamment grands Elle ne pourra en particulier plus être faite dans le cas de tramways 2 Borgeaud 17

19 et A'n À'n (fig Portons sur l'axe de l'essieu les points A'n et A"n tels que NnA'n A"n, et JVX < (fig-5) et effectuons ceci pour tous les essieux; nous obtenons ainsi un domaine délimité par les deux lignes brisées A[, A't, A'3 et A'[, A\, A"3 6) Le véhicule pourra passer dans une courbe de rayon Bm s'il est possible de tracer dans ce domaine un arc de cercle de rayon Rm coupant à la fois tous les segments A'A" Inversement, nous pouvons porter de part et d'autre du cercle Rm moyen de la voie, les points Bn et Bn tels que Z~B"n A"n et Z^B'n A'n les jeux A étant portés de nouveau suivant l'axe de l'essieu (fig 6) Nous obtenons maintenant un nouveau domaine délimité par les arcs brisés B[B'2 être logé, B[Bl à l'intérieur duquel l'axe du véhicule devra pouvoir Nous voyons donc que pour étudier l'inscription géométrique d'un véhi cule, il suîîit de dessiner la courbe moyenne de rayon J?m, et de tracer dans leurs directions respectives les segments de droites B'nB"n qui devront tous être coupés par l'axe du châssis D Généralisation au cas d'un essieu rayonnant Nous avons considéré, au début de ce chapitre, un essieu non rayon nant; ce que nous avons vu jusqu'ici ne saurait donc s'appliquer directe ment qu'à un tel essieu Pour tout essieu rayonnant cependant, les résultats obtenus restent valables, si l'on introduit les valeurs correspondantes du déplacement latéral h et tient en outre compte de l'angle d'attaque véri table, qui n'est alors plus égal à l'angle JOZn E Méthodes d'étude Le problème géométrique de l'inscription se pose pratiquement deux formes suivantes: sous les 1 une voie d'une certaine courbure et d'un certain écartement étant donnée, étudier l'inscription d'un véhicule déterminé; 2 chercher quelle est la courbe de rayon minimum dans laquelle un véhicule donné peut s'inscrire Nous voulons tout d'abord nous occuper de la première formes du problème de ces deux 18

20 Il existe plusieurs méthodes pour résoudre le problème de l'inscription géométrique La première qui vient à l'esprit est la solution analytique, rigoureusement exacte, mais présentant par contre de graves inconvénients Elle nécessite en effet l'emploi de formules parfois très compliquées, connues ou restant encore à déterminer Pour un spécialiste qui traite de tels pro blèmes fréquemment et reste ainsi toujours en contact avec ce genre de questions, elle conduira relativement vite au but Par contre, si ce n'est pas le cas, cette méthode devient longue, pénible et incertaine Elle présente en outre le grave défaut de ne montrer que des chiffres, qui ne donnent pas, après coup ou à de tierces une personnes, vue d'ensemble bien claire C'est pour ces raisons que la pratique a cherché à trouver des solutions graphiques du problème Mais ici se présente une grave difficulté: les rayons de courbure R sont de l'ordre des centaines de mètres les ordonnées r\ sont de l'ordre des millimètres les abcisses sont de l'ordre des mètres Il est donc impossible d'obtenir, sur une épure de dimensions pratiques, une exactitude suffisante si le dessin est à échelle réduite On a été ainsi conduit à ramener les et les r\ au même ordre de grandeur, au moyen de diverses transformations 1 Procédé de Roy s,ii- Le procédé le plus répandu jus qu'à ces derniers temps est le pro cédé graphique de Roy Considérons dans la figure 6 le cercle h de rayon Rm Les coordon nées d'un point Z répondent à la Fig 6 condition r,^rm-irl- ^ (22) ou, si nous développons en série, 2R + 222! I4 Rm 13!«_ 135I8 233!i^ 244!JR' + (23) Si nous négligeons au second membre les termes à partir du deuxième, c'est-à-dire si nous remplaçons le cercle par sa parabole osculatrice, nous obtenons plus simplement * : (24) 2* 19

21 n2 et Considérons maintenant un deuxième cercle de rayon R'm m- Rm (25a) et le point Z'( ', r/) de ce cercle tel que '» (25b) où m et n représentent des facteurs de réduction; nous obtenons pour r\' la valeur simplifiée n ^r 2Rm 2Rm m m V (26) d'où nous tirons pour l'ordonnée du point Z ' le facteur de réduction n v m (2oc Ceci est le point de départ du procédé de Roy Ainsi que nous l'avons vu, il nécessite le remplacement du cercle par la parabole osculatrice, et n'est donc pas rigoureusement exact L'erreur, c'est-à-dire la différence entre la flèche obtenue graphiquement rj ' - Tïl la flèche exacte r\, en est * *> * n* 2Rmr+4\Rj +8\Rm) + j m rn* g2 1 / ( çn n y rgwïrj +4Um-W M c'est-à-dire après simplifications '-4(^)l'+^(1+5) + -]- <"> Si nous négligeons dans la parenthèse les termes à partir du deuxième, nous obtenons avec une exactitude suffisante &K \ m* } Si cette erreur doit rester inférieure aune certaine valeur /max, facteurs de réduction m et n doivent répondre à l'inégalité K les deux m2 _ 8m < / /OQ ï, s-i /max \^"à) m- I Ils sont en outre liés par la condition v 71 m (29b) 20

22 t^ft I et ne peuvent par conséquent pas être choisis n'importe comment si l'on veut obtenir une valeur utilisable pour l'échelle v des ordonnées Nous voyons que nous sommes passablement limités dans le choix des échelles, ce qui est un premier inconvénient de ce procédé Un autre incon vénient réside dans le fait qu'il faut disposer d'une série de calibres repré sentant des arcs de cercles de différents rayons, et il est clair qu'il n'est pas possible d'avoir tous les calibres qui pourront se montrer nécessaires lors des différentes études En outre, s'il est par lui-même assez simple, ce pro cédé ne permet pas de résoudre des problèmes plus compliqués tels que par exemple l'inscription dans les appareils de voie Il a été suffisamment étudié dans la littérature, en particulier par Simon, pour que nous ne nous étendions pas davantage à son sujet Nous passons maintenant au procédé que nous voulons traiter de façon approfondie 2 Anamorphose de l'épure Ce procédé est aussi appelé procédé de Vogel, parce que Vogel a été, à notre connaissance du moins, le premier à en parler Il consiste simplement à réduire les abcisses et les ordonnées séparément suivant une échelle diffé rente On choisit l'échelle v des ordonnées voisine de l'unité, par exemple 1 : 2, 1 : 1, 2 : 1, tandis qu'on choisit celle v des abcisses, de façon à pouvoir loger toute l'épure dans le format désiré du dessin Ce procédé revient donc à projeter obliquement ce qui se passe en réalité sur la voie, et présente de ce fait l'avantage d'une grande clarté Cette réduc tion séparée des coordonnées transforme le cercle de la courbe en une ellipse Cette ellipse peut être construite par points En effet, l'ordonnée d'un point Z du cercle de rayon Rm est de nouveau On se contente généralement du premier terme au dernier membre, rem plaçant ainsi le cercle de courbure considéré par sa parabole osculatrice Cette approximation n'est cependant admissible que pour de grandes valeurs de Rm et de petites valeurs de f On peut partir aussi de l'une des formules suivantes, qui, bien qu'approximatives, fournissent une exactitude beaucoup plus grande: V t?ï s, ou mieux : w Ç/2 I (31) Nous avons, pour faciliter le travail dans les bureaux d'étude, calculé la valeur exacte de t] pour la majorité des rayons qui peuvent se présenter 21

23 et ceci pour toutes les abcisses allant de mètre en mètre de 1 à 22 m Ces valeurs de r\, sont indiquées dans la table des ordonnées en dernières pages Si l'on veut, pour un point d'abcisse intermédiaire, en déterminer l'ordonnée exacte, on peut procéder comme suit Selon le théorème de Pascal, si l'on a d'une conique 6 points numérotés d'une façon quel conque, les points d'intersection des paires de côtés opposés se coupent sur une droite, la droite de Pascal Nous voulons utiliser cette propriété des coniques pour construire le point d'abcisse intermédiaire cherché Soient donnés (fig 7) deux points 3 et 4 de notre ellipse, rechercher un point, d'abcisse ls»l5, situé entre ces deux poits nique étant déterminée par 5 points, prendrons le sommet visible sur l'épure comme points 1 et 2, et le sommet opposé comme point 6 paires de côtés opposés suivantes : Les sont les il nous en faut encore choisir 3 Nous et soit à Une co Î2, 45 23, 56 et 34, 6Ï La droite 12 est la tangente au sommet visible de l'ellipse, c'est-àdire l'axe des f La droite 61 est l'axe des r\ La droite 56 est inclinée par rapport au grand axe de l'ellipse d'un angle x tel que tgr^^ (32) où n représente l'échelle des abcisses, et v celle des ordonnées Les points voisins 3 et 4 nous permettent de situer plus ou moins exactement le point 5 cherché L'angle t étant très petit, cette détermination approximative nous permet de tracer avec une exactitude tout à fait suffisante la droite 56 qui se confond presque avec la droite g Nous pouvons maintenant construire la droite de Pascal Cette droite est donnée par les deux points d'intersection de 23 avec 56, et de 61 avec 34, Elle coupe l'axe des, c'est-à-dire le côté 12, en un point qui appartient à la droite 45 Cette dernière peut donc être tirée, et fournit le point cherché 5 22