Périmètre et aire. Te souviens-tu? Activités. 1 Aire et périmètre. chapitre 12 1.B ; 2.C ; 3.B ; 4.A ; 5.C

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1 Périmètre et aire chapitre 1 Te souviens-tu? 1. ;. ; 3. ; 4. ; 5. ctivités 1 ire et périmètre 1. Périmètre ou aire? a) Les trois figures remplissent le même nombre de carreaux. Elles ont donc la même aire. Elles n ont pas le même périmètre. Figure rouge : 3 Figure bleue : 18 Figure verte : π 3 b) c) 144

2 . es formules connues a) Périmètre (4 + 6) 0 cm ire 4 6 b) Périmètre 4 8 cm ire 3 4 c) Périmètre cm ire ire d un parallélogramme 1. écouvrir avec lara a) b) 5 cm 60 3 cm c) 5 cm 60 3 cm, d) Le parallélogramme et le rectangle ont la même aire. e) alcul de l aire du rectangle : 5,6 13 cm L aire du parallélogramme est de 13 cm.. La méthode de imitri a) imitri a découpé le parallélogramme dans un grand rectangle et les deux morceaux qu il obtient forment un nouveau rectangle. Il peut ainsi calculer l aire du parallélogramme. Le segment [] représente la hauteur relative au côté []. b) 3 cm,5 cm F 60 ' 5 cm 4,3 cm E 145

3 L aire du rectangle est égale à,5 4,3 10,75 cm. L aire du grand rectangle est égale à (3 +,5) 4,3 3,65 cm. L aire du parallélogramme est égale à 3,65 10,75 1,9 cm. On constate que les aires sont à peu près égales. e plus 3,65 10,75 (3 +,5) 4,3,5 4,3 (3 +,5,5) 4,3 3 4,3 c) Pour calculer l aire d un parallélogramme, on multiplie la longueur d un côté par la longueur de la hauteur relative à ce côté. d), cm 4,5 cm alcul de l aire du parallélogramme : 6, 13 cm. ',9 cm 4,5 cm alcul de l aire du parallélogramme : 4,5,9 13 cm. 3 ire d un triangle 1. u triangle au parallélogramme a) b) M 3, cm 4,5 cm 146

4 c) est le symétrique de par rapport à M. onc M est le milieu de []. M est le milieu de []. Si un quadrilatère a ses diagonales sécantes en leur milieu alors c est un parallélogramme. onc est un parallélogramme.. u parallélogramme à l aire a) M est le milieu de []. onc est le symétrique de par rapport à M. est le symétrique de par rapport à M. onc est le symétrique de par rapport à M. Ils ont leurs aires égales. b),8 cm M 4,5 cm Le segment [] représente la hauteur relative à [] dans le parallélogramme. c) alcul de l aire du parallélogramme :,8 4,5 1,. alcul de l aire du triangle : 1,6 6,3 cm. d) Pour calculer l aire d un triangle, je multiplie la longueur d un côté par la longueur de la hauteur correspondant à ce côté puis je divise par. e) À toi! 7,5 cm,5 cm 5 cm alcul de l aire de : 7,5,5 9,375 cm. 147

5 7,5 cm 5 cm 4, alcul de l aire de : 4 4,6 9, cm. 7,5 cm 3,7 cm 5 cm alcul de l aire de : 5 3,7 9,5 cm. 4 ire d un disque 1. Une ancienne formule L 3 π 3 3,14 18,8 La longueur du cercle est environ 18,8.. Recherche d aires a) 148

6 b) L aire du disque de rayon 1 cm est comprise entre 1 cm et. L aire du disque de rayon cm est comprise entre 8 cm et 15 cm. L aire du disque de rayon 3 cm est comprise entre cm et 33 cm. L aire du disque de rayon est comprise entre 45 cm et 5. c) L aire du disque augmente si le rayon augmente. d) Il n y a pas proportionnalité entre le rayon et l aire. 3. Formule d aire a) ire du disque de rayon 1 cm : 3, ,1 ire du disque de rayon cm : 3,14 1,5 ire du disque de rayon 3 cm : 3, , ire du disque de rayon : 3, , Les aires des disques sont bien dans les encadrements proposés dans la question.b). b) Le bon calcul est celui d mélie. Fred a utilisé la formule suivante : π diamètre diamètre. Mo a calculé le périmètre d un cercle de diamètre 8 cm. lara a calculé le périmètre d un cercle de rayon 8 cm. Exercices fondamentaux alcul mental 1 a) 400 b) 1,5 c) 0,185 3 d) 5,14 a) 13,5 b) 7, c) 9 d) 3 3 a) 6,3 b) 16,5 c) 3 d) 0,6 4 a) 7 dm 700 cm b) 43 dm 0,43 m c) 5 m 0,000 5 hm d) cm 7,5 m 5 a) L aire du carré est de 3. b) L aire du rectangle est de 15 dm. c) Le périmètre du losange est de 3. d) ( ) 50 Le périmètre du rectangle est de 50 m. 6 [] est la hauteur relative au côté []. [O] est la hauteur issue du sommet. 7 [MN] est la hauteur relative au côté []. [K] est la hauteur relative au côté []. 8 Vocabulaire a) b) O 149

7 Périmètre et aire 14 a) 9 a) J I O K Leurs aires ne sont pas forcément égales. b) Leurs périmètres ne sont pas forcément égaux. 10 a) (7 + 3) 0 Le périmètre du rectangle est de 0 cm L aire du rectangle est de 1 cm. b) L aire du carré est de 3. c) 3,,6 4,16 L aire du triangle EF est de 4,1. L IJKL est un losange. Un losange a ses diagonales perpendiculaires en leur milieu. onc (JL) (IK) et O est le milieu de [IK] et de [JL]. onc [JO] est la hauteur issue de J dans le triangle IJK. 6,1 6,3 cm onc l aire de IJKL est égale à : 6, ,,, , 5, 1, b) Pour calculer l aire d un losange, je multiplie la longueur de ses diagonales et je divise le résultat par. 15 a) b) c) M ,5 La longueur est de 10,5 m La longueur du côté du carré est de 5 cm L aire du carré est de 5 cm. N 9 cm 13 NP cm MP cm 150

8 d) alcul de l aire de MN : 1 1 L aire de MN est de 1 cm. alcul de l aire de : L aire de est de 3. alcul de l aire de NM : L aire de NM est de 35 cm. 16 L aire devient neuf fois plus grande. Elle est donc égale à 14. En effet la longueur du côté du carré est de. onc le nouveau carré aura pour longueur du côté 1 cm et son aire sera donc égale à 1 1 soit 14. ire d un parallélogramme alcul de l aire du parallélogramme rouge : 3 6 L aire du parallélogramme rouge est de 6 unités d aire. 19 alcul de l aire de : 6,8 16,8 L aire de est de 16,8 cm. alcul de l aire de EFG : 5,5 3 16,5 L aire de EFG est de 16,5 cm. alcul de l aire de IJKL : 5,,1 10,9 L aire de IJKL est de 10,9 cm. 0 Première manière : 11 3,5 38,5 euxième manière : 7 5,5 38,5 onc l aire de est de 38,5 cm a) b) G 3,7 cm 4,8 cm E 7 cm 50 F 7 3,7 5,9 L aire de EFG est de 5,9 cm. a) b) J 3,5 cm K alcul de l aire du parallélogramme vert : L aire du parallélogramme vert est de 30 unités d aire. alcul de l aire du parallélogramme violet : 4 8 L aire du parallélogramme violet est de 8 unités d aire. O 5, cm 5, 3,5 18, L aire du parallélogramme JOLK est de 18, cm. L 151

9 3 15,6 3 5, cm 0,4 3,4 6 La hauteur issue de F dans EFG mesure La hauteur du parallélogramme est 5 cm. 5 ST cm 6 a) La hauteur relative à ce côté mesure 30 5 soit. ire du triangle rouge : 3 5 7,5 unités d aire 9 ire de : K 6,,5 7,75 cm ire du triangle : 4 3, 6, 30 Première façon : 3,9 4 7,8 cm euxième façon : K 5, 3 7,8 cm 31 a) b) G 5 cm b) Il y a une infinité de parallélogrammes répondants à la question. Ils ont les deux côtés opposés mesurant 5 cm qui sont sur deux droites parallèles distantes de. 7 a) La hauteur relative au côté [] mesure 5 cm. b) L aire du parallélogramme est égale à 0 cm L aire du parallélogramme EF est égale à 10 cm. 5,9 cm E F ire de EFG : 6 5,9 17,7 cm c) I,8 cm 8 ire d un triangle ire du triangle vert : J 45 5,5 cm K unités d aire ire du triangle violet : 4 4 unités d aire ire de IJK : 5,5,8 7,7 cm 3 a) JK 5 10 cm 5 15

10 b) JK ire I cm onc JK 10 cm. 36 a) b) 33 14,8,8 10, cm On ne peut pas calculer E car on n a pas la longueur FG. KN 1,9 4,3 M 34 La hauteur relative au côté [] du triangle mesure 1 6 soit. ' c) ire de M : M Il y a une infinité de triangles possibles. Le sommet doit se trouver sur la droite parallèle à () et située à de (). 35 IJ K 18 9 ire de M : M d) M est le milieu de []. onc M M. onc M M. où M et M ont la même aire. e) ans un triangle, la médiane issue d un sommet le partage en deux triangles de même aire. 37 ire de : 4,6 11 5,3 cm ire de : 3, ,7 cm 5,3 + 18,7 44 onc l aire du trapèze est 4. 9 cm 38 a) 15 7,5 4 La hauteur relative au côté [] est 7,5 cm. b) cm 3 7,5 11,5 L aire de est 11,5 cm. J I 153

11 ire d un disque 39 π 5 5 π 5 78,5 L aire du disque est 5 π cm soit environ 78,5 cm. 40 8,4 4, Le rayon du disque mesure 4, cm. π 4, 4, 55,4 L aire du disque est d environ 55,. 41 a) ire du disque de rayon : π ,0 Périmètre du disque de rayon : π 6 37,68 cm ire du disque de rayon 1 cm : π ,1 Périmètre du disque de rayon 1 cm : π 1 75,3 b) Si on double le rayon d un cercle on double le périmètre et on multiplie par 4 l aire. L aire du secteur angulaire est environ 31,. 47 ire de la table ronde : π 0,6 0,6 1,130 ire de la rallonge : 0,5 1, 0, ire de la table avec la rallonge : 1, ,6 1, ire du rectangle :, m ire du demi-disque : π 1 1 π m ire de la figure : 10 π m Périmètre du demi-disque : 1 π π m Périmètre de la figure :,5 +, π 11 + π m ,56 3,14 4 onc le rayon mesure environ cm ,84 ( 3,14) 3 Le rayon mesure environ 3 cm. 3, ,6 L aire du disque est égale à 8,. 44 a) Le rayon du disque mesure 5 cm car b) Le rayon du disque est 3 cm car π 3 6 π Le périmètre du disque est 6 π cm. 45 a) π 5 5 1,5 π L aire du demi-disque est 1,5 π cm. b) π 9 9 0,5 π L aire du quart de disque est 0,5 π cm. 46 π ,4 ire du demi-disque : π π cm ire du disque blanc : π 4 π cm ire de la figure : 3 π 4 π 8 π cm 8 cm 50 ire du bassin : π 1,5 1,5,5 π m ire du bassin avec le gazon : π 4 π m ire du gazon : 4 π,5 π 1,75 π m Qui dit vrai? imitri a raison. 154

12 Exercices d approfondissement 51 onstruction d un parallélogramme (1) 18,4 4 4,6 eux côtés opposés du parallélogramme mesurent 4,. 1,4 4,6 1, 1, 6,1 Les deux autres côtés du parallélogramme mesurent 6,1 cm. M 8 cm 6,1 cm 4, 5 onstruction d un parallélogramme () La longueur du côté du carré est. Son aire est donc 3. N 54 auteur dans un parallélogramme ire de RSTV : RS h 10 4, onc h 4 ST cm 55 auteur dans un triangle ire de :,5 6 7,5 cm P onstruction d un triangle 8 K 7,5 3 cm 5 56 vec un losange EFGK est un losange. Les diagonales d un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu. Soit O le milieu de [KF] et de [EG]. [OG] mesure,. [OG] est la hauteur issue de G dans le triangle FGK. La hauteur relative au côté [NP] mesure 8 cm. La hauteur issue du sommet principal d un triangle isocèle est aussi médiatrice. onc la hauteur relative au côté [NP] est aussi sa médiatrice. ire de FGK : FK OG 3,,4 3,8 [F] est la hauteur issue de F. F 3,84 3, cm.,4 155

13 57 vec un trapèze a) 1 4 K 6 cm 6 b) ire de K cm cm c) alcul d aire (1) La somme des angles d un triangle est égale à 180. onc RST + RTS + SRT SRT SRT 180 SRT onc RST est un triangle rectangle en R. ire de RST : 4,6 5,5 1,65 cm 59 alcul d aire () ire de la partie coloriée : b) ire de la surface rouge : 16 6,88 9,1 cm 6 ire et proportionnalité? a) h (en cm) ire (en cm ) b) L aire est proportionnelle à la hauteur car pour passer de la hauteur à l aire on multiplie par. c) (en cm) ire (en cm ) 7,5 1,5 17,5 5 d) L aire du triangle est proportionnelle à la longueur de la base car pour passer de la longueur de la base à l aire on multiplie par,5. 63 a) Secteur angulaire 60 ire et disque (1) ire du demi-disque de rayon 1 cm : π 1 1 0,5 π cm O 30 ire du demi-disque de rayon 3 cm : π 3 3 4,5 π cm ire du demi-disque de rayon : π π cm 0,5 π + 8 π 4,5 π 4 π L aire de la figure est 4 π cm soit environ 1,. 61 ire et disque () a) ire du carré : ire du demi-carré : 16 8 cm ire du quart de disque de rayon : π π cm 1,5 ire de la surface bleue : [8 (1,56 8)] 6,88 cm b) ire du disque : 4 4 π 16 π cm 50, c) ire du secteur angulaire O : 16 π 30 4,19 cm 360 d) ire du secteur angulaire O : 16 π 50 6,98 cm 360 e) L aire du secteur angulaire O est proportionnelle par rapport à l angle O car pour passer de l angle à l aire du secteur on multiplie l aire du disque par l angle O et on divise par

14 64 eux triangles en un E est un rectangle. Les côtés opposés d un rectangle sont égaux. onc et. E est le milieu de []. onc E E Les triangles E et E ont donc la même aire : E ire de la partie bleue : E E ire de la partie rouge : EF onc les deux parties coloriées ont la même aire. 65 Fraction d aire a) ire de IJL : 5, 3 7,8 cm b) ire de IML : 3 IM 1,5 IM ire de IML 5 ire de IJL 5 7,8 3,1 cm 1,5 IM 3,1 onc IM 3,1 1,5,08 cm onc le point M doit se trouver à,08 cm du point I sur le segment [IJ]. Résous des problèmes 66 es constructions et des calculs a) T 3 cm 8 cm R E F b) ire de T : cm c) 18 8,5 cm 67 uisine à carreler a) ire de la cuisine : 4,8 3, 0,4 0,4 0,6 0,3 15,36 0,16 0,18 15,0 m ire d un carreau de carrelage : 0,3 0,18 0,057 6 m 15,0 0, ,76 Il faut 61 carreaux ,05 Il faut 14 cartons. 14 8,90 14,60 Le prix T est donc 14,60. b) 14,60 19,6 4, ,60 + 4, ,01 6 Le prix TT est environ 149,0. 68 Une pièce métallique a) ire du rectangle : m ire du disque : 1 1 π π 3,14 m ire de la pièce : 40 3,14 36,86 m b) 36,86 4,5 165,87 La pièce pèse 165,87 kg. c) ,87 6,03 ans une caisse on peut mettre 6 plaques ,16 Il faudra donc 5 caisses pour pouvoir expédier sa commande. 69 lôture Pour le carré : Le côté du carré mesure 15 m L aire du carré est 5 m. Pour le rectangle : (L + l) 60 ( l + l) 60 3l 60 6 l 60 l onc la largeur du rectangle mesure 10 m et la longueur mesure 0 m. 157

15 L aire du rectangle est 00 m. Pour le disque : 60 9,55 π Le rayon du cercle est environ 9,55 m. π 9,55 9,55 86,38 L aire du disque est 86,38 m. Le berger devra choisir l enclos circulaire pour avoir l aire maximale. c) , 500 Il faut multiplier le périmètre du dessin par 500 pour obtenir le périmètre réel. d) , Il faut multiplier l aire du dessin par ( ) pour obtenir l aire réelle. 71 La figure du chapitre 70 ire et échelle a) Périmètre :,4 + 3, ,6 + 4,6 13, cm ire : 4,6,4 11,04 0,9 10,1 b) 1 1,8 18 m 1 m 10 m Périmètre : m ire : ,5 53,5 m 3 m 3 m ire d un disque : π 1,4 1,4 1,96 π cm ire de la partie bleue : 3 1,96 π 5,88 π cm ire de la partie rouge : 1,96 π 3,9 π cm ire rouge ire bleue 3,9 π 39 5,88 π Énigme de fin de chapitre alcul de l angle entre les deux heures : alcul de l angle entre les deux aiguilles : alcul de l aire de la montre : π 1 1 π cm alcul de l aire du secteur angulaire compris entre les deux aiguilles : π 105 0,9 cm 360