Nouvelles fonctions de référence

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Gabriel Beaupré
il y a 7 ans
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1 Nouvelles fonctions de référence I. Fonction valeur absolue Abs : x 1. Valeur absolue et distance Soit un axe (O ; ) et soient les points A et A d abscisses respectives 3 et 3 sur cet axe. Les distances OA et OA sont égales et valent OA = OA = 3 Par retour aux abscisses des points on note OA = et OA = De manière générale : Si A est d abscisse x sur un axe (O ; ) alors OA = Remarque : La notation avec une barre de chaque coté du nombre est cohérente avec la notation de la norme d un vecteur : qui elle aussi correspond à une distance. ou désignent tous les deux une distance. 2. Définition Pour tout réel x de ] on a = Cette définition découle directement de l interprétation géométrique de la valeur absolue 3. Etude de la fonction valeur absolue Elle est définie sur IR par Abs(x) = = C est donc une fonction affine par intervalle ( on dit aussi «affine par morceaux» ) Sa représentation graphique est la réunion de la demi droite d équation y = x pour x positif et de la demi droite d équation y = x pour x négatif 1

2 4. Exercice résolu Ecrire sans utiliser les barres de valeur absolue et en déduire la représentation de la fonction f définie par f(x) = On utilise la définition = avec ici X = On a donc = Reste à modifier les conditions «et» par retour à des conditions sur x. On utilise le tableau de signe de On en déduit donc que : x = Donc f(x) = = On retrouve une fonction affine par intervalles dont la représentation est donnée ci-dessous : Remarque : Sur la calculatrice CASIO 35 + la fonction abs se trouve avec la séquence de touches suivante : OPTN (F6) NUM (F4) (F1) Abs 5. Exercice Etudier les variations de la fonction f définie par f(x) = 2

3 II. Fonction racine carrée 1. Etude de f définie par f(x) = a. Rappel La racine carrée d un nombre k est la solution positive ( si elle existe ) de l équation x² = k b. Ensemble de définition L équation x² = k n ayant de solution que si et seulement si k on en déduit que : n existe que si et seulement si k Donc pour f(x) = Il faut donc = [0 ; [ La courbe représentative de la fonction racine carrée est située à droite de l axe des ordonnées. c. Propriété on a Cette propriété découle directement du rappel La courbe représentative de la fonction racine carrée est située au-dessus de l axe des abscisses. Attention : ne pas confondre : «lorsqu elle existe, la racine carrée est positive» ( Pour ) et «racine de x existe pour x positif» d. Propriétés algébriques et = et = = a = Cette dernière propriété découle de la définition est la solution positive de x² = or cette équation a 2 racines ( si a 0 ) : a et a ( 2 nombres ayant le même carré sont égaux ou opposés ) Pour être sur d avoir la racine positive, il suffit donc de prendre la valeur absolue! Inégalité triangulaire 3

4 classique. n est donc pas égal à + On est donc prié de ne plus faire cette erreur e. Variations variation : x D où le tableau de f. Représentation graphique : g. Remarque Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de la fonction racine carrée et de la fonction carré ( sur ) sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère ( droite d équation y = x ). (La démonstration sera faite dès que la condition d orthogonalité de 2 vecteurs aura été traitée) h. Exercice : Etudier les positions relatives des représentations graphiques des fonctions carrée, racine carrée et identité ( f(x) = x ) sur. 4

5 2. Variations de f, définie par f(x) = u est une fonction définie sur pour que f(x) existe il faut donc u(x) 0 donc l ensemble de définition de f s obtient grâce à l étude du signe de u(x). On dit que f est «la composée de la fonction racine et de la fonction u» Propriété Si u est une fonction définie et positive sur un intervalle I Alors la fonction f définie par f(x) = a le même sens de variation que u Exercice : Donner le tableau de variation de la fonction f définie par f(x) = 5

6 III. Variations des fonctions associées. 1. Variations de f définie par f(x) = u(x) + k La fonction f définie par f(x) = u(x) + k a les mêmes variations que la fonction u Remarque : On a vu en TP que la courbe de f était l image de la courbe de u par la translation de k. Le résultat ci-dessus s en déduit de manière évidente. On va cependant en donner une démonstration : Exercice : Donner les variations de la fonction f définie par f(x) = 4 2. Variations de f définie par f(x) =k u(x) (k Si k > 0 la fonction f définie par f(x) =k u(x) a les mêmes variations que la fonction u. Si k < 0 la fonction f définie par f(x) =k u(x) a les variations contraires de celles de la fonction u. Remarque On a vu en TP que la courbe de f (O, ) et de rapport k. était l image de la courbe de u par l affinité orthogonale d axe Exercices : 6

7 a. Etudier les variations et dresser le tableau de variation de la fonction f définie par f(x) = 3 b. Etudier les variations et dresser le tableau de variation de la fonction f définie par f(x) = 1 3. Variations de f définie par f(x) = Si u est une fonction de signe constant et non nulle sur un intervalle I la fonction f définie par f(x) = a les variations contraires de celles de la fonction u. Exercices a. Etudier les variations et dresser le tableau de variation de la fonction f définie par f(x) = b. Etudier les variations et dresser le tableau de variation de la fonction f définie par f(x) = 7

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