EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

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1 EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2 Bac Blanc Mathématiques Novembre Corrigé Page /7

2 Exercice. À traiter par tous les candidats. [6,5 points] On considère la fonction numérique f définie sur R par f(x) = x 2 x2 2. Le graphique ci-dessous représente cette fonction telle que l affiche une calculatrice dans un repère orthonormé. Conjectures À l observation de cette courbe,. Il semble que f soit croissante sur [ ; 2]. 2. Il semble que la courbe soit sous l axe (x x) lorsqu < 0 et au dessus lorsque x > A. Contrôle de la première conjecture. f est dérivable sur R en tant que somme de fonction dérivables sur R et pour tout réel x, f (x) = 2x + x 2 x = x((x + 2) ) = xg(x) NB : il est très maladroit d utiliser la formule dérivée d un quotient pour dérivée la fonction x x2 4 qui n est autre que le produit de la fonction carré par la constante Étude du signe de g(x) pour x réel. (a) Lorsqu +, x De plus, x + et ainsi, +. Il vient ainsi lim g(x) = +. x + Pour tout x réel, g(x) = x e + 2. Par le théorème de croissance comparée, lim et ainsi, lim g(x) =. x (b) g est dérivable sur R et pour tout réel x, g (x) = + (x + 2) = (x + ) x xex = 0 et de plus, lim x ex = 0 Or pour tout réel x, ex > 0 et donc, g (x) est du signe d +. On en déduit : g (x) < 0 ssi x < ; g (x) = 0 ssi x = ; g (x) > 0 ssi x >. (c) Tableau des variations de g sur R. x + g e 4 TS - TS2 Bac Blanc Mathématiques Novembre Corrigé Page 2/7

3 (d) D après la question précédente, il apparaît que pour x, g(x) < et que donc, l équation g(x) = 0 est sans solution sur cet intervalle. Sur l intervalle [ ; + [, g est continue (puisqu elle est dérivable) et prend des valeurs positives et négatives. Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc qu elle s annule au moins une fois. De plus, g est strictement croissante sur cet intervalle : il s ensuit qu il existe un unique réel α tel que g(α) = 0. On constate à la calculatrice que g(0, 20) < g(α) = 0 < g(0, 2) : comme g est strictement croissante sur [ ; + [, il vient 0, 20 < α < 0, 2. (e) Des variations de g et de l etude menée dans la question d., on déduit que g(x) < 0 ssi x < α ; g(x) = 0 ssi x = α ; g(x) > 0 ssi x > α. NB : Etudier le signe d une expression dépendant d une variable (ici x), c est déterminer pour quelles valeurs de la variable cette expression est strictement négative, nulle et strictement positive.. Sens de variations de la fonction f sur R. (a) Signe de f (x) : x 0 α + x g(x) 0 + f (x) = xg(x) (b) On en déduit que : Sur ] ; 0], f est strictement croissante. Sur [0; α], f est strictement décroissante. Sur [α; + [, f est strictement croissante. (c) Cela infirme la première conjecture. B. Contrôle de la deuxième conjoncture On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O; i, j ). On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l axe (x x).. g(α) = 0 donc e α = α + 2. Ainsi, f(α) = α2 α + 2 α2 2 = α 2(α + 2). Comme α > 0, α < 0 et ainsi f(α) < Cette dernière information infirme la seconde conjecture, qui sous-entendait que pour tout x > 0, f(x) > 0. TS - TS2 Bac Blanc Mathématiques Novembre Corrigé Page /7

4 Exercice 2. À traiter par les candidats ne suivant pas l enseignement de spécialité. [5 points] On considère la fonction f définie sur ] ; 6[ par f(x) = 9 { 6 x. U On définit pour tout entier n 0 la suite (U n ) par 0 = U n+ = f(u n ). Illustration : U 4 U U 2 U j M 0 0 i M M 2 M M 4 Il semble que la suite (U n ) soit croissante et majorée par. 2. (a) Soit, pour tout n N, la proposition P n : (0 U n U n+ ). U = et U 2 =, 8 : on a bien 0 U U 2 et P est vraie. Montrons que pour tout entier naturel n, P n implique P n+. Soit n N : supposons que 0 U n U n+. La fonction f est croissante sur ] ; 6[ et donc sur [0; ]. On en déduit : f(0) f(u n ) f(u n+ ) f() Or f(0) =, 5 0; f(u n ) = U n+ ; f(u n+ ) = U n+2 ; f() =. Il s ensuit que P n+ est vraie. Conclusion : pour tout entier n, 0 U n U n+. (b) La suite (U n ) est croissante et majorée par donc elle converge vers un réel l. Détermination de l : lim U n = lim U n+ = l. n + n + Or pour tout entier n, U n+ = f(u n ) et donc lim f(u n) = l. n + De plus, f est continue sur ] ; ] et par composition, lim f(u n) = f(l). n + TS - TS2 Bac Blanc Mathématiques Novembre Corrigé Page 4/7

5 Par unicité de la limite, on a donc f(l) = l, ce qui conduit à l =. On en conclut que (U n ) converge vers.. Soit la suite (V n ) définie pour tout entier n par V n = U n. NB : en fait, on pourrait montrer facilement que pour tout n N, U n < : la suite (V n ) est donc bien définie pour tout n. (a) Pour tout entier naturel n, V n+ V n = = U n+ U n 9 U n 6 U n = 6 U n U n 9 = (V n ) est arithmétique de raison. (b) Pour tout entier n 0, V n = V 0 n = 6 n = 2 + n. 6 Or U n = + et donc U n = 6 V n 2 + n. (c) lim n n = 0 donc lim n + U n =. TS - TS2 Bac Blanc Mathématiques Novembre Corrigé Page 5/7

6 Exercice. À traiter par tous les candidats. [5,5 points] A. Question de cours L objectif de cette question est de démontrer que lim x + x = +. Pré-requis On suppose connu le résultat suivant : pour tout réel x, > x. On considère la fonction g définie sur [0; + [ par g(x) = x2 2.. g est dérivable sur R + en tant que différence de fonctions dérivables et pour tout x positif, g (x) = x. Or pour tout x, cette dernière quantité est strictement positive : il s ensuit que g est strictement croissante sur R +. Ainsi, pour tout x 0, g(x) g(0) = > Pour tout x > 0, on a donc : x Or lim x + 2 B. Détermination graphique > x2 2 x > x 2 = + et par comparaison, lim x + x = +.. A(0; 2) C f donc f(0) = 2. Or f(0) = b donc b = f (0) correspond est la pente de la tangente à C f en son point d abscisse 0. Cette pente vaut par ailleurs : f (0) =.. (a) Pour tout x R, f(x) = (ax + 2)e x. f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour x, f (x) = a)e x (ax + 2)e x = ( ax 2 + a)e x (b) On sait que f (0) = d où : 2+a = et a = : pour tout réel x, f(x) = (x+2)e x. 4. Graphiquement les limites de f en + et sont respectivement 0 et. Calculs : lim (x + 2) = et lim x x e x = + : il s ensuit que lim f(x) =. x De plus, pour tout x R, f(x) = xe x + 2e x = x + 2e x. D après A, lim x + x = + et donc lim x + x = 0. De plus, lim x + e x = 0 d où lim f(x) = 0. x + TS - TS2 Bac Blanc Mathématiques Novembre Corrigé Page 6/7

7 Exercice 4. Q.C.M. à traiter par tous les candidats.. On considère une suite (u n ) telle que pour tout n N, u n+2 = u n+ + 2u n telle que pour tout entier naturel n, v n = u n+ + 2 u n. [ points] et la suite (v n ) Pour tout entier naturel n, v n+ = u n u n+ = u n+ + 2u n La suite (v n ) est donc constante. Réponse c. + 2 u n+ = u n+ + 2 u n = v n. 2. On considère la suite (t n ) définie pour tout entier n par t n = n 5 ( ) n+2. n Pour tout entier n, t n = (t n) est une suite géométrique dont la raison appartient à l intervalle ] ; [ : sa limite est donc 0. Réponse a.. Soit la suite (s n ) géométrique de premier terme s 0 = et de raison e. La somme s 0 + s + s s n est égale à... + s n = (e ) n+ = e e n. Réponse b. e e 4. Soit la suite (x n ) arithmétique de premier term = 2 et de raison 4. On définit la suite (y n ) par y n = exp(x n ). Le produit y y 2... y n vaut exp (x + x x n ). (x n ) étant arithmétique, x + x x n = n x + x n. 2 Or x = 2 et pour tout n N, x n = 2n 2. D où la bonne réponse : c. 5. Laquelle des propositions suivantes est correcte? (a) Une suite tendant vers + est croissante : FAUX. Voir par exemple la suite (u n ) définie par u n = n + 2( ) n. (b) Une suite qui n est pas majorée tend vers + : FAUX. Voir par exemple la suite qui vaut 0 si n est pair et n si n est impair. (c) Une suite qui est bornée est convergente : FAUX. Voir par exemple la suite (( ) n ). (d) Une suite qui tend vers est majorée : VRAI. 6. Soit (a n ) et (b n ) deux suites réelles. (a) Si (a n + b n ) converge, alors (a n ) et (b n ) convergent : FAUX. Prendre, pour tout n, a n = b n = ( ) n. (b) Si (a n b n ) converge, alors (a n ) et (b n ) convergent : FAUX. Prendre, pour tout n, a n = ( ) n et b n = 0. (c) Si (a n b n ) converge vers 0, alors (a n ) converge vers 0 ou (b n ) converge vers 0 : FAUX. Prendre pour a n le nombre 0 si n est pair et le nombre si n est impair. Prendre pour b n le nombre si n est pair et 0 si n est impair. Ni (a n ) ni (b n ) ne converge et pourtant le produit (a n b n ) qui est constant (égal à 0) converge. (d) Aucune de ces réponses : VRAI. FIN TS - TS2 Bac Blanc Mathématiques Novembre Corrigé Page 7/7