La fonction logarithme népérien, f(x) = ln(x).

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1 La fonction logarithme népérien, f() = ln() L étude des fonctions est une notion fondamentale du programme de Terminale STG A l heure actuelle, les fonctions rencontrées sont celles connues depuis la seconde : fonction carré, racine, quotient de deu fonctions, somme de fonctions puissances Nous allons dans ce chapitre définir une nouvelle fonction, la fonction logarithme Nous admettrons son eistence et vérifierons certaines de ces (nombreuses) propriétés Comme pour les fonctions de référence, nous apprendrons à dériver les fonctions logarithme et, plus généralement, à mener une étude complète de telle fonction Initialement créée pour faire des changement d unité (lorsque les valeurs considérées sont très grandes, le logarithme permet de réduire ces valeurs), nous verrons aussi comment la fonction ln permet de transformer des multiplications en addition ou des puissances en produit - - D PINEL, Site Mathemitec :

2 Note Tous les corrigés des eercices de ce chapitre se trouvent à la fin de ce document I Une définition de la fonction logarithme Posons nous avant tout quelques petites questions Normalement, on sait dériver quasiment toutes les fonctions, essayons de réflechir au processus inverse (cela s appelle trouver des primitives ou intégrer) Quelle fonction a pour dérivée? D après le tableau de dérivation, on sait que ( )' = Autrement dit, la foncition f ( ) l équation f '( ) = = est une solution de Remarquons que comme la dérivée d une constante est 0, toutes les fonctions du type f ( ) = + b sont des solutions de f '( ) = Quelle fonction a pour dérivée? D après le tableau de dérivation, on sait que ( ) f ( ) = est une solution de l équation f '( ) = De même que précédemment, toutes les fonctions du type Quelle fonction a pour dérivée? D après le tableau de dérivation, on sait que ( ) f ( ) = est une solution de l équation f '( ) ' = donc ' = Autrement dit, la fonction f ( ) = + b sont des solutions de f '( ) = ' = donc ' = = Autrement dit, la fonction On remarque encore que toutes les fonctions du type f ( ) = + b sont des solutions de f '( ) = On remarque donc qu à l aide du tableau de dérivée, on peut répondre à ce type de question, même pour les fonctions du type, Par contre, on bloque étrangement sur la recherche d une fonction f telle que f '( ) = C est normal, aussi on admet le théorème suivant Théorème On admet qu il eiste une unique fonction, appellée logarithme népérien et notée ln telle que : > ln est définie et dérivable sur ]0; + [ > ( ln( ) )' = > ln() = D PINEL, Site Mathemitec :

3 Vous démontrerez la propriété suivante en eercice : Propriété I- (voir corrigé fin de chapitre) La fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [ Pour tout réels a et b positifs, ln( a) < ln( b) a < b Conséquences La fonction ln étant dérivable et strictement croissante, on a ln( a) = ln( b) a = b En particulier ln( a) = 0 a = Remarquons que la première conséquence est fausse, de manière générale, pour les fonctions non monotones Par eemple, si f ( ) =, f ( a) = f ( b) a = b Pour s en convaincre, prendre a = - et b = Vous démontrerez la propriété suivante en eercice : Propriété I- (voir corrigé fin de chapitre) On a ln( ) < 0 ]0;[ et ln( ) > 0 > Voici la courbe représentative de la fonction logarithme népérien (à connaître!) y J Vous pouvez utiliser la touche ln de votre calculatrice (et pas log, c est pas tout à fait pareil), pour obtenir la représentationgraphique de ln o I Eercice I- Soit f ( ) = 0,5 ln( ) définie sur I = ]0; + [ ( )( ) + Montrer que f '( ) = En déduire les variations de f sur I On admet la propriété fondamentale suivante : Propriété II Propriétés de la fonction ln Pour tous réels a et b strictement positifs, ln ( a b) ln ( a) ln ( b) Le ln transforme le produit en somme Par eemple, ln ( 0) = ln ( 4) + ln ( 5) = ln ( 0) + ln ( ) = D PINEL, Site Mathemitec :

4 A l aide de cette propriété, cous pouvez vous entrainer à démontrer chaune des propriétés suivantes : Propriété II- (voir corrigé fin de chapitre) > Pour tout a > 0, ln = ln ( a) a a = b > Pour tous réels a et b strictement positifs, ln ln ( a) ln ( b) Ln et puissances Comme ln ( a b) ln ( a) ln ( b) = +, on obtient assez facilement : > ( a ) = ln ( a a) = ln ( a) + l ( a) = > ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln n l n ( a) a = a a = a + a = ln( a) + ln( a) = ln( a) En poursuivant ce processus, on obtient plus généralement : Propriété n > Pour tout réel a > 0, pour tout entier relatif n, on a ln ( a ) n ln ( a) n a n = a En particulier, ln ln ( ) > Comme on a a a Eemples ln 49 ln 7 ln 7 = =, on admet que ln ( a ) ln ( a) ( ) = ( ) = ( ), ln ( 000) ln ( 0 ) ln ( 0) = = =, si > 0, ln ( ) ln ( 4) ln ( 4) + = Indications pour les eercices II- et II- Bien etudier le domaine de définition des équations avant de commencer Utiliser ensuite la propriété I- ou ln( a) = ln( b) a = b en remarquant que ln() = 0 Eercices II- Résoudre dans R l équation ln ( 4) = 0 Résoudre dans R l inéquation ln ( ) > 0 Résoudre dans R l inéquation ln ( + ) 0 Eercices II- Résoudre dans R l équation ln ( ) ln(4) ln ( 4) Résoudre dans R l équation ln ( ) = ln ( 6) Résoudre dans R l inéquation ln ( 6 ) ln ( ) = D PINEL, Site Mathemitec :

5 III Règles importantes de dérivation Le point de départ de la majorité des études de fonction (type Bac) est la règle de dérivation suivante (admise) : Théorème > Pour tous réels a et b, la fonction ln ( a + b) est dérivable là où a + b > 0, et on a : a ( ln ( a + b) )' = a + b > Plus généralement : soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement positive sur u ' I Alors la fonction composée ln ( u ) est dérivable sur I et on a ( ln( u) )' = u Eemples Si f ( ) = ln ( ), f est dérivable pour > et on a f '( ) = + 5 Si f ( ) = 5ln ( ), f est dérivable pour < et on a f '( ) = 5 = Muni de ce théorème, nous pouvons aborder sereinement la plupart des eercices (même type Bac) Il nous manque cependant deu points utiles, dont un capital : rappeler l équation d une tangente, ça peut toujours servir apprendre à résoudre les équations (simple) du type ln() = k : nous aurons alors besoin d introduire encore une nouvelle fonction, la fonction eponentielle Nous allons présenter rapidement dans ce chapitre la méthode de résolution de telles équations, un chapitre entier traitera plus tard de la fonction eponentielle Tangente Rappel Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, avec a appartenant à I alors la courbe C représentative de f admet une tangente au point d abscisse a d équation y = f a + f a a Eemple y ( ) '( )( ) o J I En particulier, la courbe représentant la fonction logarithme admet un tangente T au point d abscisse d équation f () = 0 y = f () + f '() ( ) où f '() = = Ainsi T : y = D PINEL, Site Mathemitec :

6 Equation d inconnue du type ln() = k, où k réel Remarquons tout d abord que la simple équation ln() =, avec les outils actuels, nous est encore inaccessible Graphiquement, nous sommes cepandant capable de déterminer une valeur approchée de la solution On lit que ln() = pour 6 y g() J o I A 6 Pour déterminer la valeur eacte de cette équation, nous allons être obligé d introduire une nouvelle fonction, la fonction eponentielle Théorème L équation ln() = admet une unique solution, notée e On a e 6 De manière plus générale, pour tout réel k, l équation ln() = k admet pour unique solution le nombre noté ep(k), appelé eponentielle de k Remarquons alors que ep() = e Pour l instant, vous utiliserez la touche ep de votre calculatrice pour déteminer des valeurs approchées de ep(k) Eemple L équation ln() = a pour unique solution = ep() L équation ln() = - a pour unique solution = ep(-) Ou encore, ln( ) < < ep( ) IV Eercice classique corrigé (hors eponentielle pour l instant) Dans une entreprise, le pri d une tonne de matière première à l année 998 +, eprimé en f ( ) = + 0 5ln + milliers d euros, est donné par la fonction f définie sur [0 ;] par ( ) On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle et on note f sa dérivée Donner un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs entières de comprises entre 0 et Les valeurs de la fonction seront arrondies à0 Montrer que f '( ) = puis étudier le sens de variation de f sur l intervalle [0 ;] + Les valeurs des etremums seront arrondies à0-6 - D PINEL, Site Mathemitec :

7 Tracer la courbe représentant f dans un repère orthogonal, où cm représente deu années en abscisse et cm représentent un millier d euros en ordonnée 4 Selon ce modèle, quel serait le pri d une tonne de matière première au er janvier 005? 5 A l aide du graphique, déterminer en quelle année la tonne de matière première retrouvera son pri initial de 998 Pour plus d eercices corrigés, voir la partie ds du site ou la partie sujet de Bac Démonstration propriété I- Corrigé des eercices ou démonstrations I Une définition de la fonction logarithme ln( ) ' = > 0, donc d après le chapitre dérivation, la fonction ln est stritement croissante sur son domaine > Aussi, par définition d une fonction croissante, deu réels a e b seront rangés dans le même ordre que leurs images ln(a) et ln(b) Autrement dit, ln( a) < ln( b) a < b > la fonction ln a pour dérivée : comme elle est définie pour > 0, on a ( ) Démonstration propriété I- En effet, la fonction ln est croissante et s annule en On en déduit le tableau de signes suivant : Doù la propriété énoncée + + ln 0 ր ր ln () Corrigé eercice I- On a, par définition de ln : f '( ) = 0,5 = = Comme ( + )( ) ( + )( ) =, on obtient bien f '( ) = Comme sur I, > 0 on a aussi +>0 f () est donc du signe de - et on a : f () f () ց ր D PINEL, Site Mathemitec :

8 II Propriétés de la fonction ln Démonstration propriété II- ln a b = ln a + ln b pour tout b > 0 > On sait que ( ) ( ) ( ) Prenons en particulier b = : ln a = ln ( a) + ln a a a donc ( ) ( ) ln ln a ln a a a ln a = ln a + ln b b Comme ln() = 0, il vient 0 = ln ( a) + ln ln = ln ( a) = + a = > Comme ln ( a b) = ln ( a) + ln ( b), on a ( ) cad ln ln ( a ) ln ( b ) b Corrigé eercices II- La fonction ln est définie sur ]0; [ + donc l équation ( ) ln 4 = 0 n a de sens que pour > 5 De plus, ln() = 0 donc ln ( 4) = 0 ln ( 4) = ln ( ) 4 = = qui est bien dans le 5 domaine de définition : S = { } De même, ln(-) n a de sens que pour - > 0 cad < Alors ln ( ) > 0 ln ( ) > ln() > > qui est bien dans le domaine de définition : S = ] ; [ De même, ln(+) n a de sens que pour + > 0 cad > ln + 0 ln + ln + : tous ces réels ne sont pas dans le Alors ( ) ( ) ( ) domaine On a S = ] ; ] Corrigé eercices II- La fonction ln est définie sur ]0; + [ donc cette équation n a de sens que pour > 0 et -4>0 soit au final, pour >4 Alors ln ( ) ln(4) = ln ( 4) ln = ln ( 4) = = 4, qui est hors du domaine : S = 4 4 Cette équation n a de solutions que pour > 0 : alors ln = ln 6 ln = ln 6 = 6 = 4 ou = 4 : seul 4 est dans le domaine donc S = {4} ( ) ( ) ( ) ( ) Cette inéquation n a de sens que pour 6- > 0 cad > : dans ce cas, ln ( 6 ) ln ( ) ln ( 6 ) ln ( ) 6 8 >, qui est bien dans le domaine 6 Ainsi, S = { } D PINEL, Site Mathemitec :

9 IV Eercice classique corrigé (hors eponentielle pour l instant) Corrigé eercice Partie IV Dans une entreprise, le pri d une tonne de matière première à l année 998 +, eprimé en milliers d euros, est donné par la fonction f définie sur [0 ;] par f ( ) = + 0 5ln + ( ) Voici un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs entières de comprises entre 0 et, où les valeurs de la fonction sont arrondies à f() u ' 5 On sait que ( ln ( u) )' = donc ( ln ( + ))' = et f '( ) = = u Sur l intervalle [0 ;], est positif donc + est positif et f () est du signe de - On a alors : Voir la courbe feuille suivante 0 f () f () ց ր Selon ce modèle, le pri d une tonne de matière première au er janvier 005 est estimé par f(7) (car = 005) On estime donc ce pri à 6,0 milliers d euros soit 600 y Précisons en 998, le pri de la tonne était d environ f(0) = 65 milliers d euros A l aide des traits de construction sur le graphique, c est au cours de l année 006 ( = 8) que le pri d une tonne de matière première retrouvera son pri initial de D PINEL, Site Mathemitec :