Limites de fonctions

Transcription

1 DERNIÈRE IMPRESSIN LE 9 octobre 204 à 9:32 Limites de fonctions Table des matières Limite finie ou infinie à l infini 2. Limite finie à l infini Limite infinie à l infini Limite infinie en un point 3 3 Limites des fonctions élémentaires 4 4 pérations sur les ites 4 4. Somme de fonctions Produit de fonctions Quotient de fonctions Conclusion Limite d une fonction composée 6 6 Théorèmes de comparaison 8 - PAUL MILAN TERMINALE S

2 TABLE DES MATIÈRES Limite finie ou infinie à l infini. Limite finie à l infini Définition : Dire qu une fonction f a pour ite l en +, signifie que tout intervalle ouvert contenant l, contient toutes les valeurs de f() pour assez grand - c est à dire pour les d un intervalle ]A;+ [. n note alors : f() = l l C f A La droite d équation y = l est dite asymptote horizontale à C f Remarque : n définit de façon analogue f() = l. Eemple : Les fonctions de référence :, et ont des n ites nulles en + et pour les deu premières. Leurs courbes admettent alors l ae des abscisses comme asymptote horizontale..2 Limite infinie à l infini Définition 2 : Dire qu une fonction f a pour ite+ en +, signifie que tout intervalle ]M; + contient toutes M les valeurs de f() pour assez grand - c est à dire pour les d un intervalle ]A;+ [. n note alors : A ] ] C f Remarque : Cela implique que la fonction f n est pas majorée n définit de façon analogue Ainsi que : f() = et f() = +. f() = Eemple : Les fonctions de référence :, n et ont pour ite + en +. La fonction de référence : n a pour ite + en si n est pair et en si n est impair. PAUL MILAN 2 TERMINALE S

3 2. LIMITE INFINIE EN UN PINT Une fonction peut tendre vers + en + de plusieurs façons. C est le cas par eemple des fonctions 2, et. 2 tend "rapidement" vers l infini. La concavité est tournée vers le haut. tend "moyennement" vers l infini. Pas de concavité. tend "lentement" vers l infini. La concavité est tournée vers le bas 2 Trois façons de tendre vers + 2 Limite infinie en un point Définition 3 : Dire qu une fonction f a pour ite + en a, signifie que tout intervalle ]M; + contient toutes les valeurs de f() pour assez proche de a - c est à dire pour les d un intervalle ouvert contenant a. n note alors : M ] C f f() = + a La droite d équation = a est dite asymptote verticale à C f ] a [ Remarque : on définit de façon analogue a f() = n peut aussi définir la ite à gauche ou à droite de = a lorsque la ite en = a n eiste pas. n notera alors : ite à droite ite à gauche : f() a <a ite à droite : f() a >a Eemple : La fonction 2 a pour ite + en 0. La fonction n admet pas de ite en 0, mais admet une ite à gauche ( ) et à droite (+ ) de 0. Limite à gauche 2 PAUL MILAN 3 TERMINALE S

4 TABLE DES MATIÈRES 3 Limites des fonctions élémentaires Limites en l infini f() n n f() f() + si n pair 0 non défini non défini si n impair Limites en 0 f() f() 0 >0 f() 0 <0 n si n pair si n impair non défini 4 pérations sur les ites 4. Somme de fonctions Si f a pour ite l l l + + Si g a pour ite l + + alors f + g a pour ite l+l + + F. Ind. Eemples : ) Limite en + de la fonction f définie sur R par : f() = = + = 0 Par somme f() = + 2) Limite en + et de la fonction f définie sur R par : f() = = + Par somme = + f() = + 2 = + = 4.2 Produit de fonctions *Appliquer la règle des signes Par somme, on ne peut conclure Forme indéterminée : + Si f a pour ite l l = 0 0 Si g a pour ite l alors f g a pour ite l l * F. ind. * PAUL MILAN 4 TERMINALE S

5 4. PÉRATINS SUR LES LIMITES Eemples : ) Limite en de la fonction précédente : f() = 2 + Pour lever la forme indéterminée, on change la forme de f(). ( f() = 2 + = 2 + ) n a alors avec le produit : 2 = + + = Par produit f() = + 2) Limite en + de la fonction définie sur R + par : f() = n ne peut résoudre par la somme car c est une forme indéterminée, on change alors la forme de f() f() = ( = ) = + = Par produit f() = + 3) Limite à droite de 0 de la fonction définie sur R par : f() = sin 0 = + >0 sin = 0 0 >0 4.3 Quotient de fonctions Par produit, on ne peut conclure Forme indéterminée 0 Si f a pour ite l l = 0 0 l Si g a pour ite l = 0 0 () 0 l () alors f l a pour ite g l * F. ind. 0 * F. ind. *Appliquer la règle des signes Eemples : () doit avoir un signe constant ) Limite en 2 de la fonction définie sur R { 2} par : f() = 2 +2 n a le tableau de signes de +2 : PAUL MILAN 5 TERMINALE S

6 TABLE DES MATIÈRES 2 2 > 2 2 < 2 2 = 5 +2 = = 0 Par quotient f() = 2 > 2 f() = + 2 < 2 n en déduit alors une asymptote verticale d équation = 2. 2) Limite en + de la fonction f définie par : f() = Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l infini en +, nous avons une forme indéterminée :. Il faut donc changer la forme de f(). ( ) f() = = 2+ ( 3+ 2 ) = n a alors : 2+ = = 3 Par quotient f() = Conclusion Il eiste donc quatre formes indéterminées (comme avec les ites de suites) où les opérations sur les ites ne permettent pas de conclure. Dans les cas d indétermination, il faudra chercher à mettre le terme du plus haut degré en facteur (pour les polynômes et les fonctions rationnelles), à simplifier, à multiplier par la quantité conjuguée (pour les fonctions irrationnelles), à utiliser un théorème de comparaison, à effectuer un changement de variable... 5 Limite d une fonction composée Théorème : Soit deu fonctions f, g. Soient a, b et c des réels ou + ou. Si f() = b et g() = c alors g[ f()] = c a b a Eemples : Déterminer les ites suivantes : ) h() avec h() = 2) k() avec k() = cos 2+ ( ) PAUL MILAN 6 TERMINALE S

7 5. LIMITE D UNE FNCTIN CMPSÉE ) n pose f() = 2+ 2 et g() =. n a alors : h() = g[ f()]. n calcule alors les ites : 2+ 2 = 2 = 2 2 Par composition, on a : h() = 2 Remarque : n peut éventuellement rédiger en faisant un changement de variable. n pose : n a alors : X = 2+ 2 donc h() = X X = 2+ 2 = 2 X = 2 X 2 2) n pose f() = 2 + Par composition, on a : h() = 2 et g() = cos. n a alors : k() = g[ f()]. 2 + = 0 cos = 0 Par composition, on a : k() = Théorème 2 : Limites fonctions et suites Soit une suite (u n ) définie par : u n = f(n). f est alors la fonction réelle associée à la suite (u n ). Soit a un réel ou + ou Si f() = a alors u n = a n + Eemple : Soit la suite (u n ) définie pour tout n N par : u n = Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par : f() = n a vu plus haut que : f() = 2 n en déduit que la suite (u n ) converge vers n 2. La réciproque de ce théorème est fausse. n peut en effet avoir une suite(u n ) qui admet une ite sans que la fonction associée en admette une. Pour s en convaincre : { f() = 2 si N Soit la fonction f définie sur R par : f() = sinon La ite de f en + n eiste manifestement pas tandis que la suite (u n ) définie par u n = f(n) = 2 admet, elle, comme ite 2! PAUL MILAN 7 TERMINALE S

8 TABLE DES MATIÈRES 6 Théorèmes de comparaison Théorème 3 : f, g, et h sont trois fonctions définies sur l intervalle I =]b;+ [ et l un réel. ) Théorème des «Gendarmes» Si pour tout I, on a : g() f() h() et si : g() = h() = l alors 2) Théorème de comparaison Si pour tout I on a : f() g() et si : f() = l g() = + alors f() = + Remarque : Énoncés analogues en avec I =] ; b[ et en un réel a avec I un intervalle ouvert contenant a. Démonstration : ) Théorème des gendarmes : en + n sait que : g() = h() = l D après la définition des ites, tout intervalle ouvert J contenant l, contient toutes les valeurs de g() et h() pour assez grand. Comme g() f() h() il en est de même pour f(). Conclusion : f() = l 2) Théorème de comparaison : en + D après la définition des ites, tout intervalle ouvert]m; + [, contient toutes les valeurs de g() pour assez grand. Comme f() g() il en est de même pour f(). Conclusion : f() = + Eemples : ) Déterminer la ite de f() = sin en + 2) Déterminer la ite de g() = +cos en + PAUL MILAN 8 TERMINALE S

9 6. THÉRÈMES DE CMPARAISN ) Pour tout positif, on a : sin, donc : > 0 f() C f or on sait que : = 0 et = 0 D après le théorème des Gendarmes, on a : f() = 0 0 2) n a : R cos, donc : R +cos 0 or on sait que : = +, donc d après le théorème de comparaison, on a : 5 C g y = g() = PAUL MILAN 9 TERMINALE S