1. Une fonction numérique f d une variable réelle x est généralement notée : f : IR IR : x f(x)

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1 Chapitre 6 LES FONCTIONS 6.1 Domaine de définition Définitions et notations 1. Une fonction numérique f d une variable réelle x est généralement notée : f : IR IR : x f(x) On dit aussi que la fonction f est définie dans IR par l expression analytique de f(x). Dans ce contexte, le domaine de f est inclus dans IR sans être nécessairement égal à IR. Une recherche de ce domaine sera toujours indispensable. 2. Soit f : IR IR : x f(x) une fonction numérique d une variable réelle x. On dit que la fonction f est définie en le réel a lorsque f(a) est un réel; n est pas définie en a lorsque f(a) n est pas un réel. 3. On appelle domaine de définition de la fonction f ( Dom f), l ensemble de tous les réels en lesquels la fonction est définie (existe). Mathématiquement, on a écrit Domf = { x IR : f(x) IR } 43

2 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 44 Tableaux : fonctions - conditions d existence Si f(x) est une fonction polynôme, alors on aura toujours 1 domf = IR. Si f(x) et g(x) sont des polynômes : FONCTION CONDITION(S) D EXISTENCE f(x) g(x) g(x) 0 f(x) f(x) 0 1 f(x) > 0 f(x) f(x)± g(x) { f(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) { f(x) 0 g(x) 0 3 f(x) PAS DE CONDITION! 3 f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x) { f(x) g(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) { f(x) 0 g(x) > 0 3 f(x) 3 g(x) g(x) 0 Exercices Recherchez le domaine de définition des fonctions suivantes: 1. f 1 (x) = x 2 x 3 2. f 2 (x) = x x f 3 (x) = 1 x 2 +4x+1 4. f 4 (x) = x 2 1. f (x) = x+1 6. f 6 (x) = 3 x(x 1)( x) 7. f 7 (x) = x 2 x+1 8. f 8 (x) = 3x 2 3 2x 9. f 9 (x) = 3x 1 2x 1 C est si facile à retenir et pourtant.... f (x) = 2x 1 2x 11. f 11 (x) = 1 x x 2 +4x f 12 (x) = 3 x 1 x 2 +x f 13 (x) = 1 3x+ x 2 x f 14 (x) = 4 x+x 2 1. f 1 (x) = 1 x 1+x 16. f 16 (x) = 1+3x 4x f 17 (x) = x 2 x 12 x2 x f 18 (x) = x 2 x 12 x 2 x 2

3 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS f 19 (x) = x+1+ x 1 x 2 x f 20 (x) = x x f 21 (x) = (x 1)(x 2) Solutions des exercices 1. IR\{3} 2. IR 3. IR\{ 2 3, 2+ 3} 4. ], 1] [1,+ [. IR + 6. IR 0 \{1;} 7. IR 8. [ 2 3 ; 3 2 [ 9. IR\{ 1 2 }. [0, 1 2 [ 11. IR\{ 2} 12. IR\{2,3} 13. ], 1 3 ] 14. IR 1. ] 1,1] 16. φ 17. ], 3] [4,+ [ 18. ], 3] ] 1, 2[ [4, + [ 19. [1,3[ ]3,+ [ 20. IR ],1] [2,+ [ 6.2 Graphique d une fonction Définition du graphe d une fonction Le graphe d une fonction permet de visualiser l allure, les propriétés, le comportement d une fonction. On le construit en munissant le plan d un repère (souvent orthonormé) et en y portant des points dont les abscisses sont les éléments du domaine de définition de la fonction et les ordonnées, les valeurs correspondantes de la fonction. Par définition, on a G f = On définit également l équation du graphe de f: { (x,f(x)) : x domf y = f(x). Cela signifie simplement que le graphe est l ensemble des couples (x, y) (ou des points de coordonnées (x,y)) tels que x et y obéissent à la relation y = f(x). }. 6.3 Monotonie d une fonction Considérons une fonction numérique réelle f. La fonction f est dite croissante dans un intervalle I inclus dans son domaine de définition lorsqu elle vérifie la propriété : x 1,x 2 I : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). La fonction f est dite décroissante dans un intervalle I inclus dans son domaine de définition lorsqu elle vérifie la propriété : x 1,x 2 I : x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). La fonction f est dite strictement croissante dans un intervalle I inclus dans son domaine de définition lorsqu elle vérifie la propriété : x 1,x 2 I : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ).

4 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 46 La fonction f est dite strictement décroissante dans un intervalle I inclus dans son domaine de définition lorsqu elle vérifie la propriété : x 1,x 2 I : x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). Pour des facilités de langage, on dit d une fonction croissante ou décroissante qu elle est monotone. De même, on dit d une fonction strictement croissante ou d une fonction strictement décroissante qu elle est strictement monotone. La traduction graphique de ces attributs est évidente. Une fonction croissante (resp. décroissante) est une fonction dont le graphe ne descend pas (resp. ne monte pas) lorsque l argument x se déplace de gauche à droite. Similairement, une fonction, strictement croissante (resp. strictement décroissante) est une fonction dont le graphe monte toujours (resp. descend toujours) 6.4 Fonctions paires, fonctions impaires Dans ce qui suit, I est un intervalle ou une réunion d intervalles centrés en 0 (par exemple ] 2;2[ ou ] 2;0[ ]0;2[ ). Ainsi, I est donc aussi un ensemble. Définition 6.1 (Fonction paire) La fonction f : I IR est dite paire si pour tout réel x appartenant à I, f( x) = f(x). Mathématiquement, x Dom f : f( x) = f(x)

5 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 47 Remarques Une fonction paire est une fonction par laquelle un réel et son opposé ont même image. Exemples de fonctions paires:... Si f est croissante sur l intervalle [a;b] alors f est décroissante sur [ b; a]. Si f est décroissante sur l intervalle [a; b] alors f est croissante sur l intervalle [ b; a]. Conséquence de la parité sur la représentation graphique. Oy Ox Propriété 6.2 La courbe représentative d une fonction paire admet l axe des ordonnées ( Oy)comme axe de symétrie. Définition 6.3 (Fonction impaire) La fonction f : I IR est dite impaire si pour tout réel x appartenant à I, f( x) = f(x). Mathématiquement, Remarques x Dom f : f( x) = f(x) Une fonction impaire est une fonction par laquelle un réel et son opposé ont des images opposées. Exemples de fonctions impaires:... Une fonction qui n est pas paire, n en est pas pour autant impaire! Par exemple, les fonctions g(x) = x+1 et h(x) = x 3 +x sont deux exemples de fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires. Conséquence de l imparité sur la représentation graphique. Oy Ox Propriété 6.4 La courbe représentative d une fonction impaire admet l origine des axes ( O)comme centre de symétrie.

6 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 48 Remarque 6. (Fonction ni paire, ni impaire) Pourmontrerqu une fonctionn est paspaire, ilsuffit detrouverun élément x quiinfirmeladéfinitionde la parité. Car elle spécifie que tous les réels de l ensemble de définition sont concernés par la condition f(-x) = f(x). Trouvons-en un seul et alors la fonction ne remplira pas la condition. On s intéresse à g(x) = x+1. Prenons x = 2: g(2) = 2+1 = 17 et g( 2) = 2+1 = 13. Or 13 et 17 ne sont ni égaux, ni opposés. La fonction g n est donc ni paire ( car g(2) g( 2) ), ni impaire ( car g( 2) g(2) ). Exercices Soit le graphique d une fonction (a) Compléter ce graphique en bleu afin d obtenir le graphique d une fonction paire. (b) Compléter ce graphique en rouge afin d obtenir le graphique d une fonction impaire. (c) Compléter ce graphique en vert afin d obtenir le graphique d une fonction ni paire, ni impaire. 2. Déterminer si les fonctions suivantes sont paires ou impaires, en déduire et caractériser l éventuelle symétrie de leur graphique:

7 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 49 (a) f 1 (x) = x 2 (b) f 2 (x) = x 3 (c) f 3 (x) = 2x (d) f 4 (x) = 2x+3 (e) f (x) = x 2 +3 (f) f 6 (x) = x 3 2 (g) f (x) = x (h) f (x) = x (i) f (x) = x 2 4 x 3 x x 4 +4x Synthèse sur les fonctions du premier degré La forme analytique la plus générale d une fonction du premier degré est f(x) = ax+b avec a,b IR. Propriété 6.7 La représentation graphique de la fonction f(x) = ax+b est la droite d équation y = ax+b. Elle passe par le point (0,b) de l axe Oy et est parallèle à la droite d équation y = ax. Le nombre a détermine la direction de la droite et s appelle ainsi coefficient de direction 2 de la droite. Le nombre b porte le nom d ordonnée à l origine de la droite. Discussion suivant les paramètres a et b a b y = ax + b devient Nom de la fonction Représentation graphique 0 IR y = b fonction constante une droite parallèle à Ox IR 0 0 y = ax fonction linéaire une droite oblique passant par l origine des axes IR 0 IR y = ax+b fonction affine une droite oblique ne passant pas par l origine des axes A propos de l ordonnée à l origine b Le coefficient b s appelle l ordonnée à l origine pour la simple et unique raison que b correspond à l ordonnée du point d intersection de la droite considérée avec l axe Oy. Par exemple, (0;3) (x;2x+3) Figure 6.1: voici le graphe de f(x) = 2x+3. 2 Ce coefficient porte également le nom de coefficient angulaire lorsque le repère est orthonormé

8 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 0 A propos du coefficient de direction a Représentons plusieurs fonctions du premier degré ayant des coefficients de direction a différents. On obtient, par exemple, a= a= a= a= a= a= a= a= a= Figure 6.2: voici les graphes de f(x) = y = ax 1 pour quelques valeurs de a Nous constatons ainsi que le graphique d une fonction du premier degré est une droite ayant une pente d autant plus raide que la valeur absolue de son coefficient de direction est plus grande; si a > 0, alors le graphique de la fonction du premier degré est une droite croissante 3 ; si a < 0, alors le graphique de la fonction du premier degré est une droite décroissante 4. A présent représentons des fonctions du premier degré ayant le même coefficient a, mais des coefficients b différents. On obtient, par exemple, pour a = 2 3 Une fonction f est croissante si les valeurs de f(x) augmentent lorsque x augmente. 4 Une fonction f est décroissante si les valeurs de f(x) diminuent lorsque x augmente.

9 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 1 b= b= b= b= b= b= b= b= b= b= b= b= Figure 6.3: voici les graphes de f(x) = 2x+b pour quelques valeurs de b Les représentations graphiques de ces fonctions sont des droites parallèles. A propos du zéro d une fonction du premier degré Le zéro d une fonction du premier degré est le réel qui annule cette fonction, c est-à-dire la solution de l équation f(x) = 0. On a f(x) = 0 ax+b = 0 x = b a. Ainsi, le zéro de la fonction du premier degré f(x) = ax+b est b a Ce zéro correspond à l abscisse du point d intersection de la représentation graphique de le fonction du premier degré avec l axe Ox.

10 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 2 Exercices 1. En indiquant une croix dans le tableau, repère chaque type de droites : Equations Droite passant par (0, 0) Droite Oy Droite Ox y = 2x y = 4 x = 2 2x = 2x y = 0 3y = 0 2. Rechercher l expression analytique de droite qui passe par le point de coordonnées (0; ) et de coefficient de direction égale à Trace la droite dont voici une équation : (a) a 2x+3y = 12 (b) b x y = 0 (c) c x+3 = 0 (d) d 3x y+1 = 0 (e) e y = 2 (f) f y = 3x+4 (g) g 3x+y = 8 (h) h 2x = y 4 (i) i x+y = 0 (j) j x 2 + y 3 = 1 (k) k 2(x y) = 4 (l) l 3x 2 2y 3 = Questions à choix multiples : 1. Une fonction est dite linéaire si sa forme est : (a) f(x) = ax+b (b) f(x) = ax (c) f(x) = a (d) f(x) = ax 2 2. L expression de la fonction linéaire définie par f(2) = 6 est : (a) f(x) = 3x (b) f(x) = x 3 (c) f(x) = 6 (d) f(x) = 2x+6 3. La représentation graphique d une fonction linéaire est : (a) une droite parallèle à Oy (b) une droite quelconque (c) une droite passant par l origine du repère (d) une courbe quelconque 4. La droite dont l équation est y = x, est (a) la représentation graphique d une fonction constante. (b) la représentation graphique de la fonction identique. (c) la représentation graphique d une fonction décroissante. (d) n est pas la représentation graphique d une fonction du premier degré.. L équation de la droite passant par les points (0;0) et dont 1 est le coefficient de direction est (a) y = x (b) y = 0,x (c) y = 2x (d) y = x+2 6. Quel point parmi ceux proposés ci-après appartient-il à la droite d équation y = 2x (a) (1;2) (b) (2; 1) (c) ( 1;2) (d) (2;1) 7. La droite dont l équation est y = 3x passe par le point (a) ( 3;1) (b) (1; 3) (c) (0; 3) (d) (1;3)

11 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Synthèse sur les fonctions du deuxième degré - Parabole Sa forme générale La forme générale d une fonction du second degré est a ( 0) est le coefficient de x 2 ; f(x) = ax 2 +bx+c où b est le coefficient de x; c est le terme indépendant. Son Souvent on sera amené soit à trouver les zéros d une telle fonction, soit d étudier son signe. Pour cela, il faudra presque toujours calculer ou ρ. On a = ρ = b 2 4ac. Ses zéros 1. Si > 0, alors la fonction du second degré admet deux zéros réels distincts : x 1 = b+ 2a et x 2 = b 2a. 2. Si = 0, alors la fonction du second degré admet un zéro double : x 1 = x 2 = b 2a. 3. Si < 0, alors la fonction du second degré n admet pas de zéro. Son signe Une fonction du second degré est toujours du signe de a sauf entre ses racines 1. Si > 0, alors nommons x 1 et x 2 les deux zéros réels distincts (avec x 1 < x 2 ) : x x 1 x 2 ax 2 +bx+c SIGNE DE a 0 SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a 2. Si = 0, alors nommons x 1 le zéro double : x b 2a ax 2 +bx+c SIGNE DE a 0 SIGNE DE a 3. Si < 0, alors pas de zéro. x + ax 2 +bx+c SIGNE DE a PARTOUT!

12 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 4 Son sommet Les coordonnées du sommet de la parabole sont ( b S = 2a, ) 4a a>0 a<0 x ax 2 +bx+c -b 2a - x ax 2 +bx+c -b 2a - 4a 4a Le sommet est un minimum Le sommet est un maximum. Son axe de symétrie Son axe de symétrie est une droite parallèle à l axe Oy, passe par le sommet de la parabole, a pour équation x = b 2a Tableau >0 =0 <0 a>0 a<0

13 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Intersection avec une droite Marche à suivre Ecrire le système constitué de l équation de la parabole et de l équation de la droite: { y = ax 2 +bx+c Résoudre l équation y = mx+p ax 2 +bx+c = mx+p en ramenant tous les termes dans le même membre puis en réduisant le polynôme obtenu si nécessaire: ax 2 +(b m)x+c p = 0 On obtient ainsi un polynôme du second degré dont les racines sont les abscisses des éventuels points d intersection recherchés. 2 points d intersection 1 point d intersection Aucun point d intersection >0 =0 <0 Exercice 6.8 Rechercher graphiquement puis algébriquement l(es) éventuel(s) point(s) d intersection de la parabole et de la droite : 1. P y = x 2 8x+1 et d y = x+3 2. P y = x 2 +2x+ 9 et d y = x P y = x 2 x+6 et d y 6x 12 = 0 4. P y = x 2 x+24 et d y = 2x 11. P y = x 2 +9x et d y = 14

14 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Fonction y = a x - Hyperbole Exemple 6.9 Un terrain rectangulaire a une superficie de 2400 m 2. Calculer une dimension du rectangle en fonction de l autre, écrire la fonction correspondante et représenter graphiquement. Compléter le tableau suivant : dimension1 (x) 20m 40m 4m 62m 7m 0m 200m dimension2 (y) Rappel : l aire d un rectangle est donnée par l égalité S = x.y où x et y désignent les deux dimensions du rectangle. Pour un rectangle de 2400 m 2 d aire, on a donc 2400 = x.y ou encore y = 2400 x. Représenter la fonction y = f(x) = 2400 x pour x 0. Constatations : Si x = 0, alors on ne peut calculer y, 0 n a donc pas d image par cette fonction f. Nous dirons que la fonction n est pas définie en 0 et 0 / Dom f. Tous les autres réels ont bien une image par cette fonction, nous écrivons alors Dom f = IR 0. Le graphe ne coupe pas les axes. Si x, alors y Si x, alors y Si y, alors x x et y sont des grandeurs inversement proportionnelles ; Si y, alors x

15 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 7 le graphique est une branche d hyperbole, et non pas une hyperbole car une hyperbole est constituée de deux branches d hyperboles. Représentons à présent l hyperbole complète, c-à-d. la fonction f : x 2400 x sur IR 0 Remarques Considérons un point mobile qui se déplace vers la droite sur la branche droite de l hyperbole. La distance de ce point à la droite Ox va devenir et rester aussi petite que l on veut. Nous dirons que Ox est asymptote à la branche d hyperbole. Considérons un point mobile qui se déplace vers la gauche sur la branche gauche de l hyperbole. La distance de ce point à la droite Oy va devenir et rester aussi petite que l on veut. Nous dirons que Oy est asymptote à la branche d hyperbole. Important! Une asymptote est avant toute chose une droite. Celle-ci a une propriété particulière par rapport à la fonction: la fonction s en approche de plus en plus mais sans jamais la toucher. Il existe des asymptotes horizontales, verticales et obliques. Les axes Ox et Oy sont des asymptotes pour le graphe de cette hyperbole. Celles-ci sont donc perpendiculaires. C est la raison pour laquelle cette hyperbole se qualifie d équilatère. Exemple 6. Représenter graphiquement la fonction g(x) = 2 x. Faire un tableau de nombres : x g(x) = y Représenter la fonction!

16 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 8 Constatations : Si x = 0, on ne peut calculer y : la fonction n est pas définie en ce point, on a Dom g = IR 0. si x, alors y si x, alors y si y, alors x si y, alors x x et y sont des grandeurs Le graphe ne coupe pas les axes. Vocabulaire Dans les deux exemples précédents, le produit de x par y est un nombre constant non nul. Nous dirons que x et y sont inversement proportionnels.

17 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 9 Petite synthèse x et y sont directement proportionnels x et y sont inversement proportionnels y x = a (a = constante non nulle) Exercices divers On a une droite x.y = a (a = constante non nulle) On a une hyperbole équilatère 1. Les grandeurs suivantes sont-elles directement ou inversement proportionnelles? (a) Le périmètre et la longueur du côté des carrés. (b) La hauteur et la base des rectangles de cm 2 d aire. (c) Le périmètre et le diamètre des cercles. (d) L aire et le rayon des cercles. (e) La résistance et la longueur des conducteurs en cuivre de 1,mm 2 de section. (f) La résistance et l aire de la section des conducteurs électriques de m de longueur. (g) La puissance dégagée en chaleur par un conducteur électrique et, d une part, la résistance de ce conducteur et, d autre part, l intensité du courant qui le traverse. comprenne le point P(2,3). Dessiner en- 2. Déterminer k pour que l hyperbole d équation y = k x suite cette hyperbole. 3. On désigne par t le temps mis par une voiture pour parcourir 140 km à une vitesse constante v. Représenter graphiquement la fonction qui applique t sur v. 4. A température constante, le produit de la pression d un gaz par le volume qu il occupe est constant (loi de Boyle-Mariotte). Représenter graphiquement la fonction qui applique le volume d un gaz sur la pression en tenant compte qu à une température donnée, un volume de 0 cm 3 de ce gaz se trouve à la pression de 1 bar.. Un capital placé à intérêts simples au taux de % doit rapporter un intérêt de 20e au bout d un certain temps. a) Représenter graphiquement le montant du capital à placer en fonction du temps de placement. b) Utiliser le graphique pour déterminer le capital correspondant à un placement de 4, ans et le temps de placement correspondant à un capital de F.

18 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Les fonctions associées Il est possible, dans certaines circonstances, d éviter la construction, point par point, du graphe cartésien d une fonction. Nous détaillons ci-dessous quelques situations. 1. Pour construire le graphe cartésien de la fonction g : x f(x+k) au départ du graphe cartésien de la fonction f : x f(x), il suffit de soustraire k à toutes les abscisses du graphe cartésien de la fonction f Par exemple, k= k= k= k= k= k= k= k= k= Figure 6.4: Voici le graphe de (x+k) 2 pour quelques valeurs de k

19 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Pour construire le graphe cartésien de la fonction g : x f(kx) au départ du graphe cartésien de la fonction f : x f(x), il suffit de diviser toutes les abscisses du graphe cartésien de la fonction f par k. Par exemple, k= k= k= k= k= k= k= k= k= Figure 6.: Voici le graphe de (kx) 2 pour quelques valeurs de k

20 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Pour construire le graphe cartésien de la fonction g : x f(x)+k au départ du graphe cartésien de la fonction f : x f(x), il suffit d ajouter k à toutes les ordonnées du graphe cartésien de la fonction f. Par exemple, k=-4 1 k=-3 1 k= k= k=0 1-1 k=1 1-1 k=2 1-1 k=3 1-1 k= Figure 6.6: Voici le graphe de x 3 +k pour quelques valeurs de k

21 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS Pour construire le graphe cartésien de la fonction g : x kf(x) au départ du graphe cartésien de la fonction f : x f(x), il suffit de multiplier par k toutes les ordonnées du graphe cartésien de la fonction f. Par exemple, k=-4 1 k=-3 1 k= k= k=0 1-1 k=1 1-1 k=2 1-1 k=3 1-1 k= Figure 6.7: Voici le graphe de kx 3 pour quelques valeurs de k

22 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 64 Exercices Soient la fonction f(x) = x 2 6x+7 et F sa représentation graphique. (a) Ecrire cette fonction sous la forme f(x) = m+(x n) 2 avec m,n IR. (b) En déduire les transformations graphiques à faire subir au graphique de x 2, pour obtenir F. (c) Trouver graphiquement, puis déterminer algébriquement les coordonnées des éventuels points d intersection de F avec la droite qui a pour équation x y 3 = (a) Au départdu graphiquecartésiende la fonction f(x) = 1 x, représentezle graphique cartésien de la fonction h(x). (b) Donner les équations de asymptotes du graphique de la fonction h(x) (verticale et horizontale) (c) Déterminer graphiquement les coordonnées du ou des point(s) d intersections des deux graphiques cartésiens des fonctions h(x) et g(x). (d) Déterminer algébriquement les coordonnées du ou des point(s) d intersections des deux graphiques cartésiens des fonctions h(x) et g(x). (e) Déterminer graphiquement les solutions de l inéquation 3x 8 x 3 x (a) A partir du graphe de f(x) = 1 x, tracer le graphe de g(x) = 4 x ; (b) Tracer le graphe d équation y = x; (c) Résoudre 4 x = x; (d) Résoudre 4 x x. 4. (a) A partir du graphe de f(x) = x, tracer le graphe de h(x) = x 1, de g(x) = x 1 ; 2 (b) Résoudre graphiquement x 1 = 2. Soient la parabole P y = 2x 2 4x+ et la famille de droites d p y = 2x+p avecle paramètre p IR. (a) Recherchez les coordonnées des éventuels points d intersection de la parabole et de la droite d 1. (b) Recherchez les coordonnées des éventuels points d intersection de la parabole et de la droite d p avec le paramètre p IR. 6. (a) A partir du graphe de f(x) = x, tracer le graphe de g(x) = x+2; (b) Tracer le graphe d équation y = 4 x; (c) Résoudre graphiquement x+2 = 4 x, puis algébriquement. 7. (a) Résoudre graphiquement x+1 = 2x 1, puis algébriquement; (b) Résoudre graphiquement x+1 > 2x 1, puis algébriquement. 6.9 Fonctions homographiques Définition 6.12 On appelle fonction homographique toute fonction : où f : IR IR : x ax+b cx+d a,b,c et d sont des réels, c étant non nul;

23 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 6 le numérateur n est pas un multiple du dénominateur. Propriété 6.13 Toute fonction homographique f : IR IR : x ax+b cx+d peut s écrire sous la forme f : IR IR : x m+ n x+p. Exemples Mettre sous la forme m+ n x+p les fonctions homographiques suivantes : 4x+2 4x 1 et 3x+4 x+2 Exercice 6.14 On donne les fonctions homographiques définies par : Pour chacune de ces fonctions f(x) = 2x 1, g(x) = x+1 x x 1 et h(x) = 4x 6 2x+1 1. Ecris-la sous la forme m+ n x+p. 2. Au départ de cette deuxième écriture, représente-la graphiquement dans le plan cartésien. 3. Ecris son domaine. 4. Détermine l équation de ses asymptotes;. Détermine les coordonnées du point d intersection de ses asymptotes; 6. Détermine sa racine. Exercice 6.1 Soit la famille d hyperboles d équation y = a +b (a IR,b IR). x Détermine a et b pour que l équation obtenue soit celle de l hyperbole qui 1. passe par les points A = (3,1) et B = (2,3); 2. passe par le point K = ( 2,1) et coupe l axe Ox au point d abscisse 3; 3. admet la droite y = comme asymptote horizontale et passe par le point T = ( 1,1). Exercice 6.16 (bac 2003) Déterminer une équation de chaque asymptote à la courbe représentative de la fonction f définie par Exercice 6.17 (bac 200) f(x) = 3 x 2x C est l abscisse du point d intersection du graphe de la fonction avec l axe Ox.

24 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS 66 Déterminer une équation de chaque asymptote à la courbe représentative de la fonction f définie par Exercice 6.18 (bac 2002) On considère les fonctions f et g définies par f(x) = x x 2 f(x) = 4 2x x+ et g(x) = 2x Soient F et G les graphiques respectifs des fonctions f et g dans le plan rapporté à un repère orthonormé (Oxy). 1. Déterminer le domaine de définition de f, le point d intersection de F avec l axe Oy, les intervalles de croissance et de décroissance de f, et les asymptotes de F. 2. Dessiner F et G dans le repère (Oxy). 3. Déterminer les coordonnées des points d intersection de F et G. 4. Montrer que la tangente à F en l un des points d intersection des deux courbes est perpendiculaire à G Exercice 6.19 (bac 2006) On considère les fonctions réelles f et g définies par f(x) = x+4 x 2 et g(x) = 1 2 x+2 et leurs graphiques F et G dans un repère orthonormé. Déterminer les coordonnées des points communs aux graphiques F et G. Exercice 6.20 (Bac 2006) Soit la fonction f définie par f(x) = ax+b x+2 Calculer a et b afin que la droite d équation : y = 3 soit asymptote et que la représentation graphique de f passe par le point A( 1;). Exercice 6.21 (Bac 2006) On considère les fonctions réelles f et g définies par f(x) = 2x+1 x 1 et g(x) = 2x+1 Soient F lareprésentationgraphiquede f et G cellede g dansleplanrapportéàun repèreorthonormé. 1. Déterminer l ensemble de définition de f et les coordonnées de ses points d intersection de F avec les axes de coordonnées. 2. Déterminer les intervalles de décroissance de f. 3. Déterminer une équation de chacune des asymptotes de F. 4. Calculer les coordonnées des points d intersection de F et G.. Représenter F et G dans le même plan rapporté à un repère orthonormé. 6. Montrer que f(x) peut s écrire sous la forme f(x) = 2+ 3 x 1