Suites numériques. Exemples élémentaires de suites

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1 MTA - ch5 Page 1/12 Suites numériques Notion de suite : Une suite numérique est une application de N (ou parfois de N ) à valeurs dans R ou dans C. La suite u : N C est notée de plusieurs façons : n u(n) (u n ) n N, (u n ) ou plus simplement u I Exemples élémentaires de suites I.1 Suites arithmétiques Dénition 1 Soit r C. Une suite (u n ) n N est dite arithmétique de raison r si, et seulement si, n N, u n+1 = Formule explicite du terme de rang n : n N, u n = u 0 + Proposition 1 (somme de termes consécutifs) n = Si (u n ) n N est une suite arithmétique de raison r, alors u p + u p u p+n = I.2 Suites géométriques Dénition 2 Soit q C \ {1}. Une suite (u n ) n N est dite géométrique de raison q si, et seulement si, n N, u n+1 = Formule explicite du terme de rang n : n N, u n = u 0

2 MTA - ch5 Page 2/12 Proposition 2 (somme de n + 1 termes consécutifs) 1 + q + q 2 + q q n = Si (u n ) n N est une suite géométrique de raison q, alors u p + u p u p+n = Théorème 3 Si q est un nombre réel tel que q > 1 alors Si 1 < q < 1 alors qn = qn = Si q 1 alors la suite (q n ) n N n'a pas de ite. I.3 Suites arithmético-géométriques Dénition 3 Une suite (u n ) n N constantes a C \ {0, 1} et b 0 telles que est dite arithmético-géométrique si et seulement si, il existe des n N, u n+1 = a u n + b Exemple : on considère la suite (u n ) dénie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = 1 2 u n + 1 Dans un repère orthonormal, on trace la droite d'équation y = x et la représentation graphique de la fonction ane x 1 x + 1. Il est alors 2 possible de placer les premiers termes de la suite (u n ) sur l'axe des abscisses sans calcul.

3 MTA - ch5 Page 3/12 Proposition 4 (formule explicite du terme de rang n) Soit c la solution de l'équation x = a x + b. Alors la suite v de terme général v n = u n c est géométrique de raison a. On en déduit que n N, u n = II II.1 Comportement global d'une suite réelle Monotonie d'une suite Dénition 4 On dit qu'une suite (u n ) n N est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, u n+1 u n On dit qu'une suite (u n ) est strictement décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, On dit que la suite u est constante si et seulement si pour tout entier naturel n, u n+1 = u n Une suite est dite monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. Remarque : pour étudier le sens de variation d'une suite u, on pourra étudier le signe de la diérence u n+1 u n ou comparer le rapport u n+1 positifs. u n à 1 lorsque tous les termes sont strictement Exemple : on pose pour tout entier n 1, u n = n k=1 1 k =

4 MTA - ch5 Page 4/12 II.2 Majorée, minorée, bornée Dénition 5 On dit qu'une suite (u n ) n N est majorée ssi il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n,.... On dit qu'une suite (u n ) n N est minorée ssi Une suite est dite bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Proposition 5 Une suite (u n ) n N est bornée ssi il existe un réel positif k tel que pour tout entier n N, u n k. Exemple : la suite u de terme général III III.1 Convergence ou divergence Suites convergentes Dénition 6 Soit (u n ) n N une suite et l un nombre réel (ou complexe). On dit que (u n ) n N converge vers l si et seulement si tout intervalle ouvert centré en l (ou tout disque ouvert centré en l) contient tous les termes u n à partir d'un certain rang. Proposition 6 (unicité de la ite) Si une suite (u n ) n N converge vers l 1 et l 2, alors Preuve : raisonnons par l'absurde.

5 MTA - ch5 Page 5/12 Si (u n ) converge vers un nombre l, on dit que l est la ite de (u n ) et on note : Exemples : Si p N alors 1 =... Si q R et 1 < q < 1 alors np qn =... Remarques : (i) Dire que la suite (u n ) n N converge vers l revient à dire que u n l =... (ii) Les locutions à partir d'un certain rang et pour tout entier naturel n assez grand ont le même sens, elles signient plus précisément : (iii) Toute suite convergente est bornée. Proposition 7 Soit (z n ) n N une suite complexe et l = a + i b un nombre complexe avec a et b réels. Alors (z n ) converge vers l si, et seulement si, III.2 Suites divergentes Dénition 7 On dit qu'une suite (u n ) n N est divergente lorsqu'elle n'admet pas de ite nie quand n tend vers +. On dit qu'une suite réelle (u n ) n N tend vers + ssi On dit qu'une suite réelle (u n ) n N admet pour ite ssi Exemples : Si p N alors np = en = car......

6 MTA - ch5 Page 6/12 III.3 Suites extraites Dénition 8 Soit u = (u n ) n N une suite. On appelle suite extraite de u toute suite v dont le terme général est de la forme v n = u ϕ(n) où ϕ est une application strictement croissante de N dans N. Exemple : Proposition 8 (suites extraites d'une suite convergente) Si u est une suite convergente de ite l, alors toute suite extraite de u... On utilise souvent la contraposée de cette proposition pour montrer qu'une suite bornée est divergente : il sut d'exhiber deux suites extraites convergeant vers des ites diérentes. Exemple : montrer que la suite u de terme général u n = ( 1) n est divergente. IV Opérations algébriques sur les ites de suites réelles Dans ce paragraphe, l et l désignent deux nombres réels. IV.1 Limite d'une somme Alors Forme indéterminée du type : Si n = l l l + + et si n = l + + n + v n ) =

7 MTA - ch5 Page 7/12 Preuve : on suppose que (u n ) converge vers l R et que IV.2 Limite d'un produit Alors Forme indéterminée du type : Si n = l l(l < 0) + 0 et si n = l + 0 n v n ) = IV.3 Limite d'un quotient Si u n = l l(l > 0) l(l < 0) 0 0 et si v n = l (l 0) l (l 0) 0 0 u n Alors = v n Formes indéterminées du type : IV.4 Limite de la composée d'une suite et d'une fonction Théorème 9 Soit f une fonction dénie sur un intervalle non vide I de R. Soit (u n ) n N une suite de réels appartenant à I. Si et si u n = α f(x) = l x α Alors f(u n) = Remarque : on peut avoir α R, ou α = +, ou α =. Idem pour l.

8 MTA - ch5 Page 8/12 Exemple : a n = 2 n exp( 2 n ) V Limites et relation d'ordre V.1 Théorème des gendarmes Théorème 10 Soit (a n ), (u n ) et (v n ) trois suites réelles vériant pour tout entier naturel n assez grand, Si u n a n v n u n = v n = l (avec l R ) alors Preuve : soit ε > 0, ε xé.

9 MTA - ch5 Page 9/12 Proposition 11 (conséquence) (i) Tout nombre réel est ite d'une suite de nombres rationnels. (ii) Entre deux réels distincts a et b, on peut toujours trouver un nombre rationnel. (a, b) R 2, [ a < b = ] Preuve : (i) Soit x un réel xé. On considère la suite u de terme général u n = Remarques : Tout intervalle ouvert non vide ]a, b[ contient Entre deux réels distincts a et b, il existe une innité de rationnels. V.2 Limites et inégalités Proposition 12 Soit (a n ) et (b n ) deux suites réelles telles que pour tout entier naturel n assez grand, a n b n (i) Si (a n ) et (b n ) convergent respectivement vers l et l, alors (ii) Si (iii) Si a n = +, alors b n = =......, alors a n =

10 MTA - ch5 Page 10/12 V.3 Relations de comparaison Dénition 9 Soit u = (u n ) n N et v = (v n ) n N deux suites. (i) On dit que u est négligeable devant v au voisinage de + et on écrit u n = o(v n) ssi il existe une suite (ε n ) et un entier naturel n 0 tels que (n + ) (ii) On dit que u est équivalente à v au voisinage de + et on écrit u n (n + ) v n ssi il existe une suite (x n ) et un entier naturel n 0 tels que Exemples : au voisinage de +, n = o( ), ln (n + ) ( ) n (n + ), n cos n = (n + ) o( ) Proposition 13 Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites telles que v ne s'annule pas à partir d'un certain rang. Alors u n = (n + ) o(v n) ssi la suite u n (n + ) v n ssi la suite ( un ( un v n v n ) ) n N n N Théorème 14 Soit (a n ) n N, (b n ) n N, (u n ) n N et (v n ) n N quatre suites ne s'annulant pas à partir d'un certain rang. Si a n b n et si u n v n (n + ) (n + ) Alors a n u n (n + ) et a n u n (n + ) Mise en garde :

11 MTA - ch5 Page 11/12 V.4 Croissances comparées des suites de référence Théorème 15 Soit p un nombre entier strictement positif et a un réel strictement supérieur à 1. ln n est négligeable devant n p lorsque n tend vers + : ln n n = p n p n p est négligeable devant lorsque n tend vers + : a = 0 n a n est négligeable devant lorsque n tend vers + : Preuve : On pose n N, u n = an n! VI VI.1 Convergence des suites monotones Un théorème d'existence de ite Théorème 16 (théorème de la ite monotone, admis) Toute suite croissante et majorée, est Toute suite décroissante et Exemple : soit (v n ) la suite dénie par v 0 = 0 et v n+1 = 2 + v n

12 MTA - ch5 Page 12/12 VI.2 Suites adjacentes Dénition 10 On dit que deux suites réelles (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque : (i) l'une est croissante (ii) l'autre est décroissante (iii) (v n u n ) = 0 Théorème 17 Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont Preuve : on suppose que u est une suite croissante, v est décroissante et n + (v n u n ) = 0.